Download 6) En el lanzamiento de tres dados consideramos la variable

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISCRETAS

IDEA INTUITIVA DE VARIABLE ALEATORIA

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TIPICA DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA

VARIABLE ALEATORIA DE LA DISTRIBUACIÓN BINOMIAL O DE
BERNUILLI

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
CUESTIONES
PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS
PROBLEMAS DE JUEGOS
PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES BINOMIALES
IDEA INTUITIVA DE VARIABLE ALEATORIA
Comencemos estudiando algunos ejemplos sencillos.
1 . Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas. El espacio muestral es
E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}
Supongamos que a cada uno de estos sucesos le asignamos un número real, por ejemplo el número de caras
obtenidas.
Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral en el conjunto de los
números reales.
A esta función, que denotaremos por X, la llamamos variable aleatoria. En este ejemplo, la función X asocia a
cada terna el número de caras que contiene.
2. Supongamos ahora que lanzamos dos dados. El espacio muestral de este experimento aleatorio es
E = {(1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1), ..., (6,1), ..., (6,6)}
La ley que asocia a cada resultado la suma de los puntos obtenidos en cada dado es una variable aleatoria que
toma los valores
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
3. Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 judías verdes de una plantación y medir su
longitud. La ley que asocia a cada judía su longitud es una variable aleatoria.
4. En un estudio antropométrico realizado sobre 1 000 varones se les ha medido el perímetro craneal. La ley que
asocia a cada uno de los varones su perímetro craneal es una variable aleatoria.
Se llama variable aleatoria a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral un
número real.
Según como sean los recorridos de las variables, éstas se pueden clasificar en discretas o continuas:
• Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros.
Las variables de los ejemplos 1 y 2 son discretas.
• Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles
dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Las variables de los ejemplos 3 y 4 son continuas.
En esta unidad limitaremos el estudio a las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas, en
la siguiente dedicaremos el estudio a las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas.
FUNCION DE PROBABILIDAD
Supongamos que hemos lanzado 240 veces un dado perfecto y obtenemos los siguientes resultados:
Caras
1
2
3
4
5
6
Nº de veces
40
39
42
38
42
39
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Resultados obtenidos
Cara F. Absoluta
F. relativa
1
40
0.1667
2
39
0.1625
3
42
0.1750
4
38
0.1583
5
42
0.1750
6
39
0.1625
240
1

La distribución de frecuencias, absolutas y relativas, de los
resultados obtenidos y los resultados esperados a la vista
del cálculo de probabilidades son:
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Cara
1
2
3
4
5
6

Resultados esperados
N.º de veces Probabilidad
40
1/6=0,16667
40
1/6=0,16667
40
1/6=0,16667
40
1/6=0,16667
40
1/6=0,16667
40
1/6=0,16667
240
1
1
Si nos fijamos en los resultados de la derecha observamos que a cada valor de la variable aleatoria le hacemos
corresponder su probabilidad. A esa ley se le llama función de probabilidad, ley de probabilidad o
distribución de probabilidad.
La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función que, a cada valor de la variable
aleatoria, le hace corresponder la probabilidad del suceso asociado.
 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD
Todas las funciones de probabilidad cumplen las siguientes propiedades:
1. Al ser los valores pi probabilidades, se tiene que 0≤pi ≤1.
2. De igual forma ∑ pi =p1+p2+p3+....+pn=1
Ejemplo (1):
En el lanzamiento de dos dados consideramos la variable aleatoria que asocia a cada resultado el mayor
de los números obtenidos. Halla la función de probabilidad asociada a dicha variable aleatoria.
El espacio muestral del experimento consta de 36 pares ordenados E={(1,1),(1,2), (1,3),...(6,6)}, en el cual todos
los sucesos son equiprobables. Sea la variable aleatoria X = máx (a, b) . El recorrido de dicha variable es el
conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Calculamos la probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable.
p1 = p(x = 1) = p{(1,1)} = 1/36; p2 = p(x = 2) = p{(l, 2), (2, l), (2, 2)} = 3/36. De la misma forma se obtiene:
p3 = 5/36, p4 = 7/36, p5 = 9/36 y p6 = 11 /36.
El resultado puede colocarse en la tabla:
X = máx (a, b)
Probabilidad pí=p(X=xi)
1
1/36
2
3/36
3
5/36
4
7/36
5
9/36
6
11/36
FUNCION DE DISTRIBUCIÓN
En muchas situaciones es más interesante conocer la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un
valor menor o igual que xi, que la probabilidad en el propio valor xi. Para ello, vamos a definir una nueva función,
a partir de la función de probabilidad, que llamaremos función de distribución.
La función de distribución de una variable aleatoria discreta X, cuyos valores suponemos ordenados de
menor a mayor, es una función que a cada valor x i de la variable aleatoria le hace corresponder la
probabilidad acumulada hasta este valor. La llamaremos F(x) y cumple:
F(xi) = p(X  xi)

