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Notas de clase. Geometría del Espacio 2012
Geometría del Espacio
Conceptos Primitivos y Relaciones de Pertenencia:
1. Existe un conjunto 𝐸 llamado espacio, al que pertenecen infinitos elementos
llamados puntos.
2. Existen infinitos planos incluidos en el Espacio 𝐸.
3. Dado un plano α, existen puntos en 𝐸 que no pertenecen al plano α. Es decir los
planos son subconjuntos propios del espacio.
4. A los planos pertenecen infinitos puntos.
5. Existen infinitas rectas incluidas en cada plano.
6. Dada una recta r incluida en un plano α, existen en α puntos que no pertenecen a
la recta r. Es decir las rectas son subconjuntos propios de cada plano.
7. A las rectas pertenecen infinitos puntos.
Definición: Se llama figura a cualquier conjunto de puntos de 𝐸 (Las figuras no tienen que
ser sólo figuras planas. Por ejemplo los poliedros, los cilindros y las esferas también son
figuras.)
Definición: Se dice que un conjunto de puntos están alineados si todos pertenecen a una
misma recta.
Determinación de un plano: Dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al
cual pertenecen. Usualmente se enuncia: “Tres puntos no alineados determinan un plano.
Definición: Se dice que un conjunto de puntos, rectas u otras figuras son coplanares si
están incluidos en un mismo plano.
Definición: Se dice que dos rectas son paralelas si son coplanares y no son secantes. Es
decir dos rectas paralelas pueden ser coincidentes o ser coplanares disjuntas, es decir,
coplanares sin ningún punto común.
Determinación de Planos
Otras formas de determinar un plano son:
 Dada una recta y un punto que no le pertenece (un punto exterior), existe y es único el
plano que pasa por el punto e incluye a la recta.
 Dadas dos rectas secantes, existe y es único el plano que las incluye.
 Dadas dos rectas paralelas disjuntas, existe y es único el plano que las incluye.
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Notas de clase. Geometría del Espacio 2012
Axioma de Separación del espacio: Todo plano α divide a los puntos del espacio 𝐸 que
no pertenecen a α en dos conjuntos 𝜙 y 𝜙 * que cumplen:
i) {𝛼, 𝜙, 𝜙* } es una partición de 𝐸.
ii) El segmento determinado por un punto de 𝜙 y un punto de 𝜙 * tiene un punto y sólo
uno en 𝛼.
iii) El segmento determinado por dos puntos de 𝜙, o por dos puntos de 𝜙 *, no tiene ningún
punto en 𝛼.
Definición: Dado un plano 𝛼, llamamos semiespacio de borde el plano 𝛼,, al conjunto
formado por los puntos de este plano y todos los puntos de una de las dos regiones que el
plano 𝛼 determina en el espacio 𝐸.
Notación:
o 𝛼, P se lee: “semiespacio de borde 𝛼, que pasa por P”
o ABC, P se lee: “semiespacio de borde el plano ABC, que pasa por P”.
Figura 1. Separación del espacio por un plano α.
Observaciones:
 Se llama semiespacio al conjunto de puntos de cada región unido al conjunto de los
puntos del plano que la limita llamado borde.
 Como los puntos del plano pertenecen, a ambos semiespacios y definen una u otra cara
del plano, entonces el plano tendrá dos caras.
 Si dos puntos están en un mismo semiespacio también están en él todos los puntos del
segmento que determinan.
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Intersección de dos Planos
Teorema. Dos planos con un punto común P, tienen una recta común que pasa por dicho
punto.
Demostración
Figura 2. Intersección de dos planos
1. Sea 𝑃 el punto común a los plano α y β. Para determinar que los planos tienen una recta
común, bastará probar que tienen otro punto común, Q.
2. Sea  una recta que pasa por 𝑃 y está contenida en 𝜷. Sean A y B dos puntos a distinto
lado de 𝑃.
3. Sea C un punto del plano β, exterior a dicha recta .
4. Si C está en el plano α el teorema está demostrado.
5. Si C no está en el plano α, entonces uno de los segmentos AC o BC corta a α en un
punto Q común a los dos planos, distinto de P.
⃡ será común a los dos planos que se llaman secantes entre sí.
6. Luego la recta 𝑃𝑄
Actividades:
1. Dados cuatro puntos no coplanares, calcular el número de planos que determinan.
2. Dados dos puntos y una recta que no pase por ellos, calcular el número de planos que
determinan.
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Posiciones Relativas de Rectas y Planos en el Espacio.

