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Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1
En esta hoja trabajaremos con los conceptos básicos del cálculo matricial: tipos de matrices, operaciones
con matrices, determinantes, rangos y sistemas de ecuaciones.
1. Se consideran las siguientes matrices:
4
1
3 
 1 2 3 


1
3
0
1
3






A
 , B   0 2 0  , C   2 1 3 2  , D   1 1  , E  
 , F  0


2 1 7
 2 6
0 0 1

 1 4 


0
7

3 

1
0
2

0
1
1
1.1. Indicar el tamaño (nxm) de cada una de ellas:
Tamaño
A
B
C
D
E
F
2x3
3x3
1x4
3x2
2x2
3x3
1.2. Dar el valor de los siguientes elementos de algunas de ellas:
a12
a31
c14
c41
d22
e11
f13
3
no existe
2
no existe
1
1
3
1.3. ¿Cuáles de las anteriores matrices son cuadradas? ¿De qué orden es cada una?
Son matrices cuadradas B (orden 3), E (orden 2) y F (orden 3).
1.4. ¿Alguna de las anteriores matrices es triangular superior?
B y F son matrices triangular superior, pues bajo la diagonal (elementos akk ) todos los elementos son 0.
1 0 0


1.5. ¿Alguna de ellas es la matriz identidad? No. Por ejemplo, la matriz identidad de orden 3 es I 3  0 1 0


0 0 1


1.6. Hallar las siguientes matrices traspuestas:
1 2 


t
A  3 1 
0 7


,
 1 0 0


t
B   2 2 0 
 3 0 1


 2
 
1
t
C  
 3
 
 2 
,
1.7. Calcular las siguientes sumas y productos:
5
 2 1 0 
5 



B  F  0 5
0  ; At  D   2
0 
2




 1 45 
 0 0 2
7

1 0 0
 7 6 21 


; BF  0 1 0 ; E A  



14 12 42 
0 0 1


E + A = imposible (han de ser de igual tamaño) (la suma de matrices sí es conmutativa)
A  E = imposible (sólo se pueden multiplicar una matriz de tamaño nxk por otra de tamaño kxm, y el resultado es
de tamaño nxm; el producto de matrices no es conmutativo)
1.8. Indicar si alguna de esas matrices es inversa de otra y justificar adecuadamente la respuesta.
B  F 1 y F  B 1 , pues el producto B  F  I 3 . (La inversa de una matriz A es aquella que verifica AA‐1 = A‐1A = In ).
1 Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1
1.9. ¿Cuáles de las anteriores matrices no tienen inversa? ¿Por qué?
A, C y D no tienen inversa porque no son matrices cuadradas. E no tiene inversa porque su determinante es 0.
1.10. ¿De cuáles de esas matrices se puede calcular el determinante? ¿De cuáles no? ¿Por qué? Hallar su
valor en los casos en los que se pueda.
Sólo se puede hallar el determinante de matrices cuadradas. En este caso, det(B)=2 , det(E)=0 , det(F)=1/2 .
1.11. ¿De cuáles de esas matrices se puede calcular el rango? ¿De cuáles no? ¿Por qué? Hallar su valor en
los casos en los que se pueda.
De cualquier matriz se puede hallar el rango.
rg(A)=2 , rg(B)=3 , rg(C)=1 , rg(D)=2 , rg(E)=1 , rg(F)=3.
1.12. Dar una definición de determinante para una matriz general AMn(K) y una definición de rango para una
matriz general BMnxm(K).
(Libro, pg 32): El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es el elemento de K, denotado por det(A), 

obtenido a partir de la expresión det(A)  


