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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN CLEMENTE PREPARADOR DE CLASES Docente IVÁN DARIO DORIA FERNÁNDEZ Área MATEMÁTICAS-TRIGONOMETRÍA Grado 10° Tierralta-Córdoba 2016 INSTITUCIÓN EDUCATIVA “SAN CLEMENTE” Reconocimiento oficial No. 000300 de mayo 7 de 2003. NID. 223807001981 - NIT.812007524 - Núcleo Educativo No. 35. Email ee_22380700198101 @hotmail.com San Clemente Km. 14 – Vía Urrá. – Tierralta- Córdoba AREA: MATEMÁTICAS GRADO: 10° UNIDAD N° 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FECHA INICIAL: 18 de enero FECHA DE CULMINACIÓN: 18 de marzo TIEMPO PROBABLE: 36 horas TIEMPO REAL: 36 horas TEMAS: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro, Semejanza de triángulos, Razones trigonométricas para ángulos especiales (30º, 45º y 60º), Solución de triángulos rectángulos, Conceptos básicos población, muestra, variables, tipos de variables, tablas de frecuencia. ACTIVIDADES EN EL AULA, ÁREA MATEMÁTICAS GRADO: 10° CLASE No. 0 FECHA: TEMA: Presentación. UNIDAD Nº: 1 ACTIVIDADES 1. Saludo y presentación por parte del docente. 2. Hacer un listado provisional y presentación de los estudiantes. 3. Evaluación: Actividades en clase, salidas al tablero, tareas en casa, talleres, trabajos, evaluaciones tipo prueba saber. 4. Espacio para preguntas por parte de los estudiantes. CLASE No. 1 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro. ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Comprende el concepto de ángulo y los construye. Clasifica ángulos de acuerdo a su posición, sentido y medida. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. Observación del salón de clases e identificación de ángulos presentes en el aula basados en sus conocimientos previos del concepto de ángulo. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. Ejercicios sobre medidas de ángulos, dibujar ángulos positivos y negativos. Dibujar ángulos según las clasificaciones dadas. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre ángulos y sistemas de medidas de ángulos. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Clase 1.ppt CLASE No. 2 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro. ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Realiza conversiones de unidades de medición de ángulos en el sistema sexagesimal y angular y viceversa. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. Realización de ejercicios sobre conversión de un sistema a otro. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. Ejercicios sobre conversión del sistema sexagesimal al sistema centesimal y radial; conversión del sistema centesimal al sistema sexagesimal y radial; y conversión del sistema radial al sistema sexagesimal y centesimal. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre ángulos y sistemas de medidas de ángulos. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Clase 2.ppt ..\..\Archivos para angular.pptx clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Sistemas de medición CLASE No. 3 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro. ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Determina las razones trigonométricas para ángulos especiales. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. Identificación de los lados de un triángulo rectángulo y posterior planteamiento de los posibles cocientes que se pueden realizar con sus 3 lados. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. Realización de ejercicios para identificar las razones trigonométricas definidas en un triángulo rectángulo. ACTIVIDADES trigonométricas. COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto razones CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Clase 3.ppt CLASE No. 4 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Relaciones trigonométrica para ángulos especiales (30º, 45º y 60º), Solución de triángulos rectángulos ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Determina las razones trigonométricas para ángulos especiales. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. Charla sobre el aseo del salón y fomentos de indisciplina. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre razones trigonométricas. CONTENIDOS TEORICOS: Razones trigonométricas. El cociente entre la medida de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, es una razón trigonométrica. De acuerdo con los lados que estén en relación, se define la razón trigonométrica. Para el caso del ángulo 𝛼, en la figura, se tiene: 𝑎 𝑎 1. La razón , cateto opuesto sobre hipotenusa recibe el nombre de seno de 𝛼, 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑐 . 𝑐 𝑏 2. La razón 𝑐 , cateto adyacente sobre hipotenusa recibe el nombre de coseno de 𝛼, 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝑐 . 𝑎 3. La razón , cateto opuesto sobre cateto adyacente recibe el nombre de tangente de 𝛼, 𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 𝑏 𝑎 . 𝑏 𝑏 4. La razón , cateto adyacente sobre cateto opuesto recibe el nombre de cotangente de 𝛼, 𝑐𝑜𝑡(𝛼) = 𝑎 𝑏 . 𝑎 5. La razón 𝑐 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑏. 6. La razón 𝑐 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 , hipotenusa sobre cateto adyacente recibe el nombre de secante de 𝛼, , hipotenusa sobre cateto opuesto recibe el nombre de cosecante de 𝛼, 𝑐𝑠𝑐(𝛼) = 𝑎. Forma nemotécnica. 𝒔𝒆𝒏(𝜶) = 𝒄.𝒐 𝒄𝒐𝒕(𝜶) = 𝒄.𝒂 𝒉 𝒄𝒐𝒔(𝜶) = 𝒄.𝒂 𝒔𝒆𝒄(𝜶) = 𝒉 𝒉 𝒕𝒂𝒏(𝜶) = 𝒄𝒔𝒄(𝜶) = 𝒄.𝒐 𝒄.𝒂 𝒉 𝒄.𝒐 𝒄.𝒂 𝒄.𝒐 Ejemplo: Determinar las razones trigonométricas de los ángulos 𝛼 y 𝛽, del siguiente triángulo: Donde 𝑎 = 3, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = 5. CLASE No. 5 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Propiedades de las razones trigonométricas. Razones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°. ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Comprende que son las razones trigonométricas. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejo una actividad a los estudiantes para que afianzaran los conocimientos. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: Propiedades de las razones trigonométricas. Propiedad 1. Los valores del seno y coseno de un ángulo agudo se encuentran siempre entre 0 y 1. Simbólicamente: 0 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝛽 ≤ 1 0 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ≤ 1 Propiedad 2. La tangente de un ángulo es el cociente entre su seno y su coseno. Simbólicamente: 𝑠𝑒𝑛𝛽 tan 𝛽 = cos 𝛽 Ejemplo: determinar el seno, coseno y tangente con respecto al ángulo𝛼, del siguiente triángulo: Donde 𝑎 = 8, 𝑏 = 6 𝑦 𝑐 = 10. Razones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°. Se hizo la explicación de la tabla, mostrándole al estudiante de manera analítica de donde sale cada valor correspondiente en la tabla. CLASE No. 6 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Manejo de la calculadora para hallar el valor de las razones trigonométricas ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Maneja de manera adecuada la calculadora para resolver problemas relacionados con las razones trigonométricas. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: Manual de la calculadora. ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Calculadora.pdf ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a tratar, se explicara a los estudiantes el manejo de la calculadora para utilizar las teclas sin, cos y tan para hallar los valores de las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se realizó una actividad con los estudiantes, consistente en emplear los comandos aprendidos para la solución de operaciones planteadas que involucran el uso de razones trigonométricas. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Practicar con la calculadora en la casa. CONTENIDOS TEORICOS: Puedes hallar las razones trigonométricas con una calculadora científica mediante las teclas: sen, cos y tan. Para ello, tenemos que indicar la función que se va a trabajar y luego indica el valor del ángulo: Sin 20 = 0,342020143 Asegúrate de que la calculadora está en modo de grados sexagesimales. Para ello, verifícalo tecleando sen 90 = 1, si el resultado no es 1, debes cambiar el modo. Dependiendo de la calculadora se hace de un modo diferente, pero en todas debe aparecer una “D” en la parte superior de la pantalla. ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Calculadora.pdf CLASE No. 7 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro. ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Utiliza procedimientos prácticos para solucionar triángulos rectángulos. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. Observación del entorno del aula de clases y del colegio con el fin de identificar en que situaciones se podría plantear la utilización de las razones trigonométricas para resolver un problema cotidiano. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. Ejercicios sobre aplicación de las razones trigonométricas a problemas planteados en el libro de texto. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre razones trigonométricas y solución de problemas utilizando razones trigonométricas. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Problemas.ppt CLASE No. 8 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro. ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Explica y dibuja ángulos positivos y negativos. Convierte ángulos del sistema sexagesimal al centesimal y viceversa. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. Explicación sobre la clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos. Identificación de un triángulo rectángulo y posterior explicación del teorema de Pitágoras. Luego comprobación numérica que el teorema se cumple para todo triángulo rectángulo. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre teorema de Pitágoras. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Teorema de Pitágoras y aplicaciones.ppt CLASE No. 9 FECHA: UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Conceptos básicos población, muestra, variables, tipos de variables, tabulación de datos, tablas de frecuencia. ESTANDAR: Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos INDICADORES DE DESEMPEÑO: Reconoce la población, la muestra y el tipo de variable en un caso dado. Organiza datos en una tabla de frecuencia RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica3/poblacin_y_muestra.html ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre variables y tablas de frecuencia. CONTENIDOS TEORICOS: Estadística: Es una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de un equipo de baloncesto, temperatura de los meses de verano, etc.) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. Es una de las ciencias que permite conocer, o al menos entender, la realidad en la que nos desenvolvemos. A través de la estadística podemos obtener información de gran valor que nos ayudará en la toma de decisiones en cualquier ámbito de nuestra vida. El análisis de la información pasada para tomar la decisión más correcta, de cara al futuro, es el objeto de la estadística. Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades y entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno (pueden ser hogares, número de tornillos producidos por una fábrica en un año, lanzamientos de una moneda, etc.). Llamamos población estadística o universo al conjunto de referencia sobre el cual van a recaer las observaciones. Muestra: es el subconjunto de la población que es estudiado y a partir de la cual se sacan conclusiones sobre las características de la población. La muestra debe ser representativa, en el sentido de que las conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población. Variable: Es aquel dato o característica que puede tomar diferentes valores en determinadas circunstancias. Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas: Variables cualitativas (o categóricas): aquellas que no aparecen en forma numérica, sino como categorías o atributos (sexo, profesión, color de ojos). Variables cuantitativas: las que pueden expresarse numéricamente (temperatura, salario, número de goles en un partido). Las variables cuantitativas se dividen en: Discretas: Aquellas que toman valores aislados (números naturales), y que no pueden tomar ningún valor intermedio entre dos consecutivos fijados. Por ejemplo; nº de goles marcados, nº de hijos, nº de discos comprados, nº de pulsaciones,... Continuas: Aquellas que toman infinitos valores (números reales) en un intervalo dado, de forma que pueden tomar cualquier valor intermedio, al menos teóricamente, en su rango de variación. Por ejemplo; talla, peso, presión sanguínea, temperatura,… Frecuencia: Número de veces en que se repite un dato. Distinguimos dos clases de frecuencias: Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable. Frecuencia absoluta acumulada: La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Frecuencia relativa: La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. Frecuencia relativa acumulada: La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Tabulación de datos: al comienzo de un trabajo de análisis de datos se cuenta con un gran volumen de información en bruto. Una de las primeras tareas es organizar esa información y tabularla. El propósito de la tabulación es resumir la información para sacar conclusiones de una forma práctica y organizada. Tablas de frecuencia. Como su nombre lo indica la tabla de frecuencias, es una tabla en la cual se organizan los valores de una determinada variable por medio de sus frecuencias absoluta y relativa. Ejemplos: 1. Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las siguientes: 5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 5, 1, 5, 9, 9, 8, 6, 8, 8, 8, 9, 5, 7. a) Ordenar los datos y calcular las frecuencias absolutas y relativas de cada nota. 2. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29. Realiza una tabla de frecuencias. 3. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla: Nº de caries 𝒇𝒊 𝒉𝒊 0 25 0.25 1 20 0.2 2 x z 3 15 0.15 4 y 0.05 Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z. 4. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística: xi 𝒇𝒊 1 4 2 4 3 7 5 5 6 8 0.16 0.14 28 38 7 𝒉𝒊 0.08 16 4 7 𝑭𝒊 45 UNIDAD N° 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FECHA INICIAL: 28 de marzo FECHA DE CULMINACIÓN: 10 de junio TIEMPO PROBABLE: 36 horas TIEMPO REAL: 36 horas TEMAS: Definición de las funciones trigonométricas, valores de las funciones trigonométricas para ángulos especiales (30º, 45º, 60º, 0, , /2, 2 /2, 2), reducción de ángulos al primer cuadrante, gráficas de las funciones trigonométricas, aplicaciones, teorema del seno y coseno, análisis de tablas de datos, gráficos estadísticos. CLASE No. 10 FECHA: 28 de marzo UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Funciones Trigonométricas. ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Comprende y analiza las diferencias entre las funciones y razones trigonométricas. Gráfica y analiza cada una de las funciones trigonométricas. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Funciones Trigonométricas.pdf ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\functrigonometricas.pdf ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Los estudiantes como parte de un trabajo de consulta realizaron la gráfica de cada una de las funcione trigonométricas en hojas milimetradas y posteriormente en clase se hizo la correspondiente explicación de las características de cada función. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Funciones Trigonométricas.pdf ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\functrigonometricas.pdf CLASE No. 11 FECHA: UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Reducción de ángulos al primer cuadrante ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Reduce correctamente ángulos al primer cuadrante Aplica los teoremas del Seno y Coseno en la solución de triángulos oblicuángulos. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: Internet ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con posterior explicación y ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: CLASE No. 12 FECHA: UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Teoremas del seno y del coseno ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Aplica los teoremas del Seno y Coseno en la solución de triángulos oblicuángulos. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: Internet ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con posterior explicación y ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo relacionado con teorema del seno y del coseno. CONTENIDOS TEORICOS: Teoremas del seno y del coseno. Teorema del seno. Para cualquier triángulo se cumple que la medida de los lados es directamente proporcional al valor del seno de los ángulos opuestos, así: 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 Ejemplo: Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo 60°, ∢𝐵 = 45°, 𝑎 = 4, ∢𝐵 = 120°, 𝑎 = 8, 𝑏 = 10 que ∢𝐴 = Actividad (Teorema del seno) 1. Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo que: a) ∢𝐴 = 65°, ∢𝐵 = 35°, 𝑏 = 6 b) ∢𝐵 = 83°, ∢𝐶 = 32°, 𝑐 = 7 c) ∢𝐴 = 30°, ∢𝐶 = 120°, 𝑎 = 3 d) ∢𝐴 = 76°, 𝑎 = 10, 𝑐 = 8 e) ∢𝐵 = 135°, 𝑎 = 12, 𝑏 = 15 Teorema del coseno. El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. Simbólicamente: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 Ejemplo: Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo 100°, 𝑎 = 50, 𝑏 = 40, ∢𝐴 = 95°, 𝑏 = 20, 𝑐 = 17 que ∢𝐶 = Actividad (Teorema del coseno) 1. Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo que: a) ∢𝐶 = 130°, 𝑎 = 12, 𝑏 = 15 b) ∢𝐴 = 60°, 𝑏 = 8, 𝑐 = 9 c) ∢𝐵 = 150°, 𝑎 = 14, 𝑐 = 6 d) ∢𝐶 = 75°, 𝑎 = 11, 𝑏 = 16 e) ∢𝐴 = 80°, 𝑏 = 18, 𝑐 = 23 f) 𝑎 = 10, 𝑏 = 12, 𝑐 = 15 CLASE No. 13 FECHA: UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Gráficos estadísticos. ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Construye y analiza representaciones gráficas de datos. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: http://elzhifestadistica.blogspot.com.co/2012/05/graficas-estadisticas.html ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con posterior explicación y ejemplos. Los estudiantes por medio de una consulta realizaron diferentes tipos de gráficas y en el aula de clases se explicaron las características de cada tipo de gráfico y en que caos era conveniente utilizar determinado tipo de gráfico estadístico. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo relacionado con gráficos estadísticos. CONTENIDOS TEORICOS: GRÁFICAS ESTADÍSTICAS Las gráficas estadísticas nos permite “familiarizarnos” con los datos que se han recopilado y resumido. Se considera como una técnica inicial de análisis exploratorio de datos que produce una representación visual. Las gráficas resultantes revelan un patrón de comportamiento de la variable en estudio. Se ofrecen muchos tipos de gráficos para describir el conjunto de datos. Dependiendo del tipo de datos y lo que se quiera representar, se hará uso del método gráfico más adecuado. DATOS CATEGÓRICOS DIAGRAMA CIRCULAR Es de especial utilidad para mostrar proporciones (porcentajes) relativas de una variable. Se crea marcando una porción del círculo correspondiente a cada categoría de la variable. DIAGRAMA DE BARRAS Es una forma gráfica de representar datos cualitativos que se han resumido en una distribución de frecuencias, de relativas o de porcentuales. Hay varios tipos de gráficos de barras, como son: GRÁFICA SIMPLE DE BARRAS VERTICALES Para respuestas categóricas cualitativas en el que solo interviene una barra para cada clase. Su trazo se realiza ubicando en el eje horizontal de la gráfica los nombres que identifican cada una de las clases. En el eje vertical se usa una escala de frecuencias, una de frecuencias relativas o una de porcentuales. Luego, con una barra de un ancho fijo trazada sobre cada indicador de clase llegamos a la altura que corresponde al tipo de frecuencia escogido. Las barras se separan a fin de señalar que cada clase es una categoría independiente. Los espacios entre las barras deben corresponder a la mitad del ancho de una barra. GRÁFICA SIMPLE DE BARRAS HORIZONTALES Se utiliza principalmente para facilitar la comparación entre las diferentes clases que componen los datos categóricos. El trazo de la gráfica es muy similar a la gráfica de barras verticales, solo que éstas van en forma horizontal y están ordenadas de la mayor a la menor frecuencia absolutas, de frecuencias relativas o de porcentajes. De esta manera se logra una mejor visualización en las preferencias. GRÁFICA DE BARRAS COMPONENTES Este tipo de gráfica se usa cuando las diferentes categorías de datos se componen de otras clases, de tal forma que cada barra se pueda subdividir y representar cada una de estas clases. Así mismo, entre las categorías y sus componentes se compara valores. También se le conoce como barras agrupadas. Se puede hacer uso de barras horizontales o de barras verticales; su escogencia depende de lo que se pretenda ilustrar para que facilite su visualización. GRÁFICA DE BARRAS SECCIONADAS Esta gráfica compara entre categorías el aporte de cada valor al total ,dando lugar a una columna apilada para cada clase. También se puede presentar de manera horizontal o vertical DIAGRAMA DE PARETO Es un tipo especial de diagrama de barras verticales, donde las respuestas categóricas se grafican en orden descendente de frecuencias y se combinan con un polígono acumulado en la misma escala. El diagrama de Pareto se usa ampliamente en el control estadístico de procesos y el control estadístico de la calidad del producto. Lo que se pretende con este tipo de grafico es describir en donde se presenta el mayor porcentaje del problema y que factores lo afectan. Este concepto, se conoce como la regla de 80-20, considera que el 80% de la actividad se debe al 20% de los factores . Al concentrarse en el 20% de los factores, los gerentes pueden atacar el 80% del problema. DIAGRAMA DE BARRAS Tienen el mismo uso que los datos categóricos, solamente que intervienen dos variables, una que representa el tiempo y la otra cantidad (Ingresos, ventas, IPC, Costos, No. De unidades producidas, etc.). Dependiendo de lo que se quiera representar se ofrecen los diagramas de barras simples, de componentes, bidireccionales y seccionados. GRÁFICAS DE LINEA Se ilustra mediante segmentos de línea los cambios en cantidades con respecto al tiempo. Son especialmente útiles en el comercio y en los negocios. DATOS NUMÉRICOS HISTOGRAMAS Una de las maneras más comunes de representar una distribución de frecuencia. Su grafica consiste en un conjunto de barras, en la que la base de cada barra representa una clase o intervalo, indicada en el eje horizontal, y la altura por su frecuencia, indicada en el eje vertical. Generalmente las