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EJERCITO NACIONAL
LICEOS DEL EJÉRCITO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ÁREA:
MATEMÁTICAS
ASIGNATURA:
ÁLGEBRA
NOMBRE DE LA UNIDAD:
FACTORIZACION
CURSO:
OCTAVO
___
FECHA
RECIBIDA
2009
FECHA DE
ENTREGA
2009
CLASE DE GUÍA:
Recuperación segundo
periodo
NOMBRE DEL DOCENTE:
MOTIVACIÓN: La matemática es dueña de todo un sistema de signos y símbolos que vienen
a ser lenguaje a través del cual se da a conocer.
NOMBRE DEL ESTUDIANTE:
COMPETENCIAS A ALCANZAR:
El estudiante identifica elementos que permiten distinguir diversos casos de factorización.
LOGROS E INDICADORES DE LOGRO:
1. IDENTIFICARÁ Y DARÁ SOLUCIÓN A LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN,
DIFERENCIANDO CADA UNO DE ELLOS DE ACUERDO A LAS NECESIDADES DE
LA SITUACIÓN
1.1. Factoriza un polinomio que tiene factor común
1.2. Maneja el algoritmo de solución de los diferentes casos de factorización
reconociendo sus variables.
1.3. Establece relación entre los diferentes casos de factorización
1.4. Resuelve ejercicios en los cuales es necesario el uso de la diferencia de cuadrados y
cubos.
2.
Muestra interés en el área con la entrega puntual de tareas.
DESARROLLO TEORICO
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Para factorizar polinomios hay varios métodos:
Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto
de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
y .a  x.a  )y  x (.a
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión a.x  a. y , basta aplicar la propiedad
distributiva y decir que
a.x  a. y  a.( x  y )
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes
con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por
2
3
ejemplo, si nos piden factorizar la expresión 36 x  12 x  18 x , será
36 x 2  12 x 3  18x  6 x(6 x  2 x 2  3)
donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la
multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad,
y nos tiene que dar la parte izquierda.
FACTOR COMÚN MONOMIO
ab + ac + ad
=
a(b+c+d)
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.
1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.
2) Se divide cada parte el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.
Ejemplos:
1): Factorizar x7 + x3
2): Factorizar a9 + 7a
M.C.D. (1, 1) = 1
M.C.D. (1, 7) = 1
Variable común con su menor
exponente: x3
Variable común con su menor
exponente: a
Factor común monomio: x3
Factor común monomio: a
Luego se divide
x7 + x3
--------- = x4 + 1
x3
Entonces: x7+ x3 = x3(x4 + 1)
3): Factorizar 4a10 + 8a3
M.C.D. (4, 8) = 4
Variable común con su menor exponente: a3
Factor común monomio: 4a3
Luego se divide
4a10 + 8a3
------------ = a7 + 2
4a3
Entonces: 4a10 + 8a3 = 4a3(a7 + 2)
Luego se divide
a9 + 7a
--------- = a8 + 7
a
Entonces: a9 + 7a = a(a8 + 7)
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
ax + bx + ay + by
= (a + b )( x + y )
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio.
Procedimiento para factorizar
1) Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común
monomio y como consecuencia un factor común polinomio.
2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a
ser el segundo factor.
Ejemplos:
1): Factorizar ax + bx + aw + bw
Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)
Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)
Factor común polinomio: (a + b)
Luego se divide
x(a + b) + w(a + b)
----------------------(a + b)
=x+w
Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)
2): Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y
Agrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )
Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)
Factor común polinomio: (x - 2y)
Luego se divide
2x(x - 2y) + 4(x - 2y)
-------------------------(x - 2y)
= 2x + 4
Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)
DIFERENCIA DE CUADRADOS
( a2 - b) = (a + b)(a - b)
En una diferencia de dos cuadrados perfectos.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.
2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de
ellas.
La raíz cuadrada de : 121a2b4c8 es
11ab2c4
Ejemplos:
1) Factorizar 25x2 - 1
La raíz cuadrada de : 25x2 es 5x
La raíz cuadrada de : 1 es 1
La raíz cuadrada de : 144d10e14 es
12d5e7
Luego 121a2b4c8 - 144d10e14 =
(11ab2c4 + 12d5e7)(11ab2c4 - 12d5e7)
x2
9y2n
4) Factorizar --- - ----- =
49 64
Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)
La raíz cuadrada de :
x2
-49
La raíz cuadrada de :
9y2n
-----64
2) Factorizar 16x2 - 36y4
La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x
La raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2
Luego 6x2-36y4 =(4x+6y2)(4x- 6y2)
3) Factorizar 121a2b4c8 - 144d10e14
x2 9y2n x
--- - ----- = (-- +
49 64
7
es
x
7
3yn
es 8
3yn x 3yn
