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Octubre de 2014 MALDITA MATEMÁTICA MOSAICOS Prof. Miryam J.Mazzitelli MOSAICOS Octubre 2014 LA GEOMETRÍA HABILIDADES que desarrolla el estudio de la geometría En la sociedad actual donde predomina lo visual, la imagen está al orden del día. Ésta asociada a un dibujo es la puerta de entrada a la geometría. Sabemos que las imágenes más bellas y armoniosas tienen un fuerte ingrediente geométrico1. En la Academia, la escuela filosófica de Platón, decía” Nadie entre aquí que no sepa geometría”. Así era el valor de su estudio, que tuvo, en principio sólo un sentido práctico, ya desde los griegos en adelante fue tronándose en un sentido más abstracto. Para los griegos la geometría era un conjunto de verdades que no dependían de los hombres, ni de los Dioses. Era la verdad. Este estudio tenía una especial implicación en el desarrollo intelectual de los individuos. Si una persona de dedicaba al estudio de la misma, ya no era el mismo. Su espíritu se elevaba a la perfección, ya que se encontraría con la verdad. Lo que sabemos es que brinda una forma de pensar distinta. Este estudio permite comenzando desde lo empírico, elevarse a la total abstracción. O sea su estudio puede comenzar realizando dibujos o trazos, para llegar al ideal del objeto geométrico. Pasar del dibujo a la idea no es tarea sencilla. No podemos desaprovechar la posibilidad de conocer la geometría. Debemos permitirnos aprender, disfrutar, equivocarnos e investigar preguntar y así seguir aprendiendo. Ser modelos de personas aprendiendo, aprendices y maestros, en cada momento. El estudiar geometría desarrolla muchas habilidades, de las cuales, en mi opinión las más importantes son de razonamiento, de comunicación, visuales y ubicación. Recordemos las habilidades, que según Ana Bressan2, desarrolla el estudio de la geometría: Habilidades de razonamiento lógico Habilidades visuales Habilidades de ubicación Habilidades de dibujo y construcción Habilidades de comunicación 1 Invitación a la Didáctica de la Geometría 2 Enseñar Geometría . Redescubrir una tarea posible. A. M. Bressan y otros. C. Alsina y otros Ed. Síntesis 1995 Cap. 4 pág. 60 2 MOSAICOS Octubre 2014 Habilidades de aplicación No todas las actividades geométricas desarrollan todas las habilidades. Por ejemplo construir un cubo con sorbetes, proporciona habilidades de razonamiento, visual y construcción. Hay que deducir cantidad de aristas, cantidad de vértices a unir, sentido de la construcción, cuál es la forma de un cubo, cuáles son las figuras que componen sus caras, y por dónde empezar la construcción. Es una serie de toma de decisiones, tal que si en una erramos, la construcción no será posible. La capacidad de razonar no se da en el vacío depende de los contenidos que se disponen. La capacidad de razonar está íntimamente ligada a los contenidos que traemos. Todas las personas traen contenidos anteriores y experiencias que podemos vivificar para que con este contenido comencemos a realizar nuestro trabajo deductivo y reproducir el quehacer matemático3. Los docentes re-contextualizan, personalizan los contenidos, dándoles sentido. Así podremos acercarnos al trabajo científico como una manera de pensar que no es común fuera de la escuela4. Los conceptos e ideas matemáticas llegan a nosotros después de mucho trabajo de descontextualización y atemporales, por lo no sabemos cuál fue el problema, cuándo, como, y menos por qué resultó necesario e importante rescatar una situación para resolverla y cuál fue el camino para descubrir el concepto. El verdadero interés está en el descubrimiento. El estudio debe transformarse en una micro sociedad científica, donde todos, en diferente grado, puedan explicar, probar y demostrar sus conjeturas. Desde ya queda claro que nos interesan los procedimientos. La geometría va asociado con el arte de saber mirar y ver5. El saber ver y el saber interpretar no son sinónimos y ni tampoco son instantáneos, y debe haber un proceso de aprendizaje para tales habilidades. Según Claudi Alsina…la observación libre debe ser seguida por la observación provocada y de la actuación del alumno. 