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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PUBLICA DIRECCION GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL MATEMÁTICAS 1er semestre Aritmética, A PARTIR DE LA METODOLOGÍA CONTEXTUAL Y APRENDIZAJE DE GRUPOS OPERATIVOS AGOSTO 2015 1 FUNDAMENTACIÓN En este material se utiliza la metodología contextual y el aprendizaje cooperativo de grupos para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, permitiéndoles realizar una reflexión individual primero y grupal después, sobre el tema a estudiar. METODOLOGÍA CONTEXTUAL. La Dirección General de Educación Tecnológica Industrial ha buscado métodos y técnicas de enseñanza que eficiente el proceso Enseñanza-Aprendizaje; así por ejemplo se implementó el proyecto “piloto” denominado Matemática Aplicada a contextos tecnológicos, sin embargo debido a que éste modelo fue creado para un grupo social determinado, se generaron nuevos problemas en el subsistema. Ante ésta situación se propone a los docentes crear un modelo acorde a las condiciones de nuestra idiosincrasia, incorporando el Aprendizaje contextual que considera que el aprendizaje es un proceso complejo que va más allá de los métodos orientados a la ejercitación y a la relación estimulo respuesta. Esta teoría dice que el aprendizaje ocurre, cuando el estudiante procesa la información o el conocimiento, de tal manera que lo que aprende tiene sentido dentro de su marco de referencia, siempre y cuando le sea útil. Por lo cual se recomienda estimular al educando, para que elija entornos de aprendizaje, tales como, laboratorios, aulas o alguna actividad al aire libre, de manera tal, que vaya adquiriendo experiencias sociales, culturales, físicas y psicológicas. En éstos medios los estudiantes aprenden a relacionar ideas abstractas y a aplicarlas al mundo real, a través de la resolución de problemas. Es importante la disposición del docente, para cambiar la forma tradicional de enseñar, por una enseñanza más participativa en relación con lo cotidiano, que permita el desarrollo de habilidades, de expresión oral y escrita del estudiante; así como de sus habilidades mentales y manuales, ¿cómo podemos lograr más con menos?. No se duda que en el transcurso del tiempo hemos aprendido más sobre técnicas de enseñanza y todas logran un objetivo, pero, ¿por qué regresamos en 2 matemáticas a lo tradicional? (gis, pizarrón, borrador, apuntes etc.); sin duda porque las matemáticas se enseñaron escribiéndolas sobre el pizarrón, sin reflexionar ni razonar, quizá porque nuestros maestros no sabían utilizar un retroproyector o un software, sin permitirnos construir nuestro propio conocimiento; pero se ha demostrado que el estudiante aprende más cuando construye, explora, descubre e inventa, que cuando actúa como receptor únicamente o utiliza métodos memorísticos, por lo cual en éste trabajo se trata de guiar al estudiante a que construya en su razonamiento, los pasos y metodología propias para resolver el problema mediante una reflexión del planteamiento del problema. Las habilidades actuales requeridas por los estudiantes son: Personalidad, Razonamiento, Lectura de comprensión, Escritura y Aritmética. La Personalidad es la habilidad de relacionarse con otros individuos dentro y fuera del aula, el desarrollo de la autoestima y la responsabilidad individual. El razonamiento es la habilidad de pensar y resolver un problema viéndolo como un sistema y no como un conjunto de problemas y tareas aislados. Para que los estudiantes desarrollen habilidades personales, se requiere que ellos mismos les enseñen a otros, que aprendan a ser lideres y a trabajar con diversa gente de otras culturas; así serán más creativos, tomarán decisiones, resolverán problemas y aprenderán a razonar. Cuando un estudiante logra transferir el conocimiento del aula a la práctica profesional se logra la retención del conocimiento. Además de relacionar las distintas materias del plan de estudios, los docentes pueden reforzar el proceso de Aprendizaje, involucrando a los estudiantes en actividades manuales y experiencias concretas, como otro método para reforzar dicho proceso, con prácticas de laboratorio, experimentos, proyectos que requieran de los estudiantes participación activa, que les estimule el interés y la motivación por aprender. 3 APRENDIZAJE COOPERATIVO DE GRUPOS. Es el proceso que maximiza el aprendizaje cooperativo en pequeños grupos mediante: 1. El compartir conceptos 2. El apoyo mutuo 3. La celebración del éxito en conjunto Este método tiene 5 características básicas 1. Equipos de aprendizaje heterogéneo cara a cara 2. Interdependencia positiva 3. Responsabilidad individual 4. Entrenamiento en habilidades interpersonales 5. Reflexión La siguiente tabla muestra la diferencia que hay entre los dos modelos del proceso Enseñanza-aprendizaje. Modelo tradicional Transmisión de información fáctica Nuevo modelo Propósito Encontrar, desarrollar y aplicar el conocimiento Organización Aula aislada del mundo y del Estudiantes vinculados con la trabajo, maestros y estudiantes comunidad, maestros y trabajan solos. estudiantes trabajan en equipo. Función del “Transmisor de conocimientos Facilitador, coordinador, guía maestro Función del Receptor de información fáctica Compromiso activo para el estudiante aprendizaje Contenido Materias académicas tradicionales, Programas integrados, para inteligencias verbales y lógico adaptados para múltiples matemáticas. inteligencias. Método Clase pregunta y respuesta, poca Cuestionamiento, atención a estilos de aprendizaje descubrimiento aprendizaje contextual y métodos aplicados. Evaluación Prueba de información fáctica Basada en el desempeño y la resolución de problemas. 