barras se trazan adyacentes una a la otra. POLÍGONO DE FRECUENCIA De segmentos de línea que conectan los puntos formados por la intersección del punto medio de clase y la frecuencia de clase absoluta, relativa o porcentual. OJIVA Es un polígono acumulado de frecuencia absoluta, relativa o porcentual y por lo tanto representa segmentos de línea que se origina al conectar los puntos formados por la intersección entre el límite inferior de cada clase con la frecuencia acumulada. Es conocida como polígono de frecuencia acumulada menor que, ya que muestra el número o porcentaje de observaciones menores a cierto valor. La ojiva es importante porque nos permite extrapolar información que la distribución de frecuencia oculta y así como calcular estadísticos como la mediana, cuartiles, deciles y percentiles, en forma aproximada. Para construir la ojiva se debe primero elaborar la distribución de frecuencia menor que. UNIDAD N° 3 IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS FECHA INICIAL: 20 de junio FECHA DE CULMINACIÓN: 2 de septiembre TIEMPO PROBABLE: 36 horas TIEMPO REAL: 36 horas TEMAS: Identidades trigonométricas fundamentales y pitagóricas, demostración de identidades, identidades para ángulos dobles: seno, coseno y tangente, medidas de tendencia central y sus relaciones: la media, mediana y la moda, medidas de dispersión. CLASE No. 14 FECHA: UNIDAD Nº: 3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Identidades trigonométricas fundamentales y pitagóricas, demostración de identidades. ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Emplea el teorema de Pitágoras para verificar algunas identidades trigonométricas. Utiliza identidades trigonométricas para demostrar nuevas identidades. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. Ejercicios demostrando identidades trigonométricas. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Identidades Trigonométricas.pdf CLASE No. 15 FECHA: UNIDAD Nº: 3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS TEMA: Identidades para ángulos dobles: seno, coseno y tangente. ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Emplea el teorema de Pitágoras para verificar algunas identidades trigonométricas. Utiliza identidades trigonométricas para demostrar nuevas identidades. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, recordando el tema anterior y prosiguiendo a la explicación minuciosa de donde salen las fórmulas. Objetivos ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar identidades para ángulos dobles. CONTENIDOS TEORICOS: CLASE No. 16 FECHA: 12 de septiembre UNIDAD Nº 4: CÓNICAS TEMA: Circunferencia. Ecuación canónica y general de la circunferencia. ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono. Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Encuentra la ecuación de la circunferencia, dando centro y radio. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. Charla sobre temas de actualidad. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf CLASE No. 17 FECHA: UNIDAD Nº 4: CÓNICAS TEMA: La parábola y sus elementos. Ecuación canónica y general de la parábola. ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono. Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Halla correctamente los elementos de una parábola. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: Internet ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DGB3_4_3.pdf CLASE No. 18 FECHA: UNIDAD Nº 4: CÓNICAS TEMA: La hipérbola y sus elementos. Ecuación canónica y general de la hipérbola. ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono. Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Halla correctamente los elementos de una hipérbola. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: Internet ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf CLASE No. 19 FECHA: UNIDAD Nº 4: CÓNICAS TEMA: La elipse y sus elementos. Ecuación canónica y general de la elipse. ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono. Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Halla correctamente los elementos de una elipse. RECURSOS: Libro, tablero, marcadores. BIBLIOGRAFIA: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN Saludo, control de asistencia. ACTIVIDADADES DE DESARROLLO Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior explicación por medio de ejemplos. ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser revisados en la clase siguiente. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase. CONTENIDOS TEORICOS: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DGB3_4_3.pdf