Entre dos rectas. Dos rectas en el espacio pueden ser:
o Concurrentes: cuando están en un mismo plano y se cortan.
o Paralelas: cuando están en un mismo plano y no se cortan.
o Cruzadas: cuando no están en un mismo plano y no se cortan.
Ejemplo: En el plano 𝜋. La recta ⃡𝐴𝐵 es concurrente con las rectas ⃡𝐸𝐹 y ⃡𝐺𝐻 ; la recta ⃡𝐸𝐹
es paralela a la recta ⃡𝐺𝐻 ; Pero las rectas ⃡𝐴𝐵 , ⃡𝐸𝐹 y ⃡𝐺𝐻 son cruzadas con la recta ⃡𝐶𝐷 que
está en el plano β. (Ver figura 3)
𝛽
π
Figura 3. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio.
Actividad:
1.
2.
3.
4.
Por un punto dado cualquiera, trazar una recta paralela a un plano.
Por un punto dado cualquiera, trazar un plano paralelo a una recta.
Por un punto dado cualquiera, trazar un plano paralelo a otro plano.
¿Cuántos planos determinan cuatro rectas paralelas de modo que no haya tres
coplanares?
 Entre una recta y un plano.
Una recta  y un plano α pueden estar en las siguientes posiciones:
⃡ , 𝐺𝐻
⃡ , 𝐼𝐽
⃡ están contenidos en
 ℓ está contenida en el plano α (En la figura 4, las rectas 𝐴𝐵
el plano α).
 ℓ atraviesa el plano α el cual es secante (las rectas ⃡𝐸𝐹 y ⃡𝐶𝐷 son secantes al plano α).
 ℓ es perpendicular a un plano α cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que
pasan por el punto de intersección de ℓ y α (la recta ⃡𝐸𝐹 es perpendicular al plano α).
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 ℓ es oblicua a un plano α, es toda recta que no le es perpendicular ni paralela (la recta
⃡𝐶𝐷 es oblicua al plano α).
 ℓ y α no tienen ningún punto común en el plano; entonces la recta y el plano son
⃡ es paralela al plano α).
paralelos (la recta 𝐾𝐿
α
Figura 4. Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio.
Actividades:
 Dadas dos rectas que se cruzan, trazar un plano que sea paralelo y que equidiste de
ellas.
 Por un punto dado trazar el plano que equidiste de tres puntos dados.

Entre dos planos: Dos planos en el espacio pueden ser secantes o paralelos:
 Los planos son secantes si tienen una recta común.
 Los planos son paralelos si no tienen ningún punto en común.
Ejemplo: El plano α es secante con los planos π y β ya que tienen en común la recta  y m
respectivamente. Los planos β y π son paralelos, porque no tienen ningún punto en común.
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





Figura 5. Posiciones relativas de dos planos
Definiciones

Arista: Sean dos planos secantes α y β, que se dividen mutuamente en dos semiplanos
contenidos en los respectivos semiespacios que cada plano determina. Se le llama arista
a la recta formada por la intersección de dichos planos. En la figura 6, α y β son dos
⃡ la arista.
planos secantes y la recta 𝑃𝑄
Figura 6. Planos secantes.

Ángulo Diedro: Si dos semiplanos α y β tienen una misma arista, pero no están en el
mismo plano, entonces la unión de los dos semiplanos y su arista común se llama
ángulo diedro y se simboliza αβ. La unión de la arista y cualquiera de los dos
semiplanos se llama cara del ángulo diedro. En la figura 7, α y β son dos semiplanos
que comparten la arista ⃡𝑃𝑄 , se llama también arista del ángulo diedro.
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α
β
α
π
β
π
Figura 7. Angulo diedro

Ángulo Rectilíneo del Ángulo Diedro: Dado un ángulo diedro αβ y un plano
perpendicular a su arista, la intersección del plano perpendicular a π con el ángulo
diedro, se llama ángulo rectilíneo del ángulo diedro. (ver Figura 7). La medida de un
ángulo diedro es un número real, que representa la medida de cualquiera de sus ángulos
rectilíneos. Recuerde que: Todos los ángulos rectilíneos de un mismo ángulo diedro son
congruentes.