-----) (-- - - --- )
8
7
8
SUMA DE CUBOS PERFECTOS
a3 + b3
= (a + b)(a2 - ab + b2)
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
2) Se forma un producto de dos factores.
3) Los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del
binomio.
4) Los factores trinomios se determinan así:
El cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado
de la segunda raíz.
Ejemplo 1: Factorizar x3 + 1
La raíz cúbica de : x3 es x
La raíz cúbica de : 1 es 1
Según procedimiento x3 + 1 = (x + 1)[(x)2 - (x)(1) + (1)2]
Luego x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1)
Ejemplo 2: Factorizar 8x3 + 64
La raíz cúbica de : 8x3 es 2x
La raíz cúbica de : 64 es 4
Según procedimiento
8x3 + 64 =
(2x + 4)[(2x)2 - (2x)(4) + (4)2]
Luego 8x3 + 64 = (2x + 4)(4x2 - 8x + 16)
Ejemplo 3: Factorizar 1000x6y3 + 125z12w15
La raíz cúbica de : 1000x6y3 es 10x2y
La raíz cúbica de : 125z12w15 es 5z4w5
Según procedimiento
1000x6y3 + 125z12w15 =(10x2y + 5z4w5)
2 2
2
4 5
4 5 2
[(10x y) - (10x y) (5z w ) + (5z w ) ]
Luego 1000x6y3 + 125z12w15 = (10x2y + 5z4w5)(100x4y2 - 50x2yz4w5 + 25z8w10)
DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
a3 - b3
= (a - b)(a2 + ab + b2 )
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
2) Se forma un producto de dos factores.
3) Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del
binomio.
4) Los factores trinomios se determinan así:
El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado
de la segunda raíz.
Ejemplo 1: Factorizar y3 - 27
La raíz cúbica de : y3 es y
La raíz cúbica de : 27 es 3
Según procedimiento y3 - 27 = (y - 3)[(y)2 + (y)(3) + (3)2]
Luego y3 - 27 = (y - 3)(y2 + 3y + 9)
Ejemplo 2: Factorizar 125x3 - 1000
La raíz cúbica de : 125x3 es 5x
La raíz cúbica de : 1000 es 10
Según procedimiento 125x3 - 1000 = (5x - 10)[(5x)2 + (5x)(10) + (10)2]
Luego 125x3 - 1000 = (5x - 10)(25x2 + 50x + 100)
Ejemplo 3: Factorizar 216x9y12z15 - 343m30w18a
La raíz cúbica de : 216x9y12z15 es 6x3y4z5
La raíz cúbica de : 343m30w18a es 7m10w6a
Según procedimiento:
216x9y12z15 - 343m30w18a = (6x3y4z5 - 7m10w6a)[(6x3y4z5)2 + (6x3y4z5)(7m10w6a) +
(7m10w6a)2]
Luego 216x9y12z15 - 343m30w18a = (6x3y4z5 - 7m10w6a)(36x6y8z10 + 42x3y4z5m10w6a +
49m20w12a)
TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS
a2 + 2ab + b2
= (a + b) 2
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
1) Un trinomio ordenado con relación a una letra
2) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos
3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
2) Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces;
entonces (a + b)(a + b).
3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.
Si el ejercicio fuera así:
a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2
a
b
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
2) Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces;
entonces (a - b)(a - b).
3) Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.
Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25
La raíz cúbica de : 100 es 10
La raíz cuadrada de : x2 es x
El doble producto de las raíces:
2(9z)(10) es 180z
La raíz cuadrada de : 25 es 5
El doble producto de las raíces: 2(x)(5)
es 10x
Luego x2 + 10x + 25
= (x + 5)2
Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1
La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y
La raíz cuadrada de : 1 es 1
El doble producto de las raíces:
2(7y)(1) es 14y
Luego 49y2 + 14y + 1
= (7y + 1)2
Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100
La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z
Luego 81z2 - 180z + 100
10)2
= (9z -
4a8
32a4b
Ejemplo 4:
Factorizar --- -----49
7
4a8 2a4
La raíz cuadrada de : -- es -49
7
+
64b2
La raíz cuadrada de : 64b2 es 8b
El doble producto de las raíces: 2(2a4 / 7)(8b) es 32a4b / 7
4a8 32a4b
2a4
2
Luego: Factorizar --- - ------- + 64b =( --- - 8b )2
49
7
7
TRINOMIOS DE LA FORMA
x 2  bx n  c
X2
+ b x + c = (x + d)(x + e)
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada del 1er. término; aquí, x.
2) Dos números d, e, tales que multiplicados den "c".
3) Sumados resulten "b" (d + e = b).
Ejemplo 1: Factorizar
x2 + 6x + 8
Luego x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) porque 4 x 2 = 8 y 4 + 2 = 6
Ejemplo 2: Factorizar
Luego y2 - 13y + 40
y2 - 13y
+ 40
= (y - 8)(y - 5) porque 8 x 5 = 40 y - 8 + - 5 = - 13
Ejemplo 3: Factorizar x2 - 2x - 15
Luego x2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) porque 5 x 3 = 15 y - 5 + 3 = - 2
Ejemplo 4 Factorizar
x2 + 9x – 52
Luego x2 + 9x - 52 = (x + 13)(x - 4) porque 13 x 4 = 52 y 13 + - 4 = 9
Ejemplo 5:Factorizar z2 - z - 272
= (z - 17)(z + 16)
Nota: para encontrar mas fácilmente los números descomponemos 272 en sus
factores primos
Luego z2 - z - 272 = (z - 17)(z + 16)