4 Para obtener un mayor grado de aprovechamiento se recomienda: 1. Que el estudiante aprenda a enseñar y a aprender de sus compañeros. 2. Evitar distracciones de los estudiantes cuando trabajen en equipo. 3. Empezar formando equipos de 3 elementos, después incrementar el número poco a poco hasta un máximo de 5. 4. Integrar el aprendizaje cooperativo, invitando a los estudiantes a que lean el material de manera individual y luego trabajen en equipo. El maestro podrá calificar uno de los trabajos en presencia del grupo, para que los alumnos aprendan a calificar los demás. 5. Asignar a cada integrante de equipo una tarea especifica ( leer, anotar, verificar etc. ), estimulando con esto la participación activa del estudiante, motivándolo a que haga las preguntas pertinentes o sugiera soluciones a los problemas, elogiándole sus buenas ideas u opiniones. 6. Indicar claramente, que espera como resultado del trabajo en grupo. 7. Observar el funcionamiento de los equipos mientras ellos trabajan, estimulando la responsabilidad individual. 8. Mencionar los detalles que observó en el transcurso de la actividad, y como pudieran mejorarlos, recompensando también el buen comportamiento de los estudiantes. 9. Nota: Este trabajo está en proceso de conformación, por lo que se aceptan todo tipo de sugerencias y modificaciones conforme se esté aplicando en los distintos planteles del subsistema. 5 Símbolos utilizados en el desarrollo de éste material Representa una actividad de motivación Representa una actividad de estudio Representa Trabajo en equipo Representa una actividad complementaria 6 TEMARIO 1. - ARITMÉTICA 1.1. - Sistemas numéricos 1.1.1. - Números naturales 1.1.2. - Números enteros 1.1.3. - Números racionales 1.1.4. - Números irracionales 1.1.5. - Números reales 1.2. - Razones y proporciones 7 1. ARITMÉTICA En el desarrollo del saber de los pueblos antiguos, el aspecto matemático fue evolucionando hasta representar objetos por medio de símbolos, naciendo así el primer conjunto de números, llamados números naturales. El concepto de número natural sufre una serie de ampliaciones a través del desarrollo de las matemáticas; una de éstas es la de considerar al cero como un número, que representaría a todos los conjuntos nulos o carentes de elementos, otra ampliación es la que se refiere a los números fraccionarios y a los números irracionales; esta nos lleva al concepto de número negativo, que transforma a todo el sistema numérico. De esta manera, definiremos la Aritmética como la rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones que con ellos se pueden realizar. Esta rama sobresale por su exactitud y precisión, es extensa y útil en sus aplicaciones, se estudian las propiedades esenciales de los números, las relaciones numéricas entre sí y las 4 operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) con enteros y fracciones; así como el cálculo de potencias, raíces y logaritmos. Se basa en el uso de diez cifras o guarismos y de numerosos signos. El conocimiento de la Aritmética ha tenido una gran influencia en el desarrollo de las Ciencias Naturales, Económicas, Administrativas y Tecnológicas. 8 1.1. SISTEMAS NUMÉRICOS 1.1.1. Números naturales: A través de la historia el ser humano ha tenido la necesidad de contar, y diferentes ideas para poder hacerlo, probablemente en sus inicios lo hizo utilizando los dedos de sus manos y después con rayas en el suelo, piedras, varas etc., motivando con ello tener que agrupar y formar los diferentes Sistemas Numéricos. Pero, ¿qué contaba?, contaba la cantidad de animales que tenía que cazar, la extensión de sus tierras, la cantidad de personas de las tribus enemigas, etc. Como podrás darte cuenta y si reflexionas un poco, todos tenemos la necesidad de contar, piensa un poco y pregúntate ¿cuánta gente vive en tu casa?, ¿Cuál es el salario de tu papá?, ¿cuántas cuadras hay de tu casa a la escuela?, observa que es importante el proceso de contar y que para ello existe un tipo de números que analizaremos a continuación. ¿Cuántos estudiantes se encuentran en el salón? ______ ¿cuántos hombres? ______ ¿cuántas mujeres? ______ , ¿cuántos años tienes? _____. ¿Aproximadamente cuantos estudiantes conforman tu escuela? ______. 9 ¿Cuántos habitantes serán en tu ciudad? _______, ¿y en tu estado? _______, ¿en tu país? _________ ,¿en el mundo? __________________. ¿Cuántas hojas de cuaderno tamaño profesional en total, hay en tu grupo? ____________, ¿cuántas páginas? _______, ¿aproximadamente cuál será el total de páginas en toda la escuela? ______________. Muchos números, ¿verdad?. Unos pequeños, unos grandes, otros mucho más grandes. ¿Cómo supiste todo esto?, claro, a través de los años e incluso desde tu infancia dentro de tu hogar. Pero aterricemos esta idea, tratemos de sintetizar sus características recordando como le hiciste para contestar las primeras cuatro preguntas. 1. El conjunto de números que nos sirven para ________________ se llaman naturales. 2. Todo número natural tiene un número antes que él, que se llama _______________ y uno que le sigue llamado ________________. 3. El único número que no tiene antecesor pero sí un sucesor es el ___________. 