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ECUACIONES DE MAXWELL
RONAL ANDRES CEBALLO MEDINA
MAIROM JOSE MARENCO CONTRERAS
OSCAR GUILLERMO PAVA RAMOS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
VALLEDUPAR, CESAR
2016
ECUACIONES DE MAXWELL
RONAL ANDRES CEBALLO MEDINA
MAIROM JOSE MARENCO CONTRERAS
OSCAR GUILLERMO PAVA RAMOS
Informe presentado como requisito de evaluación parcial en la asignatura de
electromagnetismo grupo 15, al profesor
Lic. Juan Pacheco Fernández
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Y DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
VALLEDUPAR, CESAR
2016
Introducción
Este trabajo trata de hacer una breve introducción a las tres leyes de maxwell,
como lo son la ley de gauss para el campo eléctrico, la ley de Faraday y la ley de
Amper-Maxwell, con ello se busca entender dichas leyes y más que entenderlas
hacer una breve profundización conceptual y tratar de llegar a algunas ecuaciones
a partir de ellas, teniendo en cuenta la los principios de conservación.
Ley de Gauss para el campo eléctrico
Se puede decir que esta ley maneja toda la electrostática involucrando leyes de
conservación muy importante como es el caso de la ley de conservación de la
carga ley de conservación del flujo y ley de conservación de la energía.
A partir de la ecuación podemos deducir algunas ecuaciones de la electrostática:
∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
∯ 𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑂𝑆𝜃 =
𝑞
𝜀0
Para simplificar tenemos que las líneas de fuerzas del campo son paralelas del
vector normal al área o también del campo son paralelas al vector normal al área o
también llamado vector de área en este caso
𝜃=0
∯ 𝐸𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
𝐸 ∯ 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
𝐸𝐴 =
𝑞
𝜀0
Tomamos una simetría esférica para hacer sencillo el problema
𝐸4𝜋𝑟 2 =
𝐸=
Donde
𝑘=
𝑞
𝜀0
𝑞
4𝜋𝜀0 𝑟 2
1
es la constate eléctrica o la constante de Coulomb,
4𝜋𝜀0
remplazando en el campos nos queda
𝐸=
𝐸⃗ =
𝑘𝑞
𝑟2
𝑘𝑞
𝑟̂
𝑟2
Hemos llegado a la ecuación de campo eléctrico para una carga puntual, donde la
magnitud del campo es proporcional a la carga que lo genera
1
inversamente proporcional al radio al cuadrado 𝐸 𝛼 2 .
𝑟
𝐸𝛼𝑞
e
Ahora deduciremos la ley de coulomb, para llegar a dicha ley tenemos la ecuación
de campo eléctrico, este efecto de campo eléctrico es producido por una fuente en
este caso una carga puntual 𝑞 si la carga interactúa con otra carga 𝑞0 se genera
una fuerza de atracción o repulsión ya sean la carga de signo contrario o de la
misma naturaleza respectivamente.
𝑞0 𝐸⃗ =
𝐹=
𝑘𝑞𝑞0
𝑟̂
𝑟2
𝑘𝑞𝑞0
𝑟̂
𝑟2
La ley de Coulomb nos dice que la fuerza entre dos cargas puntales es
proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al radio al
cuadrado.
𝐹 = 𝑞0 𝐸⃗
La ecuación de la electrostática nos dice que la fuerza ejercida sobre una carga
puntual expuesta a un campo eléctrico externo es proporcional al producto de la
carga por el campo.