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
Consideramos una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de probabilidad:
X
Probabilidad pi=p (X=xi)
X1
p1
X2
p2
X3
p3
...
…
Xn-1
pn-1
xn
pn
Según la definición anterior, la función de distribución será:
X
F(x)
x<x1
x1≤x<x2
x2≤x<x3
...
xn-1≤x<xn
xn≤x
0
p1
p1+p2
...
p1+p2+...+pn-1
1
2
Podemos observar las siguientes propiedades:
1. Para cualquier valor de la variable menor que el primer valor de ésta, la función de distribución es
cero.
Si x<x1, F(x)=0
Se trata de la probabilidad del suceso imposible.
2. Para cualquier valor de la variable mayor o igual que el último valor de ésta, la función de distribución
es uno.
Si x  xn, F(x)=1
Se trata de la probabilidad del suceso seguro.
3. La función de distribución F(x) es constante en el intervalo [xi, xi+1).
Si x  [xi, xi+1), entonces:
F(x)=p(X≤xi)=p(X=x1)+p(X=x2)+ …+p(X=xi)
Las gráficas de la funciones de distribución adoptan forma de escalera y decimos que son funciones
escalonadas.
4. La función de distribución F(x) es creciente.
Si xi<xj, entonces F(xi)≤F(xj)
La prueba de esta propiedad es como sigue:
Se cumple que:
F(xj)=p(X≤xj)=p(X≤xi)+p(xi<X≤xj)=F(xi)+p(xi<X≤xj)
Como p(xi<X≤xj)≥0, por ser una probabilidad, decimos que F(xi) ≤F(xj).
La probabilidad de ocurrencia de que la variable aleatoria X tome los valores comprendidos entre x i y
xj, puede calcularse mediante la función de distribución. Es consecuencia de la propiedad anterior el
siguiente hecho.
5.
p(xi<X≤xj)=F(xj)-F(xi)
Ejemplo (2):
Basándonos en el ejemplo (1). Hallar y representa la función de distribución asociada a dicha
variable aleatoria.
Ya conocemos la función de probabilidad:
X = máx (a, b)
Probabilidad pí=p(X=x¡)
1
1/36
2
3/36
3
5/36
4
7/36
5
9/36
6
11/36
3
La función de distribución y la gráfica de dicha función serán:
x
F(x)
X<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x<6
6≤x
0
1/36
4/36
9/36
16/36
25/36
1
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
En el estudio de las distribuciones estadísticas de frecuencias se calculaban las medidas centrales y de
dispersión, que nos servían para expresar de forma resumida las principales características que poseía dicha
distribución.
En las distribuciones de probabilidad podemos proceder de forma similar, definiendo la media aritmética, o el
valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Consideremos el ejemplo anterior, en el que se ha lanzado un dado 240 veces. Sustituyendo los valores de la
frecuencia relativa por los de la probabilidad, obtendremos la media y la varianza de una distribución teórica.
Distribución experimental
xi
hi
xi hi
xi 2
1
0.1667 0.1667 1
2
0.1625 0.3250 4
3
0.1750 0.5250 9
4
0.1583 0.6332 16
5
0.1750 0.8750 25
6
0.1625 0.9750 36
1
3.4999
xi2 hi
0.1667
0.65
1.575
2.5328
4.375
5.85
15.1495
1
2
3
4
5
6
La media aritmética de la distribución experimental es:
La media aritmética de la distribución teórica es:
Distribución teórica
xi pi
xi pi
xi 2
1/6
1/6
1
1/6
2/6
4
1/6
3/6
9
1/6
4/6
16
1/6
5/6
25
1/6
6/6
36
1
21/6
xi2 pi
1/6
4/6
9/6
16/6
25/6
36/6
91/6
= ∑xi hi=3.4999
μ= ∑xi pi=21/6=3.5
Se llama media de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, ..., xn, con probabilidades p1, p2, ...,
pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresión:
μ= x1p1+ x2 p2+…+ xn pn= ∑xi pi
A la media también se le llama valor esperado o esperanza matemática.

