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IES ATENEA
SS. DE LOS REYES
1º Bachillerato CT
MATEMÁTICAS I – PRIMERA EVALUACIÓN
Apellidos y nombre: __________________________________________ Fecha________
1.-(1 punto) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝑙𝑜𝑔𝑥 3 = 𝑙𝑜𝑔 6 + 2𝑙𝑜𝑔𝑥
b) 4𝑥+1 = 8
2.- (1 punto) Resolver la inecuación
2𝑥−8
3𝑥+9
> 0. Representa gráficamente en la recta real su
solución.
3.- (1 punto) En una sucesión geométrica sabemos que el segundo término vale 2 y que el
quinto vale 4√2. Calcula el término general de la misma y la suma de sus 10 primeros
términos.
4. (1,5 punto) De un número de tres cifras se sabe que la suma de éstas es 13. Si se
intercambian las cifras de las unidades y las centenas, el número disminuye en 198 unidades, y
si se intercambian las unidades y las decenas, el número aumenta en 36. Encontrar dicho
número.
5.- (1 punto) Las razones trigonométricas de 250 son: sen 250 =0,423; cos 250 =0.906; tg
250 =0,466. Calcula, haciendo uso de la Circunferencia Goniométrica razona las razones
trigonométricas de:
a) 650
b) 1150
c) 1550
d) 2050
6.- (1 punto) Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30º, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la
distancia fuese doble? ¿y si fuese triple?
7.- (1 punto) Dada una circunferencia de 5 cm de radio trazamos dos rectas tangentes a ella
desde un punto situado a 7 cm del centro. ¿Qué ángulo forman las tangentes?
8.- (1 punto) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2𝑥 = 1
b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + cos 𝑥 = √2
9.- (1,5 puntos) Un solar tiene forma triangular. Se han podido determinar dos de los lados,
que miden 10 y 7 dm respectivamente. El ángulo que forman ambos lados se ha medido con
un teodolito y ha resultado ser de 300 . Calcula el resto de los elementos del triángulo que da
forma al solar.
1.-(1 punto) Resuelve las siguientes ecuaciones:
𝑙𝑜𝑔𝑥 3 = 𝑙𝑜𝑔 6 + 2𝑙𝑜𝑔𝑥;
3 · 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 6 + 2𝑙𝑜𝑔𝑥;
3 · 𝑙𝑜𝑔𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 6;
𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 6;
𝑥=6
4𝑥+1 = 8
4 · 4𝑥 = 4 · 2
4𝑥 = 2
((2)2 )𝑥 = 2
2𝑥 = 1
1
𝑥=
2
𝟐𝒙−𝟖
2.- (1 punto) Resolver la inecuación 𝟑𝒙+𝟗 > 𝟎. Representa gráficamente en la recta real su
solución.
SOLUCIÓN:
Para que el cociente sea positivo, numerador y denominador han de compartir signo.
Caso a) Ambos son positivos
2x-8>0; x>4; 3x+9>0; x>-3
La condición x>4 engloba a ambas, luego este caso nos da la solución (4, ∞)
Caso b) Ambos son negativos
2x-8<0; x<4; 3x+9<0; x<-3
La condición x>-3 engloba a ambas, luego este caso nos da la solución (-∞,-3)
Por tanto, la solución es (-∞,-3)U(4, +∞)
3.- (1 punto) En una sucesión geométrica sabemos que el segundo término vale 2 y que el
quinto vale 𝟒√𝟐. Calcula el término general de la misma y la suma de sus 10 primeros
términos.
𝑎2= 2; 𝑎5= 4√2
Como 𝑎5= 𝑎2 · 𝑟 3 , se deduce que 𝑟 3 = 2√2 = √23 por lo que r=√2
Por tanto, la sucesión será √2, √22 , √23 , √24 , √25 , √26 , …
El término general será 𝑎𝑛= 𝑎1 · 𝑟 𝑛−1 = (√2𝑛 )
Y por tanto, 𝑆10 =
𝑎1 ·𝑟 𝑛 −𝑎1
𝑟−1
=
√2𝑛+1 −√2
√2−1
4. (1,5 punto) De un número de tres cifras se sabe que la suma de éstas es 13. Si se
intercambian las cifras de las unidades y las centenas, el número disminuye en 198 unidades,
y si se intercambian las unidades y las decenas, el número aumenta en 36. Encontrar dicho
número.
