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1.1. PARALELOGRAMO
Definición
Un paralelogramo es un cuadrilátero
con sus lados opuestos paralelos
o
Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades
PROPIEDAD 1
En todo paralelogramo, los lados opuestos son
congruentes
PROPIEDAD 2
En todo paralelogramo, las diagonales se bisecan
Observación:
El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría, ¿por qué?
PROPIEDAD 3
En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son
congruentes
 Demuestra las Propiedades 1, 2 y 3.
POLITECNICO
1
Los Cuadriláteros
Matemática
¿Qué significa que sea
necesario y suficiente?
Propiedades recíprocas
Las propiedades anteriores, enuncian las condiciones necesarias de
los cuadriláteros que son paralelogramos. ¿Serán suficientes? Es
decir, si un cuadrilátero cumple con alguna de esas condiciones, el
mismo,¿será paralelogramo?
Un ejemplo: El tomar
2l de agua diaria es una
condición
necesaria
para tener una buena
salud. Ahora, claro está
que sólo de agua no
vive el hombre. es decir
que
no
es
una
condición suficiente.
Investiga
“Condición
necesaria y suficiente” en
Wikipedia y escribe un par
de ejemplos cotidianos.
Actividad Nº 1:
Traza un cuadrilátero abcd con lados opuestos congruentes.
TEC
(GeoGebra)
Recurre a
“Relación
entre dos
objetos”
Sugerencia: Para su construcción convendrá trazar primero dos lados
consecutivos ab y bc , luego con la herramienta “Compás” traza dos
circunferencias de radio ab y bc con centros en c y a respectivamente.
En la intersección de ambas se encuentra el punto d.
Comprueba que se trata de un paralelogramo
Justifica esta
construcción
PROPIEDAD 4
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son
congruentes, entonces es un paralelogramo
Actividad Nº2:
 Traza los segmentos ac y bd
TEC
(GeoGebra)
tales que se bisequen en un
punto o ¿Qué tipo de cuadrilátero resulta?
Podrás usar el
comando
“Compás”
 Prueba moviendo alguno de los vértices, ¿qué puedes
concluir?
PROPIEDAD 5
Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan,
entonces el mismo es un paralelogramo
2
POLITECNICO
Actividad Nº 3:
Traza un cuadrilátero con ángulos opuestos congruentes.
Sugerencia: Para su construcción, previamente
prueba que si en un cuadrilátero los ángulos
opuestos son congruentes, entonces sus ángulos
consecutivos son suplementarios.
PROPIEDAD 6
Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son
congruentes entonces es un paralelogramo.
CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES

De las propiedades 1 y 4 resulta:
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los
lados opuestos son congruentes
En símbolos:
abcd paralelogramo  ab  dc  bc  ad

De las propiedades 2 y 5 resulta:
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si las
diagonales se bisecan
En símbolos:
abcd paralelogramo  ao  oc  bo  od

De las propiedades 3 y 6 resulta:
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si los
ángulos opuestos son congruentes
En símbolos:
POLITECNICO
3
Los Cuadriláteros
Matemática




abcd paralelogramo  a  c  b  d

Otra propiedad importante:
Un cuadrilátero, es paralelogramo si y sólo si
posee un par de lados opuestos congruentes y
paralelos
En símbolos:
abcd paralelogramo  ab  cd  ab // cd
Verifica usando el GeoGebra esta Propiedad y luego demuéstrala.
Problemas
1) Demuestra que las bisectrices de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son
paralelas.
2) Demuestra que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo
son perpendiculares.
d
3) Si x e y son los puntos medios de los
lados opuestos de paralelogramo abcd y
xy  ac  o, ¿será o punto de intersección
de las diagonales? Justifica tu respuesta.
a
4) H) abcd paralelogramo
de  ab
b
x
d
f
c
e
b
fb  dc
T) de  fb
Realiza la demostración
a
b
5) H) decf paralelogramo
bc  ac
T) perímetro paralelogramo decf =
Realiza la demostración
d
2 bc
e
c
a
f
4
POLITECNICO
c
y
6)
t
a
z
H) xyzt paralelogramo
by  ta
T) tbya paralelogramo
Realiza la demostración.
x
b
y
d