La expresión valor esperado hace referencia a los juegos de azar. En caso de un juego, μ o E(x) expresa
el valor esperado por un jugador que participa una sola vez en el juego.
4
La varianza de la distribución experimental es: s2= ∑xi2 hi –2=15.1495-3.49992=2.9002
La varianza de la distribución teórica es: σ2=∑xi2 pi- μ2=15.167-3.52=2.917
Se llama varianza de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, ..., xn, con probabilidades p1, p2,
..., pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresión:
σ2=∑xi2 pi- μ2= x12 p1+ x22 p2+…+ xn2 pn - μ2
o bien:
σ2=∑(xi- μ)2pi=(x1- μ)2p1+...+(xn- μ)2pn
La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica y se representa por σ.
Ejemplo (3):
Hallar la media o valor esperado, varianza y desviación típica de la variable aleatoria de los ejemplos (1) y
(2) , cuya función de probabilidad es:
X = máx (a, b)
Probabilidad pí=p(X=x¡)

1
1/36
2
3/36
3
5/36
4
7/36
5
9/36
6
11/36
media:
Aplicando la expresión de la definición, obtenemos:
μ = 1∙1/36+2∙3/36+3∙5/36+4∙7/36+5∙9/36+6∙11/36=161/36=4,47

varianza:
Por medio de la expresión σ2=∑xi2 pi- μ2 , obtenemos:
σ2=12∙1/36+22∙3/36+32∙5/36+42∙7/36+52∙9/36+62∙11/36-(4,47)2=1,99

la desviación típica será: σ=
1,99  1,41
Los valores pequeños de la varianza y la desviación típica indican que los valores de la variable aleatoria se
encuentran próximos a la media o valor esperado.
♣ Ejemplo (4):
Un jugador lanza tres monedas. Recibe 100 €, si salen tres caras; 25 €, si salen 2 caras; y nada, si sale
cualquier otra combinación. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que el jego fuese equitativo o
justo?
La función de probabilidad asociada a este juego es:
x
100
25
0
Pi
1/8
3/8 4/8
El valor esperado es:
μ=100∙1/8+25∙3/8+0∙4/8=175/8=21,875
Por tanto, el precio de la apuesta por jugar en este juego debe ser de 21,875 €.
5
VARIABLE ALEATORIA DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL O DE BERNUILLI
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
1.ª
En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A y su contrario
Ā. Para distinguirlos con más facilidad, al suceso A lo llamaremos éxito, y al suceso Ā fracaso.
2.ª
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.
3.ª
La probabilidad del suceso A es constante y, por tanto, no varía de una prueba a otra.
Representamos por p a la probabilidad de A y por q a la probabilidad de Ā.
Todo experimento que tenga estas características, diremos que sigue el modelo de la distribución binomial.
A la variable X, que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos
variable aleatoria binomial.
Esta variable es discreta, ya que únicamente toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., n, suponiendo que se han realizado n
pruebas.
Representaremos por B(n,p) a la variable de la distribución binomial, siendo n y p los parámetros de dicha
distribución.
Ejemplo (5):
Una marca de tabacos ha determinado que el porcentaje de fumadores en una ciudad es del 35 %. Se escoge al azar
una muestra formada por 10 personas. Comprobar si la variable que expresa el número de fumadores dentro de la
muestra sigue una distribución binomial. En caso afirmativo, señalar los parámetros de la distribución.
a) En cada prueba sólo son posibles dos resultados:
A = «individuo fumador», y Ā = «individuo no fumador».
b) El resultado obtenido de la pregunta (FUMA o NO FUMA), en cada individuo de la muestra, es independiente de los
otros.
c) La probabilidad del suceso A, p = p(A) = 0,35, es constante.
Así pues, la variable que representa el número de individuos fumadores en la muestra es una variable aleatoria que puede
tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Los valores n = 10 y p = 0,35 son los parámetros de la distribución, que representaremos por B (10, 0,35).
Ejemplo (6):
Lanzamos un dado 20 veces. Observamos, en cada caso, si la puntuación obtenida es múltiplo de tres.
Comprueba si la variable que expresa el número de veces que se ha obtenido un múltiplo de tres sigue la
distribución binomial. En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.
En cada tirada sólo son posibles dos resultados:
A = obtener múltiplo de tres y Ā = no obtener múltiplo de tres.
Los resultados obtenidos en cada uno de los 20 lanzamientos son independientes entre sí. La probabilidad de
obtener múltiplo de tres, p = P(A) = 2/6 = 1/3, es constante en cada lanzamiento
Por tanto, la variable que expresa el número de veces que se ha obtenido un múltiplo de tres puede tomar los
valores: 0, 1, 2, 3, ..., 19, 20.
Los valores n = 20 y p = 1/3 son los parámetros de la distribución binomial, que designaremos por B(20, 1/3).
6
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ya hemos visto, mediante el ejemplo del juego, una idea intuitiva de la función de probabilidad de la distribución
binomial.
Supongamos un experimento aleatorio cuyos resultados únicamente pueden ser el suceso A «éxito» y el suceso
Ā = «fracaso», con probabilidades p y q =1-p, respectivamente.
Realizamos n pruebas del experimento y deseamos saber la probabilidad de obtener r éxitos en las n pruebas.
1º Consideremos uno de los casos en los que se obtienen r éxitos en las n pruebas. Sea el suceso:
r éxitos
n-r fracasos


