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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 9
PRÁCTICA 9 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica, aprenderemos cómo utilizar nuevos comandos de los menús [Acción]
e [Interactivo] de la Aplicación Principal y nuevos menús de la Aplicación Estadística
para resolver algunos problemas relacionados con Espacios Vectoriales Euclidianos con
ayuda de la calculadora ClassPad 300 PLUS.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado los temas relativos al
tópico Espacios Vectoriales con Producto Interior y haber resuelto la práctica 8.
9.1 Producto interior.
El intento de convertir un espacio vectorial en un espacio métrico y poder desarrollar sobre él una
geometría euclidiana, supone la capacidad de medir distancias entre puntos y calcular medidas
angulares. Esto puede lograrse introduciendo el concepto de producto interior entre dos vectores del
espacio vectorial. Estos espacios son llamados espacios euclidianos y su mayor fortaleza es la
posibilidad de establecer la ortogonalidad entre dos vectores, idea fundamental de la cual depende una
gran diversidad de métodos de solución, particularmente en los espacios de funciones.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERIOR
 
1. a  a  0
 
 
2. a  a  0  a  o
   
3. a  b  b  a
  
   
4. a  (b  c)  (a  b  a  c)

  
 
5. (a)  b  a  (b)  (a  b)
   
 
6. (a  b)2  (a  a)(b  b)
1.
PROPIEDADES DE LA NORMA
 

1. a  a  a

2. a  0

 
3. a  0  a  o


4. a   a

 

5. a  b  a  b
Operación con la ClassPad
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione
para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(3) En la barra de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(4) Toque el botón
para acceder directamente al administrador de variables. Toque main dos
veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.]
[Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación Principal.
2.
Considere el espacio vectorial real M2,2 de las matrices cuadradas de orden 2. Si
a11 a12 
b11 b12 
A
 y B  b
 son dos matrices en M2,2 , definimos sobre este espacio el
a
a
22 
 21
 21 b 22 
producto interior usual A  B  traza(trn(B)A)  a11b11  a12b12  a 21b21  a 22b22 .
Recuerde que la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal.
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Práctica 9
 1  2
a) Calcule el producto interior entre las matrices A  
 y B
3  1
ortogonales en M2,2 .
2 2
 1 1 y establezca que son


b) Calcule la norma de la matriz A y la norma de la matriz B.
Observe que el producto interior que se ha definido en M2,2 , es análogo al producto escalar de
vectores en R 4 . De modo que, si consideramos la matrices de las componentes de A y B respecto a la
base canónica de M2,2 y las tomamos como vectores columnas, el producto escalar entre éstas nos dará
 1
2 
 2 
   2 
el producto interior de las matrices A y B. Sean estos vectores a 
y b .
 3 
 1
 
 
  1
 1
(5) Active el teclado virtual 2D.


(6) Calcule el producto escalar entre los vectores a y b .

Como se puede apreciar (Figura 1), las matrices A y B son
ortogonales en M2,2 .
(7) Calcule la norma de la matriz A.
(8) Calcule la norma de la matriz B.

La norma de cualquier matriz puede calcularse con el comando
[norm] del menú secundario [Matriz – Calcular ►] de los menús
[Acción] e [Interactivo]. Esta norma, inducida por el producto interior
que se ha definido, se llama Norma de Frobenius.
(9) Utilice el comando [norm] del menú secundario [Matriz – Calcular ►]
para calcular la norma de la matriz A.

Figura 1
Observe que este resultado es el mismo que se obtuvo en el paso (7).
Figura 2
3.
a) ¿Son Ortogonales A y B en M2,2 ?, ¿por qué?
b) A 
B 
9.2 Proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt.
A partir de una familia F finita o infinita de vectores linealmente independientes que generan el
subespacio gen(F) en un espacio euclidiano E, puede construirse otra familia G de vectores ortogonales
tales que gen(F) = gen(G). Tal construcción se realiza por medio del proceso de ortogonalización de
Gram–Schmidt que se describe como sigue:
  
Sea F   x 1, x 2 , x 3 , una familia finita o infinita de vectores linealmente independientes en un
  
espacio euclidiano E. Entonces existe una familia de vectores ortogonales G   e1, e 2 , e 3 , en E tal que
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Práctica 9
 


 

para cada entero positivo k, gen(e1, e 2 ,, ek )  gen(x 1, x 2 ,, x k ) . Más aún, cada vector e k se
construye de acuerdo con el algoritmo recursivo:


e1  x 1 .

