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2º BACHILLERATO FÍSICA TEMA 1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Santiago Sánchez García 2º BACHILLERATO TEMA 1 1.1. FÍSICA MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Características más importantes del movimiento armónico simple (MAS). 1.1.1. Ejemplos de movimientos armónicos simples. Vamos a comenzar indicando algunos movimientos armónicos simples que se dan en la naturaleza: a) Si desplazamos un cuerpo que pende de un muelle de su posición de equilibrio, el cuerpo adquiere un MAS. b) Si desplazamos un cuerpo que pende de un hilo de su posición de equilibrio, el cuerpo adquiere un MAS. c) Si insertamos una lámina metálica, por un extremo, en una ranura y desplazamos el otro extremo de la posición de equilibrio, las partículas que están en dicho extremo adquieren un MAS. 2 d) El movimiento de los átomos que constituyen un cristal, es un MAS de los mismos alrededor de su posición de equilibrio. No obstante, debemos hacer notar que todos estos movimientos son movimientos armónicos amortiguados ( acaban parándose), pero si suponemos un intervalo de tiempo suficientemente pequeño los podemos suponer MAS. 1.1.2. Características de este movimiento Las características más importantes de este movimiento son las siguientes: a) Los cuerpos animados de este movimiento describen una trayectoria rectilínea. b) Los cuerpos con MAS pasan periódicamente por las mismas posiciones. Es un movimiento periódico. c) La velocidad y la aceleración también varía periódicamente en los cuerpos con MAS. 1.2. Magnitudes que intervienen en el MAS 3 Para el estudio de este movimiento tenemos que introducir una serie de conceptos y magnitudes que no hemos estudiado hasta ahora: a) Oscilación, vibración o ciclo. Es el recorrido que realiza un cuerpo con MAS para volver a la posición inicial viajando en el mismo sentido. b) Periodo ( T ). Es el tiempo que tarda un cuerpo con MAS en realizar una oscilación completa. Su unidad en el SI es el segundo. c) Frecuencia ( f ). Es el número de oscilaciones que realiza un cuerpo con MAS en un segundo. Su unidad en el SI es el hercio (Hz) o ciclos/s o s-1. La frecuencia es la inversa del periodo ( por la propia definición ), luego: 1 f= T d) Elongación ( x ). Es la distancia a la que se encuentra un cuerpo con MAS de su posición inicial. Su unidad en el SI en el metro. e) Amplitud ( A ). Es la máxima elongación que alcanza un cuerpo con MAS en su movimiento. Su unidad en el SI es el metro. f) Pulsación o frecuencia angular ( ). Es el número de periodos comprendidos en 2 unidades de tiempo. Luego: ω= 2 =2πf T Su unidad en el SI de unidades es el rad/s. 1.3. Ecuación del movimiento armónico simple 1.3.1. Ecuación Vamos a deducir la ecuación del movimiento armónico simple a partir de un movimiento armónico simple particular. Se trata del movimiento de la proyección sobre el diámetro de una circunferencia de un movimiento circular uniforme con velocidad angular . El punto B es donde se comienza a medir el tiempo, por tanto, hay un ángulo inicial 0. Si transcurre un tiempo de t segundos, el móvil, que según la definición dada se mueve sobre la circunferencia con una velocidad angular constante, se encontrará en un punto tal como P y habrá recorrido un ángulo = t. 4 La ecuación que vamos a determinar es una expresión que nos dará la elongación x del punto H en cada instante, es decir, en función del tiempo t. En el triángulo OHP, x = OP sen 1. Como OP = radio = amplitud, tenemos x = A sen 1. El ángulo 1= 2 . A su vez : β2 = 180 – ( ω t + φ0 ) por consiguiente: x = A sen β1 tenemos: y como β1 = β2 = 180 – ( ω t + φ0 ) x = A sen ( 180 – ( ω t + φ0 ) ) luego: x = A sen ( ω t + φ0 ) La ecuación obtenida es la ecuación del MAS. 1.3.2. Fase del movimiento y fase inicial Al término ( ω t + φ0 ) Se le denomina fase del movimiento. 5 Al término 0 se le denomina fase inicial del movimiento. Si en el instante inicial del movimiento el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio 0 = 0. Si desplazamos el cuerpo de la posición de equilibrio y lo soltamos, empezando a computar el tiempo en ese instante, 0 = /2 rad ( ya que el punto que describe el MCU ha descrito un ángulo de /2 rad ). 