Download Mosaico octubre de 2014(nivel 3)

Octubre de 2014
MALDITA
MATEMÁTICA
MOSAICOS
Prof. Miryam J.Mazzitelli
MOSAICOS
Octubre
2014
LA GEOMETRÍA
HABILIDADES que desarrolla el estudio de la geometría
En la sociedad actual donde predomina lo visual, la imagen está al orden
del día. Ésta asociada a un dibujo es la puerta de entrada a la geometría.
Sabemos que las imágenes más bellas y armoniosas tienen un fuerte
ingrediente geométrico1.
En la Academia, la escuela filosófica de Platón, decía” Nadie entre aquí que no
sepa geometría”. Así era el valor de su estudio, que tuvo, en principio sólo un
sentido práctico, ya desde los griegos en adelante fue tronándose en un
sentido más abstracto.
Para los griegos la geometría era un conjunto de verdades que no dependían
de los hombres, ni de los Dioses. Era la verdad.
Este estudio tenía una especial implicación en el desarrollo intelectual de los
individuos. Si una persona de dedicaba al estudio de la misma, ya no era el
mismo. Su espíritu se elevaba a la perfección, ya que se encontraría con la
verdad.
Lo que sabemos es que brinda una forma de pensar distinta. Este estudio
permite comenzando desde lo empírico, elevarse a la total abstracción. O sea
su estudio puede comenzar realizando dibujos o trazos, para llegar al ideal del
objeto geométrico. Pasar del dibujo a la idea no es tarea sencilla.
No podemos desaprovechar la posibilidad de conocer la geometría. Debemos
permitirnos aprender, disfrutar, equivocarnos e investigar preguntar y así seguir
aprendiendo. Ser modelos de personas aprendiendo, aprendices y maestros,
en cada momento.
El estudiar geometría desarrolla muchas habilidades, de las cuales, en mi
opinión las más importantes son de razonamiento, de comunicación, visuales y
ubicación.
Recordemos las habilidades, que según Ana Bressan2, desarrolla el estudio de
la geometría:
 Habilidades de razonamiento lógico
 Habilidades visuales
 Habilidades de ubicación
 Habilidades de dibujo y construcción
 Habilidades de comunicación
1
Invitación a la Didáctica de la Geometría
2
Enseñar Geometría . Redescubrir una tarea posible. A. M. Bressan y otros.
C. Alsina y otros
Ed. Síntesis 1995 Cap. 4 pág. 60
2
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 Habilidades de aplicación
No todas las actividades geométricas desarrollan todas las habilidades. Por
ejemplo construir un cubo con sorbetes, proporciona habilidades de
razonamiento, visual y construcción. Hay que deducir cantidad de aristas,
cantidad de vértices a unir, sentido de la construcción, cuál es la forma de un
cubo, cuáles son las figuras que componen sus caras, y por dónde empezar la
construcción. Es una serie de toma de decisiones, tal que si en una erramos, la
construcción no será posible.
La capacidad de razonar no se da en el vacío depende de los contenidos que
se disponen.
La capacidad de razonar está íntimamente ligada a los contenidos que
traemos. Todas las personas traen contenidos anteriores y experiencias que
podemos vivificar para que con este contenido comencemos a realizar nuestro
trabajo deductivo y reproducir el quehacer matemático3.
Los docentes re-contextualizan, personalizan los contenidos, dándoles
sentido.
Así podremos acercarnos al trabajo científico como una manera de pensar que
no es común fuera de la escuela4.
Los conceptos e ideas matemáticas llegan a nosotros después de mucho
trabajo de descontextualización y atemporales, por lo no sabemos cuál fue el
problema, cuándo, como, y menos por qué resultó necesario e importante
rescatar una situación para resolverla y cuál fue el camino para descubrir el
concepto.
El verdadero interés está en el descubrimiento.
El estudio debe transformarse en una micro sociedad científica, donde todos,
en diferente grado, puedan explicar, probar y demostrar sus conjeturas. Desde
ya queda claro que nos interesan los procedimientos.
La geometría va asociado con el arte de saber mirar y ver5.
El saber ver y el saber interpretar no son sinónimos y ni tampoco son
instantáneos, y debe haber un proceso de aprendizaje para tales habilidades.
Según Claudi Alsina…la observación libre debe ser seguida por la observación
provocada y de la actuación del alumno.