 
 
 


 x k  e1  
 xk  e2  
 x k  ek  1  
 ek  1 ; k  2,3,4,

ek  x k      e1      e 2     

 e1  e1 
 e2  e2 
 ek  1  ek  1 
4.
En el espacio vectorial real P2 (espacio de los polinomios de grado menor o igual 2) se
define el producto interno de dos polinomios p y q por p  q 
1
 1p(x)  q(x) dx . Utilice el proceso
de ortogonalización de Gram–Schmitd para construir una base ortogonal de P2 a partir de los
vectores de su base canónica: q1(x)  1 , q2 (x)  x y q 3 ( x )  x 2 .
Para el cálculo de integrales indefinidas o definidas debe usarse el comando de integración

del
menú secundario [Cálculo ►] de los menús [Acción] e [Interactivo]. En el caso del cálculo de la integral
definida de una función en una variable
b
a f (x)dx , la sintaxis de este comando es la siguiente:
 (función, var iable, a, b)
Una manera cómoda de calcular una integral definida, es usando la plantilla
del teclado virtual
2D. Basta registrar el integrando, los límites de integración y la variable de integración en el diferencial.
Esto nos permite registrar la integral de la misma manera como se escribe la misma con lápiz y papel.
Operación con la ClassPad
5.
(10) Active el teclado alfabético [abc] y toque

.
Para lo que sigue, alterne entre el teclado alfabético [abc] y el
teclado de plantillas 2D. Puede utilizar las teclas
teclas del teclado físico de la calculadora.
y demás
,
(11) Asigne cada una de los polinomios: 1, x , x 2 a las variables Q1, Q2, y Q3
respectivamente.
Figura 3
Al desarrollar el proceso de ortogonalización por pasos tenemos:
Paso 1: p1(x)  q1(x)  1 .
(12) Asigne la variable P1 al polinomio 1.
El segundo polinomio del conjunto ortogonal lo obtendremos en el siguiente paso:
 q p 
Paso 2: p 2 (x )  q2 (x )   2 1  p1(x )
 p1  p1 
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
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Práctica 9
Observe que el polinomio p 2 viene dado por:
 1



q
(
x
)

p
(
x
)
dx
2
1


 1

q2 (x )  
 p 1( x )
1


 p 1( x )  p 1( x ) dx 


 1



Utilizaremos el teclado 2D para registrar esta expresión.
(13) Con el teclado alfabético activo toque
.
(14) Active el teclado 2D y toque
.
(15) Con el cursor en el numerador toque
.
Figura 4
(16) Con el cursor en el denominador toque
.
(17) Registre en ambas integrales los límites de integración 1 y 1 .
(18) Con el teclado alfabético activo registre en la integral del numerador el
integrando tocando
.
(19) Ubique el cursor en recuadro de la diferencial y toque

.
Observe la Figura 4.
(20) Registre el integrando de la integral del denominador tocando
.
(21) Registre la variable del diferencial tocando
.
(22) Ubique el cursor a la derecha de la expresión editada y toque
(23) Finalmente toque

.
.
Se obtiene de este modo p2 (x)  x (Figura 5).
Figura 5
El tercer polinomio del conjunto ortogonal se obtiene en el siguiente paso:
q p 
q p
Paso 3: p 3 (x)  q 3 (x)   3 1 p 1(x)   3 2
p

p
 1 1
 p2  p2

p 2 (x) .

(24) Asigne la variable P2 al polinomio x .
(25) Calcule el polinomio p 3 siguiendo un procedimiento análogo al anterior
y registrando en el área de trabajo la expresión dada en el Paso 3.

