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INSTITUTO INMACULADA DE VALDIVIA GUIA 12 DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 2015 Profesor: Felipe Silva Oporto Nombre: …………………………………….Fecha: ……………Curso IVº año A-B Objetivos Cognitivos: Capacidad : Analizar, razonamiento lógico Destrezas : Conocer, determinar, representar. Objetivos Afectivos: Valor: Libertad Actitud: autonomía Contenidos funciones trigonométricas Conocer las funciones trigonométricas y sus principales elementos, a través de las siguientes definiciones y características, trabajando con autonomía. I) La función seno es la función definida por: f(x) = a∙sen (bx+c)+d CARACTERISTICAS: 1. Dominio: R Rango: [-a+d, a+d] 2. El período de la función seno es 2𝜋 𝑏 rad. 3. Continuidad: Continua en todo los reales 4. La función y = sen x es impar, ya que sen(-x) = -sen x, para todo x en R. 5. La gráfica de y = a∙sen (bx+c)+d intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: bx+c =n𝜋; para todo número entero n. 6. El valor máximo de senx es a+d cuando : bx+c= cuando : bx+c= 𝑛𝜋 , 2 y el mínimo valor es -a+d, 3𝑛𝜋 , 2 II) La función seno es la función definida por: f(x) = a∙cos (bx+c)+d CARACTERISTICAS: 1. Dominio: R Rango: [-a+d, a+d] 2. El período de la función seno es 2𝜋 𝑏 rad. 3. Continuidad: Continúa en todo los reales 4. La función y = cos x es par, ya que cos(-x) = cos x, para todo x en R. 5. La gráfica de y = a∙cos (bx+c)+d intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas (2𝑛−1)𝜋 ; 2 son: bx+c = para todo número entero n. 6. El valor máximo de senx es a+d cuando : bx+c=2n𝜋, y el mínimo valor es cuando : bx+c=(2n-1) 𝜋, para todo número entero n III) La función tangente es la función definida por: f(x) = a∙tan (bx+c)+d CARACTERISTICAS “La oración es la llave de todas las gracias y aun del cielo” M. P. v. M -a+d, 𝜋 2 1. Dominio: 𝑅 − {bx + c = + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍} 2. Rango: R 𝜋 3. La función tangente es una función periódica, y su período es 𝑏 𝜋 4. La función tangente es continua en 𝑅 − {bx + c = 2 + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍} 5. La función y = tan x es una función impar, ya que tan (-x) = - tan x. 6. La gráfica de y = a∙tan (bx+c)+d intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: bx + c = nπ , para todo número entero n. IV) La función cotangente es la función definida por: f(x) = a∙cotg(bx+c)+d CARACTERISTICAS 1. Dominio: 𝑅 − {bx + c = 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍} 2. Rango: R 𝜋 3. La función tangente es una función periódica, y su período es 𝑏 4. La función tangente es continua en 𝑅 − {bx + c = 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍} 5. La función y = cotg x es una función impar, ya que cotg (-x) = -cotg x. 6. La gráfica de y = a∙cotg(bx+c)+d intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas 𝜋 son: bx + c =2 + 𝜋𝑛, para todo número entero n. V) La función secante es la función definida por: f(x) = a∙sec(bx+c)+d CARACTERISTICAS: Función inversa de la función coseno (2𝑛−1)𝜋 ,𝑛 2 1. Dominio: 𝑅 − { ∈ 𝑍} 2. Rango 𝑅 − ]−𝑎 + 𝑑, 𝑎 + 𝑑[ 2𝜋 3. Periodo 𝑑 rad. (2𝑛−1)𝜋 ,𝑛 2 4. Continuidad: Continua en 𝑅 − { ∈ 𝑍} 5. La función y = sec x es una función par, ya que sec (-x) = sec x. VI) La función secante es la función definida por: f(x) = a∙cosec(bx+c)+d CARACTERISTICAS: Función inversa de la función seno 1. Dominio: 𝑅 − {𝑛𝜋 , 𝑛 ∈ 𝑍} 2. Rango 𝑅 − ]−𝑎 + 𝑑, 𝑎 + 𝑑[ 2𝜋 3. Periodo 𝑑 rad. 4. Continuidad: Continua en∶ 𝑅 − {𝑛𝜋 , 𝑛 ∈ 𝑍} “La oración es la llave de todas las gracias y aun del cielo” M. P. v. M 5. La función y = sec x es una función impar, ya que cosec (-x) = -cosec x. Determinar el dominio, recorrido y periodo de las siguientes funciones trigonométricas, completando la tabla siguiente, trabajando con autonomía Función Dom Rec Periodo 𝑓(𝑥) = 2cos(3𝑥 − 20°) 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 15°)-2 𝑓(𝑥) = 𝑡 𝑔(𝑥) + 2 3𝑥 + 15° 𝑓(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠( ) 2 𝑓(𝑥) = 5sen(0,4𝑥 + 12°) 𝑓(𝑥) = sec(𝑥 − 30°) 𝑓(𝑥) = 5cos(−𝑥 + 15°) 5𝑥 − 15° 𝑓(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑒 𝑐 ( )+1 3 −𝑥 + 15° 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑐( ) 3 5𝑥−5° )+5 2 𝑓(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠( 𝑓(𝑥) = 5cos(−𝑥 + 15°) 3𝑥 − 25° 𝑓(𝑥) = −2𝑐𝑜𝑡 𝑔 ( )−2 7 𝑓(𝑥) = −7cos(2𝑥 + 15°)-2 𝑓(𝑥) = 9𝑐𝑜𝑠(3𝑥 − 9°)-1 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(8𝑥 − 60°)-12 Representar las siguientes funciones trigonométricas en un plano cartesiano, identificando sus intersecciones, asíntotas, periodo, según corresponda, trabajando con autonomía a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 90°) h) 𝑔(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(−x − 15°) − 1 b) 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 15°) i) 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥 − 60°) − 2 c) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥 + 45°) j) 𝑔(𝑥) = 3 sec(2𝑥 − 15°) − 4 d) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔(3 − 150°) k) 𝑔(𝑥) = −𝑐𝑜sec(30 − 3x) − 2 e) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 30°) l) 𝑔(𝑥) = 2𝑐𝑜 𝑠 ( f) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 20°) g) 𝑔(𝑥) = −𝑐𝑜 𝑠(2𝑥 − 100°) + 3 𝑥−30° )− 2 2 𝑥−30° ) +3 2 m) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 ( 2𝑥−30° )− 3 n) (𝑔(𝑥) = −𝑠𝑒𝑐( “La oración es la llave de todas las gracias y aun del cielo” M. P. v. M