3
Marco General Para la Educación Primaria Pág 40
4
Marco General para la Educación Primaria pág 38
5
Claudi Alsina La Geometría
3
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MOSAICOS
Todas las civilizaciones desarrollaron distintos tipos de
arquitectura dependiendo de su entorno y creencias.
Funcionalidad, dinamismo, belleza y armonía son algunas
de las bases del diseño de las ciudades. No faltaron
decoraciones y ornamentos en ninguna,
especialmente basado en la simetría de las formas y
en la repetición de un diseño base. Puedes hallar
mosaicos especialmente en lugares de mayor
belleza y armonía de formas y colores.
Catedral de Salta ( Argentina)
Empieza a ver y mirar tu entorno. Observa los templos, monumentos de tu
ciudad, revestimientos de pisos y estructuras y formas armónicas. Simetrías,
ritmos, formas que cumplen algún patrón de regularidad.
Todas las culturas han utilizado mosaicos para recubrir suelos y paredes como
forma de expresión artística: tapices, alfombras, bordados,... de épocas y
países diferentes. Pisos, jarrones, utensilios, paredes, techos, todos con
decoraciones realizadas con figuras geométricas buscando armonía, simetrías
y belleza en la combinación de colores.
Puedes observar en la cultura diaguita estos diseños geométricos simples.
Guardas con motivos repetitivos, donde los triángulos son la figura base.
Reproduce cada diseño a su lado, utilizando la regla y colores variados
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MOSAICOS
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Algunas más…
Definamos:
Se denomina mosaico a un recubrimiento del plano mediante piezas
llamadas teselas sin dejar huecos y sin solapamiento. En otro lenguaje,
formar un mosaico es embaldosar una superficie plana y las teselas son
las baldosas a utilizar.
Con esta definición el número de mosaicos es ilimitado.
En Matemáticas se estudian fundamentalmente mosaicos cuyas teselas sean
polígonos y además se impone otra condición: los polígonos utilizados han de
compartir sus aristas, dicho de otro forma, coincidir sus vértices
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Practica copiando teselados sencillos
Vamos a descubrir el armado de teselados, empezamos con mosaicos
regulares.
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Mosaicos regulares.
OBJETIVO: Investigar los posibles teselados que se pueden realizar
empleando polígonos convexos regulares de un solo tipo.
1) CONSTRUCCIÓN DE UN TESELADO
a) A partir de una figura de base, construye un teselado (no consideres los
bordes), o sea con figuras poligonales regulares divide la superficie.
b) Utiliza los polígonos del adjunto 1 como plantilla para a construir el
teselado. Puedes utilizar algún programa de la PC para dibujar, o bien
recortar una plantilla y dibujar.
c) Realiza distintos ensayos
2) POLÍGONOS REGULARES QUE PERMITEN TESELAR
d) ¿Cuáles fueron los polígonos que permitieron hacer el teselado?
e) ¿Qué condición debe cumplir un polígono regular para que permite
realizar el cubrimiento?
f)
Investiga si esta situación depende de la longitud de los lados o de la
amplitud de los ángulos.
3) ANGULOS DE POLÍGONOS REGULARES
g) Averigua la amplitud total de los ángulos de los polígonos (recuerda que
la suma de los ángulos de un triángulo es 180º).
h) Busca una expresión que pueda utilizarse para averiguar cada uno los
ángulos de un polígono regular cualquiera.
Aquí comienza la investigación sobre ángulos de polígonos, puedes
participar en la deducción o sólo buscar la fórmula (página 6)
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ÁNGULOS DE POLÍGONOS
Observemos cómo se puede deducir la amplitud de la suma de los ángulos de
un polígono y también conocer cada ángulo, obviamente estamos considerado
un polígono regular, ya que todos sus ángulos son iguales.
Nombre del
polígono
Número de
Número
Número diagonales
de
de lados
por un
triángulos
vértice
3
0
1
Amplitud
de un
ángulo
interior
del
polígono
Suma de los
ángulos del
polígono
60°
180°=180° x1
Amplitud
de un
ángulo
interior
del
polígono
Suma de los
ángulos del
polígono
90°
360°=180°x2
Y ahora veamos otros, completa:
Nombre del
polígono
Número de
Número
Número diagonales
de
de lados
por un
triángulos
vértice
Y ahora ¿cómo se sigue?
Considero que hay una trampita, para conocer un ángulo interior del polígono
suelo averiguar el total de la suma y dividirla por la cantidad de lados.