Para llegar a la ecuación de potencial eléctrico colocamos una carga 𝑞0 en un
⃗ Como se
campo eléctrico externo esto va ejercer una fuerza eléctrica 𝐹 = 𝑞0 𝐸
dijo anteriormente. Ahora si aplicamos una fuerza externa que haga que esta
⃗ , entonces
carga quede en equilibrio dicha fuerza debe ser 𝐹𝑒𝑥𝑡 = −𝑞0 𝐸
podemos decir que para el trabajo hecho por el agente externo para mover la
carga de prueba en equilibrio desde el punto a hasta al punto b, a lo largo de una
trayectoria cualquiera es:
𝑏
𝑏
𝑊𝑎𝑏 = ∫ 𝐹𝑒𝑥𝑡 . 𝑑𝑙 = − 𝑞0 ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙
𝑎
𝑎
La cual es una integral de línea, puesto que el campo eléctrico es conservativo la
integral es independiente de la trayectoria ab.
Ahora como el trabajo es proporcional a la carga
𝑞0 ,
ahora si dividimos el trabajo
por la carga 𝑞0 tendremos el trabajo por unidad de carga y a esta cantidad se le
llama potencial eléctrico.
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =
𝑊𝑎𝑏
𝑞0
Entonces podemos decir que:
𝑏
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙
𝑎
Como solo se define el potencial únicamente en un punto determinado, y por
comodidad decimos que el potencial en el infinito es cero podemos decir que:
𝑝
𝑉𝑝 = − ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙
∞
Como
𝑘𝑞
𝐸⃗ = 2 𝑟̂
𝑟
y 𝑑𝑙
= 𝑑𝑟
𝑝
𝑉𝑝 = − ∫ 𝐸𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃
∞
𝑝
𝑉𝑝 = − ∫
∞
𝑘𝑞
𝑑𝑟
𝑟2
𝑏
𝑉𝑝 = 𝑘𝑞 lim ∫ 𝑟 −2 𝑑𝑟
𝑏→∞ 𝑝
1𝑏
𝑉𝑝 = 𝑘𝑞 lim ⌈− ⌉
𝑏→∞
𝑟 𝑝
1 1
𝑉𝑝 = 𝑘𝑞 lim [ − ]
𝑏→∞ 𝑝
𝑏
𝑉𝑝 =
𝑘𝑞
𝑝
Donde 𝑉𝑝 es el potencial en un punto, p=r
𝑘𝑞
𝑉𝑝 =
𝑟
Como el campo es conservativo de esta misma forma podemos llegar a que:
⃗ 𝑉𝑝
𝐸⃗ = −∇
Ahora podemos llegar a la energía potencial si multiplicamos por 𝑞0
𝑞0 𝑉 =
𝑈=
𝑘𝑞𝑞0
𝑟
𝑘𝑞𝑞0
𝑟
y 𝑈 = 𝑞0 𝑉
La primera nos dice que la energía entre dos cargas puntuales es proporcional al
producto de las cargas e inversamente proporcional a la distancia de separación.
La segunda que la energía potencial de una carga puntual expuesta a un potencial
producido por un campo electrostático externo es proporcional al producto de la
magnitud de la carga por el potencial.
También podemos llegar diciendo que 𝑊𝑎𝑏
= 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎
entonces:
𝑏
𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −𝑞0 ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙
𝑎
De manera similar que en el potencial tenemos que
𝑘𝑞
𝐸⃗ = 2 𝑟̂
𝑟
y 𝑑𝑙
= 𝑑𝑟
𝑏
∆𝑈𝑎𝑏 = −𝑞0 ∫ 𝐸𝑑𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎
Como solo se toma la energía potencial en un punto y considerando que el infinito
es cero decimos que:
𝑝
𝑈𝑝 = −𝑞0 ∫
∞
𝑘𝑞
𝑑𝑟
𝑟2
𝑏
𝑈𝑝 = 𝑘𝑞𝑞0 lim ∫ 𝑟 −2 𝑑𝑟
𝑏→∞ 𝑝
1𝑏
𝑈𝑝 = 𝑘𝑞𝑞0 lim ⌈− ⌉
𝑏→∞
𝑟 𝑝
1 1
𝑈𝑝 = 𝑘𝑞𝑞0 lim [ − ]
𝑏→∞ 𝑝
𝑏
𝑘𝑞𝑞0
𝑈𝑝 =
; Donde p = r
𝑝
𝑈𝑝 =
𝑘𝑞𝑞0
𝑟
Ley de Faraday
La ley de Faraday nos dice que la integral de línea a través de una trayectoria
cerrada del campo eléctrico es igual a la variación del flujo magnético. Esto es que
un campo eléctrico variable produce un campo magnético y un campo magnético
produce un campo eléctrico.