Buscar dos enteros m y n que cumplan m x n =a x c ; m+n = b

Reemplazar en el trinomio b por m + n

Factorizar por agrupación de términos
Ejemplo: Factorizar el trinomio 3x 2  19 x  20

Dos enteros tales que m + n = -19 y m . n = 20 .3 =60
Tales enteros son m = -15 , n = - 4

Se reemplaza – 19 por (- 15 – 4) en el trinomio
3 x 2  (15  4) x  20  3 x 2  15 x  4 x  20
agrupando (3 x 2  15 x)  (4 x  20)
Factorizando3 x( x  5)  4( x  5)
Finalmente( x  5)(3 x  4)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Factoriza los siguientes polinomios por agrupación de términos
cx  cy  dx  dy
a) a 2  3a  2a  6
f)
b) ax  ay  bx  by
g) 2 z 3  4 z 2  5 z  10
c) 10m 2  12mn  25mn  30n 2
h) 5a 3  15a 2  10a  30
i)
(6b  1)(b  4)  (6b  1)( 2b  5)
d) 8 y  4 y  20 y  10
2
e)
2.
y (b  2)  5(b  2)
Ordena y factoriza los trinomios cuadrados perfectos
a)
y4  6y2  9
f)
 12b 2  36  b 4
b) 36 p 2 q 2  12 pq  1
g) 24 w 2  16 w 4  9
c) 2 pq  p 2  q 2
h)  20 xy  25 y 2  4 x 2
d) 10 x 2 y 2  25 x 4  y 2
i)
24 xy  9 x 2 y 2  16
e)  14 z 3  49  z 6
j)
14 z 2  z 4  49
3. Factoriza los trinomios que tienen la forma ax 2  bx  c
a) 3b 2 c 2  bc  2
g) 12 z 2  17 z  5
b) 2 y 6  9 y 3  5
h) x 2  13 x  40
c) 2 x 2 y 2  9 xy  11
i)
a 4  6a 2  27
d) 6a 4  5a 2  25
j)
14b 2  3b  5
e) 2 x 2 y 6  3xy5  9 y 4
k) 3 y 2  21y  30
f)
7 a 4  9a 2  2
4. Factorizar los siguientes binomios
a) x 3  27
h) 121  49 x 2
b) a 4  4b 4
i)
( x  1) 3  1
c) x 3  64
j)
x6  y9
d) 49  64 x 2 y 2
k) a 3  125
e) 25 x 4  81
l)
f)
x 2 y 2  121c 2
w 6  216
g) p 3  27q 3
5. Factorizar hasta donde sea posible las siguientes expresiones algebraica
(recuerde el factor común)
a)
y6 1
b) x 5  16 x
c)
y  y3
h) 12 x 3 y 2  4 x 2 y 2  40 xy 2
i)
4 y 4  36 x 6
j)
6r 2 s 2  rs  1
d) x 4  81
k) 6 x 4 y  15 x 3 y  9 x 2 y
e) 2 x 6  16 y 3
l)
f)
3x 6  3x 5  12 x 5  12 x 4
g) 6 x 2  36 xy  54 y 2
24 x 2  34 x  12
INSTRUCCIONES PARA EL DESARROLLO DE LA GUÍA
1.
La guía se debe realizar en hojas cuadriculadas tamaño oficio. Debe copiar el
enunciado de los ejercicios. No inserte esta guía. No haga recortes para después pegar
en el desarrollo.
2.
Lea muy bien la guía, el marco conceptual y los ejercicios resueltos. Con base a ellos
resuelva los ejercicios propuestos. Puede también consultar en los apuntes los
ejercicios realizados durante el periodo y los ejemplos de clase.
BIBLIOGRAFÍA
DÍAZ,Farberth Alberto,Centeno R.Gustavo. Nuevo Pensamiento Matemático
8.Libros y libros .2004
BAUTISTA Ballen Mauricio, Salgado Ramírez Diana. Álgebra y Geometría I.
Santillana.Bogotá 2004
ALLEN R Angel. Álgebra Intermedia .Prentice Hall.
LEITHOLD, Luis.: Matemáticas previas al cálculo, Harla S.A., México, 1989.
SPIEGEL, Murray. R.: Álgebra superior, McGraw-Hill, México, 1969