4. Entonces este conjunto de números inicia con el número ____________ y termina con el número ____________. ¿Seguro? ________. Los números naturales son los que sirven para contar, lo representamos con la letra N, y consta de los siguientes elementos: N= 1, 2, 3, 4, 5, ... , Contar un conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de los números naturales comenzando con el uno. 10 Cuando una cantidad continua ha sido real o imaginariamente seleccionada en elementos artificiales iguales, el conjunto de esos elementos se comporta de una manera similar a las cantidades discretas y puede por lo tanto ser objeto de conteo. A partir del concepto anterior podríamos contestar lo siguiente: 1. Levanta un inventario de pupitres de tu salón. _________ 2. ¿Cuántas especialidades hay en tu plantel? _________ 3. Realiza un conteo de focos o lámparas que hay en tu salón._________ 4. ¿Cuántos cuadernos tienes en este momento? _________ 5. ¿Cuántos salones tiene tu escuela? _________ 6. Cuántos maestros diferentes te dan clase? _________ 7. ¿Cuántas materias cursas en este semestre? _________ 8. ¿Cuántos jugadores conforman un equipo de fútbol soccer?________ 9. ¿Cuántas naranjas son dos docenas? _________ 10. ¿A cuántos gramos equivale medio Kilogramo? _________ 11 1.1.2. Números enteros: Los números enteros son aquellos que se utilizan comúnmente en la vida diaria. Ejemplo: Se encuentra un caracol en el fondo de un pozo que mide 6 m de profundidad; para salir sube 3 m durante el día y en la noche desciende 1 m, ¿Cuánto tiempo tardará en salir del pozo?. Definición: Los números enteros es el conjunto formado por los enteros positivos y negativos incluyendo al cero. Los podemos representar gráficamente sobre la recta numérica, donde el cero es el punto de partida, a la derecha son positivos y a la izquierda negativos. NEGATIVO S POSITIVOS -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Operaciones con números enteros: Propiedades de los números: Los aspectos preliminares para la realización de las cuatro operaciones básicas, es el uso de la ley de los signos y el uso de los signos de agrupación que auxilian a la demostración de las propiedades: a) Asociativa: Sin importar de que manera se agrupen los sumandos, la suma o total no se altera. ejemplo: 3 + 4 + 5 + 6 = ( 3 + 4) + ( 5 + 6 ) = 3 + (4 + 5 + 6 ) 12 b) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma ejemplo: 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 = 2 + 4 + 3 c) Distributiva: Esta ley relaciona el producto con la suma, y dice; un producto puede ser igual a una suma y recíprocamente, la suma igual a un producto, puesto que la igualdad es simétrica. ejemplo : 3 ( 4 + 5 ) = ( 3 ) ( 4 ) + ( 3 ) ( 5 ) 3 ( 9 ) = 12 + 15 27 = 27 Signos de agrupación: ( ) paréntesis [ ] corchetes { } Llaves Barra o vinculo Aplicaciones: Contesta las siguientes preguntas. a) Si tienes $20.00 y compras 4 artículos de $5.00 cada uno, después de la compra, ¿Cuánto dinero te sobró? R. ________________________________ b) ¿Qué temperatura crees que haya en el polo norte? R. ________________________________ 13 c) Tienes 24 refrescos y llegan a tu casa 30 amigos, si les das un refresco a cada uno de ellos; 1.- ¿Repartimos todos los refrescos? R. ______________________ 2.- ¿Te sobran o te faltan? R. ______________________ 3.- ¿Cómo representas ese número? R. ______________________ d) ¿Cómo se llaman los números que utilizaste para dar las respuestas anteriores? _________________________ Jerarquía de las operaciones: Deben efectuarse en el siguiente orden, el cual es el utilizado por las calculadoras científicas: a) Potencias y raíces b) Después cocientes y productos c) Y al final sumas y restas Observa los siguientes ejemplos de operaciones, eliminando signos de agrupación: a) 4(5 - 7) = 20 - 28 = - 8 b) 6(4 -10) + (5 + 2) (8 - 1) = 6(-6) + 7(7) = -36 + 49 = 13 c) (3 - 5){ -4 + (2 - 7)(6 - 3) - (3 - 10)} =-2{-4 + (-5)(3) -(-7)} = -2{-4 -15 +7} = -2{12} = 24 14 EJERCICIO 1 1. Verifica las siguientes adiciones y sustracciones: a) (4+5+3)+8= e) 150 – [ ( 5 – 1 ) - ( 4 – 3 ) ] = b) 60 – ( 8 + 5 + 7 ) = f) 450 – [ 6 + { 4 – ( - 3 – 1 )}] = c) ( 43 – 15 ) – 19 = g) 500 – { 6 + [ ( 14 – 6 ) – ( 7 – 2 ) + ( 4 – 1 ) ]} = d) (9–4)+(3+2+5)= h) [8+(4–2)]+[9–(3+1)]= 2. Verifica los siguientes productos: a) ( 20 –14 ) ( 8 – 6 ) = b) ( 50 x 6 x 42 x 18 ) 9 = c) ( 11 – 4 ) 5 – 4 ( 6 + 2 ) + 4 ( 5 – 3 ) – 2 ( 8 – 6 ) = d) 6 [ 3 + ( 5 – 1 ) 2 ] = 3. Verifica los siguientes cocientes respetando la jerarquía de las operaciones: a) 8 + 6 3 = b) 6 2 + 8 4 = c) (5 x 6 x 3 ) 15 = d) ( 9 – 6 ) 3 + ( 15 – 3 ) ( 7 – 3 ) + ( 9 3 ) = 15 Problemas de aplicación EJERCICIO 2: 1. Vendí una casa perdiendo $3189.00, preste $2006.00 y me quede con $15184.00, ¿cuánto era el costo total de la casa? 2. Si vendo un caballo en $84,000.00, ganando $18,000.00, ¿cuánto me había costado el caballo? 3. Compré 14 trajes a $300.00, 22 sombreros a $20.00 y 8 bastones a $50.00. Vendiendo los trajes por $5,600.00, cada sombrero a $10.00 y cada bastón a $30.00, ¿gano o pierdo? y ¿cuánto?. 4. Un padre de familia desea repartir equitativamente un terreno rectangular de 200 m x 25 m entre 8 familiares. ¿Cuál es el área que le toca a cada uno? 5. Un operador de una máquina motoconformadora gana $25.00 por hora. Si trabaja 40 horas a la semana, ¿cuál es su sueldo mensual? 6. ¿Cuál será el costo de 12 piezas de acero que miden 42 m, si sabemos que cada metro cuesta $ 6.00? 7. Un técnico de la construcción tiene que cortar trozos iguales de 2 tablones de madera que tienen las siguientes longitudes: 9 y 15 m Respectivamente, ¿cuál será la longitud máxima de cada trozo? 8. En una fábrica de perfumes se elaboran tres productos de diferentes volúmenes: 120, 160 y 240 cm.3 respectivamente. a)¿Qué volumen debe tener la caja en donde se van a empacar los perfumes para que contengan un número exacto de cada uno de los productos?. b)¿Cuántos productos de un mismo volumen cabrían en esa caja? 9. Se tienen dos hojas de lámina de aluminio, una tiene un área de 36 m 2 y la otra de 48 m2, se van a cortar en piezas de igual superficie sin desperdiciar material, ¿cuál será el área máxima de las piezas? 