7) Sabiendo que xc es mediana del d b c
y que eˆ
bd  aˆdb ,, demuestra que
abed es un paralelogramo
a
e
x
c
b
1.2. TRAPECIO
Definición
Un trapecio es un cuadrilátero que
posee al menos un par de lados
opuestos paralelos
1.2.1 TRAPECIO ISÓSCELES
Definición
Un trapecio que tiene el par de
lados no paralelos congruentes se
llama trapecio isósceles
En símbolos:
bc // ad

ab // cd  abcd trapecio isósceles

a
ab  cd 
b
c
d
Observación
A cualquiera de los lados paralelos se le llama base del trapecio isósceles.
POLITECNICO
5
Los Cuadriláteros
Matemática
Propiedades:
(I)
(II)
En un trapecio isósceles, los ángulos de la base son congruentes.
En un trapecio isósceles, las diagonales son congruentes.
Demostraremos la propiedad I.
H) abcd trapecio isósceles, bc // ad


T) a  d


y bc
D) Completa las proposiciones y así obtendrás la demostración
Trazamos cm// ab , entonces abcm es un paralelogramo. ¿Por qué?.............
Luego:
(3)
(3)
(4)

(5)
 


ab  cm 1
c m d  d
  

  cm  cd  c m d isósceles  
ad

ab  cd 2 



a  c m d (Por (6))


Ya demostramos que: a  d (*)
 
    
a b  2R por ser conjugados internos en .......... .......... ... a b  c  d  

bc
 
 


c  d  2R por ser conjugados internos en........ .......... ...  y(*)a  d 
(1)………………………………………………………………………
(2)………………………………………………………………………
(3) Propiedad transitiva
(4)……………………………………………………………………….
(5) En todo triángulo, a lados congruentes se opones ángulos congruentes
(6) Ángulos correspondientes en …………………………………………
6
POLITECNICO
Problemas
8) Demuestra la Propiedad II
9) Demuestra que si un trapecio posee el par de ángulos de una base congruentes,
entonces el trapecio es isósceles.
10) En el paralelogramo abcd donde bc // ad , sea el punto m del lado ad y



perteneciente a la bisectriz del ángulo interior b . Sabiendo que b  2 a ,
demuestra que el cuadrilátero bmdc es un trapecio isósceles.
1.3. BASE MEDIA
BASE MEDIA DE UN CUADRILÁTERO
Consideremos la siguiente definición:
Base Media de un cuadrilátero es el
segmento determinado por los puntos medios
de dos lados opuestos
Simbólicamente:
b
p
p punto medio de ab
a
c
q
d
 pq base media del abcd
q punto medio de cd
 Construye la otra base media
POLITECNICO
7
Los Cuadriláteros
Matemática
BASE MEDIA DE UN PARALELOGRAMO
En el caso particular que el cuadrilátero es un paralelogramo pueden demostrarse que:
La base media de un paralelogramo es paralela y
congruente con los lados opuestos del paralelogramo
d
c
m
H)
n
T)
a
abcd es un paralelogramo
mn base media
b
//
//
mn  ab ; mn  dc
D) Completando las proposiciones obtendrás la
demostración
abcd es un paralelogramo
//
 ad  bc (1)
1

m................... de ad  md  ad
(2)


2
mn base media  
n.................... de bc  .........  1 .......(3)