SOLUCIÓN:
El número buscado será N=xyz=100x+10y+z
La suma de sus cifras nos da la ecuación x+y+z=13
Intercambiando las unidades con las centenas, nos queda
100z+10y+x=100x+10y+z-198, que simplificado queda x-z=2
Intercambiando las unidades y la decenas, queda
100x+10z+y=100x+10y+z+36, que simplificado es –y+z=4
Las tres ecuaciones lineales generan un sencillo sistema que podemos resolver usando el
método de Gauss. Las soluciones son x=7, y=1 y z=5, por lo que el número es el 715
5.- (1 punto) Las razones trigonométricas de 𝟐𝟓𝟎 son: sen 𝟐𝟓𝟎 =0,423; cos 𝟐𝟓𝟎 =0.906; tg
𝟐𝟓𝟎 =0,466. Calcula, haciendo uso de la Circunferencia Goniométrica razona las razones
trigonométricas de:
a)
b)
c)
d)
𝟔𝟓𝟎
𝟏𝟏𝟓𝟎
𝟏𝟓𝟓𝟎
𝟐𝟎𝟓𝟎
SOLUCIÓN:
Sen 65=cos 25; cos 25=sen 25; tg 65 = 1/ tg 25=2.145
Sen 115=cos 25; cos 115=-sen 25; tg 115=-1/tg25=-2.145
Sen 155=sen 25; cos 155=-cos 25; tg 155=-tg 25
Sen 205=-sen 25; cos 205=-cos25; tg 205=tg 25
6.- (1 punto) Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30º, ¿bajo qué ángulo la veríamos si
la distancia fuese doble? ¿y si fuese triple?
𝑡𝑔 30º =
𝑡𝑔 𝐵 =
ℎ
; ℎ = 𝑑 · 0,5773
𝑑
ℎ
𝑑 · 0,5773 0,5773
; 𝑡𝑔 𝐵 =
=
= 0,2886
2𝑑
2𝑑
2
𝐵 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 0,2886 ≅ 16º
𝑡𝑔 𝐶 =
ℎ
𝑑 · 0,5773 0,5773
; 𝑡𝑔 𝐶 =
=
= 0,1926
3𝑑
3𝑑
3
𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 0,1926 ≅ 10º54′6′′
7.- Dada una circunferencia de 5 cm de radio trazamos dos rectas tangentes a ella desde un
punto situado a 7 cm del centro. ¿Qué ángulo forman las tangentes?
Aunque el problema me pide calcular el
ángulo P, calcularé el valor de P/2 sabiendo
que OAP es rectángulo en A.
Como OP=7 y OA=5, tg (P/2)=5/7, luego
P/2=arc tg 5/7, por lo que P=91º
8.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2𝑥 = 1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√1 = ±1
a)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos 1 = 0º
𝑏)𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos −1 = 180º
b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + cos 𝑥 = √2
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + cos 𝑥 = √2
9.- (1,5 puntos) Un solar tiene forma triangular. Se han podido determinar dos de los lados,
que miden 10 y 7 dm respectivamente. El ángulo que forman ambos lados se ha medido con
un teodolito y ha resultado ser de 𝟑𝟎𝟎 . Calcula el resto de los elementos del triángulo que da
forma al solar.
Aplicando el teorema del coseno, calculamos el lado que falta:
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛿 = √100 + 49 − 140 cos 30 = 5,27 𝑑𝑚
Y mediante el Teorema de los senos calculamos el ángulo correspondiente al menor de los
lados
𝑏
𝑐
7
5,27
=
→
=
→ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 0,664
𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛿 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 30
Los posibles valores de 𝛽 son 410 36′ 20′ ′ y 1080 23′40′′, aunque esta última solución la
descartamos porque como a > c el ángulo obtuso será 𝛼
El ángulo restante será 𝛼 = 180 − (𝛽 + 𝛿) = 1080 23′40′′