16 10. La siguiente figura representa el diseño de una pieza mecánica que se instalará en una fabrica, en la cual se muestran varios orificios que se encuentran a la misma distancia entre sí, ¿Cual es la distancia entre estos orificios?. 10 m 10 m 40 m 17 1.1.3. Números racionales: Arturo fue al mercado y realizo las siguientes compras: 1 3 Kg de carne, Kg de 2 4 1 azucar, 2 Kg de arroz y 1 Kg de frijol. ¿cuántos Kg compro en total entre todos 4 los productos? Los números racionales son aquellos que se representan en forma de fracción: a b a y b son números enteros b 0, porque la división por cero no existe Los números enteros a y b reciben el nombre de “términos de la fracción”, separados mediante una línea horizontal, como se muestra: 2 numerador 7 denominador Indica las partes que se toman de la unidad Indica el número de partes en que se divide la unidad Otras formas de representación son: a a) Como una división: b) Como una razón: b a = k = a b (representación decimal) (comparación de partes iguales “a” es a “b”) b 18 Una fracción puede ser: a) Impropia: Si el numerador es mayor que el denominador. 6 ejemplo: 5 b) Propia: Si el numerador es menor que el denominador. 3 ejemplo: 4 c) Mixta: Si está formada por una parte entera y una fracción propia. ejemplo: 5 2 3 Fracciones equivalentes: Son aquellas que se escriben en forma diferente, pero tienen el mismo valor. ejemplos: 6 3 10 Es equivalente a 5 15 5 Es equivalente a 6 2 Las fracciones equivalentes son muchas y variadas, para hallarlas bastará con multiplicar al numerador y denominador por un mismo número. Ejemplos: 2 4 3 4 = 8 5 3 12 7 3 = 15 21 La comparación de cada par de números racionales, nos proporciona una razón de orden, indicado con los símbolos: > Mayor que < Menor que Las fracciones equivalentes con el signo = Igual 19 Para determinar si una fracción es mayor o menor que otra se efectúan los siguientes pasos: Ejemplo 1 Se escriben las fracciones separadas por un espacio es decir: 3 1 2 3 Multiplicar el numerador 3 de la primera fracción por el denominador 3 de la segunda fracción: 3 x 3 = 9 Multiplicar el numerador 1de la segunda fracción por el denominador 2 de la primera fracción: 1 x 2 = 2 Identificar el numerador que dé el mayor producto, el cual será la fracción mayor, en este caso el producto mayor es 9, por lo que la fracción que tiene el numerador 3 es mayor, es decir: 3 > 2 1 3 que se lee tres medios es mayor que un tercio. Ejemplo 2 Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor 5 8 3 4 5 x 4 = 20 8 x 3 = 24 El mayor producto es 24 y corresponde al denominador 8 por lo tanto 5 8 < que se lee cinco tercios menor que ocho cuartos. 3 4 20 Ejemplo 3 Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor 1 - 3 - 2 2 -1x2=-2 -3x2=-6 El mayor producto es - 2 y corresponde al denominador 1 por lo tanto 1 - > 2 - 3 2 que se lee menos un medio es mayor que menos tres medios. Nota: recuerda que en el caso de los números negativos, el mayor es el que se encuentra situado más a la derecha en la recta numerica. Si los valores de los productos cruzados coinsiden, las fracciones son iguales Ejemplo: 3 2 = 6 4 El producto 3 x 4 = 12 y el producto 6 x 2 = 12 . Por lo tanto las fracciones son iguales. EJERCICIO 2. 1. Al repartir un pastel a nueve personas, habrá que dividir el pastel en partes iguales, a cada una de las partes se les llama:______________ 21 2. Un padre de familia deja un terreno como herencia a sus tres hijos, el cual tiene las siguientes dimensiones: 63 m de largo y 15 m de ancho ¿cuánto le corresponde en fracción de terreno a cada hijo, si se reparte equitativamente?__________________ ¿Obtener la cantidad de área que le corresponde a cada hijo? 3. Escribe los símbolos de >; < ó =, entre cada pareja de números racionales según corresponda: 1) 3) 5) 7) 9) 4 2 7 5 1 2 2 4 6 3 10 8 1 3 3 9 3 3 4 7 2) 4) 6) 8) 10) 31 19 8 7 7 21 2 6 2 7 9 3 5 5 4 6 4 8 7 14 En las fracciones comunes, al igual que en los números enteros, se utilizan las operaciones fundamentales de: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. 22 Las siguientes actividades explican el significado de la suma y resta de fracciones, de tal manera que podrás deducir la regla para sumar fracciones con igual o diferente denominador. Actividad No. 1 “ Suma y resta de fracciones con igual denominador” Material que se utiliza para un equipo de 5 estudiantes: 10 hojas blancas tamaño carta. Tijeras para papel. Regla o escuadra. Técnica: a) Se corta la hoja en 4 partes iguales. 2 b) Se suman 4 1 + 4 3 = 4 c) Se empalman las tiras representativas en una hoja blanca que nos represente el entero y se comprueba el resultado. Actividad No. 2 “Resta de fracciones con el mismo denominador”. Material por equipo: 10 hojas blancas tamaño carta. Tijeras para papel. Regla o escuadra. Técnica: a) Se siguen los pasos semejantes que la actividad 1, sólo que ahora en lugar de empalmar tiras representativas de papel, se quitan. 2 4 - 1 4 = 1 4 23 Actividad No. 3 “Suma de fracciones con distinto denominador”. Material: 80 hojas tamaño carta. 1 40 hojas con tiras de. 1 a 2 20 40 hojas con los dibujos indicados de las fracciones desde 1 2 Regla o escuadra a 1 20 Lápiz o lapicero Tijeras para papel Técnica: a) Que cada estudiante divida su hoja en mitades, tercios, cuartos, etc..... hasta vigésimos respectivamente. b) Se procede a efectuar operaciones como por ejemplo: 1 + 3 1 5 5+3 = 8 = 15 15 c) Hallando el común denominador los estudiantes, saben a quien deben acudir, es decir en éste caso el estudiante que tenga dibujados los quinceavos, solicitará las fracciones que se están sumando a los estudiantes que corresponda y procediendo a empalmar las fracciones en la hoja de los quinceavos, obteniendo así el resultado que concuerde con el inciso b. Resta de fracciones con distinto denominador. Material: el mismo de la práctica anterior. Técnica: a) Se procede a efectuar las operaciones 3 5 - 1 2 24 1 Para este caso, se empalma la fracción en la parte derecha de los 2 leyéndose el resultado en el entero que represente a los decimos. 