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Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
Capítulo 5
Circuitos en Serie Paralelo
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Capítulo 5
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Introducción
En un circuito serie – paralelo se encuentran dispositivos en serie y en
paralelo. Es muy importante determinar la resistencia total de las resistencias
en serie – paralelo de un circuito, así como averiguar la forma en que las
corrientes fluyen dentro del circuito, y poder analizar cuáles dispositivos están
conectados en paralelo y cuáles lo están en serie. Aprenderemos a calcular el
flujo de corriente en cualquiera de las ramas, y el potencial entre dos nodos en
un circuito en serie-paralelo. Finalmente, aprenderemos a usar el teorema de la
superposición, el teorema de Thevenin y el teorema de Norton, así como el
teorema de transferencia de máxima potencia.
5.1 Circuito en Serie – Paralelo
En un circuito electrónico, definimos como un ramal a aquel circuito que
se puede simplificar hasta tener solamente dos terminales. Los dispositivos
entre estos dos terminales pueden ser la combinación de resistencias, fuentes
de voltaje o dispositivos electrónicos. Muchos circuitos complejos se pueden
dividir en una combinación de algunos circuitos en serie y otros en paralelo. No
obstante, se encontrarán circuitos que son difíciles de clasificar en una de las
dos categorías.
Para analizar un circuito complejo, es muy importante poder decir cuáles
dispositivos están en serie y cuáles ramales están en paralelo. Consideremos
por ejemplo las resistencias en la Fig. 5.1:
Fig. 5.1
De inmediato sabemos que R2, R3 y R4 están en paralelo, y que éstas están
en serie con R1 y R3. La resistencia total (RT) se puede expresar como:
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Ejemplo 5.1: En el circuito de la Fig. 5.2, determine cuál(es) resistencia(s) y
ramal(es) están en serie y cuáles en paralelo. Escriba la resistencia total
equivalente y exprésela como RT.
Fig. 5.2
Respuesta: Primero, podemos ver que R3 y R4 están en paralelo (R3 //R4), y
que luego estas se conectan en serie con R2 [R2 + (R3 // R4)[. Luego, éstas
están en paralelo con R1, y la resistencia total (RT) se puede expresar como:
RT = R1 // [R2 + (R3 // R4)[
Ejemplo 5.2: Determine la resistencia total RT del circuito en la Fig. 5.3
Fig. 5.3
Respuesta:
Nota: El resto lo deduce el estudiante.
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5.2 Análisis de circuitos en Serie – Paralelo
Generalmente es más difícil analizar los circuitos que están dispuestos
en serie – paralelo, ya que en sí son más complejos. Sin embargo, podemos
usar los siguientes procedimientos básicos para simplificar los circuitos
complejos. Con algo de práctica el estudiante verá que la mayoría de los
circuitos se pueden simplificar como combinaciones de circuitos en serie o en
paralelo o ambos. Para el análisis, se deben recordar las siguientes reglas para
ambos tipos de circuitos.
Las corrientes que fluyen en los dispositivos en serie son iguales.
Los potenciales entre dos terminales de los dispositivos en paralelo son
los mismos.
Además , la Ley de la Tensión y la Ley de la Intensidad de Kirchhoff se pueden
usar en todos los circuitos en paralelo, en serie, o en serie – paralelo. Los
siguientes procedimientos le ayudarán a simplificar los circuitos en serie –
paralelo.
1. Si es necesario vuelva a dibujar el circuito y coloque las fuentes de
tensión en el lado izquierdo. Todos los nodos se tienen que marcar y
asegurarse que el circuito que se dibujó es equivalente al circuito
original. Una vez que se tiene bastante experiencia se puede obviar este
último procedimiento.
2. Verifique el circuito y decida cuál es la mejor forma de analizarlo. Por lo
general encontrará que la mejor forma es analizar los dispositivos que
están más lejos de la(s) fuente(s) de tensión.
3. Simplifique los circuitos en paralelo de la mejor forma posible y vuelva a
dibujarlos. La nomenclatura de los nodos se tiene que conservar igual en
donde corresponda.
4. Determine la resistencia equivalente RT.
5. Determine la corriente total. Marque la dirección de la corriente y la
polaridad de los dispositivos para cada uno de los dispositivos.
6. Calcule la corriente y el potencial de cada dispositivo en el circuito.
7. Se pueden escoger otros métodos para verificar que se ha logrado la
respuesta correcta.
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Ejemplo 5.3: En el circuito de la Fig. 5.4,
(1) Encuentre RT
(2) Determine I1, I2 e I3.
(3) Determine V1 y VP
Fig. 5.4
Respuesta: Estudiando el circuito, podemos ver que IT = I1 = I2 +I3, y que R3
está en paralelo con R2. Esta combinación en paralelo está en serie con R1.
Esta combinación de resistencias se puede expresar como el circuito
simplificado que se muestra en la Fig. 5.5. Los nodos los denominamos según
la rotulación original.
(1) La resistencia total se puede determinar como:
(2) De la Ley de Ohm, la corriente total es:
La corriente I1 entra al nodo b y separa a las resistencias R2 y R3. Esto se
puede simplificar como se muestra en el circuito de la Fig. 5.6.
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Y usando la regla de división de la tensión:
Fig. 5.5
Fig. 5.6
(2) Utilizando las corrientes obtenidas de los resultados anteriores,
aplicamos la Ley de Ohm para averiguar los potenciales:
V1 = (2.4 mA) (12 k) = 28.8 V
V2 = (0.48 mA) (40 k) = 19.2 V
Para la verificación de estos resultaos podemos recurrir a la Ley de las
Tensiones de Kirchhoff en un lazo cerrado que puede contener cualquier
cantidad de fuentes de voltaje.
V = E – V1 – VP = 48V – 28.8 V – 19.2 V = 0V
También podemos utilizar la regla que dice que: La potencia suministrada por
la fuente de tensión debe ser igual a la disipación de potencia de las
resistencias.
Ejemplo 5.4. Determine Vab en el dibujo de la Fig. 5.7
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Fig. 5.7
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Fig. 5.8
Respuesta: Primero es necesario simplificar el circuito como se muestra en la
Fig. 5.8
De la figura, encontramos que este circuito incluye dos ramales paralelos, cada
uno con dos resistencias en serie. Podemos observar también Vab en realidad
depende de la combinación de tensiones de R1 y de R2, o de la combinación de
tensiones de R3 y de R4.