Ángulo Triedro: Ángulo Triedro: Sean 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 , 𝑂𝐶 tres semirrectas no contenidas
en un mismo plano y secantes en un punto O, las cuales determinan las caras α, β y , y
estos a su vez forman los ángulos diedros αβ, β y α. La unión de estos tres ángulos
diedros se llama ángulo triedro y se simboliza αβ. (Ver la figura 8).
Figura 8 Angulo Triedro.


Congruencia de ángulos triedros
Poliedro: Es la porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos
característicos son las caras, las aristas y los vértices:
 Las caras son los polígonos que la limitan.
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

 Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
 En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras, de ahí que los vértices
son los formados por la intersección de las caras.
Diagonal de un poliedro: es toda recta que une dos vértices no situados en una misma
cara.
Ángulo Poliedro: Sean 𝑉𝑋1 , 𝑉𝑋2 , 𝑉𝑋3 , … semirrectas o aristas no contenidas en un
mismo plano de origen común 𝑉 llamado vértice; éstas forman las caras α1, α2, α3,…
respectivamente, de ahí se determinan los ángulos diedros α1 α2, α2 α3, α3 α4,…, el
conjunto de caras y aristas se llama ángulo poliedro y se simboliza α1α2α3,….
V
X1
α1
α3
α2
X2
X4
X3
Figura 9. Angulo poliedro
Observación: Tres planos concurrentes α, β y  en un mismo punto O sin pasar por una
misma recta, dividen al espacio en ocho ángulos triedros. (Ver figura 10).
β
β


θ
θ
Figura 10. Planos concurrentes
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Poliedros y su clasificación1
Un poliedro o superficie poliédrica cerrada es la unión finita de regiones poligonales
cerradas. Cada región poligonal se dice que es una cara del poliedro, y los vértices y lados de
las regiones poligonales son los vértices y lados del poliedro.
Para clasificar los poliedros podemos atender a diversos criterios, por ejemplo, la
regularidad y número de caras que concurren en los vértices. Otros criterios de clasificación
de los poliedros son:





Inclinación (rectos y oblicuos)
Poliedros con bases (con una base, o varias bases)
Según la construcción del modelo:
o Con polígonos regulares (Poliedros regulares, semirregulares, deltaedros)
o Con polígonos congruentes (Poliedros de caras congruentes: Poliedros
regulares, deltaedros, bipirámides de base regular)
o Con vértices congruentes (Poliedros. regulares, semirregulares, prismas rectos
de base regular, ...)
Combinaciones de distintos criterios.
Ejes y planos de simetría, diagonales, ángulos.
Poliedros regulares:
Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son poliedros con las
siguientes características:



La superficie es convexa;
Las caras son regiones poligonales regulares congruentes;
Concurren el mismo número de caras en cada uno de los vértices.
La suma de los ángulos interiores de los polígonos que forman las caras de un poliedro
regular que concurren en un mismo vértice debe ser menor de 360º, de lo contrario no
podrían cerrar un espacio interior. Los ángulos interiores del triángulo equilátero miden
60º; por tanto, se pueden formar poliedros regulares cuyas caras son triángulos cuando se
ponen 3, 4 o 5 de tales triángulos concurriendo en cada vértice, ya que la suma de sus
g1 Ver en http://goo.gl/KNMuX
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ángulos cumple la condición indicada. Esos poliedros son el tetraedro, el cubo, el octaedro
y el icosaedro.
Con caras que sean cuadrados sólo se puede formar el hexaedro o cubo, en el que
concurren 3 cuadrados en cada vértice. Si utilizamos pentágonos regulares como caras de
un poliedro se obtiene el dodecaedro.
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Notas de clase. Geometría del Espacio 2012
TALLER
240
8
6
12
2
octaedro
[Escri
ba una
cita
del
docum
a) ¿Cómo varía el ángulo de los polígonos regulares a medida que aumenta el ento
número
o de
lados?
el
resum
b) ¿Podrías formar un poliedro uniendo 4 cuadrados por cada vértice? ¿Por qué?
en de
un
c) ¿Qué condición crees que se debe exigir a este proceso para poder obtenerpunto
un poliedro
regular?
interes
ante.
d) ¿Qué ocurre en el caso de los hexágonos regulares?
Puede
situar
e) ¿Puede existir un poliedro regular formado solamente con hexágonos regulares?
el ¿Y con
heptágonos regulares? ¿Por qué?
cuadro
de
f) ¿Cómo es en cada caso la columna que mide C+V-A (nº de caras +nº de vértices menos
texto
el de aristas)? ese número constante se llama característica de Euler. Calcula ese número
en
para otros poliedros que conozcas que no sean regulares. ¿Qué obtienes?
cualqu
ier
lugar
del
docum
ento.
Use la
ficha
Herra
11
mienta
s de
dibujo
para
cambi
Notas de clase. Geometría del Espacio 2012
Proyección Paralela Sobre un Plano
Llamaremos proyección P’ de un punto P sobre un plano α en la dirección de una recta ℓ a
la intersección del plano α con la paralela por P a ℓ; esta paralela se llama rayo proyectante
y el plano α, plano de proyección.
Si la dirección dada es perpendicular al plano de proyección ésta se llama ortogonal, o
simplemente proyección, cuando no haya lugar a confusiones. Si r no es perpendicular al
plano de proyección se llama oblicua.
Figura 11.Distancia de un Punto a un Plano
El segmento limitado por un punto y su proyección ortogonal sobre un plano α se llama
distancia del punto P al plano α se llama así, por ser menor que cualquier otro segmento
oblicuo PQ que une P con otro punto Q del plano.
𝛼
Figura 12. PP’Q es rectángulo, ̅̅̅̅
𝑃𝑄 hipotenusa del mismo
12
Distancia entre dos Planos Paralelos
Se llama así la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. Es independiente
del punto elegido por la congruencia de los segmentos perpendiculares entre ambos planos.
Figura 13. Distancia entre una Recta y un Plano Paralelo
Se llama así a la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano; siendo independiente
del punto elegido y mayor que cualquier otro segmento oblicuo.
Concepto del Movimiento en el espacio
El concepto de movimiento está relacionado con el concepto de cuerpo rígido, el cual, se
entiende como aquel que conserva invariantes las distancias mutuas de sus puntos al
moverse; pero, mover un cuerpo es variar de posición sus puntos sin alterar sus distancias
mutuas. El concepto de distancia nace precisamente, por abstracción, como cualidad
invariante en los movimientos. De aquí que el movimiento solo pueda definirse
indirectamente estableciendo un sistema de axiomas que traduzca sus propiedades
esenciales.
Axiomas del Movimiento
Los axiomas que caracterizan las propiedades del movimiento en el plano, pueden servir
para caracterizar las propiedades del movimiento en el espacio tan solo modificando
algunos de sus términos para darle una interpretación espacial.
Asumiremos como axiomas de movimiento en el espacio euclidiano los siguientes:

Los movimientos del espacio son transformaciones puntuales biunívocas del mismo.
Ello significa que a elementos alineados o coplanarios le corresponden elementos
homólogos también alineados o coplanarios.
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
Todo movimiento del espacio conserva las relaciones de incidencia, ordenación y
sentido. A una serie ordenada de rectas, semirrectas o semiplanos corresponde otra serie
de rectas semirrectas o semiplanos ordenados y de igual sentido.

Ningún movimiento puede transformar una figura geométrica en parte de ella misma.
Por ejemplo, un segmento en el doble de él o un ángulo diedro a su mitad.

El producto o transformación resultante de la aplicación de los movimientos es otro
movimiento. La transformación recíproca de todo movimiento es otro movimiento. Por
ejemplo, la identidad es caso particular del movimiento, es decir, es el producto de un
movimiento cualquiera por su recíproco.