B=A ∩ A ∩…∩ A ∩ Ā ∩ Ā ∩...∩ Ā
La probabilidad de este suceso, teniendo en cuenta la independencia en pruebas sucesivas, será:
r veces
n-r veces
 
p(B) = p(A) · p(A) ·...· p(A) · p(Ā) ·(Ā) ·…· p(Ā) =pr · qn-r
2º Ahora bien, hay que considerar todas las maneras posibles de obtener r éxitos y n – r
fracasos, que son las permutaciones de n elementos entre los que hay r repetidos y, a su vez
n – r repetidos, es decir:
PRnr, n-r=
n
n!
=  
r!(n  r )!  r 
“número combinatorio de n sobre r”
3º Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos, se
tiene.
n
r 
p(obtener r éxitos) = p(X = r) =   ·pr· q n-r
Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de la distribución binomial o función de
probabilidad de la distribución de Bernoulli.
Expresamos la función de probabilidad en forma de tabla:
r
0
1
p
n n
  q
0
 n  n-1
  p·q
1 
2
 n  2 n-2
  p · q
2
…
n
…
n n
  p
n
7
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
Veamos un caso particular de la distribución binomial, aquel en el que únicamente se realiza una prueba en lugar
de n.
A esta variable se le llama variable aleatoria de Bernoulli. La función de probabilidad de esta variable es la
siguiente:
Valor de la variable
1
0
Probabilidad
p
q =1-p

La media o esperanza matemática será:
μ = 1·p + 0·q = p

La varianza será:
σ2=(1-p)2·p+(0-p)2·q=(1-2p+p2)p+p2(1-p)=p(1-p)=pq
Consideremos ahora el caso de una distribución binomial con n pruebas repetidas; únicamente tendremos que
multiplicar por n los resultados anteriores, entonces se tiene:
Media:
μ = n·p
Varianza:
σ2= n·p·q
Desviación típica
n pq
σ=
Estas expresiones son las que se denominan fórmulas para obtención de μ y σ.
Ejemplo (7):
Se supone que la probabilidad de nacer niño es del 0,50. Calcula la probabilidad de que en una familia de
seis hijos sean:
a) Todos varones.
b) Al menos, dos varones.
c) Tres varones.
d) Calcula la media y la desviación típica.
Estamos ante una distribución binomial B(6, 1/2), de parámetros n = 6 y p = 1/2 = 0,5.
Sea X la variable que expresa el número de hijos varones en las familias de seis hijos.
 6  1 
   