Igual que en ejemplos anteriores, hay muchos métodos de analizar este
circuito. El potencial entre cualquier ramal debe ser de 40V, puesto que ambas
ramas están en paralelo. Utilizando la regla de división de la tensión, fácilmente
podemos encontrar el potencial en cada resistencia. Podemos utilizar algún
otro método, éste es probablemente el más sencillo.
Como lo muestra la Fig. 5.9, podemos usar la Ley de la Tensión de Kirchhoff
para determinar el potencial entre los nodos a y b.
Vab = Va – Vb = V4 – V3 = 30 V – 32V = -2V
Fig. 5.9
Fig. 5.10
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Ejemplo 5.5. En la Fig. 5.10:
(1) Encuentre la resistencia final RT de la fuente de tensión
(2) Calcule IT, I1 e I2
(3) Determine V2 y V4
Respuesta: Primero volvemos a dibujar el circuito. Colocamos la fuente de
tensión en el lado izquierdo del dibujo. Una posibilidad es la que se muestra en
la Fig. 5.11. Nota: Póngale nombre a todas las polaridades de los potenciales
de las resistencias.
(1) En el nuevo dibujo encontramos la resistencia total.
(2) La corriente suministrada por la fuente de tensión:
Fig. 5.11
Fig. 5.12
Podemos visualizar la corriente como si estuviera separada en dos ramales
(Fig. 5.12), y usando la regla de división de la corriente, calculamos:
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(3) Los valores de V3 y V4 se pueden obtener con la Ley de Ohm:
Ejemplo 5.6. En el circuito de la Fig. 5.13, encuentre I1, I2, I4 y Vab.
Fig. 5.13
Respuesta: En el circuito anterior hay dos fuentes de tensión. Necesitamos
dibujarlo de nuevo para comprender su funcionamiento. El punto de referencia
para las fuentes de tensión es la tierra, de tal forma que se dibuja el circuito con
los puntos de referencia como lo muestra la Fig. 5.14.
Fig. 5.14
Podemos ver ahora que E1 y E2 están en serie, lo que se puede simplificar
como una sola fuente de tensión (E = E1 + E2), y colocando las resistencias en
sitios más adecuados. El circuito simplificado se muestra en la Fig. 5.15.
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La resistencia total observada a partir del potencial equivalente es:
Fig. 5.15
La corriente total del circuito es:
En el nodo b se separa en dos ramales. Las dos corrientes serán:
La magnitud de Vab es igual a la magnitud del potencial en R2, con polaridad
opuesta, ya que el potencial en el nodo b es más alto que en a:
5.3 Aplicación de Circuitos en Serie – Paralelo
5.3.1 El Circuito Puente
En las dos secciones anteriores hemos aprendido los métodos de análisis de
circuitos. En las secciones siguientes veremos algunos circuitos diferentes,
pero de los cuales no es necesario que el estudiante comprenda a cabalidad el
funcionamiento. Se requiere solamente que use las reglas conocidas de las
secciones anteriores para determinar la tensión y la corriente.
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Ejemplo 5.7. En el circuito de la Fig. 5.16 hay dos resistencias en el lado
derecho y en el lado izquierdo, que es lo que se llama un circuito puente. Se
usa generalmente en electrónica y en instrumentos científicos. Determine la
corriente I y la tensión Vab cuando:
(1) Rx = o (corto circuito)
(2) Rx = 15 k (corto circuito)
(3) Rx =   (circuito abierto)
El circuito se dibuja como en Fig. 5.17. La resistencia de la fuente es
La corriente será:
Vab se puede calcular con los potenciales en R3 y Rx
Del circuito podemos ver que el potencial en R3 es constante, independiente
de la resistencia variable Rx. Por lo tanto:
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Ahora, como la resistencia variable Rx está en corto, entonces Vx (Vb) es 0:
Y:
Dibujando de nuevo el circuito como en la Fig. 5.18:
Fig. 5.18
Fig. 5.19
La resistencia total de la fuente será
La corriente inducida es:
El potencial entre R3 y Rx es:
Dibuje el circuito como se ve en la Fig. 5.19.
El segundo ramal está abierto a causa de Rx, y la resistencia total de la fuente
de tensión es:
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La corriente inducida es:
El potencial en R3 y Rx es
El potencial entre el nodo a y el b es de
En este ejemplo podemos ver que las corrientes y tensiones se ven
afectadas al cambiar las partes de los circuitos. En este ejemplo, la corriente
cambia desde un valor mínimo de 40 mA hasta un valor máximo de 42 mA; el
potencial Vab cambia de –2V a 8V. Todos estos cambios suceden cuando la
resistencia Rx cambia de 0 hasta  .
5.3.2 Potenciómetro
Como se mencionó antes, una resistencia variable se puede usar como
potenciómetro para ajustar la tensión del circuito. Ver la Fig. 5.20.
Fig. 5.20
En este circuito, la resistencia variable se usa como potenciómetro; con
ella se puede controlar el volumen de un receptor o de un amplificador de radio.
Cuando se ajusta a la posición superior, los nodos a y b se superponen. El
potencial entre el nodo b y el nodo c se puede obtener usando la regla de
división de la tensión.
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Cuando se coloca en la posición inferior, los nodos b y c se traslapan y el
potencial entre ellos es Vbc = 0, ya que están en corto circuito y el potencial es
cero.
El circuito de la Fig. 5.20 muestra que la salida del potenciómetro varía desde 0
hasta 60 V. En vista de que no hay ninguna salida conectada entre los nodos b
y c, llamamos a esta tensión “salida sin carga”. Si hay una carga entre estos
dos terminales, la tensión de salida se considerará como una salida con carga.
El resultado no siempre es el mismo, y el efecto de la carga se discutirá en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.8. En la Fig. 5.21, determine el rango de Vbc cuando el
potenciómetro se varía entre el máximo y el mínimo.
Potenciómetro
Fig. 5.21
Fig. 5.22
Respuesta: El potencial mínimo entre nodo b y nodo c se logra moviendo el
terminal móvil de la resistencia variable hacia la posición inferior. En este
punto, Vbc = 0V porque los nodos b y c están en cortocircuito. El potencial
máximo entre b y c se logra moviendo el terminal móvil de la resistencia
variable hacia la posición superior. En este punto, el circuito se puede
representar como se muestra en la Fig. 5.22.