Se obtendrá que p 3 (x)  x 2 
1
3
Figura 6
6.
Base Ortogonal:
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En el espacio de los polinomios P con el producto interno p  q 
sucesión ortogonal 1 , x , x 2 
Práctica 9
1
 1p(x)  q(x)dx
se obtiene la
6
3
1
3
, x3  x , x 4  x2 
, ... a partir de los polinomios linealmente
7
35
3
5
independientes 1 , x , x 2 , x 3 , x 4 , ... en P. Estos polinomios son llamados polinomios de Legendre y
son importantes en temas de ecuaciones diferenciales y análisis lineal.
Considere la siguiente familia de vectores de R 6 :
7.




x 1  (0, 0,  1,  1, 2, 2) x 2  (1, 1,  2,  2, 3, 3) x 3  (2, 2,  3,  3, 4, 4) x 4  (1,  1, 0, 0, 1, 1)
,
,
,
a) Encuentre una base B para el subespacio S generado por los cuatro vectores.
b) Utilice el proceso de ortogonalización de Gram – Schmitd para construir una base ortonormal
para el subespacio S a partir de los vectores de la base B. Tome como producto interior en
R 6 el producto escalar.
8.
a) Base B:
b) Base Ortonormal:
9.3 Complementos ortogonales.

Considere un subespacio vectorial S de un espacio euclidiano E . Un vector v en E es ortogonal al
subespacio S si es ortogonal a cada vector de S. El conjunto de todos los vectores en E que son
ortogonales a todos los vectores de S se llama complemento ortogonal de S en E y se denota por S  .

S  es también un subespacio vectorial de E y S  S    o  .
En Rn el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneas AX = O, se sabe que es un
subespacio de Rn y es, además, el complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores fila
de la matriz A. Por otra parte, el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales trn(A)X = O es el
complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores columna de A.
4 
2  1 3
0  3 7  2 
 y sean S el conjunto solución del sistema lineal
9.
Considere la matriz A  
1 1  2 3 


1 4  9 5 
AX = O y T el conjunto solución del sistema lineal trn(A)X = O. Determine bases para los cuatro
subespacios: S, S  , T y T  .
10.
Base de S:
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Práctica 9
Base de S  :
Base de T:
Base de T  :
11.
12.
Determine una base para el complemento ortogonal del subespacio S generado por los





vectores: a  (2,1,0,1,2) , b  (1,3,1,2,4) , c  (3,2,1,1,2) , d  (7,7,3,4,8) y e  (1,4,1,1,2) .
Base de S  :
9.4 Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio.
Si S es un subespacio vectorial de un espacio euclidiano E
 


de dimensión finita con base ortogonal w 1, w 2 , w 3 ,  , w m  y


v es cualquier vector de E, entonces existe un único vector w

  
en S y un único vector u en S  tales que v  w  u . El

vector w recibe el nombre de proyección ortogonal del vector


v sobre el subespacio S, y se denota por proy S v .
Por otra parte, este vector se calcula por la fórmula:
 
 

  v  w1  
 v  w2
w  proy S v   
  w 1   

 w1  w1 
 w2  w2
13.
Figura 7
 

 v  wm  
 w 2     
  w m

 wm  wm 
Considere el subespacio S de R4 cuya base es B  (1, 1, 0, 1), (2,  1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) y el

vector v  (0, 0, 1, 1) .
a) Construya una base ortogonal para S.

b) Determine proy S v .

c) Determine la distancia de v a S.
14.
a)
b)
c)
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15.
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Práctica 9
Considere el subespacio S  (a  b, b  c, a  b  2c, b  c) : a, b, c  R de R4. y el vector

v  (1, 2, 3, 4) .
a) Encuentre una base para S.
b) Construya una base ortogonal para S.

c) Determine proy S v .
16.
a)
b)
c)
9.5 El método de los mínimos cuadrados.
El método de los mínimos cuadrados proporciona un ejemplo de aplicación del problema de
encontrar, en un espacio euclidiano E, la distancia de un vector a un subespacio S. Este método se emplea
como modelo matemático para realizar predicciones a partir de datos recolectados en la vida cotidiana o
para estimar parámetros a partir de datos recogidos experimentalmente. El caso más sencillo, y del que se
deducen otros modelos, consiste en determinar la ecuación de una recta: y  ax  b a la que deberían
pertenecer todos los puntos de coordenadas (xi , yi ) para i  1, 2, 3, , n , obtenidos en algún proceso de
recolección de datos. Generalmente, por imprecisión de los instrumentos, los errores en los experimentos o
en la misma recolección de datos, se obtienen puntos que no están alineados. El problema es encontrar la
recta que “mejor ajusta” este conjunto de puntos (recta de regresión lineal). El método de los mínimos
cuadrados proporciona “buenas aproximaciones” de los coeficientes a y b.
Operación con la ClassPad
17.
(26) Borre la pantalla de la aplicación Principal.
(27) Toque el botón
menú toque
Estadística.