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Nombre del
polígono
Número de
Número diagonales Número de
de lados
triángulos
por un
vértice
5
Amplitud
de un
ángulo
interior
2
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Suma de los
ángulos
540°=180°x3
3
7
8
135°
1080°=180°x6=
=180°(8-2)
9
9
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Ahora ¿cómo llegamos al mecanismo, o fórmula, para conocer la suma de
todos los ángulos y de la amplitud de un ángulo interior de un polígono regular
cualquiera? Pensemos que el siguiente polígono tiene n lados ( n = número
natural cualquiera).
Observa cómo se sucedieron la cantidad de diagonales en cada vértice.
¿Existe algún patrón? ¿Y para la cantidad de triángulos que se forman?
Lados
Número de
diagonales
Número de
triángulos
3
0
4
1
5
2
6
3
Completa las casillas grises
1
2
3
4
en función de n (piensa n como un número cualquiera)
n
Ahora completamos la última fila donde obtenemos las fórmulas para resolver
estos datos en un polígono cualquiera.
Nombre del
polígono
Polígono de
n lados
Número
de lados
n
Número de
diagonales Número de
por un
triángulos
vértice
Amplitud
de un
ángulo
interior
Suma de los
ángulos
n-3
Existe una regularidad entre los lados, la cantidad de diagonales, triángulos
interiores y por supuesto la suma de los ángulos interiores depende de los
anteriores. Para escribir la regularidad que consiste nada más y nada menos
de una fórmula utilizamos letras en lugar de números de ahí que utilicemos la
letra n.
Bien, ya hemos descubierto la forma de hallar la amplitud de un ángulo interior
de un polígono regular.
Entonces:
Amplitud de un ángulo interior de un polígono regular=
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Ahora con esta información ¿Seguimos?
Vamos a investigar si podemos confirmar el por qué sólo estas tres figuras
regulares hacen posible la construcción de un mosaico regular.
Veamos una forma de justificar (analíticamente) que sólo puedes teselar un
superficie sólo con las figuras que hayas elegido ¿Existirán otros polígonos
regulares que permitan teselar el plano?
Observemos que un giro, o sea un ángulo de 360°, debe ser dividido
exactamente por el ángulo del polígono regular, esto es:
360
 enteros
180.(n  2)
n
Entonces, simplificando y operando, obtenemos
2n
n2
Entonces (aplicando una trampilla…ya que si resto 2 no altero la cuestión y
simplifico el resultado)
2n
2n
2n  2.(n  2)

2
n2 n2
n2
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ahora
2n
2n
2n  2.(n  2)
4

2

n2 n2
n2
n2
Común denominador
Luego
Distribuir y cancelar
4
 enteros
n2
Necesitamos que n-2 divida exactamente al número cuatro. ¿Cuáles son los
divisores del número cuatro? …………………
Y finalmente resulta lo más interesante y que habíamos comprobado en la
práctica que:
Sólo el triángulo, el cuadrado y el hexágono, todos regulares,
son los que teselan el plano.
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Mosaicos semi-regulares.
Los mosaicos semi-regulares son aquellos que se forman utilizando polígonos
regulares de igual medida de lado, pero de más de un tipo respecto al número
de lados.
La condición que se impone es que todos los vértices sean equivalentes
teniendo en cuenta los polígonos que confluyen en cada uno de ellos.
OBJETIVO: Teselar una superficie con polígonos de distintas cantidad de lados
de igual longitud.
a) Utiliza los polígonos del adjunto 2
como plantilla para diseñar un
mosaico semi-regular.
b) Existen 8 soluciones posibles, ¿Cuántas lograrás?
c) Dibuja las combinaciones que hayas encontrado.
Resultan
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Vamos a ver cómo podemos justificar esto.
La suma de los ángulos de los diferentes polígonos que concurren en un
vértice es 360°.
Llamaremos
n1, n2, etc. , a la cantidad de lados de cada polígono.
Así
entonces la amplitud del ángulo del polígono de n1, será:

180.(n1  2) n1  2

.180 sumando las amplitudes de los ángulos interiores
n1
n1
de los k polígonos que confluyen en un vértice resulta:
Sacando factor común 180°, y pasando de miembro, lo podremos simplificar
con 360°, de allí se obtiene el número 2.
Luego, sumamos los unos que
resultan ser k, y las fracciones, finalmente el factor común dos de las fracciones
y con algunos pasajes se obtiene.
Con las n1, la cantidad de lados del polígono regular uno, n 2 la cantidad de
lados del polígono regular dos, etc.