En la Fig. 5.22, la resistencia R2 está conectada en serie con la resistencia de
carga R1. El potencial entre el nodo b y el nodo c se puede averiguar fácilmente
usando la regla de división de la tensión:
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La tensión de salida del potenciómetro con la resistencia de carga RL = 50K
se puede ajustar desde 0V hasta 40V.
5.4 Teoremas de Superposición
El teorema de la superposición consiste en agregar respuestas
individuales de varias fuentes de tensión para determinar el flujo de corriente
en cualquier resistencia o ramal, con el fin de obtener el potencial entre
resistencias.
5.4.1 Teorema de Superposición de Tensión
En un circuito con más de dos fuentes de alimentación, se puede
obtener el potencial de cualquier ramal o dispositivo agregando los potenciales
parciales (contribuciones de cada fuente). Cuando se superponen, si las
polaridades son las mismas, entonces se suman. Si son diferentes se restan.
5.4.2 Teorema de Superposición de Corriente
En un circuito con más de dos fuentes de alimentación, se puede
obtener el potencial de cualquier ramal o dispositivo agregando las corrientes
parciales (contribuciones de cada fuente). Cuando se superponen, si las
direcciones son las mismas, entonces se suman. Si son opuestas se restan.
5.4.3 Remoción de Fuentes de Tensión
Al usar un teorema de superposición, solamente una fuente se energía
se considera a la vez, y las demás tienen un valor de cero. Es más o menos
como “matar las fuentes” y dejarlas muertas durante el análisis. De esta forma,
el remover la fuente de tensión Vg es lo mismo que fijar Vg = 0, lo que equivale
a reemplazar una fuente por un trozo de alambre (poner en cortocircuito). La
razón es que la resistencia interna ideal de una fuente de tensión es cero. De
igual manera, al remover la fuente de corriente Ig es como fijar Ig = 0, que
equivale a abrir el circuito. La resistencia en la fuente es igual a infinito. Use
este método para remover cualquier otra fuente, de tal forma que haya
solamente una en el circuito. Entonces se puede usar las Leyes de Kirchhoff de
Tensión y Corriente, la regla de división de tensión y de corriente, para analizar
el circuito. Esta es la mejor ventaja que nos ofrecen los teoremas de
superposición.
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Sin embargo, se debe tener cuidado de no usar el teorema de superposición en
aplicaciones con potencia, ya que la potencia no es una cantidad lineal. Se
puede obtener pero después de elevar la tensión o la corriente al cuadrado.
Ejemplo 5.9: Ver Fig. 5.23.
(1) Determine la corriente que fluye a través de la resistencia RL
(2) Verifique que el teorema de superposición no se puede usar para
calcular la potencia.
Fig. 5.23
Fig. 5.24
Use el circuito abierto para
reemplazar la fuente de
corriente
Respuesta: (1) Removiendo primero la fuente de corriente, use el circuito
abierto (resistencia interna infinita) para reemplazarla. Ver Fig. 5.24. Luego
determine la corriente que fluye a través de la resistencia RL. Aquí la corriente
la genera la fuente de tensión, que se puede calcular con la Ley de Ohm.
Luego remueva la fuente de tensión y reemplácela formando un cortocircuito
(resistencia interna cero). Ver Fig. 5.25. Determine la corriente IRL(2) en la
resistencia RL, creada por la fuente de corriente.
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Fig. 5.25
Forme un cortocircuito para reemplazar la
fuente de tensión.
Use la regla de división de corriente para obtener la corriente que fluye a
través de RL:
Use el teorema de superposición para obtener la corriente total en RL:
IRL = 0.5 A – 1.2 A = -0.7 A
Donde el signo menos indica que la dirección de la corriente que fluye en RL es
opuesta a la dirección que originalmente se tomó como referencia. De hecho,
es hacia arriba, hacia 0.7 A. (2) Si utilizamos el teorema de superposición para
calcular la potencia, la de la primera fuente de potencia sería:
PRL(1) = I2RL(1) RL = (1.5 A)2 (16) = 4.0 W
Y la potencia de la segunda fuente es:
PRL(2) = I2RL(2) RL = (1.2 A)2 (16) = 23.04 W
Según el teorema de superposición, la potencia total es:
PT = P1 + P2 = 4.0W + 23.04W = 27.04W
Obviamente este resultado es incorrecto. La disipación real de potencia
causada por la carga de las resistencias es:
PRL = I2RLRL = (0.7)2 (16) = 7.84 W
El teorema de superposición también se puede usar para determinar el
potencial en cualquier dispositivo o ramal de un circuito.
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Ejemplo 5.10: Véase el circuito de la Fig. 5.26. Determine el potencial VR2 en la
resistencia R2.
Fig. 5.26
Respuesta: En el circuito encontramos tres fuentes independientes. Es
necesario determinar el potencial con el cual cada una de ellas está
contribuyendo.
Primero, consideramos el potencial VR2(1) entre R2, al cual contribuyen los 16V
de la fuente de tensión, como lo muestra la Fig. 5.27.
Fig. 5.27
VR(2) es igual al potencial entre las resistencias en paralelo R2//R3 = 0.8
El signo menos indica que la polaridad de este potencial es opuesta a la que se
asumió originalmente.
Luego, tomamos en cuanta la fuente de tensión, como lo muestra la Fig. 5.28.
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Fig. 5.28
En este circuito, la resistencia total de la fuente de corriente es:
Y el potencial en R2 es:
Finalmente, el potencial generado por la fuente de 32 V será como en la Fig.
Fig. 5.29
El potencial en R2 es:
Usando el teorema de superposición, encontramos el potencial :
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5.5 Teorema de Thevenin
Existen dos teoremas importantes para analizar redes, uno de ellos es el
Teorema de Thevenin y el otro es el de Norton. Utilizándolos, podemos
reemplazar circuitos complejos por dos terminales equivalentes al circuito. El
circuito equivalente contiene una fuente independiente y una única resistencia.