en la barra de herramientas. Al desplegarse el
para acceder directamente a la Aplicación
Aparecerá en la parte inferior de la pantalla dividida la ventana del
editor de listas.
(28) En el panel de iconos toque
para maximizar la ventana del editor
de listas.
(29) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el editor de listas.
Figura 8
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18.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Un problema de resistencia de materiales:
En la primera columna de la tabla están representados los
diámetros de varias soldaduras. En la segunda columna están
representadas las resistencias de corte correspondientes. Se
supone que existe una relación afín ( y  ax  b ) entre estas dos
variables. Encuentre la recta de regresión lineal entre estas
variables.
Práctica 9
x
680
800
780
885
975
1025
1100
1030
1175
1300
y
190
200
209
215
215
215
230
250
265
250
(30) Con las teclas direccionales ubique el cursor el la primera celda de la lista 1 (list1) y teclee 680.
Confirme con [EXE].
 Observe que el cursor se ubica en la segunda celda de la lista 1.
(31) De la misma manera registre los demás datos correspondientes a la variable x.
(32) Al terminar, ubique el cursor en la primera celda de la lista 2 (list2) y registre los datos que
corresponden a la variable y.

De esta manera, en la lista 1, se encuentran todos los datos de la variable x y en la segunda lista
se encuentran todos los datos de la variable y.

Para trazar el diagrama de dispersión de los datos será necesario hacer las siguientes
operaciones de configuración de gráficos estadísticos:
(33) En la barra de menús, toque [ConfGráf] [Opciones …]. En el cuadro de diálogo utilice los botones
para configurar los siguientes parámetros: Dibujo: On, Tipo: Disper., Lista X: list1, ListaY: list2,
Frec.: 1, Marca: Cuadrado. Finalmente toque [Def.] para confirmar la configuración.
(34) Toque
en la barra de herramientas para trazar el gráfico de dispersión.
 Aparecerá la ventana de gráficos mostrando el diagrama de dispersión.
(35) Toque [Cálc.] [Regresión lineal]. En el cuadro de diálogo toque [Acep.].

Aparece en pantalla el cuadro Cálculo Estadístico que muestra los valores de los parámetros de
interés a, b y los parámetros estadísticos r, r 2 y MSe (Figura 11).
Figura 9
Figura 10
Figura 11
Los parámetros estadísticos indicados en la pantalla de la Figura 11 son los siguientes:
y  ax  b : es la fórmula del modelo de regresión lineal.
a : coeficiente de regresión (pendiente).
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Práctica 9
b : término constante de regresión (ordenada en el origen).
r : coeficiente de correlación
r 2 : coeficiente de determinación.
1
MSe : Error cuadrático medio dado por MSe 
n2
n
 (yi  (axi  b))2 .
i1
Observación:
El coeficiente de determinación r 2 satisface r 2  1 . Indica “qué tan bueno” es el ajuste de la recta
de regresión a los datos. Mientras más cercano a 1 se encuentre este valor, mejor será el ajuste. Si r 2  1
entonces los puntos están alineados. Por otra parte, el coeficiente de correlación r nos da una medida de
qué “tan buena” es la relación entre las dos variables. Este coeficiente satisface 1  r  1 . Mientras más
cercano a 1 se encuentre el valor absoluto de este coeficiente, “más fuerte” será la relación entre las
variables x e y. El diagrama de dispersión muestra un conjunto de puntos que tiende a alinearse. Si r
está más cercano a cero, esto indicará que la relación entre las variable es “muy débil” y que los datos
presentan una alta dispersión que no les permite alinearse.
¿Cuál es la ecuación de la recta de regresión lineal?
19.
(36) Toque
para trazar la recta de regresión lineal.

Aparecerá la gráfica de la recta de regresión en el diagrama de
dispersión.