 6  2 
a) Que todos sean varones: P (X = 6)= 
b)
6
= 0,015625.
Que, al menos, haya dos varones: P (X≥ 2) =1 - P (X < 2) = 1 - P (X = 0) - P (X =1)=
 6  1   6 1  1 
          = 1 - 0, 109375= 0,890625
 0   2  1  2  2 
6
5
= 1  
 6  1   1 
c) Que tres sean varones: P (X =3)=      = 0,3125.
 3  2   2 
3
1
=3 varones.
2
la desviación típica vale: σ = n  p  q =
3
d) La media es: μ =n.p=6.
6  1 / 2  1 / 2 =1,225
8
Ejemplo (8):
En un grupo de 10 alumnos de un centro educativo se ha comprobado que cada uno de ellos falta a clase
el 5 % de los días. Calcular la probabilidad de que un día determinado:
a) no se registre ninguna ausencia; b) falten a clase más de 5 alumnos; c) no asista a clase ningún alumno;
d) falte a clase un único alumno; e) falten a clase menos de 3 alumnos.
Sea X la variable aleatoria discreta que expresa el número de alumnos que faltan a clase, X sigue una distribución
binomial de parámetros B(10; 0,05),
a) p(X = 0) =
10 
 0,9510 = 0,599
0 
b) p(X > 5) = p(X = 6) + p(X = 7) + p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10)=
10 
10 
10 
10 
 10 
 0,056∙0,954+   0,057∙0,953+   0,058∙0,952+   0,059∙0,951+   0,0510= 2,75∙10-6
8 
6 
7 
9 
10 
= 
10 
 0,0510 =0,0510= 9,8∙10-14
10
 
c) p(x=10)= 
10 
 0,05∙0.959=10∙0,05∙0,959= 0,315
1 
d) p(x=1)= 
10 
10 
10 
0,9510 +   0,05∙0,959+   0,052∙0,958 =
0 
1 
2 
e) p(x<3) = p(x=0) + p(x=1) + p(x=2)= 
= 0,599 + 0,315 + 0,075 = 0,989
Ejemplo (9)
Una prueba de inteligencia está compuesta por 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro
respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y decide
contestar a lo loco, es decir, aleatoriamente. Se pide:
a)
Probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntas.
b) Probabilidad de no acertar ninguna.
c) Probabilidad de acertar todas.
d) Probabilidad de acertar al menos ocho.
e) Probabilidad de acertar a lo sumo tres.
Consideremos los sucesos A = «contestar bien»
 p(A)= 0,25
y Ā = «no contestar bien» 
p(Ā)= 0,75
Por tanto, se trata de una distribución binomial de parámetros B(10; 0,25).
Sea X la variable aleatoria que representa el número de preguntas contestadas correctamente, entonces se
tiene:
10 
 0,254 0,756 = 0, 1460
4
 