2
//
De (1) ;(2) y (3)  md  nc por ser mitades de lados opuestos de un paralelogramo.
//
md  nc  mdcn es un…………………… pues
……………………………………………………………………………………..
//
mdcn paralelogramo  mn  dc
//
 mn 
8
POLITECNICO
//
…….... 
………..
//
abcd paralelogramo  ab  dc
BASE MEDIA DE UN TRAPECIO
Cuando el cuadrilátero es un trapecio puede demostrarse que:
El segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos de un trapecio es paralelo a los otros dos lados y
congruente con su semisuma
a
b
H) abcd es trapecio con ab// cd
mn base media
n
m
d
c
T) ab // cd // mn ; mn 
 Completa las proposiciones para demostrar el teorema.
Previamente efectuaremos una construcción auxiliar:

ab  cd
2

por n trazamos una recta S paralela a ad y llamamos ab  S  q y dc  S  r
S
a
b
q
m
n
d
r

c

Comparamos los triángulos b q n y n r c

bqn
bˆ
nq  rˆ
nc por ...........................
y
qˆ
bn  nˆ
cr por ...........................

nr c
bn  nc


 b qn  r n c
pues .............
por ...........................
.........................................................................................................................................
POLITECNICO
9
Los Cuadriláteros
Matemática


b qn  r n c
bq  rc

qn  nr (1)
por ......................................................
aqrd es un paralelogramo por construcción
m punto medio de ad por H
 mn es ......................................
n punto medio de qr por (1)
//
//
//
De aqdr  mn  aq  mn  dr siendo aq  cr de donde
mn // ab // cd
(Aquí se demuestra la primera parte de la Tesis)
Además
mn  aq  mn  ab  bq
mn  dr  mn  cd  rc
2 mn  ab  cd
mn  ..................
(se demuestra la segunda parte de la tesis)
BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO
Si se extiende la definición de base media de un cuadrilátero para un triángulo resulta:
Base Media de un triángulo es el
segmento que posee como extremos los
puntos medios de dos lados
TEC
(GeoGebra)
10
POLITECNICO
 Dibuja un triángulo y construye la base media respecto a uno de los lados y
mide ambos segmentos. Mueve cualquier vértice de dicho triángulo, ¿puedes
encontrar alguna regularidad?
PROPIEDAD
La base media respecto a un lado del triángulo, es
paralela y congruente con la mitad del mismo
Vamos a demostrarla
 
H) abc
mp base media
mp // ac

T) 
1
mp  ac

2
t ; luego trazo A // ac por el punto b,
D) Trazo R // ab por el punto p, R  ac  
A  R  q.
Por construcción: abqt es un …………………………  bq  at (*)
Por (1)
Comparamos:
  bp  ................... por dato 
bqp  





y bpq  ....... .......... por

bqp

tpc
 bq  tc (**) y qp  pt (  )

  

tcp  qbp  .......... ......... por


Por (2)
Por (3)
m punto medio de ab por dato
  mp es base media del paralelogramo abqt 
p punto medio de qt por (  ) 
 mp // at y mp  at (por (5))
Por (4)
mp // ac
POLITECNICO
11
Los Cuadriláteros
Matemática
De (*) y (**) y por propiedad transitiva:
1
at  tc  (ac  2at  mp  at )  ac  2mp  mp  ac
2
Por (5)
(1)……………………………….
(2)………………………
(3) Elemento homólogo
(4) La base media de un paralelogramo es paralela e igual a la base
(5)………………………………………………………………..
Problemas
11)Calcula la medida de la base media mn , en cada caso
a)
b)
5
m
m
n
n
8
12
15
12) Calcula x e y si mn // pq // bc
a
a)
m
x
p
8
Sabiendo que:
n
q
mn base media p a q
21
m
c
n
p
q
x

pq base media a b c
y
b

12
b
b)
mn base media pbcq
c

13)
12
r, s y t son puntos medios de los lados del a b c cuyos lados
miden:
b
P O L I T E C sN I C O
r
c
ac  23 cm , bc  32 cm
y
ab  45 cm