Entonces si k = 6 ( Seis polígonos concurren en un vértice)
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Si K=5
Con K=4
Con K=3
Aquí van los ocho modelos.
4,6,12
4,8,8 = 4,82
3,12,12 = 3,122
3,6,3,6,
3,4,6,4
3,3,3,3,6 = 34,6
3,3,4,3,4 =
32,4,3,4
3,3,3,4,4 =
33,42
Existen otros, pero al intentar expandirlos en el plano, aparecen vértices de
más de un tipo.
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Mosaicos no uniformes.
Existen otras combinaciones de polígonos, pero al expandirlos suele haber
huecos, son mosaicos semi-regulares pero no uniformes.
Solamente hay 7 mosaicos de este tipo.
5,5,10
4,5,20
3,7,42
3,8,24
3,9,18
3,10,15
3,3,4,12
3,4,3,12
En las dos imágenes
de la izquierda, en
cada vértice
concurren los
mismos polígonos,
en diferente orden.
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Mosaicos semi-regulares.
Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan
colores diferentes
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Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan
colores diferentes
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A copiar otros teselados
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IMITANDO A ESCHER
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), nacido en Leewarden, muy conocido por
sus famosas figuras imposibles se planteó el problema de recubrir el plano con
un mismo motivo.
Este holandés abandonó pronto los estudios de arquitectura para
especializarse en las técnicas gráficas, y convertirse más en geómetra ya que
disfrutaba de estos diseños basados íntimamente con la geometría.
Probablemente sus viajes a Granada fueron una buena fuente de inspiración,
de hecho su técnica es muy similar a la utilizada en los mosaicos de la
Alhambra.
Mosaicos Originales
Objetivo: Teselar una superficie con baldosas originales.
1) A partir de un polígono regular construye una
baldosa novedosa.
Para esto:
a) Elije
un
polígono
regular:
triángulo,
cuadrado
o
hexágono.
b) Diseña un recorte, realízalo y pega lo recortado en otro sector para
armar un molde (en cartón o por calcado), o utiliza algún programa
en PC si te resulta práctico
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Va un ejemplo:
c) Verifica (mediante traslaciones, giros, etc.) que sirve para teselar la
superficie.
Inspírate con los adjuntos
2) Arma el mosaico
a) Realiza el teselado recortando las teselas en hojas de colores.
(Atención con el borde).
b) Pega las baldosas armando el mosaico.
Fotografíalos y envíalos al blog.
Otro ejemplo de Escher:
Tendrás muchas ideas viendo:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm
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DISEÑOS DE ESCHER
Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes
tengan colores diferentes.
Averigua la cantidad mínima de colores que debes utilizar para cumplir
con la consigna.
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Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes
tengan colores diferentes
¿Cuál es la cantidad mínima de colores necesarios para cumplir con la
consigna?
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MOSAICOS NAZARÍES: EL HUESO
Los artistas islámicos tenían grandes conocimientos de geometría, ellos
hicieron posibles los denominados polígonos nazaríes. Estos son, entre otros:
el hueso, el pétalo, el huso y la pajarita.
La dinastía nazarí, descendiente de Yusuf ben Nazar, reinó en Granada desde
el siglo XIII al XV. Granada en general, y La Alhambra, en particular, vivieron
entonces una época de esplendor.
Estos mosaicos se denominan monoédricos pues son generados por una única
tesela o baldosa.
Existen muchos videos para ver estas construcciones, te envío algunos en los
archivos adjuntos.
Investiga sobre los mosaicos de la Alhambra.
Ahora siguen unos pocos mosaicos para que mientras colorees observes
propiedades.
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Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes
tengan colores diferentes.
Determina ¿cuáles son los movimientos en el plano se realiza con las
teselas,como por ejemplo, traslaciones, rotaciones, simetrías, etc.?
¿Ya descubriste la cantidad mínima de colores para pintar cualquier mosaico
tal que dos baldosas con bordes comunes tengan distinos colores?
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Completa el cubrimiento (puedes hacer un molde en cartulina/ cartón o
traspasar con una hoja traslúcida) y píntalo con diferentes tonos.
Este dibujo se llama el HUESO y se construye a partir del cuadrado.
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Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes
tengan colores diferentes.
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Gracias al triángulo, el cuadrado y el hexágono, se han creado mosaicos
maravillosos.
A observar y crear tus propios mosaicos, los posibles diseños
son infinitos. …
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