3 Marco General Para la Educación Primaria Pág 40 4 Marco General para la Educación Primaria pág 38 5 Claudi Alsina La Geometría 3 MOSAICOS Octubre 2014 MOSAICOS Todas las civilizaciones desarrollaron distintos tipos de arquitectura dependiendo de su entorno y creencias. Funcionalidad, dinamismo, belleza y armonía son algunas de las bases del diseño de las ciudades. No faltaron decoraciones y ornamentos en ninguna, especialmente basado en la simetría de las formas y en la repetición de un diseño base. Puedes hallar mosaicos especialmente en lugares de mayor belleza y armonía de formas y colores. Catedral de Salta ( Argentina) Empieza a ver y mirar tu entorno. Observa los templos, monumentos de tu ciudad, revestimientos de pisos y estructuras y formas armónicas. Simetrías, ritmos, formas que cumplen algún patrón de regularidad. Todas las culturas han utilizado mosaicos para recubrir suelos y paredes como forma de expresión artística: tapices, alfombras, bordados,... de épocas y países diferentes. Pisos, jarrones, utensilios, paredes, techos, todos con decoraciones realizadas con figuras geométricas buscando armonía, simetrías y belleza en la combinación de colores. Puedes observar en la cultura diaguita estos diseños geométricos simples. Guardas con motivos repetitivos, donde los triángulos son la figura base. Reproduce cada diseño a su lado, utilizando la regla y colores variados 4 MOSAICOS Octubre 2014 Algunas más… Definamos: Se denomina mosaico a un recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas sin dejar huecos y sin solapamiento. En otro lenguaje, formar un mosaico es embaldosar una superficie plana y las teselas son las baldosas a utilizar. Con esta definición el número de mosaicos es ilimitado. En Matemáticas se estudian fundamentalmente mosaicos cuyas teselas sean polígonos y además se impone otra condición: los polígonos utilizados han de compartir sus aristas, dicho de otro forma, coincidir sus vértices 5 MOSAICOS Octubre 2014 Practica copiando teselados sencillos Vamos a descubrir el armado de teselados, empezamos con mosaicos regulares. 6 MOSAICOS Octubre 2014 Mosaicos regulares. OBJETIVO: Investigar los posibles teselados que se pueden realizar empleando polígonos convexos regulares de un solo tipo. 1) CONSTRUCCIÓN DE UN TESELADO a) A partir de una figura de base, construye un teselado (no consideres los bordes), o sea con figuras poligonales regulares divide la superficie. b) Utiliza los polígonos del adjunto 1 como plantilla para a construir el teselado. Puedes utilizar algún programa de la PC para dibujar, o bien recortar una plantilla y dibujar. c) Realiza distintos ensayos 2) POLÍGONOS REGULARES QUE PERMITEN TESELAR d) ¿Cuáles fueron los polígonos que permitieron hacer el teselado? e) ¿Qué condición debe cumplir un polígono regular para que permite realizar el cubrimiento? f) Investiga si esta situación depende de la longitud de los lados o de la amplitud de los ángulos. 3) ANGULOS DE POLÍGONOS REGULARES g) Averigua la amplitud total de los ángulos de los polígonos (recuerda que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º). h) Busca una expresión que pueda utilizarse para averiguar cada uno los ángulos de un polígono regular cualquiera. Aquí comienza la investigación sobre ángulos de polígonos, puedes participar en la deducción o sólo buscar la fórmula (página 6) 7 MOSAICOS Octubre 2014 ÁNGULOS DE POLÍGONOS Observemos cómo se puede deducir la amplitud de la suma de los ángulos de un polígono y también conocer cada ángulo, obviamente estamos considerado un polígono regular, ya que todos sus ángulos son iguales. Nombre del polígono Número de Número Número diagonales de de lados por un triángulos vértice 3 0 1 Amplitud de un ángulo interior del polígono Suma de los ángulos del polígono 60° 180°=180° x1 Amplitud de un ángulo interior del polígono Suma de los ángulos del polígono 90° 360°=180°x2 Y ahora veamos otros, completa: Nombre del polígono Número de Número Número diagonales de de lados por un triángulos vértice Y ahora ¿cómo se sigue? Considero que hay una trampita, para conocer un ángulo interior del polígono suelo averiguar el total de la suma y dividirla por la cantidad de lados. 