3 - 5 1 6-5 = 2 3 , 5 1 = 10 10 Nota: Comprueba los tres resultados con el uso de tu calculadora. Multiplicación y división de fracciones: a) Multiplicación: Regla : Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. El resultado se simplifica si es posible. Ejemplos: 3 x 4 3 2 3 1 2 x 6 = 2 = 12 3 4 1 2 2 5 7 = 11 x 2 4 2 1 x 3 = 77 = 8 = 15 9 5 8 NOTA: En el producto de tres o más fracciones se efectúa el mismo procedimiento. b) División: Para efectuar la división de fracciones veremos dos métodos a considerar los cuales son: Método 1: Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y se coloca el resultado como numerador de la nueva fracción, después se multiplica el primer denominador por el segundo numerador y se coloca el resultado como denominador de la fracción resultante, simplificándose de ser necesario, (comúnmente conocido como productos cruzados). 25 Ejemplo: 3 4 1 = 3 9 1 4 2 5 3 5 = 6 Método 2: Se invierte la segunda fracción de la división y ésta se convierte en una multiplicación de fracciones por lo que habrá que aplicar la regla ya conocida para un producto de fracciones. Ejemplo: INVERTIR 5 3 5 2 6 = x 3 6 2 30 = 6 = 5 INVERTIR 4 5 4 2 8 = x 5 8 32 = 2 10 16 = 5 EJERCICIO 3: 1) Instrucciones: Resuelve los siguientes incisos utilizando las técnicas ya explicadas y las prácticas elaboradas: a) Contesta: 1. ¿Cómo está formada una fracción común? 2. ¿Qué nos representa el numerador y denominador de una fracción? 3. ¿Qué es una fracción impropia? 4. ¿Cómo se obtiene una fracción equivalente? 26 b) Resuelve: 5 1) 2 + 3 3 3) 4 - 3 5) 2 5 7) 4 9 9) 1 - 2 4) = 6) = 5 = 4 7 8) 3 - + 3 7 = 1 3 - = 1 5 - = 2 7 4 10) 2 8 2 = 2 + 5 3 7 1 4 3 4 + = 2 5 + 2) = 2 9 = c) Aplicando las reglas para productos y cocientes con fracciones resuelve lo siguiente: 1) 5 x 9 3) 5 12 x 8 5) 3 x 4 3 9) 7 2 4) = 4 6) 4 2 8) 2 x 2 3 27 = 3 8 = 12 4 = 6 9 7 10) 2 5 3 = = 7 = 3 12 2 7 2 = 2 3 x 2) 3 4 5 7) 3 = 5 6 = 1.1.4. Números irracionales ¿Alguna vez has utilizado números irracionales? Se desea calcular la longitud de un lado de una pista de baile de forma cuadrada, cuya área es 16 u2 Definimos los elementos: x = lado del cuadrado x A = 16 u2 A = área del cuadrado La fórmula del área del cuadrado es: A = ( x ) ( x ) = x2 x Si A = x2 , obteniendo raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tenemos que: = X2 Por lo tanto X = A Sustituyendo el valor del área X = 16 A El resultado obtenido es el número que multiplicado por si mismo nos da el valor de 16 esto es ( 4 ) ( 4 ) ó ( -4 ) (-4 ), el valor negativo se desprecia , el valor del lado del cuadrado es : X=4u 28 ¿Qué crees que sucedería, si el área del cuadrado fuera de 2 U2? X = A = 2 ¿Qué número multiplicado por si mismo es igual a 2? Si hacemos ( 1 ) ( 1 ) = 1 y ( 2 ) ( 2 ) = 4, entonces el número buscado deberá estar entre 1 y 2. Aproximándonos al número buscado, por ejemplo: 3 3 2 2 9 = 4 Este resultado es mayor que nuestro 2 por lo tanto, el número es menor de 1.5, 3 que es el equivalente en decimal a ; de lo anterior podrás observar que no 2 es fácil expresar 2 como el cociente de dos números. Ahora recurre a tu calculadora y obtendrás: 2 = 1.4142135...... Por lo tanto podemos decir que este es un número irracional Definición de número irracional: Número Irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros. El conjunto de los números irracionales se representa por la letra Q; como son: 2 , 17 , 3 , entre otros, o constantes numéricas como: 5 , e, etc. Cuando trabajamos con irracionales, éstos se aproximan a un racional, dependiendo de la precisión deseada. Ejemplo: = 3.14 (con dos decimales). = 3.1416 (con cuatro decimales). = 3.14159265 (con ocho decimales) = 3.1415926535897932384626433832795 (con 31 decimales) 29 Observa los siguientes números y subraya los irracionales: ; 2 16 ; 4 ; 9 3 5 ; = 3.14156 . . . Investiga si en otras materias se usan números irracionales. Actividad No. 1 Comprobación aproximada del valor del número irracional . Material: Tapas circulares de diferentes tamaños Cinta métrica Regla Lápiz y borrador Procedimiento: Se miden el perímetro y el diámetro de cada tapa anotando en una tabla los valores correspondientes. Se divide el valor del perímetro entre el valor del diámetro y se anota en la tabla. Tabla sugerida: PERÍMETRO TAPA PERÍMETRO DIÁMETRO DIÁMETRO 1 2 3 30 Observa que todos los resultados obtenidos tienen un valor aproximado de 3.1....., no importando el tamaño de la tapa, a este valor se le llamo “ ”. 