Observe la disposición de los puntos respecto a la recta de regresión.
Figura 12
20.
¿Qué puede concluir del gráfico mostrado en la pantalla (Figura 12) y el valor del
coeficiente de determinación r 2  0.758492(alrededor de un 75%)?
21.
En el problema anterior, ¿qué valor de la resistencia de corte “y” se puede predecir para
un valor de diámetro de soldadura x = 1400?
Luego de trazar un gráfico de regresión se pueden calcular los valores estimados x̂ y ŷ de las
variables x, y, respectivamente, en la aplicación Principal.
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Práctica 9
(37) Toque en la barra de menús [Análisis] [Trazo].

Aparecerá un cursor sobre la gráfica de la recta de regresión.

Por otra parte, en el recuadro inferior aparecerá la ecuación de la
recta de regresión.

Si utiliza las teclas direccionales ► y ◄ de la tecla elíptica del teclado
de la calculadora, observará que el cursor se desplaza sobre la recta
de regresión indicando los valores estimados x̂ e ŷ de las variables
x, e y.
(38) Toque en el recuadro inferior el botón
portapapeles la ecuación de la recta de regresión.
(39) En la barra de herramientas toque
aplicación Principal. Toque
y luego
Figura 13
para copiar en el
para acceder a la
para maximizar la pantalla.
(40) Active el teclado matemático [mth]. Toque
para copiar, en la línea
de entrada, la ecuación de la recta de regresión, luego toque
para activar el comando “with”. Toque finalmente
para evaluar la ecuación.
(41) Seleccione la fracción correspondiente al valor estimado de la
resistencia de corte y. Toque
decimal (Figura 14).
para obtener dicho valor en forma
Figura 14
22.
¿Cuál es el valor estimado ŷ de la resistencia de corte para un diámetro de la soldadura
x = 1400?
23.
¿Qué valor del diámetro de la soldadura “x” se puede predecir para un valor de resistencia
de corte y = 300?
Para encontrar este valor se siguen los siguientes pasos:
(42) Toque
.