si n  1
a11
n
 (1)
i 1
i 1
ai1 det( Ai )
si n  1
, siendo Ai la matriz que se obtiene suprimiendo la primera columna y la fila i‐ésima de la matriz A. Esta expresión recibe el nombre de desarrollo del determinante por los adjuntos de la primera columna y la forma de calcularlo es recursiva. En particular, para n = 2 el determinante de una matriz genérica es
a
det  11
 a21
a12 
  a11a22  a21a12 a22 
y para n = 3 su expresión coincide con la obtenida mediante la regla de Sarrus, como se ilustra en la figura siguiente: Sumandos con signo +
Sumandos con signo 
Rango de A, y se denota rg (A), al tamaño de la mayor submatriz1 cuadrada de A con determinante no nulo. Por convenio, el rango de la matriz nula de cualquier orden es 0. 1.13. Si A = (F1, F2, ..., Fn) representa una matriz AMn(K) cuyas filas son Fi para i =1, ..., n, indicar si son
verdaderas o falsas (V / F) las siguientes propiedades de los determinantes:
a) det(At) = det(A). Verdadera b) det(A1) = det(A). Falsa. Se verifica det
 A   det(1 A) 1
c) det(F1, ...,  Fi, ..., Fn) =  det(F1, ..., Fi, ..., Fn) con   K. Verdadera. 1 Denominamos submatriz de otra matriz A a cualquier matriz que se obtiene de suprimir filas y/o columna completas de A. 2 Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1
d) det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn) = det(F1, ..., Fj, ..., Fi, ..., Fn). Falso. El determinante cambia de signo si se intercambian filas o columnas. e) Si det(A) = 0 entonces A tiene una fila de ceros. Falso. Ver ejemplo de la matriz E del principio. Sí es verdadero que si una matriz A tiene una fila de ceros entonces det(A)=0. f)
Si A tiene dos filas proporcionales entonces det(A) = 0. Verdadero. g) det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fj + Fi, ..., Fn) con   K. Es decir, si a una fila le sumamos una proporcional a otra fila el valor del determinante no varía. Verdadero h) Si A es una matriz triangular de orden n entonces det(A) = a11 + a22 +... + ann . Falso. No es la suma sino el producto de los elementos de la diagonal: det(A) = a11  a22  ...  ann i)
Si A = B  C siendo A, B y C matrices cuadradas entonces det(A) = det(B)  det(C). Verdadero j)
A es inversible  det(A) = 1. Falso. Una matriz tiene inversa sí y solo si su determinante es distinto de 0. 1.14.
Escribir los siguientes sistemas de ecuaciones en forma matricial y hallar su solución:
x  2 z 1   1 0 2  x   1 
x  5

 
    
 x + y  z  2    1 1 1    y    2   ( solución)   y  5 ,   0 1 1  z   3 
 z  2
y z 3
    

 
 x  y  z t 1

y z t  2


x yt  0

 x  2 y  z  2t  2
 y  2z  t  w  5
 x yzw6


 x  y  z  w  2
 x  z  3t  2 w  3
1

0

1

1
1
1
1
2
1
1
0
1
1  x  1
 x  1
    
 y  1
1  y   2



 ( solución)  
, 1  z  0
z

1

    
 t  
2  t   2
x 
 0 1 2 1 1     5 

 y  

1
1
1
0
1
 z    6 

 1 1 1 0 1     2 

 t   
 1 0 1 3 2     3 
 w
 x  2 

 y   3
4


3
 ( solución)   z  4   ,   R 4


5
 t  3 4

 w  
(en la siguiente página resolvemos este último sistema por el método de Gauss) 3 Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1
Hallamos la forma escalonada de la matriz ampliada del sistema, por el método de Gauss:  0 1 2 1 1

 1 1 1 0 1
 1 1 1 0 1

 1 0 1 3 2
5
 1 1 1 0 1
 a11 0 
6
0 1 2 1 1
 
2    1 1 1 0 1
 F1  F2 
3 
 1 0 1 3 2
 1 1 1
a33  0
 1 1 1 0 1 6  hacemos

ceros

 bajo a33  0 1 2
0
1
2
1
1
5


   0 0 6
 0 0 6 2 2 18   

 F4 : F4  1 F3 
3 0
0
0
2
2
4
14




0 0



 y  2z  t  w  5
 x yzw6

El sistema 
 x  y  z  w  2
 x  z  3t  2 w  3
0
1
2
8
3
6  hacemos  1 1 1 0 1
 ceros 
5  bajo a11  0 1 2 1 1

2    0 2 2 0 0
 F3 : F3  F1 
3  F : F  F  0 1 0 3 3
4
4
1
22  0
6  ahacemos
 ceros
5  bajo a22

8  
 F3 : F3  2 F2
9  F : F  F
4
4
2

6 
1
5 
 ( forma escalonada )
2
18 
10
8 
3

1
w 6
x  y  z 
 y  2z  t  w  5

tiene las mismas soluciones que 
 6 z  2t  2w  18

8 10

 t  w  8

3
3
. Despejamos las incógnitas correspondientes al primer elemento no nulo de cada fila. x yz
 w6
y  2z  t  w  5
 x  6 y zw
 y  5  2z  t  w
1 1
 1
 6 z  2t  2 w  18  z      18  2t  2w   3  t  w 3 3
 6
10 
5
8 10
 3 
 t  w  8  t      8  w   3  w.
3 
4
3
3
 8 
Si quedan incógnitas sin despejar, se le asigna un parámetro perteneciente al cuerpo K (en este caso R), y vamos sustituyendo “de abajo a arriba”: w   , con   R , 5
5
 t  3 
t  3 w
4
4
1 1
1
5  1
5
1
3
z  3  t  w  z  3   3       3 1     4  
3 3
3
4  3
12
3
4
3  
5 
3

3 5 
y  5  2 z  t  w  y  5  2  4      3       5  8  3     1    
4  
4 
4

2 4 
3 
 3  
 3 3 
x  6  y  z  w  x  6        4       6  4      1   2  
4 
 4  
 4 4 
La solución la expresamos: [ x  2   ,
3
3
5
y    , z  4   , t  3   , w   ],   R . 4
4
4
4