Por lo tanto, si lo que nos interesa es solamente el potencial y la corriente de
un dispositivo en particular, entonces podemos convertir todo el circuito,
excepto el dispositivo que nos interesa, en un circuito equivalente. Se usa este
circuito simplificado para determinar la corriente y el potencial.
El primer teorema de este tipo que se conoció se le atribuye al francés
Thevenin.
Usaremos el Teorema de Thevenin para analizar el circuito de la Fig.
5.30. Por su cuenta, el estudiante encontrará las características importantes del
Teorema.
Fig. 5.20
Si deseamos determinar las corrientes en las cargas cuando las resistencias
variables son RL = 0, RL = 2 K y RL = 5 k, entonces debemos analizar el
circuito tres veces mediante los métodos anteriores. Sin embargo, si logramos
simplificar el circuito, excepto la carga de la resistencia, como una combinación
de una fuente de tensión en serie con una resistencia, entonces será mucho
más fácil encontrar la solución.
El teorema de Thevenin es una de las técnicas que se tienen para el análisis de
circuitos, y puede simplificar cualquier circuito lineal bidireccional en forma de
un circuito equivalente con una fuente de tensión y una resistencia. El circuito,
al conectarle entre sus terminales cualquier otro ramal o dispositivo del circuito
original, tendrá el mismo efecto.
En resumen, el Teorema de Thevenin se puede describir como que:
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Cualquier circuito bidireccional se puede simplificar en forma de circuito con
dos terminales, entre los cuales están una fuente de tensión y una resistencia
en serie, como lo muestra la Fig. 5.31.
Fig. 5.31- (a) Circuito complejo; (b) circuito equivalente según Thevenin
Los siguientes procedimientos brindan una ayuda para simplificar cualquier
circuito en forma de un circuito equivalente de Thevenin.
1. Elimine la carga del circuito.
2. Identifique los dos terminales. En el ejemplo, los denominamos como a y
b; sin embargo, usted escoge la simbología.
3. Asuma que todas las fuentes en el circuito son cero; las fuentes de
tensión están en cortocircuito (la resistencia interna de una fuente ideal
de tensión es cero); las fuentes de corriente están abiertas (circuito
abierto) (la resistencia interna de una fuente ideal de corriente es
infinita).
4. La resistencia observada entre los terminales a y b es la resistencia
equivalente de Thevenin RTh. A veces es necesario volver a dibujar el
circuito para poderlo analizar fácilmente.
5. Vuelva a conectar las fuentes que se consideraron como cero en el paso
3, y luego se puede obtener el potencial de lazo abierto entre los
terminales a y b cuando forman un circuito abierto. Si existen muchas
fuentes en el circuito, será necesario utilizar el teorema de
superposición. Bajo esta situación, debemos determinar los potenciales
que cada una de las fuentes contribuye en los terminales a y b. Luego,
se suman todos. Este potencial de circuito abierto constituye la tensión
equivalente de Thevenin ETh.
6. Dibuje el circuito en forma de circuito equivalente de Thevenin de
acuerdo con la resistencia obtenida en el procedimiento 4, y la fuente de
tensión obtenida en el procedimiento 5. Debe incluirse toda la red
eliminada en el paso 1.
Ejemplo 5.11. En el circuito de la Fig. 5.32, hay un circuito equivalente de
Thevenin, donde hay una resistencia externa RL. Use el teorema de Thevenin
para calcular la corriente en RL.
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Fig. 5.32
Respuesta: Procedimientos 1 y 2: Elimine la carga del circuito, y denomine
a estos dos terminales como a y b. Obtenemos el circuito como el que
muestra la Fig. 5.33:
La fuente de
tensión se
reemplaza por
un corto
circuito
Fig. 5.33
La fuente de
corriente se
reemplaza por
un circuito
abierto
Fig. 5.34
Procedimiento 3: Considerando la fuente como si fuera una fuente ideal,
obtenemos el circuito de la Fig. 5.34.
Procedimiento 4: La resistencia según Thevenin entre los dos terminales es RTh
= 24.
Procedimiento 5: En la Fig. 5.33, el potencial de circuito abierto entre los
terminales a y b es :
Vab = 20V – (24) (2 A) = -28V
Procedimiento 6: el circuito equivalente de Thevenin final se muestra en la Fig.
5.35. Utilizando el circuito mencionado, fácilmente podemos obtener la
corriente que fluye en RL como:
(hacia arriba)
Este es el mismo resultado que el que se obtiene utilizando el Teorema de
Superposición en el Ejemplo 5.9.
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Fig. 5.35
Ejemplo 5.12: Determine el circuito equivalente de Thevenin en la Fig. 5.36.
Use este circuito equivalente para determinar las corrientes IRL que fluyen en la
carga cuando RL = 0; RL = 2 k; y RL = 5 K.
Fig. 5.36
Respuesta: Procedimientos 1, 2 y 3: Elimine la carga del circuito, y denomine a
estos dos terminales como a y b. Considerando la fuente como si fuera una
fuente ideal, obtenemos el circuito de la Fig. 5.37.
Procedimiento 4: La resistencia equivalente de Thevenin para este circuito es:
RTh = 6 k / 2 k = 1.5 k
Procedimiento 5: Hay muchos métodos para analizar el circuito. Usaremos el
teorema de superposición para calcular el potencial de circuito abierto Vab.
Mediante la Fig. 5.38, podemos obtener el potencial entre a y b generado al
usar la fuente de tensión de 15 V.
Usando la Fig. 5.39 podemos obtener el potencial entre a y b generado por la
fuente de corriente de 5 mA.
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La fuente de
tensión se
reemplaza
por un corto
circuito
La fuente de
corriente se
reemplaza
por un circuito
abierto
Fig. 5.37
Fig. 5.38
Fig. 5.39
El potencial equivalente de Thevenin es:
Procedimiento 6: El circuito equivalente de Thevenin final está dibujado en la
Fig. 5.40. En el circuito se puede determinar fácilmente la corriente que fluye en
la resistencia de carga.
Capítulo 5
Fig. 5.40
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Fig. 5.41
Ejemplo 5.13. Encuentre el circuito equivalente de Thevenin en la Fig. 5.41
exceptuando a R5. Use el circuito equivalente para encontrar la corriente que
fluye por la resistencia.