1.4. Cálculo de la velocidad y de la aceleración Para obtener la velocidad se deriva la ecuación del movimiento: v= dx = 0 sen ( ω t + φ0 ) + A (ω cos ( ω t + φ0 ) ) = A ω cos ( ω t + φ0 ) dt La velocidad puede expresarse fácilmente en función de la elongación. Como: sen2 α + cos2 α = 1 Luego podemos poner: cos α = 1 sen 2 Y por tanto: v = A ω 1 sen 2 (t 0 ) = ω A2 A2 sen 2 (t 0 ) = A2 x 2 v = A2 x 2 Consecuencias: 1. La velocidad del movimiento armónico simple es función periódica del tiempo. 2. Su valor depende de la posición de la partícula. Tiene el valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos. Para obtener la ecuación de la aceleración derivamos la ecuación de la velocidad: a= dv = 0 cos ( ω t + φ0 ) + A ω ( - ω sen ( ω t + φ0 ) ) = - A ω2 sen ( ω t + φ0 ) dt Y como: x = A sen ( ω t + φ0 ) La expresión anterior se transforma en: a = - ω2 x 6 Consecuencias: 1. La aceleración también varía periódicamente. 2. Su valor es nulo en el centro y máximo en los extremos. 1.5. Dinámica del movimiento armónico simple Cualquier movimiento armónico simple está sometido a la acción de la fuerza: F = m a , pero como en este movimiento: a = - ω2 x , tenemos: F = - m ω2 x Como m y no varían, aparece una constante K ( K = m2 ), denominada constante elástica o recuperadora: F=-Kx Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir, se dirige siempre hacia el punto de equilibrio O, punto en el que se anula. A partir de la fórmula anterior podemos obtener la expresión del periodo de oscilación de un cuerpo sometido a una fuerza elástica. K = m ω2 ω= Luego: 4 2 K=m 2 T T=2π 2 T y por tanto: m K El periodo de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora y de su masa, pero no depende de la amplitud del movimiento. 1.6. Energía de un oscilador mecánico Una partícula que está sometida a un MAS recibe el nombre de oscilador mecánico. Se llama así porque posee energía cinética y potencial. 1.6.1. Energía cinética en un MAS 7 La expresión que nos da la energía cinética es: Ec = 1 m v2 2 Y teniendo en cuenta que la velocidad en un MAS es: A2 x 2 v= ω Si sustituimos, tenemos: Ec = 1 1 1 m v2 = m ω2 ( A2 – x2 ) = K ( A2 – x2 ) 2 2 2 Ec = 1 K ( A2 – x2 ) 2 Consecuencias: 1. La energía cinética es proporcional al cuadrado de la amplitud. 2. Su valor depende de la posición. Valor máximo en el centro de la trayectoria y nula en los puntos de máxima elongación. 3. Es periódica. 1.6.2. Energía potencial en un MAS La energía potencial es el trabajo que debemos hacer para deformar el resorte una distancia x venciendo la fuerza de recuperación elástica. Luego: Ep = x 0 Fdx = Ep = x 0 Kxdx = 1 K x2 2 1 K x2 2 Consecuencias: 1. La energía potencial es proporcional al cuadrado de la elongación. 2. Depende de la posición. Tiene su valor máximo en los extremos y nulo en el centro de la trayectoria. 3. Es periódica. 1.6.3. Energía mecánica 8 La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial. Luego: Em = Ec + Ep = 1 1 1 1 K A2 K x2 + K x2 = K A2 2 2 2 2 Em = 1 K A2 2 En el movimiento armónico simple la energía mecánica permanece constante y proporcional al cuadrado de la amplitud. 1.7. Periodo de oscilación de un péndulo simple Si suspendemos una pequeña partícula material de masa m de un hilo de longitud l , inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo de su posición de equilibrio, la partícula se comporta como un oscilador armónico. Este sistema recibe el nombre de péndulo simple. El periodo de oscilación ( T ) de un péndulo simple lo podemos determinar de la siguiente forma: Sen α = F P para ángulos pequeños sen α ≈ α ; Arco = ángulo x radio ; (1) por otro lado: luego x = α.l ; de donde: α = x l Si sustituimos en la ecuación (1) tenemos: 9 x F = l P ; mg l ; K= ω= Como 2 T ; tendremos: x Kx = l mg m ω2 = mg l g 4 2 = 2 l T Y despejando T tendremos: T = 2π l g Consecuencias: 1. El periodo de oscilación de un péndulo simple es independiente de su masa y de la amplitud de la oscilación. 2. El periodo solo depende de la longitud del hilo y del valor de la aceleración de la gravedad. ANEXO 1 Consultar la página de Internet: www.newton.cnice.mec.es/2bach/MAS/mas.html www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm 10