Halla el perímetro del r s t
14) Si x, y, t son puntos medio de los lados ab , bc y ac respectivamente del

a b c , demuestra que xyct es un paralelogramo
15)
a
e
e, f, g y h son los puntos medios de
los lados consecutivos de un
cuadrilátero no convexo de la figura.
¿Será efgh un paralelogramo?.
Justifica tu respuesta.
d
f
c
h
g
b
ACTIVIDAD Nº4
TEC

(GeoGebra)
Construye el triángulo abc , ubica el punto m, punto medio del lado ab y
traza la recta R paralela al lado ac que pasa por m. Busca el punto de
intersección de R con el lado bc y mide los segmentos bm y mc . Mueve
cualquier vértice del triángulo. ¿Qué puedes conjeturar?
PROPIEDAD
Toda recta paralela a un lado de un triángulo trazada
por el punto medio de otro de los lados, interseca al
tercer lado en el punto medio de éste.
A continuación demostraremos la propiedad
POLITECNICO
13
Los Cuadriláteros
Matemática
m punto medio de ab
H) 
R // ac , m R
T) n punto medio bc
Trazamos qr // ab y bq // ar // mn  mnqb y mnra son
paralelogramos, con lo que:
nq  mb  am  rn  rn  nq  
D)


Ahora comparemos los triángulos b q n y c r n
  

bqn b q n  ................ por....... .......... ......




y  rn  nq por  
  bqn  crn  bn  nc
  

crn bnq  .......... ......... por .......... .....



Por (1)
Por (2)
(1)………………………………………………..
……………………………………………….
(2)………………………………………………..
Problemas
16)Prueba que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de
un trapecio biseca a las dos diagonales.
14
POLITECNICO
17)Sea abcd un paralelogramo, e y f los puntos medios de los lados opuestos
ab y cd respectivamente. Demuestra que de y fb dividen a la diagonal ac
en tres segmentos congruentes.
2
PARALELOGRAMOS PARTICULARES
Paralelogramos particulares son el rectángulo, el rombo y el cuadrado.
2.1
RECTÁNGULO
Definición:
Un rectángulo es un paralelogramo
con un ángulo recto
b
c
a
d
 Demuestra que
EQUIÁNGULO
el
rectángulo
abcd
es
un
CUADRILÁTERO
Veamos una propiedad importante de los rectángulos:
PROPIEDAD
Las diagonales del rectángulo son congruentes
 Efectúa su demostración
Propiedad recíproca
Si un paralelogramo tiene sus diagonales
congruentes es un rectángulo
POLITECNICO
15
Los Cuadriláteros
Matemática

2.2
Efectúa su demostración
ROMBO
Definición
b
a
Un rombo es un paralelogramo con dos
lados consecutivos congruentes
c
En la figura ab  bc
d
 Demuestra que un rombo es un CUADRILÁTERO EQUILÁTERO
Veamos una propiedad importante de los rombos:
PROPIEDADES
o Las
diagonales
del
rombo
son
perpendiculares.
o Las diagonales del rombo son bisectrices
de los ángulos opuestos.
 Efectúa las demostraciones correspondientes
Propiedades recíprocas
o Si las diagonales de un paralelogramo son
16
perpendiculares, el paralelogramo es un rombo.
o Si las diagonales de un paralelogramo son
bisectrices de los ángulos opuestos , el
P O L I T E Cparalelogramo
NICO
es un rombo

