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Sucesión de Fibonacci
Es una sucesión infinita de números naturales que inicia con 0 y 1, y a partir
de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…
Propiedades:
Los números de Fibonacci pueden
quedar definidos por la siguiente
ecuación:
fn=fn-1+fn-2
Esto produce los números: f0=0, f1=1,
f2=1, f3=2, f4=3 y así sucesivamente
de manera infinita.
Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número
limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto
a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2.
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de
3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc.
Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos
posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es
decir:
Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a
uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás:
fn + 1= fnx2−fn – 2
La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n
+ 2 menos uno. Es decir:
f0+f1+f2+…+fn=fn+2-1
El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de
Fibonacci. Más específicamente:
mcd(fn,fm)=fmcd(n,m)
Esto significa que fn y fn+1 son primos relativos y que fk divide exactamente
a fnk.
Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de
Pascal. Es decir que para cualquier
,
y más aún
Si fp=a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número
primo, con una única excepción, f4 = 3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la sucesión
es exactamente
.
El cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci se
La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces
superior al séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números.
Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada15x10n-1 números.
La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la
parte real de la fórmula explícita cuando n es cualquier número real. La
función resultante es:
La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía
continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
La sucesión en la naturaleza:
La gran mayoría de los árboles parecen crecer
siguiendo la sucesió: El tronco (1) se divide en
una rama grande (1), esta rama se divide en
dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3
(3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.
El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La
Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta
aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter)
tiene más de 60 satélites conocidos. Sin
embargo, sólo 4 de ellos son observables
fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y
Calisto), dado que los otros son
marcadamente más pequeños. Así,
podemos extender hasta el número 5 la
presencia de la serie de Fibonacci en
nuestro Sistema Solar.
En el cuerpo humano podemos decir que la
cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo,
antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5),
es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5.
Los machos de una colmena de abejas tienen
un árbol genealógico que cumple con esta
sucesión. El hecho es que los zánganos, el
macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí
que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que
son los padres de la reina (1, 1, 2), tres
bisabuelos, ya que el padre de la reina no
tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1,
1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3,
5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la
sucesión de Fibonacci.
Un ejemplo propuesto por el propio Fibonacci es el de los conejos.
Número de
Mes
Explicación de la genealogía
Parejas de conejos totales
Fin del mes 0 0 conejos vivos.
0 parejas en total.
Comienzo del
Nace una pareja de conejos (pareja A).
mes 1
1 pareja en total.
Fin del mes 1
La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la
1+0=1 pareja en total.
pareja A.
Fin del mes 2
La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve
1+1=2 parejas en total.
a cruzar la pareja A.
Fin del mes 3
La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja
2+1=3 parejas en total.
B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.
Las parejas A y B dan a luz a D y E. La
Fin del mes 4 pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas 3+2=5 parejas en total.
A, B y C.
Fin del mes 5
A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E
cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.
5+3=8 parejas en total.
A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F,
Fin del mes 6 G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C,
D, E, F, G y H.
8+5=13 parejas en total.
...
...
...
Fin del mes
12
...
Siguiendo las propiedades de
la serie daría 233 parejas en
total