8 MOSAICOS Nombre del polígono Número de Número diagonales Número de de lados triángulos por un vértice 5 Amplitud de un ángulo interior 2 Octubre 2014 Suma de los ángulos 540°=180°x3 3 7 8 135° 1080°=180°x6= =180°(8-2) 9 9 MOSAICOS Octubre 2014 Ahora ¿cómo llegamos al mecanismo, o fórmula, para conocer la suma de todos los ángulos y de la amplitud de un ángulo interior de un polígono regular cualquiera? Pensemos que el siguiente polígono tiene n lados ( n = número natural cualquiera). Observa cómo se sucedieron la cantidad de diagonales en cada vértice. ¿Existe algún patrón? ¿Y para la cantidad de triángulos que se forman? Lados Número de diagonales Número de triángulos 3 0 4 1 5 2 6 3 Completa las casillas grises 1 2 3 4 en función de n (piensa n como un número cualquiera) n Ahora completamos la última fila donde obtenemos las fórmulas para resolver estos datos en un polígono cualquiera. Nombre del polígono Polígono de n lados Número de lados n Número de diagonales Número de por un triángulos vértice Amplitud de un ángulo interior Suma de los ángulos n-3 Existe una regularidad entre los lados, la cantidad de diagonales, triángulos interiores y por supuesto la suma de los ángulos interiores depende de los anteriores. Para escribir la regularidad que consiste nada más y nada menos de una fórmula utilizamos letras en lugar de números de ahí que utilicemos la letra n. Bien, ya hemos descubierto la forma de hallar la amplitud de un ángulo interior de un polígono regular. Entonces: Amplitud de un ángulo interior de un polígono regular= 10 MOSAICOS Octubre 2014 Ahora con esta información ¿Seguimos? Vamos a investigar si podemos confirmar el por qué sólo estas tres figuras regulares hacen posible la construcción de un mosaico regular. Veamos una forma de justificar (analíticamente) que sólo puedes teselar un superficie sólo con las figuras que hayas elegido ¿Existirán otros polígonos regulares que permitan teselar el plano? Observemos que un giro, o sea un ángulo de 360°, debe ser dividido exactamente por el ángulo del polígono regular, esto es: 360 enteros 180.(n 2) n Entonces, simplificando y operando, obtenemos 2n n2 Entonces (aplicando una trampilla…ya que si resto 2 no altero la cuestión y simplifico el resultado) 2n 2n 2n 2.(n 2) 2 n2 n2 n2 11 MOSAICOS Octubre 2014 ahora 2n 2n 2n 2.(n 2) 4 2 n2 n2 n2 n2 Común denominador Luego Distribuir y cancelar 4 enteros n2 Necesitamos que n-2 divida exactamente al número cuatro. ¿Cuáles son los divisores del número cuatro? ………………… Y finalmente resulta lo más interesante y que habíamos comprobado en la práctica que: Sólo el triángulo, el cuadrado y el hexágono, todos regulares, son los que teselan el plano. 12 MOSAICOS Octubre 2014 Mosaicos semi-regulares. Los mosaicos semi-regulares son aquellos que se forman utilizando polígonos regulares de igual medida de lado, pero de más de un tipo respecto al número de lados. La condición que se impone es que todos los vértices sean equivalentes teniendo en cuenta los polígonos que confluyen en cada uno de ellos. OBJETIVO: Teselar una superficie con polígonos de distintas cantidad de lados de igual longitud. a) Utiliza los polígonos del adjunto 2 como plantilla para diseñar un mosaico semi-regular. b) Existen 8 soluciones posibles, ¿Cuántas lograrás? c) Dibuja las combinaciones que hayas encontrado. Resultan 13 MOSAICOS Octubre 2014 Vamos a ver cómo podemos justificar esto. La suma de los ángulos de los diferentes polígonos que concurren en un vértice es 360°. Llamaremos n1, n2, etc. , a la cantidad de lados de cada polígono. Así entonces la amplitud del ángulo del polígono de n1, será: 180.(n1 2) n1 2 .180 sumando las amplitudes de los ángulos interiores n1 n1 de los k polígonos que confluyen en un vértice resulta: Sacando factor común 180°, y pasando de miembro, lo podremos simplificar con 360°, de allí se obtiene el número 2. Luego, sumamos los unos que resultan ser k, y las fracciones, finalmente el factor común dos de las fracciones y con algunos pasajes se obtiene. Con las n1, la cantidad de lados del polígono regular uno, n 2 la cantidad de lados del polígono regular dos, etc. Entonces si k = 6 ( Seis polígonos concurren en un vértice) 14 MOSAICOS Octubre 2014 Si K=5 Con K=4 Con K=3 Aquí van los ocho modelos. 