Con esta secuencia de botones la calculadora construye una
ecuación en la línea de salida. Al resolver esta ecuación para la
variable x, se obtiene el valor estimado del diámetro de la soldadura.
(43) Toque [Acción] [Ecuación / Desigualdad] [solve] [ans] [Ejec.].
(44) Seleccione la fracción correspondiente al valor estimado del diámetro
de soldadura x. Toque
(Figura 15).
24.
para obtener dicho valor en forma decimal
Figura 15
¿Cuál es el valor estimado de la resistencia de corte x̂ para un diámetro de la soldadura
y = 300?
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25.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Un problema relacionado con la industria del vidrio.
En ciertos problemas no hay una relación afín directa entre una
variable y la otra, sino entre una variable y el inverso de la otra, entre
el inverso de una y el inverso de la otra, entre una y el logaritmo de la
otra, etc. En este problema, la segunda columna contiene el logaritmo
decimal de la viscosidad y la primera columna la temperatura x de
cierto tipo de vidrio en C .
Práctica 9
x
y
1390
0.3010
1154
0.4771
984
0.6021
874
0.6990
791
0.7782
729
0.8451
La teoría prevé que el logaritmo decimal de la viscosidad es una función exponencial de la
temperatura ( y  aebx ) o dicho de otro modo, que el logaritmo neperiano del logaritmo decimal
de la viscosidad es una función afín de la temperatura. En base a esto, encuentre la función
exponencial que mejor ajusta los puntos de la tabla.
(45) Toque
y luego
para regresar a la aplicación
Estadística y maximizar la pantalla.
(46) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para borrar las listas.
(47) Registre en list1 los valores de la variable x.
(48) Registre en list2 los valores de la variable y.
(49) Toque
para trazar el diagrama de dispersión.
(50) Toque [Cálc.] [Regr. exponencial]. En el cuadro de diálogo toque
[Acep.] para confirmar que se desea realizar una regresión
exponencial.
Figura 16
26.
¿Cuál es la relación exponencial que existe entre las variables?
Observación:
Observe que el coeficiente de correlación es negativo. Esto indica que cuando una variable crece la
otra decrece. Si el coeficiente de correlación es positivo, como en el problema precedente, tendremos
que cuando una variable crece la otra también crece.
(51) Toque [Acep.].
(52) Toque
para trazar la curva de regresión exponencial.
Figura 17
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Práctica 9
27.
¿De acuerdo al gráfico presentado en la figura 17 y al coeficiente de correlación calculado,
qué puede concluir?
28.
Sólo es posible trabajar el vidrio cuando su viscosidad está entre 7.65 y 13. Determine en
qué intervalo debe mantenerse la temperatura para realizar el trabajo.
Sugerencia: Para no tener problemas de desbordamiento en la resolución de la ecuación,
proceda de la siguiente manera:
 Copie la ecuación en la ventana de la Aplicación Estadística y péguela en la línea de entrada
de la Aplicación Principal.
 Sustituya el valor para la variable y ( tenemos dos valores log(7.65) y log(13)).
 Ejecute Ln(ans) para tomar logaritmo neperiano en ambos miembros de la ecuación.
 Finalmente ejecute solve(ans) para obtener la solución.
29.
30.
Intervalo de variación de la temperatura:
Un problema de estimación de parámetros.
Queremos estimar la cantidad de masa de gas licuado en un
encendedor de bolsillo de una marca determinada. Para ello se
dispone de 10 encendedores usados. A cada encendedor se le
determina en una balanza la cantidad de masa “y” en gramos y
se le mide la altura “x” en milímetros de la columna de líquido.
Responda a cada una de las preguntas que se formulan:
x
12
15
20
24
25
30
35
40
45
48
y
106
109
112
115
116
119
122
125
128
131
a) ¿Qué tipo de función necesariamente deben verificar las variables x, y? Explique.
b) En la aplicación Estadística, registre en la list1 las alturas x, en list2 las correspondientes
masas y. Trace el diagrama de dispersión. ¿Qué ajuste le sugiere la nube de puntos?
c) ¿Esperaría, por el diagrama de dispersión, que no hubiesen errores de medición?,
¿porqué?.
d) Si el ajuste propuesto es lineal, esto es, y = ax + b, ¿qué representan físicamente en este
modelo los parámetros a y b?.
e) ¿Cuál es la masa aproximada de un encendedor vacío?
f) ¿Cuál es la masa aproximada del líquido en un encendedor nuevo, si la altura del depósito
es de 55 mm?
31.
a)
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b)
c)
d)
e)
f)
9.6 Regresión lineal con más de una variable independiente.
En la Aplicación Estadística de la calculadora Class Pad 300 PLUS se pueden realizar solamente
cálculos de regresión simple, esto es con una sola variable independiente. Para realizar cálculos de
regresión múltiple (con más de una variable independiente), es necesario plantear el problema utilizando
los recursos del álgebra lineal. Recordemos que estos problemas de ajuste de curvas a un conjunto de
puntos se reducen al problema de la proyección de un vector de un espacio euclidiano E sobre un
subespacio S.
Consideremos el problema siguiente:
32.
Un problema de mezclas en la construcción.
Una compañía constructora almacena, en sacos de 50
Kg, tres mezclas básicas M1, M2 y M3. Pueden
prepararse mezclas
de argamasa
efectuando
combinaciones de estas tres mezclas básicas.
Composición
M1
M2
M3
Cemento
20
18
12
Arena
20
25
15
Grava
10
5
15
Cal
0
2
8
Suponga que se desea preparar una mezcla especial compuesta por una tonelada de cemento,
una tonelada de arena, media tonelada de grava y 300 Kg de cal. ¿Cuántos sacos de cada mezcla
básica M1, M2 y M3 se necesitarán para preparar la mezcla especial?
Si x, y, z representan el número de sacos de cada una de las mezclas básicas M1, M2 y M3
respectivamente, que se deben combinar para obtener la mezcla especial, entonces el problema se reduce
a encontrar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 20 x  18 y  12 z  1000
20 x  25 y  15 z  1000


 10 x  5 y  15 z  500

2y  8z  300
33.
Muestre que este sistema es incompatible. Para ello realice los siguientes pasos en su
calculadora:
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(53) En el panel de iconos toque
Principal.
(54) Borre la pantalla.
Práctica 9
para acceder a la aplicación
(55) Active el teclado 2D. Toque
.
(56) Registre en la plantilla las tres primeras ecuaciones y resuelva el
sistema.

Figura 18
Observará que esta solución no satisface la cuarta ecuación.