Existe un movimiento y sólo uno que transforma una semirrecta r en otra semirrecta r’ y
un semiplano α limitado por la recta r en un semiplano α’ limitado por la semirrecta r’.
Es muy importante observar que la distinción entre movimientos directos e inversos en el
plano deja aquí de tener objeto, pues al invertir el plano se arrastra en la inversión el
semiespacio desde el cual se supone observado y, por consiguiente, esta alteración del
punto de vista restituye el sentido primitivo, de acuerdo con el segundo axioma.
Por esta razón se le añade la conservación del sentido en la modalidad espacial a dicho
axioma. Es decir: el movimiento consiste en deslizar las figuras, sin sacarlas del plano, si el
movimiento saca a las figuras del plano para abatirlas de nuevo sobre el mismo, pero en
sentido contrario al que tenían, entonces es una transformación.
El prisma
Figura 14. Prisma
Es un poliedro que tiene dos caras congruentes y paralelas y las demás caras son
paralelogramos. Las caras congruentes se llaman bases, y las demás, caras laterales.
14
Si los paralelogramos del paralelepípedo son rectángulos, se llama ortoedro. Un prisma será
triangular, rectangular, pentagonal, hexagonal, etc., según que su base sea, respectivamente,
una región triangular, rectangular, pentagonal, hexagonal, etc.
Definición: Altura de un prisma es la distancia que hay entre las dos bases.
Definición: Sección recta de un prisma es la sección determinada por un plano
perpendicular a las aristas laterales.
Definición: Sección transversal de un prisma es la intersección del prisma con un plano
paralelo al plano de la base.
Figura 15:
Área del Prisma: El área de un prisma puede ser lateral o total.