4,6,12 4,8,8 = 4,82 3,12,12 = 3,122 3,6,3,6, 3,4,6,4 3,3,3,3,6 = 34,6 3,3,4,3,4 = 32,4,3,4 3,3,3,4,4 = 33,42 Existen otros, pero al intentar expandirlos en el plano, aparecen vértices de más de un tipo. 15 MOSAICOS Octubre 2014 Mosaicos no uniformes. Existen otras combinaciones de polígonos, pero al expandirlos suele haber huecos, son mosaicos semi-regulares pero no uniformes. Solamente hay 7 mosaicos de este tipo. 5,5,10 4,5,20 3,7,42 3,8,24 3,9,18 3,10,15 3,3,4,12 3,4,3,12 En las dos imágenes de la izquierda, en cada vértice concurren los mismos polígonos, en diferente orden. 16 MOSAICOS Octubre 2014 Mosaicos semi-regulares. Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan colores diferentes 17 MOSAICOS Octubre 2014 Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan colores diferentes 18 MOSAICOS Octubre 2014 A copiar otros teselados 19 MOSAICOS Octubre 2014 IMITANDO A ESCHER Maurits Cornelis Escher (1898-1972), nacido en Leewarden, muy conocido por sus famosas figuras imposibles se planteó el problema de recubrir el plano con un mismo motivo. Este holandés abandonó pronto los estudios de arquitectura para especializarse en las técnicas gráficas, y convertirse más en geómetra ya que disfrutaba de estos diseños basados íntimamente con la geometría. Probablemente sus viajes a Granada fueron una buena fuente de inspiración, de hecho su técnica es muy similar a la utilizada en los mosaicos de la Alhambra. Mosaicos Originales Objetivo: Teselar una superficie con baldosas originales. 1) A partir de un polígono regular construye una baldosa novedosa. Para esto: a) Elije un polígono regular: triángulo, cuadrado o hexágono. b) Diseña un recorte, realízalo y pega lo recortado en otro sector para armar un molde (en cartón o por calcado), o utiliza algún programa en PC si te resulta práctico 20 MOSAICOS Octubre 2014 Va un ejemplo: c) Verifica (mediante traslaciones, giros, etc.) que sirve para teselar la superficie. Inspírate con los adjuntos 2) Arma el mosaico a) Realiza el teselado recortando las teselas en hojas de colores. (Atención con el borde). b) Pega las baldosas armando el mosaico. Fotografíalos y envíalos al blog. Otro ejemplo de Escher: Tendrás muchas ideas viendo: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm 21 MOSAICOS Octubre 2014 DISEÑOS DE ESCHER Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan colores diferentes. Averigua la cantidad mínima de colores que debes utilizar para cumplir con la consigna. 22 MOSAICOS Octubre 2014 Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan colores diferentes ¿Cuál es la cantidad mínima de colores necesarios para cumplir con la consigna? 23 MOSAICOS Octubre 2014 MOSAICOS NAZARÍES: EL HUESO Los artistas islámicos tenían grandes conocimientos de geometría, ellos hicieron posibles los denominados polígonos nazaríes. Estos son, entre otros: el hueso, el pétalo, el huso y la pajarita. La dinastía nazarí, descendiente de Yusuf ben Nazar, reinó en Granada desde el siglo XIII al XV. Granada en general, y La Alhambra, en particular, vivieron entonces una época de esplendor. Estos mosaicos se denominan monoédricos pues son generados por una única tesela o baldosa. Existen muchos videos para ver estas construcciones, te envío algunos en los archivos adjuntos. Investiga sobre los mosaicos de la Alhambra. Ahora siguen unos pocos mosaicos para que mientras colorees observes propiedades. 24 MOSAICOS Octubre 2014 Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan colores diferentes. Determina ¿cuáles son los movimientos en el plano se realiza con las teselas,como por ejemplo, traslaciones, rotaciones, simetrías, etc.? ¿Ya descubriste la cantidad mínima de colores para pintar cualquier mosaico tal que dos baldosas con bordes comunes tengan distinos colores? 25 MOSAICOS Octubre 2014 Completa el cubrimiento (puedes hacer un molde en cartulina/ cartón o traspasar con una hoja traslúcida) y píntalo con diferentes tonos. Este dibujo se llama el HUESO y se construye a partir del cuadrado. 26 MOSAICOS Octubre 2014 Colorea este mosaico de manera que las teselas que comparten bordes tengan colores diferentes. 27 MOSAICOS Octubre 2014 Gracias al triángulo, el cuadrado y el hexágono, se han creado mosaicos maravillosos. A observar y crear tus propios mosaicos, los posibles diseños son infinitos. … 28