2.3
Efectúa las demostraciones correspondientes
CUADRADO
Definición:
Un cuadrado es un cuadrilátero regular
 Completa:
Un cuadrado es un rectángulo porque .....................................................................
Un cuadrado es un rombo porque............................................................................
 Veamos un diagrama que muestre la relación de inclusión entre los conjuntos
T = {trapecios}
P = {paralelogramos}
R = {rectángulos}
B = {rombos}
C = {cuadrados}
POLITECNICO
17
Los Cuadriláteros
Matemática
SINTESIS
NOMBRE
CUADRILÁTERO
PARALELOGRAMO
CON:
RECTÁNGULO
equiángulo
ROMBO
equilátero
CUADRADO
equilátero y
equiángulo
un ángulo recto
dos lados consecutivos
congruentes
un ángulo recto y dos
lados consecutivos
congruentes
Problemas
18)Demuestra cada una de las siguientes proposiciones:
a) Todo rombo es un paralelogramo
b) Un rectángulo es un trapecio
c) Un cuadrado es un paralelogramo
d) Algunos paralelogramos son rombos
e) Todos los cuadrados son rombos
f) Las diagonales de un cuadrado se bisecan
18
POLITECNICO
PROPIEDADES
DE LAS
DIAGONALES
-Se bisecan mutuamente
-Son congruentes
-Se bisecan mutuamente
-Son perpendiculares
-Bisecan a los ángulos
opuestos
-Se bisecan mutuamente
-Son congruentes
-Son perpendiculares
-Bisecan los ángulos
opuestos
g) Las rectas que incluyen a las diagonales de un rombo son eje de simetría
del mismo
19)Responde y justifica:
a. Un cuadrilátero que tenga un par de lados consecutivos congruenes, ¿es
un rombo?
b. Un cuadrilátero que tenga dos ángulos rectos, ¿es un rectángulo?
20) Utilizando el software GeoGebra, dibuja:
a)
b)
c)
d)
Un rombo que no sea cuadrado
Un paralelogramo con diagonales perpendiculares
Un cuadrilátero con diagonales perpendiculares y congruentes.
Un trapecio isósceles con un ángulo recto.
21)
b
H) d punto medio de ab
e punto medio de bc
d
f punto medio de ac
e
ab = bc
T) dbef rombo
a
f
c
Realiza la demostración.
22) Si en la figura del problema anterior d; e y f son puntos medios de los lados
ab ; bc y ac respectivamente y dbef es un rombo, ¿debe ser

a b c necesariamente isósceles?. Justifica la respuesta.
23) Demuestra que la recta que une los puntos medios de los lados de un rectángulo
es eje de simetría de la figura.
POLITECNICO
19
Los Cuadriláteros
Matemática
24) Demuestra cada propuesta con respecto al dibujo de la derecha:
b
H) abcd paralelogramo
e, f, g y h puntos medios
de los lados.
a
T) efgh paralelogramo
f
c
e
g
h
d
25) (Para trabajar con GeoGebra) Considera un cuadrado abcd y en él determina los
puntos m, p, q y r de
modo que
d q
c
mb  pc  qd  ra
y
p
bp  cq  dr  am
Demuestra que mpqr es un cuadrado
r
a
m
b
26) Demuestra que un paralelogramo inscripto en una circunferencia con diagonales
perpendiculares es un cuadrado
20
POLITECNICO
POLITECNICO
21
Los Cuadriláteros
Matemática
AUTOEVALUACIÓN
f
1) En la figura es fb  ad , ec  ad ,
af  ed y fb  ec
Demuestra que ae  fd
a
e
b
c
d
.
2) En el paralelogramo abcd traza las perpendiculares a la diagonal ac desde b y
d y llama r y s a los respectivos pies de tales perpendiculares. Demuestra que
rdsb es un paralelogramo.
3) Demuestra que los segmentos que unen los puntos medios de los lados
opuestos de un cuadrilátero se bisecan mutuamente.
d
4) Sean x, y, z y t los puntos medios
de los lados del rombo abcd.
Demuestra que xyzt es un rectángulo.
y
z
a
c
x
t
b
5) En un paralelogramo abcd con ad  ab , la bisectriz â corta a bc en g y la
del b̂ interseca a ad en h. Demuestre que abgh es un rombo.
BIBLIOGRAFIA


22
Apunte “El Universo de los cuadriláteros” Hinrichsen-Buschiazzo-Cattaneo
Impreso en el instituto Politécnico 1985
Geometría Serie Awli - Clemens - Editorial Addison Wesley Longman –Impreso
en Mexico - Año 1998
POLITECNICO