1.1.5. Números reales USO COTIDIANO DE LOS REALES: En una planta industrial los trabajadores tienen una jornada diaria de trabajo de 8 horas de lunes a sábado. Todo trabajo realizado después de este tiempo se contabiliza como tiempo extra y se lleva un registro por trabajador. La empresa paga el salario mínimo durante el tiempo normal y por cada hora extra paga el doble, de lunes a viernes. Paga el triple, por tiempo extra del sábado, y si labora en domingo paga el cuádruple por hora trabajada. El supervisor de producción recopiló la siguiente información de un equipo de trabajo: HORAS DIARIAS TRABAJADAS NOMBRE LUN. MAR. MIE. JUE. VIE. SAB. DOM. A. MARTÍNEZ 8 9.5 12.4 11.3 8 12.5 3.1 J. CRUZ 8 8.5 9.3 9 8.5 9.4 2 R. NAVARRETE 10 9.6 12.5 8 11.5 8.3 3.5 HERNÁNDEZ 8 8 8 8.7 8 9 0.0 R. ALBOR 8.5 9.8 8.7 8 9.3 9.5 2.5 N. AGUILAR 9 9.5 8.2 8 8 10.5 3.5 31 C. FERNÁNDEZ 8.5 8.5 9.5 10.3 10.5 9.7 2 EJERCICIO 4 1. ¿Qué trabajador ha laborado el mayor número de horas de trabajo semanalmente? R. ___________________________________________ 2. ¿Cuál es el trabajador que laboró el menor número de horas extras? R. ___________________________________________ 3. ¿Cuánto ganó Martínez por su horario normal? R. ___________________________________________ 4. ¿Cuánto pagó la empresa a la semana por este equipo de trabajo? R. ___________________________________________ 5. ¿Cuánto pagó la empresa por las horas extras? R. ___________________________________________ 6. Por el horario normal ¿cuánto pagó la empresa? R. ___________________________________________ 7. Sí estos empleados trabajaran bajo el mismo ritmo durante un mes ¿Cuál sería la nómina a pagar mensualmente?, ¿Cuánto al año? R. ___________________________________________ 32 Números reales: El conjunto de números reales está formado por el conjunto de números racionales e irracionales y pueden ser positivos o negativos, pueden ser representados en una recta numérica continua observándose que a cada número le corresponde “uno y solo uno” de los puntos de la recta, por ejemplo dado R = 7, , 3/5, 4 {- } 4 -7 0 3 5 Se pueden realizar entre ellos las 4 operaciones básicas, la potenciación y la radicación. Potenciación: Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base por si misma cuantas veces lo indique el exponente: an = ( a )( a )( a ) . . . BASE 53 = (5)(5)(5) = 125 EXPONENTE 33 POTENCIA Base: Es el número que se multiplica por si mismo. Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base. Potencia: Es el resultado de la operación. Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer las propiedades o leyes de los exponentes. am amn n a m>n am an am amn a0 1 n a m =n am 1 nm n a a m <n 1.-Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman. Ejemplo: ( 32 ) ( 3 4 ) = 3 2 + 4 = 3 6 2. Cuando dos potencias de la misma base se dividen, es igual a la misma base y se eleva a la diferencia de los exponentes, es decir, el del numerador menos el del denominador. Ejemplo: 36 = 36-2 = 34 32 3. Si una potencia se eleva a un exponente, se escribe la base elevada al producto de los exponentes. Ejemplo: ( 52 )3 = 5(2)(3) = 56 4. Si un término cualquiera formado por dos o más factores se eleva a un exponente, éste afecta por igual a cada factor. 34 Ejemplos: a) ( 3 x 8)2 = 32 x 82 2 3 b) 32 = 82 8 5. Si una cantidad está elevada a un exponente negativo, es igual a una fracción, donde el numerador es la unidad y el denominador es la misma cantidad con exponente positivo, como se muestra enseguida: Ejemplos: 4-2 = a n bm . b m a n 1 1 53 3 1 5 53 1 ; 42 6.-. Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad Ejemplo 25 25 5 2 0 1 25 25 1 ; 25 ; 2 0 1 Radicación: La radicación es la operación inversa a la potenciación. 82 = 64 = 64 8 Un radical, también puede expresarse en forma de una potencia de exponente fraccionario, siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del exponente será el exponente del radicando, y el denominador el índice de la raíz. Exponente del Radicando Radical Índice n m an = Exponente fraccionario am Base Radicando 35 5 Ejemplo: x x 3 3 5 3 ; 5 7 5 7 3 Reglas de los signos de radicación: a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva 3 64 4 7 ; 128 2 b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa 3 64 4 ; 9 512 2 c) Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor absoluto, pero de diferente signo 25a 4 5a 2 ; 6 4096 4 d) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de los números reales, ya que su resultado es visto en el campo de los números imaginarios. No hay solución en el campo de los números reales, porque no existe un número que al 7 i 7 multiplicarse por si mismo nos de un resultado igual a – 7. Simplificación de radicales: Simplificar un radical, significa escribirlo en su forma más simple. Ejemplo: 12 Simplificar Solución: Descomponer el 12 en sus factores primos: 12 6 3 1 2 2 3 36 Significa que 12 se puede escribir de la forma : 12 = 2 x 2 x 3 , esto es; 12 = 22 x 3 Cambiando la expresión de = =12 22 x 3 12 = 12 = 22 2 x 3 3 Ejemplo: 3 Simplificar 432 Solución: Se descompone en factores primos el número 432 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 3 3 3 Significa que 432 se puede escribir como: 432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, por la ley de los exponentes podemos escribir esta expresión como: 432 = 24 x 33, como el índice de la raíz es 3, entonces, escribimos esta expresión en función del índice de la raíz: 432 = 23 x 2 x 33, esto es, que: 3 432 3 (23 )( 2)(33 ) Efectuando las operaciones, se tiene: 3 (23 )( 2)(33 ) (2)(3)3 2 63 2 Ejemplo: 37 Simplificar: 32 Expresamos la raíz de la raíz, en función de un solo radicando, es decir: 32 4 32 = Descomponiendo el 32 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 24 2 Se multiplican los índices de los radicales. Por lo tanto: 4 32 4 24 (2) 24 2 OPERACIONES CON RADICALES. SUMA Y RESTA DE RADICALES. Para sumar o restar dos o más radicales, se suman o restan los radicales que sean semejantes, es decir, aquellos que tengan el mismo radicando e índice. Ejemplo 1. Realizar la suma de los siguientes radicales 3 5 3 2 3 (1 5 2) 3 4 3 Ejemplo 2. Realizar la suma de los siguientes radicales a 4 a 2 b 5 b (1 4) a (2 5) b 5 a 7 b Ejemplo 3. Realizar la suma de los siguientes radicales 12 128 50 200 Para resolver este tipo de ejercicios primero se debe simplificar cada uno de los radicales que intervienen en la suma. 12 4 * 3 = 2 3 38 128 64 * 2 = 8 2 50 25 * 2 = 5 2 200 100 * 2 = 10 2 Quedando la expresión de la siguiente manera. 