El área lateral es igual al producto de la arista lateral por el perímetro de la sección
recta.
El área total es igual al área lateral más el área de las bases.
El área lateral de un prisma recto es igual al producto de la altura por el perímetro de la
base.
Definición: Todo prisma cuyas bases son paralelogramos se llama paralelepípedo
15
Figura 16: Prismas
16
Teorema: El área lateral de un prisma es igual al producto del perímetro de la sección recta
por la arista lateral.
Demostración:
Figura 17
1. Sea el prisma AG. Los lados de la sección recta MNPQ, son perpendiculares a las
aristas laterales, cada cara lateral es un paralelogramo que tiene por base la arista
(𝒂) y por altura uno de los lados ̅̅̅̅̅
𝑴𝑵, ̅̅̅̅̅
𝑵𝑷, ̅̅̅̅
𝑷𝑸, ̅̅̅̅̅
𝑸𝑴.
1. Si S es el área lateral y 𝒑 el perímetro de la sección recta entonces:
𝑺 = 𝒂. 𝑴𝑵 + 𝒂. 𝑵𝑷 + 𝒂. 𝑷𝑸 + 𝒂. 𝑸𝑴 = 𝒂(𝑴𝑵 + 𝑵𝑷 + 𝑷𝑸 + 𝑸𝑴) = 𝒂. 𝒑
Pirámides
Figura 18: Pirámides
17
Definición: Una pirámide es un poliedro que tiene como base un polígono cualquiera, y por
caras laterales tres o más triángulos que tienen un vértice común.
Los lados de las caras laterales que concurren al vértice se llaman aristas laterales.
Definición: Altura de una pirámide es la perpendicular trazada desde el vértice a la base.
Una pirámide es recta, si el polígono de la base es un polígono circunscrito y uno de los
extremos de la altura coincide con el centro de la circunferencia inscrita en el polígono.
Pirámide Regular2: es aquella cuya base es un polígono regular y la altura cae en el centro
de este polígono. Todas las aristas laterales son iguales, las caras laterales son triángulos
isósceles iguales, la altura de cada uno de estos triángulos se llama apotema de la pirámide.
Como en el prisma, una pirámide puede ser triangular, rectangular, pentagonal, hexagonal, etc.,
según la región poligonal que tenga como base. La pirámide triangular es un tetraedro. En
una pirámide triangular, se puede tomar como base una cara cualquiera.
Poliedros Semejantes
Definición: Dos poliedros son semejantes cuando sus ángulos poliedros son
respectivamente congruentes, sus caras respectivas semejantes, y todos los elementos
correspondientes de ambos poliedros están dispuestos de la misma manera.
Los elementos que se corresponden se llaman elementos homólogos. Los ángulos Diedros
homólogos de dos poliedros semejantes son congruentes; las caras homologas son
semejantes; y las aristas homólogas son proporcionales. La razón constante de
proporcionalidad se denomina razón de semejanza.
Teorema: Si se corta una pirámide por un plano paralelo a la base:
1. Las aristas y la altura quedan divididas en partes proporcionales.
2. La sección transversal es un polígono semejante a la base
Teorema: Todo plano paralelo a la base de una pirámide determina una pirámide semejante
a la primera.
Demostración: Hipótesis: En la pirámide VABCD, el polígono ABCD es paralelo al
polígono EFGH.
2
Una pirámide es regular, si es recta y su base es regular.
18
Tesis: La pirámide VEFGH es semejante a la pirámide VABCD
1. Se tiene que el polígono ABCD es semejante al polígono por teorema anterior
2. ∆𝑉𝐴𝐵~∆𝑉𝐸𝐹. Porque ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∥ ̅̅̅̅
𝐸𝐹 Ver teorema
3. Del mismo modo ∆𝑉𝐵𝐶~∆𝑉𝐹𝐺 y ∆𝑉𝐶𝐷~∆𝑉𝐺𝐻 y todas las caras laterales de la
pirámide.
4. El ángulo poliedro 𝑉 es común a las dos pirámides y los triedros de las bases son
respectivamente congruentes, por tener sus caras respectivamente congruentes,
perteneciente a polígonos semejantes y dispuestos en el mismo orden.
5. Luego La pirámide VEFGH es semejante a la pirámide VABCD
Superficies de Revolución
Se llama sólido de revolución al cuerpo generado por una superficie plana que gira
alrededor de un eje que está situado en el mismo plano y que no corta la figura generatriz.
Definición: Se llama superficie de revolución la superficie generada por una línea que gira
alrededor de un eje. La figura que gira se llama generatriz, cada uno de sus puntos describe
una circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje y cuyo centro está sobre el eje.
Los sólidos de revolución más importantes son: el cilindro, el cono y la esfera.
Definición: Se llama superficie cilíndrica la superficie generada por una recta que se
desplaza (generatriz) paralelamente a una recta fija, apoyándose sobre una curva fija C
llamada directriz.
Se llama superficie cilíndrica de revolución, la superficie generada por una recta que gira
alrededor de un eje fijo 𝑥𝑦, y que permanece paralela a él., y por directriz, una
circunferencia cuyo centro está en dicho eje. El movimiento de esta recta genera la
superficie lateral del cilindro, El eje 𝑥𝑦 es el eje de revolución.
Figura 19: Cilindro
19
La directriz puede ser considerada como una circunferencia cuyo plano es perpendicular al
eje 𝑥𝑦 y cuyo centro está sobre este eje. Todos los planos perpendiculares al eje 𝑥𝑦 que
cortan la superficie siguiendo circunferencia paralelas a la superficie.
Si la línea generatriz es una recta perpendicular y secante al eje, la superficie engendrada en
un plano perpendicular a él, el plano puede considerarse como superficie de revolución de
eje perpendicular a él. (Figura. 20).

Figura 20. Recta generatriz
Si la generatriz es secante oblicua al eje la superficie engendrada se llama superficie cónica
de revolución.
Figura 21. El cono
Si la generatriz es una circunferencia de diámetro en el eje, la superficie engendrada se
llama superficie esférica, y puede definirse también como el lugar geométrico de puntos
del espacio equidistantes de un punto fijo O, llamado centro, puesto que todos sus puntos,
y sólo ellos, equidistan del centro de la circunferencia generatriz. Esta distancia se llama
radio.
20
Figura 22. La esfera
Si la generatriz una recta que se cruza oblicuamente con el eje, la superficie engendrada se
llama Hiperboloide de revolución. Si la generatriz rectilínea se cruza ortogonal mente con
el eje, engendra el haz de tangente a una circunferencia de radio igual a la distancia de la
generatriz al eje.
Figura 23
Si la generatriz es una circunferencia de centro exterior al eje y coplanaria con él, la
superficie se llama toro.
Figura 24: El toro
21