Respuesta: Procedimiento 1 y 2: Elimine la resistencia R5 y nombre a los dos
terminales como a y b. Del circuito de la Fig. 5.42 obtenemos:
Fig. 5.42
Fig. 5.43
Verificando el circuito de la Fig. 5.42, vemos que no es fácil determinar el
potencial equivalente entre a y b. Podemos volver a dibujar el circuito como se
muestra en la Fig. 5.43 para simplificar el análisis.
Nota: Colocamos a los nodos a y b en la parte superior e inferior
respectivamente para facilitar el análisis del circuito. Además, enumeramos a
otros dos nodos (nodos c y d) para facilitar poner estas resistencias entre ellos
Capítulo 5
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Una vez simplificado el circuito, es mejor asegurarse que este nuevo circuito es
equivalente al original. Se puede verificar esto comprobando que los
dispositivos estén conectados a los mismos terminales en ambos circuitos.
Tenemos ahora un método más simple de analizar un circuito.
Vamos ahora a inducir el circuito equivalente de Thevenin.
Procedimiento 3: Reemplace la fuente de tensión por un corto circuito (se hace
así que la resistencia interna de la fuente de tensión sea cero). Obtenemos
entonces el circuito que se muestra en la Fig. 5.44.
Fig. 5.44
Fig. 5.45
Procedimiento 4: Resistencia de Thevenin (RTh)
Procedimiento 5: El potencial de lazo abierto entre los terminales a y b se
puede obtener calculando el flujo de corriente en I1 e I2 en el circuito de la Fig.
5.45.
La fuente de tensión E suministra un potencial constante entre R1 y R3, R2 y R4.
Podemos usar la regla de división de tensión para determinar el potencial en el
dispositivo.
Nota: Si existe alguna resistencia en serie con la fuente de tensión, entonces
no podemos usar este método, ya que las caídas de potencial en R1 y R3, R2 y
R4 no son iguales al potencial total ofrecido por la fuente de tensión, y deben
ser dependientes de las resistencias en serie de la fuente de tensión
Procedimiento 6: El circuito final equivalente de Thevenin se muestra en la Fig.
5.46
Capítulo 5
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Fig. 5.46
Utilizando el circuito equivalente de Thevenin en la Fig. 5.46, podemos
obtener la corriente que fluye en R5 como:
Este ejemplo muestra lo importante que es ponerle número o letra a los
terminales una vez que se han removido los dispositivos o ramales. Si
dibujamos el circuito equivalente antes de rotular los terminales, entonces es
difícil de calcular la corriente que fluye por R5.
5.6 Teorema de Norton
El Teorema de Norton es otra herramienta de análisis de circuitos, similar al
Teorema de Thevenin. Utilizando este teorema se pueden simplificar circuitos y
lograr otro equivalente con una fuente de tensión y una resistencia en paralelo.
Similar al Teorema de Thevenin, el circuito después de conectarle cualquier
ramal o dispositivo externo entre sus terminales debe producir el mismo efecto
que el circuito original. Resumiendo, el Teorema de Norton se puede describir
como:
Cualquier circuito bidireccional se puede simplificar en forma de circuito con
dos terminales, entre los cuales están una fuente de tensión y una resistencia
en paralelo, como lo muestra la Fig. 5.47.
1. Elimine la carga del circuito.
2. Identifique los dos terminales. En el ejemplo, los denominamos como a y
b; sin embargo, usted escoge la simbología.
3. Asuma que todas las fuentes en el circuito son cero; las fuentes de
tensión están en cortocircuito (la resistencia interna de una fuente ideal
de tensión es cero); las fuentes de corriente están abiertas (circuito
abierto) (la resistencia interna de una fuente ideal de corriente es
infinita).
Capítulo 5
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Fig. 5.47. (a) Circuito complejo; (b) Circuito equivalente de Norton
4. La resistencia observada entre los terminales a y b es la resistencia
equivalente de Norton (RN) A veces es necesario volver a dibujar el
circuito para poderlo analizar fácilmente.
5. Vuelva a conectar las fuentes que se consideraron como cero en el paso
3, y luego se puede obtener el potencial de lazo en corto entre los
terminales a y b cuando están en cortocircuito. Si existen muchas
fuentes en el circuito, será necesario utilizar el teorema de
superposición. Bajo esta situación, debemos determinar las corrientes
que el lazo en corto contribuye en los terminales a y b. Luego, se suman
todos. Esta corriente de circuito en corto constituye la corriente
equivalente de Norton IN.
6. Dibuje el circuito en forma de circuito equivalente de Norton de acuerdo
con la resistencia obtenida en el procedimiento 4, y la fuente de corriente
obtenida en el procedimiento 5. Debe incluirse toda la red eliminada en
el paso 1
El circuito equivalente de Norton se puede convertir en forma directa a partir del
circuito equivalente de Thevenin. Por lo tanto, el circuito equivalente de
Thevenin en la Fig. 5.48 es equivalente al circuito de Norton.
Circuito equivalente de Thevenin
Circuito equivalente de Norton
Fig. 5.48
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
29
De la Fig. 5.48 podemos ver que entre ambos circuitos existen las siguientes
relaciones:
Ejemplo 5.14. En la Fig. 5.49, se tiene un circuito equivalente de Norton si
se ignora la resistencia RL. Use el teorema de Norton para calcular la
corriente RL. Compare el resultado con la respuesta del ejemplo 5.11, que
se obtuvo mediante el teorema de Thevenin.
Fig. 5.49
Fig. 5.50
Respuesta: Procedimiento 1 y 2: Retire la carga RL del circuito y denomine
estos dos terminales como a y b. Obtendremos un circuito como el que se
muestra en la Fig. 5.50.
Procedimiento 3: Considerando la fuente como una fuente ideal, obtenemos la
Fig. 5.34
Procedimiento 4: La resistencia de Norton entre estos dos terminales es:
RN = Rab = 24 
Procedimiento 5: La corriente de cortocircuito se puede obtener sumando las
corrientes de cortocircuito con las que cada fuente contribuye. Estas fuentes
individuales se dibujan en la Fig. 5.52.