10 
b) p(no acertar ninguna)=p(X=0)=   0,7510 = 0,0563
0 
10 
c) p(acertar todas) = p(X=10)=   0,2510 ≈ 0
10 
a) p(acertar 4) = p(X = 4)= 
d) p(acertar al menos 8) = p(X ≥8) = p(X = 8) + p(x = 9) + p(X = 10) =….= 0,0004
e) p(acertar a lo sumo 3) = p(X ≤ 3) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3)= ...= 0,7759
9
CUESTIONES
1) ¿Qué entiendes por variable aleatoria? Pon un ejemplo.
2) ¿Qué diferencia existe entre una variable aleatoria continua y una discreta? Pon un ejemplo.
3) ¿Sabrías explicar la diferencia entre variable estadística y variable aleatoria?
4) ¿Qué entiendes por función de probabilidad?
5) ¿Cómo se representan gráficamente las funciones de probabilidad?
6) Estudia la veracidad de la siguiente afirmación: La función de probabilidad de una variable aleatoria
discreta nos proporciona la probabilidad puntual de cada valor de la variable.
7) ¿Cuánto tienen que sumar todas las probabilidades puntuales de una variable aleatoria de tipo discreto?
8) ¿Es posible obtener la función de distribución a partir de la función de probabilidad?
9) Imagínate la representación de una función de distribución. ¿Cuánto vale F(x) para los valores de x
anteriores al menor de la variable?
10) ¿Cuánto vale la función de distribución F(x) para los valores de x posteriores al mayor de la variable?
11) ¿Pueden ser los valores de una función de distribución mayores que la unidad?
12) ¿Pueden ser los valores de una función de distribución negativos?
13) ¿Cómo es la representación gráfica de una función de distribución de variable aleatoria discreta?
14) ¿A qué se llama esperanza matemática de una variable aleatoria discreta?
15) Si el 60 % de los alumnos de una clase aprueba una determinada asignatura, ¿cuántos alumnos se
espera que aprueben en una clase de 40?
16) ¿Qué mide la varianza de una distribución?
17) ¿Qué condiciones tienen que cumplirse en una distribución para que siga el modelo de la binomial?
18) ¿A qué se llama parámetros de la distribución binomial?
19) Escribe la función de probabilidad de la distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,6.
20) Si una distribución binomial tiene por parámetros n = 50 y p = 0,6, ¿cuál será la desviación típica?
21) Tenemos dos distribuciones binomiales: B(20, 0,6) y B(100, 0,23). ¿Cuál tiene mayor dispersión?
22) Para las distribuciones de la cuestión anterior, ¿cuál tendrá mayor media? Razona tu respuesta.
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PROBLEMAS DE VARIABLES DISCRETAS
1)
Indicar si las siguientes variables son discretas o continuas:
a) Coches matriculados en un día.
b) Distancia recorrida por un ciclista en una temporada.
c) Peso de los melones de un campo.
d) Bolígrafos existentes en las papelerías.
e) Tiempo de espera en una parada de autobús.
f) Letras que escribe un estudiante en un examen.
g) Diámetro de las sandías de un campo.
h) Grosor de los troncos de los árboles de un bosque.
i) Número de jugadas en una partida de ajedrez.
Se lanzan dos monedas y se estudia el número de caras que aparecen. Calcular:
a) Los valores que toma la variable.
b) La función de probabilidad.
Solución: a) 0,1,2; b) P(X=0)=1/4; P(X=1)=1/2; P(X=2)=1/4
2)
3)
Se lanzan dos dados y se anota la suma de sus puntos. Definir los valores de la variable y
calcular:
a) La función de probabilidad.
b) La función de distribución.
Solución: a) X puede tomar los valores 2, 3, 4,..., 12.; P(X=2)=1/36, P(X=3)=2/36; P(X=4)=3/36;
P(X=5) = 4/36; P(X=6)= 5/36; P(X=7)=6/36; P(X=8)=5/36; P(X=9)=4/36; P(X=10)=3/36;
P(X=11)=2/36; P(X=12)= 1/36.
b) La función de distribución F(X) se define como F(x i)=P(X ≤xi). En este caso:
F(2)=P(X≤2) =P(X =2)=1/36; F(3)=P(X≤3)=P(X=2)+P(X=3)=3/36; F(4)=6/36; F(5) =10/36
F(6)=15/36; F(7)=21/36; F(8)=26/36; F(9)=30/36; F(10)=33/36; F(11)=35/36; F(12)=36/36 = 1
4) En una urna hay 5 bolas blancas, 8 bolas negras y 7 bolas verdes. Se extraen, con devolución, 3 bolas
y se estudia el número de bolas blancas que aparecen.
a) Calcular la función de probabilidad.
b) Comprobar que la suma de todos los valores de la función de probabilidad es 1.
c) Calcular la media o esperanza matemática.
d) Hallar la varianza y la desviación típica.
Solución; a) La variable X es el número de bolas blancas que aparecen en 3 extracciones. Por
tanto, puede tomar valores 0, 1, 2 y 3. Sus probabilidades son:
P(X=0)=27/64; P(X=1)=27/64; P(X=2)=9/64; P(X=3)=1/64;
c) μ=0,75; σ=3/4.
5) De una baraja de 40 cartas se sacan, con devolución, 4, y se anota el número de ases que aparecen.
Hallar:
a) La función de probabilidad.
b) La función de distribución.
c) La media o esperanza matemática.
d) La desviación típica.
Solución: a) La v.a. puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3 y 4. P(X=0)=0,6561); P(X=1)=0,2916; P(X=2)=0,0486;
P(X=3)=0,0036; P(X=4)=0,0001
b) F(0)=P(x≤0)=0,6561; F(1)=P(X≤1)=0,9477; F(2)=P(X≤3)=0,9963; F(3)=P(X≤3)=0,9999;
F(4)=P(X≤4)=1
c) μ=0,4
d) σ=0,6
6) En el lanzamiento de tres dados consideramos la variable aleatoria consistente en anotar el número de
múltiplos de tres que aparecen.
a) Halla su función de probabilidad y represéntala.
b) Determina su función de distribución y represéntala.
c) Halla la media y la desviación típica.
Sol.: a) P(X=0)=64/216; P(X=1)=96/216; P(X=2)=48/216; P(X=3)=8/216.
c) μ=1; σ=0.8165
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