El sistema anterior es equivalente al problema de establecer si el vector v cuyas componentes
representan la composición de la mezcla especial, pertenece al subespacio de R4 generado por los
 

vectores a , b y c cuyas componentes representan las cantidades de los componentes de cada una de las
tres mezclas básicas M1, M2 y M3 respectivamente. Esto es:
1000 
20 
18 
12 
1000 
20 
25 
 




  x    y    z 15 
v  xa  yb  zc  
 500 
10 
5
15 


 
 
 
 300 
0
2
8
Dado que el sistema es incompatible se tiene
  

que v  gen(a, b, c) . Se plantea el problema de
  

encontrar el vector w  gen(a, b, c) más cercano a

 

v , o dicho de otro modo, u  v  w debe ser
mínima.
 

Si a , b y c son linealmente independientes, el

vector u debe ser perpendicular a cada uno de




estos vectores; de manera que w  xa  yb  zc se
construye bajo las siguientes tres condiciones de
ortogonalidad:
Figura 19




 

 

 



(v  xa  yb  zc)  a  0 ; (v  xa  yb  zc)  b  0 ; (v  xa  yb  zc)  c  0 .
Estas condiciones generan el siguiente sistema
de ecuaciones lineales compatible determinado que
permite encontrar los coeficientes x, y, z de la




combinación lineal w  xa  yb  zc :
 
 
 
 
(a  a)x  (b  a)y  (c  a)z  (v  a)
 
 
 
  
(a  b)x  (b  b)y  (c  b)z  (v  b)
(a  c )x  (b  c )y  (c  c )z  (v  c )

(57) Haciendo uso del teclado 2D, asigne cada uno de los vectores

  
columnas v , a , b y c a las variables v, a, b y c respectivamente.
(58) Registre la primera ecuación. Para ello edite en la línea de entrada la
secuencia de comandos:
dotP(a,a)x+dotP(b,a)y+dotP(c,a)z=dotP(v,a)
(59) Toque [Ejec.].
(60) Registre de manera análoga las demás ecuaciones.
Figura 20
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


Escriba el sistema de ecuaciones a resolver: 


34.
(61) En el teclado virtual 2D. Toque
.
(62) Copie y pegue en la plantilla cada una de las ecuaciones construidas.
No olvide registrar en el recuadro inferior derecho las variables básicas
x, y, z.
(63) Toque [Ejec.].
(64) En la línea de salida seleccione los valores encontrados de las variable
x, y, z.
Figura 21
(65) Toque
para obtener dichos valores en formato decimal.
Figura 22
La solución aproximada del problema gira en torno al vector solución:




w  18.15 a  15.92b  20.54c  (896 .04, 1069 .10, 569 .20, 196 .16)
35.
Si al preparar la mezcla especial se requieren un número entero de sacos.
a) De acuerdo a su intuición, ¿cuál debe ser la combinación lineal más cercana a los

requerimientos en peso del vector v ?
b) Complete la siguiente tabla y encuentre la mejor solución.
x
y
z
18
15
20
18
15
21
18
16
20
18
16
21
19
15
20
19
15
21
19
16
20
19
16
21
x
y
z
18
15
20
18
15
21
18
16
20
Cemento (kg)
Arena (kg)
Grava (kg)
Cal (kg)




v  xa  yb  zc
Continúa…
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x
y
z
18
16
21
19
15
20
19
15
21
19
16
20
19
16
21
Práctica 9




v  xa  yb  zc
c) ¿Qué componentes se están combinando de más y qué componentes se están combinando
de menos en la mezcla especial aproximada?
36.
a)
c)
37.
x1
1.02
1.00
1.04
0.87
1.21
1.08
2.05
1.98
1.94
2.10
2.14
2.01
Un problema con datos recolectados
en un laboratorio.
Los datos de la tabla se han obtenido
experimentalmente en un laboratorio. Si se
establece que la relación entre la variables
es de la forma y  ax1  bx 2  cx 3  d ,
¿cuál es el hiperplano de regresión que
mejor ajusta el conjunto de datos?
38.
x2
x3
y
122
122
122
175
175
175
210
210
210
235
235
232
–4
4
8
–4
4
8
–4
4
8
–4
4
8
319.2
263.5
258.8
352.8
322.8
285.9
463.8
404.9
347.0
484.9
436.1
396.2
Ecuación del hiperplano de ajuste:
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