Fuente de Tensión E: De la Ley de Ohm vemos que la corriente que fluye a
través de a y de b es (ver Fig. 5.52a):
Iab(1) = 20V / 24 = 0.833 A
Fuente de Corriente I: Después de verificar el circuito de la Fig. 5.52(b) vemos
que no hay corriente fluyendo a través de R1 después de poner a y b en
cortocircuito. Por lo tanto, la corriente que fluye a través de a y de b es:
Iab(2) = -2.0 A
Capítulo 5
30
Circuitos en Serie - Paralelo
La fuente de tensión se reemplaza por un cortocircuito
La fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto
Fig. 5.51
R1 está en estado de
cortocircuito puesto que
a y b están en corto.
Fig. 5.52
(a) Fuente de Tensión
(b) fuente de Corriente
Nota: El valor de la corriente es negativo. Como lo vimos anteriormente, esto
implica que la dirección de la corriente es opuesta a la que se asumió.
Ahora, usando el teorema de superposición, podemos encontrar la corriente de
Norton:
IN = Iab(1) + Iab(2) = 0.833 – 2.0 A = - 1.167 A
Como se mencionó anteriormente, el signo menos implica que la corriente en
realidad fluye del terminal b al terminal a.
Procedimiento 6: El circuito equivalente de Norton final se muestra en la Fig.
5.53.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
31
Ahora podemos fácilmente obtener el flujo de corriente a través de la
resistencia RL usando la regla de división de la corriente:
Fig. 5.53
Este es el mismo resultado que obtuvimos usando el teorema de Thevenin
en el ejemplo 5.11. Otro método de obtener el circuito equivalente de Norton
es convirtiendo directamente el equivalente de Thevenin (en el ejemplo
5.11), ver Fig. 5.54.
Fig. 5.54
Fig. 5.55
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
32
Ejemplo 5.15: Determine el circuito equivalente de Norton en el circuito de la
Fig. 5.55. Use este circuito equivalente para determinar las corrientes (IRL) que
fluyen hacia la carga cuando RL = 0, RL = 2 k, y RL = 5 K.
Respuesta: Procedimientos 1, 2 y 3: Retire la carga RL del circuito y nombre a
estos dos terminales como a y b. Fíjele a la resistencia interna de la fuente de
tensión un valor de cero, y a la resistencia interna un valor de infinito.
Obtendremos un circuito como el que se muestra en la Fig. 5.56.
Procedimiento 4: La resistencia de Norton entre estos dos terminales es:
La fuente de
tensión se reemplaza por un corto
circuito
La fuente de
corriente se reemplaza por un
circuito abierto
Fig. 5.56
Procedimiento 5: La corriente de cortocircuito que fluye entre a y b se puede
obtener sumando las corrientes de cortocircuito con las que contribuye cada
una de las fuentes.
La corriente de corto circuito inducida por la fuente de tensión es:
Iab(1) = 15 V / 6 K = 2.50 mA
Fuente de corriente I : Después de verificar el circuito en la Fig. 5.52(b),
encontramos que no hay corriente circulando a través de R1 y R2 después de
hace un corto entre a y b. Por lo tanto, la corriente que fluye entre a y b es:
I ab(1) = 5.0 mA
Finalmente, la corriente de Norton se obtiene usando el teorema de
superposición:
IN = Iab(1) + Iab(2) = 2.50 mA + 5.0 mA = 7.5 mA
Procedimiento 6: El circuito mostrado en la Fig. 5.58 es el circuito equivalente
de Norton.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
Fig. 5.57
Fig. 5.58
Con RL = 0, la corriente IRL debe ser igual a la que suministra la fuente:
Para RL = 2 k, la corriente se obtiene de la regla de div. de corriente
Para RL = 5 k la corriente IRL se obtiene de la regla de división:
33
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
34
Ejemplo 5.16. Ver Fig. 5.59.
(1) Determine el circuito equivalente de Norton entre los terminales a y b.
(2) Determine la corriente a través de RL.
Fig. 5.59
Respuesta : Procedimientos 1 y 2: Elimine la carga del circuito (hay una fuente
de corriente y una resistencia en paralelo con la carga). Obtenemos el circuito
de la Fig. 5.60.
Fig. 5.60
Asuma que la resistencia en la fuente de tensión es cero y que la resistencia en
la fuente de corriente es infinita. Se obtiene el circuito de la Fig. 5.61.
La Resistencia de Norton es:
RN = 120  // 280  = 84 
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
35
Fig. 5.61
Procedimiento 5: Para obtener la corriente de Norton, es necesario calcular las
corrientes de cortocircuito con las que contribuye cada fuente, y usar el
teorema de superposición para sumarlas todas.
Fuente de tensión E : De acuerdo con la Fig. 5.62(a), los terminales a y b están
en corto, por lo que no hay corriente a través de R2. La corriente a través del
cortocircuito es:
Iab(1) = 24V / 120  = 0.2 A = 200 mA
Fuente de corriente I : De acuerdo con el circuito de la Fig. 5.62(b),
encontramos que no hay corriente circulando por R1 y R2 después del corto
entre a y b. Por lo tanto, la corriente que fluye a través de a y b es igual a la
corriente suministrada por la fuente. Sin embargo, la dirección no es de a hacia
b, sino que es lo contrario, por lo que podemos escribir que:
Iab(2) = -560 mA
Ahora, la corriente de Norton se puede obtener sumando las corrientes con las
cuales ha contribuido cada una de las fuentes individuales.
IN = Iab(1) + Iab(2) = 200 mA + (-560 mA) = -360 mA
El signo negativo indica que la dirección de la corriente es de b hacia a. El
circuito equivalente de Norton se ha dibujado en la Fig. 5.36.
(2) La corriente que circula por la resistencia de carga se puede obtener
usando la regla de división de corriente:
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
Estas dos resistencias
están en corto debido a
que a y b están en
cortocircuito también
(a)
Estas dos resistencias
están en corto debido a
que a y b están en
cortocircuito también
(b)
Fig. 5.62
Fig. 5.63
36
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
37
5.7 Teorema de Máxima Transferencia
de Potencia
En algunos amplificadores y equipos de comunicación, como los emisores y
receptores inalámbricos de señales, las cargas generalmente se diseñan para
recibir la potencia máxima.
La potencia máxima se puede describir como:
Cuando la resistencia de la carga es igual a la resistencia de Thevenin (Norton)
entre los dos terminales de carga, esta resistencia de carga recibirá el máximo
del circuito.