2 3 + 8 2 + 5 2 + 10 2 = 2 3 + (8+5+10) 2 = 2 3 + 23 2 Observa que los radicales que no son semejantes se dejan indicados en la operación. Ejemplo 4. Realizar la suma y la resta de los siguientes radicales. 3 24 3 192 3 81 Simplificando la expresión se obtiene: 3 24 3 23 (3) = 2 3 3 3 192 3 43 (3) = 4 3 3 3 81 3 33 (3) = 3 3 3 quedando la expresión de la siguiente manera: 2 3 3 - 4 3 3 + 3 3 3 = (2-4+3) 3 3 = 3 3 Ejemplo No. 5. Realiza la siguiente suma y resta de radicales. 3 6 -5 =3 6 -5 3 = 3 6 -5 = 3 2 + 4 24 + 2 3 128 3 6 -5 2 +4 3 3 (4)(6) + 2 2 + 4(2) 2 +8 3 (64)( 2) 6 + 2 (8) 6 + 16 3 3 2 2 = ( 3 + 8 ) 6 + ( - 5 + 16 ) 3 2 = 11 6 + 11 3 2 39 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES. En expresiones del mismo índice se multiplican los coeficientes del radical y los radicandos conservando el misma índice del radical. Ejemplo 1. Realizar la siguiente multiplicación de radicales. (4 5 )( 8 5 ) = ( 4)(8) (5)(5) = 32 25 = (32)(5) = 160 Ejemplo 2. Realizar la siguiente multiplicación de radicales. (5 3 )( 6 2 ) = (5)(6) (3)( 2) = 30 6 En las expresiones de diferente índice o radicando: se aplica la siguiente ley de los radicales. ( n a x )( m by ) = nm (a mx b ny ) Ejemplo 3. Realizar la siguiente multiplicación de radicales. ( 1 2 )( 2 3 2 ) = ( 1)( 2) ( 2)(3) 2 =2 6 2 Ejemplo 4. Realizar la siguiente multiplicación de radicales ( 2 3 24 )( 6 15 5 32 ) = ( 2)( 6) ( 3)( 5) (2( 4)(5) )(3(3)( 2) ) = 12 (215 )(25 )(36 ) = ( 12)( 2) 15 (25 )(36 ) = 24 15 (32)(729) = 24 40 15 23328 15 (220 )(36 ) = 12 Explica con tus propias palabras el principio o ley para multiplicar radicales con diferente índice. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ DIVISION DE RADICALES. En las expresiones del mismo índice, se dividen los coeficientes de los radicales y de los radicandos, conservando el mismo radical. Ejemplo 1. Realizar la siguiente división de radicales 6 14 6 14 2 2 3 7 3 7 Ejemplo 2. Realizar la siguiente división de radicales 3 15 El resultado 3 5*3 1 1 5 5 1 se debe racionalizar, para ello, se multiplica el numerador y el 5 denominador por el radical del denominador. Tomemos la expresión como ejemplo para racionalizar 1 5 5 5 )( ) 5 5 5 25 ( El objetivo de racionalizar es que ningún radical debe quedar en el denominador Ejemplo 3. Racionalizar la expresión ( 3 7 (3)(7) 3 7 )( ) 7 7 (7)(7) 21 21 7 49 41 División de radicales con diferente índice o radicando. Se transforman los radicales hasta obtener índices o radicandos comunes, se dividen los coeficientes y los radicándoos, conservando el radical común y se simplifica la expresión. Ejemplo 4. 3 5 1/ 3 5 15 6 6 6 = 1/ 5 = 3 2 2 2 15 15 6 5 15 7776 15 972 8 23 Observa que las expresiones que tienen el mismo índice son, 65 / 15 , ahora 23 / 15 transformándola nuevamente a radical tendremos: 15 15 65 2 3 = 15 65 = 23 15 (2 5 )(35 ) = 23 15 (22 )(35 ) 15 972 Otra forma de resolver radicales con diferente índice es aplicando la fórmula siguiente: n ax m y b mn a mx bny Ejemplo 5. Resuelva la expresión: 5 52 4 73 (5)( 4) 5( 4)( 2) 20 58 20 390625 20 8.227908144 x108 0.442348411 ( 5)( 3) 15 12 7 7 4.747561509 x10 EJERCICIO 5 Resuelve los siguientes ejercicios: 42 1. 2592 2. 3. 68 4. 5. 27 4 6. 1250 8. 4 1280 10. 3 7. 4 9. 3888 3 250 3 48 216 32 81 4158 EJERCICIOS. 6 1.- 3 2 3 7 3 10 3 2.- 3.- 12 2 108 7 3 10 5 2 20 4. 8 5.- 50 125 6.- 3 7.- 9.- 3 5 2 3 4 6 5 4 5 8 5 2 3 7 5 10 3 10.- Actividad No. 5. Conocimiento de los números reales: Material: 1 hoja de papel de cuadrícula grande. 1 tijera para papel. 1 regla o escuadra. 1 lápiz y borrador. 43 12 3 7 3 8.- 3 2 3 12 3 3 2 3 7 3 10 3 Desarrollo: Dibujar un cuadrado de 10 x 10 y cortarlo, numerándolo del 1 al 100 como se indica: 1 2 20 19 21 22 40 39 41 42 60 59 61 62 80 79 81 82 100 99 3 18 23 38 43 58 63 78 83 98 4 17 24 37 44 57 64 77 84 97 5 16 25 36 45 56 65 76 85 96 6 15 26 35 46 55 66 75 86 95 7 14 27 34 47 54 67 74 87 94 8 13 28 33 48 53 68 73 88 93 9 12 29 32 49 52 69 72 89 92 10 11 30 31 50 51 70 71 90 91 Utilizando la tabla anterior realiza las siguientes operaciones: a) Determina la suma de la primera columna 1 + 20 + 21 + 40 + 41 + 60 + 61 + 80 + 81 + 100 = 505 b) Determina la suma de la primera fila 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 + 9 + 10 = 55 Determina la suma de la segunda fila 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 155 Determina la suma de la tercera fila 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 255 c) Observa los resultados del inciso anterior. ¿Podrías predecir el resultado de la suma de la cuarta fila? ____________ ¿cuál será? _______________. 44 5. Una fábrica requiere construir un nuevo almacén que le de un espacio de 5000 m2, si el almacén va ha ser cuadrado, ¿cuántos metros tendrá por lado? A = 5000 m2 l l = lado del cuadrado I= A = 5000m2 I= A 5000 La fórmula del área del I= cuadrado es: A = ( l ) ( l ) = l2 70.71 m l Apoyado en la recta numérica y usando números reales resuelve los siguientes ejercicios: 1. Si Luis Miguel tiene $10.00 y le pagan $4.00 que le debían: a) Representa esto en una recta numérica R= 10 0 14 b) Hacer la operación con números reales: R = ____________________________ 2. Juan Manuel tiene un peso de 100 kg., se puso a dieta. En el primer mes bajó 9 kg., y en el siguiente mes bajo 11.4 kg. ¿cuál es su peso después de los dos meses de dieta? R = ____________________________ 3. Grafíca en la recta numérica los siguientes números reales: 3 , 8 , 2 4 3 45 - 1 3 , 16 0 4. Escribe en forma de potencia, los siguientes productos: a) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) = R= __________________________ b) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = R= __________________________ c) ( -6 ) ( -6 ) = R= __________________________ 5. Resuelve las operaciones que se indican, aplicando las Leyes de los Radicales: a) 25 36 b) 46 4 9 1.2. Razones y proporciones Actividad No. 6. El objetivo es establecer comparaciones para comprender los conceptos de razón y proporción. Material: Una cubeta de plástico. Un recipiente de dos litros. Un recipiente de 100ml, (0.1 litro) Agua Desarrollo: De una cubeta llena de agua, vierte el contenido en el recipiente de dos litros, hasta completar un litro y medio, ayudado por el recipiente de 100 ml. Observa cuantas veces se tuvo que llenar el recipiente de 100 ml. Haz la comparación entre litro y medio y 100 ml de los dos recipientes. Conclusión:________________________________________________________ __________________________________________________________________ ¿Cuál es el resultado de dividir 1500 ml (1.5 lts.) entre 100 ml.?, ¿será esta la operación una razón?._________________________________________________________ 47 Razón: Es la relación comparativa que existe entre dos cantidades de la misma especie. Cuando se comparan dos cantidades, pueden hacerlo por diferencia (razón aritmética) y por cociente (razón geométrica). La razón se compone de dos términos, antecedente y consecuente, ejemplo: Antecedente 9 - 5 9 consecuente Antecedente 5 consecuente Proporción: Se define como la igualdad entre dos razones y se escribe como: 6 - 4 = 10 - 8 Proporción aritmética Proporción geométrica 2 2 : 1 :: 6 : 3 6 = 1 Razón 3 Razón Proporcionalidad: Dos cantidades son proporcionales cuando al variar una de ellas, la otra también varía. Proporcionalidad directa: Cuando al aumentar una cantidad la otra también aumenta o cuando disminuye una la otra también lo hace. Proporcionalidad inversa: Cuando al aumentar una cantidad la otra disminuye o cuando disminuye una de ellas la otra aumenta. 48 Tanto por ciento: Se llama Tanto por ciento de una especie ó unidad, a una ó varias de las cien partes en que se puede dividir dicha especie ó unidad; y se simboliza por: % n 100 Ejemplos: 1. La mamá de Luis va a comprar tela para mandar hacerse un vestido. El metro de tela de popelina cuesta $ 15.00, mientras que el de seda cuesta $ 90.00. ¿cuántos metros de popelina puede comprar?, con el dinero que necesita para la compra de un metro de seda?. Y ¿ cuál es la diferencia entre el costo de un metro de seda y un metro de popelina? Datos: Precio del metro de popelina = $15.00 Precio del metro de seda = $90.00 X = diferencia de precio de seda y popelina Y = cociente de precio de seda entre popelina Operaciones: X = precio de 1m de seda – el precio de 1m de popelina X = $90.00 - $15.00 X = $75.00; este resultado se le llama razón aritmética Y = Costo de un metro de seda Y = Costo de un metro de popelina 49 $90.00 = 6 $15.00 Y = 6 veces más caro el metro de seda; a este resultado se le llama razón geométrica 2. Un estudiante del C.E.T.i.s. No. 163 va a comprar sus útiles escolares y cursará 7 materias; en cada una utilizará una libreta que le cuesta $15.00 ¿cuánto tendrá que pagar por 7 libretas? Datos: Una libreta = $15.00 7 libretas = $X Operaciones: 1 7 15 x o 115: :7 : x a esta igualdad se le llama proporción Despejando X resulta: X = ( 7 ) ( 15 ) X = $105.00 Se observa que a más libretas compradas más dinero gasta, a esto se le llama proporción directa. 3. Dos estudiantes de computación tardan en capturar un trabajo 2.5 hrs.; 5 estudiantes ¿cuánto tiempo necesitan para realizarlo? Datos: 2 estudiantes 5 estudiantes tiempo 1 = 2.5 hrs. tiempo 2 = X Operaciones: Procediendo en forma directa quedaría: 50 2 2.5 5 x x en donde (5)( 2.5) 6.25 hrs. 2 Esto es un error ya que no es posible que 5 estudiantes ocupen más tiempo en realizar el trabajo, lo cual nos indica que la proporción no es directa, sino inversa, y procedemos de la siguiente manera: Se invierte cualquiera de las razones para convertir a proporción inversa, es decir: 2 x 5 2.5 x (2.5)( 2) 1 hr. Este resultado es el correcto. 5 1. Pedro tiene $20.00 y Juan $10.00, ¿Cuáles son las razones aritmética y geométrica de lo que tiene Pedro en relación a lo que tiene Juan? R = Razón aritmética = $10.00 Razón geométrica = El doble 2. El costo normal de un refrigerador es de $8,200.00, pero al pagar al contado se hace un descuento del 12%, ¿Cuánto paga un cliente al adquirir de contado el refrigerador? R = $7,216.00 3. La distancia de una ciudad a otra es de 220 km., un autobús tarda en recorrer ésta distancia 2.75 hrs. a 80 km/hr, ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si aumenta la velocidad a 110 km/hr? R = 2 hrs 4. Si al papá de Juan le aumentan el sueldo en un 10%, a la quincena ganaría $3,795.00, ¿Cuánto gana actualmente?. R = $3,450.00 5. En un grupo de 54 estudiantes, el 33.33% son mujeres, ¿Cuántos hombres hay en el grupo?. R = 36 hombres 6. Si una camisa cuesta $60.00 y tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó?. R = $48.00 51 7. Un agricultor quiere comprar un tractor que le cuesta $130,000.00, pero él tiene $80,000.00 y le han prometido rebajarle un 12% de lo que pueda pagar al contado lo restante lo pagará en letras mensuales cargadas al 8%, ¿Cuánto pagará el agricultor finalmente?. R = $57,152.00 8. Calcule el porciento indicado en cada caso: 20% de 50 R = 10 140% de 1000 R = 1400 0.5% de 200 R=1 9.- En la plaza Cristal, ofrecen un descuento del 35% en el departamento de farmacia. Una señora compró medicinas por un monto de $1300.00. ¿ Cuánto pagó en total, considerando su descuento? R = $845.00 52