𝑑
𝑑
𝜕
𝜕∅
⃗ . 𝑑𝐴 = − 𝑚
∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = − ∫ 𝐵
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝑐
𝑠
De esta ecuación podemos llegar a las ecuaciones de la electrostática. Si
consideramos un campo magnético que no varía con el tiempo la variación del
flujo magnético es cero de esta manera la ecuación de la electrostática se reduce
𝑑
∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = 0
𝑐
En esta ecuación nos dice que la integral de línea del campo eléctrico a través de
una trayectoria carrada es igual a cero todo esto si logra gracias a la ley de la
conservación de la energía para un sistema aislado.
Si consideramos un circuito aislado donde tenemos
puesto que
𝑑
∮𝑐 𝐸⃗ . 𝑑𝑙
ε; caída de potenciales
= ε.
Este circuito constituye un conjunto numerable de ε; caídas de potenciales
entonces nuestra integral de línea que es para variable continua se convierte en
una variable discreta esto es.
𝑛
∑ ε𝑖 = 0
𝑖=1
Esto no es otra cosa que una de las reglas de Kirchhoff que nos dice que la
sumas de todas las caídas de potencial en un circuito cerrado es igual a cero. Esto
por supuesto gracia a la ley de conservación de la energía.
Partiendo de la ley de Faraday
𝑑
𝑑
∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = −
𝑐
𝜕
𝜕∅
⃗ . 𝑑𝐴 = − 𝑚
∫𝐵
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝑠
Aplicando el teorema de Stokes en la parte izquierda de la ecuación, en la integral
de líneas tenemos
𝑑
𝑑
⃗ × 𝐸⃗ ). 𝑑𝐴 = − ∫
∫(∇
𝑠
𝑠
⃗
𝜕𝐵
. 𝑑𝐴
𝜕𝑡
Como las integrales se evalúan sobre superficies idénticas tenemos que:
⃗
⃗∇ × 𝐸⃗ = − 𝜕𝐵
𝜕𝑡
Se concluye de la ecuación que el rotacional del campo eléctrico genera un campo
magnético variable en el tiempo, y un campo magnético variable puede generar un
campo eléctrico de la nada, puesto que esta ecuación no nos condiciona a que
solo se produce en condiciones específicas.
Si tenemos que el campo magnético no varía con el tiempo entonces
⃗∇ × 𝐸⃗ = 0
De aquí tenemos la ecuación de la electrostática para una carga puntual que nos
dice que el rotacional del campo eléctrico es cero puesto que este no varía con el
tiempo.
Ley de Ampere-Maxwell
Partiendo de la ley de Ampere tenemos que:
𝑑
⃗ . 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼
∮𝐵
𝑐
Para una corriente de conducción constante, la circulación del campo magnético a
lo largo de una trayectoria cerrada es igual al producto de la permitividad
magnética 𝜇0 por la intensidad de la corriente eléctrica que pasa a través de una
superficie bordeada por esa trayectoria.
La circulación magnética a lo largo de cualquier trayectoria depende de la
corriente eléctrica que atraviesa la superficie bordeada por la trayectoria.
Pero esto ya no es cierto si la corriente va a un condensador debido a que no se
conserva la carga.
Si la corriente fluye a un condensador la carga aumenta lo que crea un campo
eléctrico variable entre las placas, el flujo eléctrico a través de las placas se puede
deducir a partir de la ley de Gauss, imaginamos una superficie cerrada en forma
de cúpula.
∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
Como todo el flujo va a través de la superficie y es igual a la carga en la placa del
condensador divida por 𝜀0 , el ritmo de cambio de del flujo eléctrico se puede
hallar diferenciando en ambos lados de la ecuación y viene dado por la corriente
que circula en el interior de las placas.
𝜀0
Donde
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑞
∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝐴 =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= 𝐼; la corriente de desplazamiento.
𝑑
𝜀0 ∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝐴 = 𝐼𝑑𝑒𝑠
𝑑𝑡
El flujo eléctrico variable puede generar una un campo magnético como si fuera
una especie de corriente eléctrica (𝐼𝑑𝑒𝑠 : 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜).
Luego la circulación magnética a lo largo de una trayectoria cerrada viene dado de
la siguiente manera:
𝑑
⃗ . 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0
∮𝐵
𝑐
𝜕∅𝐸
𝜕𝑡
También por el ritmo de cambio de flujo eléctrico a través de dicha superficie.
𝑑
⃗ . 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0
∮𝐵
𝑐
𝑑
∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝐴
𝑑𝑡
Y de la siguiente manera:
𝑑
⃗ . 𝑑𝑙 = 𝜇0 (𝐼𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 + 𝐼𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 )
∮𝐵
𝑐
De esta manera no se estaría violando el principio de conservación de la carga.
A partir de la ley de Ampere deduciremos la ley de nodo de Kirchhoff que dice que
la suma algebraica de la corriente que entra o salen de un nodo debe ser igual a
cero, como la corriente fluye a través de circuito entonces:
𝑛
∑ I𝑖 = 0
𝑖=1
De la ley de Ampere tenemos que:
𝑑
⃗ . 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼
∮𝐵
𝑐
Donde 𝐼
=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
es la corriente de conducción.
Para un punto particular del circuito tenemos que:
𝑑𝐼 = 𝑁𝑞𝑣 . 𝑑𝐴
Donde
q: es la carga que pasa por un punto.
N: Numero de portadores.
𝑣: Velocidad de desplazamiento de la carga.
𝑑𝐴: Un elemento de área.
Si se presenta más de una clase de portadores de cargas, entonces
𝑑
𝑑𝐼 = [∑ 𝑁𝑖 𝑞𝑖 𝑣𝑖 ] . 𝑑𝐴
𝑖
Donde 𝐽
= ∑𝑑𝑖 𝑁𝑖 𝑞𝑖 𝑣𝑖 ; es la densidad de corriente.
La densidad de corriente puede definirse en cada punto de un medio conductor, y
por lo tanto es una función vectorial puntual.
𝑑𝐼 = 𝐽. 𝑑𝐴
Luego la corriente a través de una superficie cerrada S, puede definirse en función
de la densidad de corriente en el medio.
𝑑
𝐼 = ∮ 𝐽. 𝑑𝐴
𝑠
Remplazando la corriente en la ley de Ampere tenemos que:
𝑑
𝑑
⃗ . 𝑑𝑙 = 𝜇0 ∮ 𝐽. 𝑑𝐴
∮𝐵
𝑐
𝑠
En busca de generalizar más la ecuación de Amper utilizamos la intensidad
⃗ ) nos queda de la siguiente manera
magnética (𝐻
𝑑
𝑑
⃗ . 𝑑𝑙 = ∮ 𝐽. 𝑑𝐴
∮𝐻
𝑐
𝑠
Aplicando el teorema de Stokes a la izquierda de la ecuación
𝑑
𝑑
⃗ ×𝐻
⃗ . 𝑑𝐴 = ∮ 𝐽. 𝑑𝐴
∮∇
𝑠
𝑠
Como es sobre la misma superficie
⃗ ×𝐻
⃗ = 𝐽
∇
⃗ ×𝐻
⃗ = ∇. 𝐽
∇. ∇
Dado que la divergencia de un rotacional es cero
∇. 𝐽 = 0
De esta manera se deduce la ecuación de continuidad de la corriente para un
circuito cerrado.