Los circuitos en la Fig. 5.64 han sido simplificados mediante los teoremas de
Thevenin o de Norton, y desarrollan su máxima potencia cuando se cumplen
las siguientes ecuaciones:
RL = RTh = RN
Verificando el circuito equivalente en la Fig. 5.64, sabemos que la potencia
transferida a la carga se puede determinar a partir de las siguientes ecuaciones
Falta
Que se puede simplificar como:
Falta
(5.4)
Similarmente, se puede expresar como:
Falta
(5.5)
Bajo la condición de potencia máxima (RL = RTh = RN), se pueden sustituir las
ecuaciones anteriores para obtener la potencia de la carga, escrita en la
siguiente forma:
Falta
(5.6)
Falta
(5.7)
Nota del Traductor: A lo largo de todo el texto, tanto los dibujos como las fórmulas se han tomado del original en idioma
Chino. Sin embargo, esta página y algunas otras ( 5-43, por ejemplo) en el libro hacen falta.
Capítulo 5
38
Circuitos en Serie - Paralelo
(a)
(b)
Fig. 5.64
Ejemplo 5.17: Dibuje el diagrama funcional para VRL, IRL y RRL para RL
según el circuito de la Fig. 5.65
Fig. 5.65
Respuesta: Primero, podemos definir una tabla de datos para las diferentes
resistencias. En la Tabla 5.1, la tensión y la corriente se pueden calcular a
partir de la regla de división de la tensión / corriente. Para diferentes
resistencias, se pueden obtener las correspondientes potencias PRL,
considerando que PRL = VRL x IRL. También usamos la ecuación (5.4)
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
39
Tabla 5.1
Según los datos de la Tabla 5.1, podemos dibujar las curvas como las que se
muestran en las Figs. 5.66, 5.67, y 5.68.
Nota: En los datos anteriores, aunque el potencial entre RL aumenta
gradualmente, la potencia pico sobre la carga es de RL = TTh = 5 . La razón
de que se obtenga esto es que la corriente disminuye cuando la resistencia
aumenta, lo que reduce el potencial.
Fig. 5.66 – Gráfico de la Tensión (V) vs. Resistencia ()
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
Fig. 5.67 – Gráfico de
Corriente vs. Resistencia
40
Fig. 5.68 – Gráfico de
Potencia vs. Resistencia
Ejemplo 5.18. Fig. 5.69.
(a) Determine la resistencia de la carga que puede transferir la potencia
máxima.
(b) Determine VRL , IRL y PRL cuando la carga alcanza la potencia máxima
Fig. 5.69
Respuesta: (1) Es necesario encontrar el circuito equivalente excepto por la
carga, para luego poder determinar la situación presentada por la transferencia
máxima de potencia. Podemos usar el circuito equivalente de Thevenin o de
Norton. En el ejemplo 5.12, hemos usado el teorema de Thevenin.
En la Fig. 5.70 hemos dibujado el circuito equivalente.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
41
Fig. 5.70
La potencia máxima se obtiene cuando RL = 1.5 k
(2) Al poner 1.5 k, podemos observar que el potencial equivalente de Thevenin
es a través de la carga, y que la mitad de éste es a través de la resistencia
equivalente de Thevenin. Por lo tanto, cuando se da el máximo, entonces
La transferencia de potencia a la carga es de:
O podemos usar la corriente para calcular la carga:
Asimismo, podemos usar el circuito equivalente de Norton para resolver
este ejemplo fácilmente.
Recuerde que la “eficiencia” es la relación entre la potencia entregada y la
potencia consumida.
O se puede expresar como porcentaje:
Utilizando el teorema de transferencia de potencia máxima, podemos conocer
cuál es la eficiencia bajo condiciones de máxima transferencia de potencia:
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
42
Para la mayoría de los circuitos de comunicación y otros, el 50% es la
máxima eficiencia posible. A este nivel de eficiencia, el potencial presente en el
terminal de salida es únicamente la mitad de lo que está entrando.
En cuanto a transferencia de potencia, si la especificación es 115 V CA,
60 Hz, la transferencia de potencia máxima no es posible. La razón para ello es
que cuando se transfiere la potencia máxima, únicamente la mitad de la
potencia original aparecerá en el terminal de salida de carga. Obviamente, la
fuente de potencia (compañía de electricidad) espera mantener una eficiencia
lo más cercana al 100%. Bajo esta situación, la resistencia de carga R1 debe
ser mucho más alta que la resistencia interna de la fuente de tensión
(Típicamente RL >> 10 Rint), para asegurarse que el potencial en los terminales
de salida es lo más parecido posible al potencial en los terminales de entrada.
Ejemplo 5.19. En la Fig. 5.71 se observa una fuente típica de voltaje directo.
(1) Determine RL para transferencia de máxima potencia.
(2) Determine VRL y la eficiencia cuando la resistencia de carga RL = 50
(3) Determine VRL y la eficiencia cuando la resistencia de carga RL = 100
Fig. 5.71
Respuesta: (1) Para transferencia máxima de potencia, la resistencia de carga
RL debe ser igual a 0.05 . Con esta resistencia de carga, la eficiencia es de
solamente 50%. (2) para RL = 50, el potencial en los terminales de salida es
de:
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
43
Falta
La eficiencia es de:
Falta
(3) Para RL = 100 , el potencial que se aprecia en los terminales de salida es
de:
Falta
La eficiencia es de
Falta
De este ejemplo aprendemos que la resistencia de la carga debe ser mucho
más grande que la resistencia interna de la fuente (Típicamente RL  10 Rint), si
consideramos que la eficiencia que se logre en transferir la máxima potencia es
el factor más importante. Por otro lado, la resistencia de carga debe ser igual a
la resistencia interna RL = 10 Rint), si se considera que en el caso particular la
transferencia máxima de potencia es más importante.
5.8 Resumen
1. En los circuitos en serie – paralelo, hay circuitos en serie y circuitos en
paralelo.
2. Tres reglas para resolver circuitos en serie:
(a) La corriente que fluye en todos los nodos es igual
(b) La resistencia total es la suma de las resistencias individuales
(c) La suma de los potenciales de cada dispositivo es igual al
potencial suministrado.
3. Tres reglas para resolver circuitos en paralelo:
(a) El potencial total es igual al potencial en cada ramal paralelo
(b) La corriente total es igual a la suma de las corrientes que fluyen
en cada ramal.
(c) El recíproco de la suma de los recíprocos de cada resistencia es
la resistencia total.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
44
4. Es de mucha ayuda si el circuito se simplifica primero
5. Teorema de Superposición: en un circuito lineal de fuentes múltiples, el
potencial en cualquier dispositivo, o la corriente que fluye por cualquier
dispositivo es igual a la suma algebraica de los potenciales o de las
corrientes con que contribuye cada fuente.
6. Teorema de Thevenin: Cualquier circuito lineal se puede simplificar en
forma de un circuito equivalente con una fuente de tensión Eth y una
resistencia en serie RTh.
7. Teorema de Norton: Cualquier circuito lineal se puede simplificar en
forma de un circuito equivalente con una fuente de corriente IN y una
resistencia en paralelo RN.
8. Teorema de transferencia máxima de potencia en un circuito de CD:
Para obtener la potencia máxima para la carga, la resistencia de la carga
debe ser igual a la resistencia equivalente RTh de la resistencia
equivalente de Thevenin de este circuito.
5.9 Problemas
1. En la Fig. 5.72, determine cuáles resistencias y ramales están en serie, y
cuáles en paralelo. Escriba la expresión para la resistencia total RT.
Fig. 5.72
2. En la Fig. 5.73, escriba la expresión para la resistencia total RT.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
Fig. 5.73
Fig. 5.74
45
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
3. Escriba las expresiones para RT y RT2 en la Fig. 5.74
4. Determine las resistencias totales RT para cada circuito de la Fig. 5.75
Fig. 5.75
5. Calcule las resistencias Rab , Rbc y Rac en el circuito de la Fig. 5.76
Fig. 5.76
Fig. 5.77
6. De acuerdo con el circuito de la Fig. 5.77, determine los sig. valores
7. En el circuito de la Fig. 5.78, determine:
46
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
47
Fig. 5.78
(1) Encuentre I1, I2, I3, I4, I5, e I6.
(2) Resuelva Vab y Vcd
(3) Verifique que las potencias suministradas por la fuente de tensión es igual a
la suma de la disipación de potencia de cada resistencia.
8. En el circuito de la Fig. 5.79, encuentre:
(1) ¿Cuál es el rango de potencial para la carga RL cuando el potenciómetro
cambia entre el valor máximo y el mínimo?
(2) ¿Cuál es el valor de VL si R2 se ajusta para 2.5 k? ¿Cuál es el potencial
entre a y b después de eliminar la resistencia?
Fig. 5.79
Fig. 5.80
9. Repita el problema 8 cambiando RL = 30 k.
10. En el potenciómetro que se muestra en la Fig. 5.80, ajuste R2 a 200  y
determine Vab y Vbc.
11. El potencial entre RL = 50  es de 6.0 V en el potenciómetro de la Fig.
5.80. Calcule R1 y R2.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
48
12. En el circuito de la Fig. 5.81, use el teorema de superposición para calcular
la corriente I1 e I4 que pasa por R1 y R4 respectivamente.
Fig. 5.81
Fig. 8.82
13. Use el teorema de superposición para determinar el potencial entre R1 en la
Fig. 5.82.
14. Use el teorema de superposición para determinar el potencial Va e I en la
Fig. 5.83.
Fig. 5.83
Fig. 5.84
15. En el circuito de la Fig. 5.84, ¿cuál es el valor de la fuente de tensión E si la
corriente de carga IL = 5 mA?. Verifique su respuesta utilizando el teorema
de superposición.
16. En la Fig. 5.85, ¿cuál es el valor de la fuente de tensión E si la disipación
de potencia en la carga RL es de 120 W?. Verifique su respuesta utilizando
el teorema de superposición.
Fig. 5.85
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
49
17. En los circuitos de la Fig. 5.86, determine el circuito equivalente de
Thevenin excepto RL, y luego calcule el potencial Vab en cada circuito.
Fig. 5.86
18. En la Fig. 5.87 a continuación:
(1) Determine el circuito equivalente de Thevenin excepto RL.
(2) Use este circuito equivalente para calcular Vab cuando RL = 20  y RL =
50
19. En la Fig. 5.88 efectúe lo siguiente:
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
50
Fig. 5.88
(1) Determine los circuitos equivalentes de Thevenin ETh y RTh excepto las
porciones dentro de los puntos identificados con a y b.
(2) Use los circuitos equivalentes de Thevenin para determinar la corriente I
en los circuitos.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
51
En la Fig. 5.89:
Fig. 5.89
(1) Determine ETh y RTh de los circuitos equivalentes de Thevenin, excepto
RL.
(2) Use los circuitos equivalentes de Thevenin para determinar la corriente
cuando RL = 0, 10 k y 50 k
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
52
En la Fig. 5.90:
Fig. 5.90
(1) Determine ETh y RTh de los circuitos equivalentes de Thevenin, excepto
RL.
(2) Use los circuitos equivalentes de Thevenin para determinar la potencia
de disipación en RL.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
53
22. En la Fig. 5.86, determine el circuito equivalente de Norton excepto RL. Use
luego este equivalente para determinar IL.
23. En la Fig. 5.87:
(1) Determine IN y RN del circuito equivalente de Norton excepto RL
(2) Determine IN y RN del circuito equivalente de Norton cuando RL = 20 y RL
= 50 
24. (1) Determine los circuitos equivalentes de Norton IN y RN de la Fig. 5.88,
excepto las porciones dentro de los puntos identificados con a y b.
(2) Convierta los circuitos equivalentes de Thevenin del Problema 19 a
circuitos equivalentes de Norton.
25. Repita el Problema 24 en los circuitos de la Fig. 5.89
26. (1) En la Fig. 5.89, determine RL que permita transmitirla a las cargas la
potencia máxima
(3) Determine la potencia máxima que se puede transferir a las cargas.
27. (1) En la Fig. 5.91, determine R que haga RL = RTh.
(2) Calcule la máxima disipación de potencia de RL.
Capítulo 5
Circuitos en Serie - Paralelo
Fig. 5.91
28. En la Fig. 5.92, determine R1 y R2 que posibilitan que una carga de 25
k reciba la potencia máxima.
Potenciómetro de
50 k
Fig. 5.92
54