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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MANIZALES
GUÍA ASTRONÓMICA:
3. ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Por Juan Carlos Vallejo Velásquez
Dirección: Prof. Gonzalo Duque-Escobar
Trabajo de la Maestría en la Enseñanza de
las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Enero de 2014
GUÍA ASTRONÓMICA: 3. ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
Si tomamos como referencia La
Tierra y El Sol y observamos el
movimiento de dos planetas, uno
interior y otro exterior, podemos
destacar Los Puntos Notables de
sus órbitas planetarias que son:
Conjunción, Oposición,
Cuadratura y Elongación.
infobservador.blogspot.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
Conjunción: dos astros están en
conjunción, cuando observados desde
un tercero se hallan en la misma
longitud terrestre. La Luna por ejemplo
está en conjunción cuando pasa entre la
Tierra y el Sol (Luna Nueva). En un
planeta interior (Mercurio), este se halla
en Conjunción Inferior, cuando pasa
entre el Sol y La Tierra, entonces el
planeta está a la mínima distancia de la
Tierra y presenta su mayor diámetro y
su cara no iluminada. La Conjunción es
Superior cuando es el Sol el que se halla
situado entre ellos. Los planetas
exteriores, sólo pueden encontrarse por
su posición con relación al Sol y al astro
de referencia en Conjunción Superior.
www.elcielodelmes.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
Oposición: Es cuando la Tierra pasa entre El Sol y un
planeta exterior (para nuestra gráfica - Marte). En
general, es la posición ocupada por dos astros que
con relación a la Tierra, se encuentran en dos partes
del cielo diametralmente opuestas. Sólo los planetas
exteriores y La Luna pueden encontrarse en
oposición al Sol. Cuando ocurre, el planeta pasa por
el meridiano del lugar a media noche, siendo visible
durante toda la noche y ocupa su posición más
cercana a la Tierra, por lo que su diámetro es el
mayor posible y las condiciones de observación
telescópica son idóneas. Esto se da, cuando la
Oposición tiene lugar cerca del Perihelio del planeta.
Las oposiciones lunares ocurren en Luna Llena. Si La
Luna está cerca de los nodos de su órbita, ocurrirá un
eclipse de Luna. Las oposiciones se repiten cada
período sinódico del planeta. Desde la antigüedad
se precisó este dato para Marte en 780 días, Júpiter
399 días y Saturno 378 días.
www.astronomo.org
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
Cuadratura: Aspecto de un
planeta superior = exterior,
tal que el planeta forma con
el Sol un ángulo de 90° visto
desde La Tierra. Hay 2
cuadraturas, una E y otra W;
durante las cuadraturas el
planeta muestra una fase
mínima. Para la Luna esto se
da en las fases de cuarto
creciente y cuarto
menguante.
19e37.com
www.gabitogrupos.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
Elongación: Es la mayor distancia
angular que puede tomar un
planeta, hacia el Este o El Oeste
entre el Sol y un planeta, visto
desde la Tierra. Para un planeta
interior la elongación adquiere un
valor máximo, cuando según la
figura, SenEmax = r, donde r es la
distancia del planeta interior al Sol
en U.A. Para un planeta exterior, la
elongación no tiene un valor
limitado, vale 0° en la Conjunción,
90° en la Cuadratura y 180° en la
Oposición. Esto también se aplica
para La Luna y La Tierra.
es.wikipedia.org
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ESTRELLAS Y PLANETAS
Las estrellas cintilan en el
firmamento y los planetas no, ello
se debe a la distancia en que se
encuentran. Las estrellas más
lejanas emiten un rayo de luz que
se distorsiona en la atmósfera, los
planetas por estar más cercanos,
reflejan más luz y ella llega al ojo
del observador de manera
simultánea y por eso no alcanza a
percibirse la distorsión.
cgnauta.blogspot.com
espanol.earthsky.org
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ESTRELLAS Y PLANETAS
Los planetas entre sí, se
diferencian por su posición con
relación al Sol, los interiores no
pueden ser vistos a media noche
porque no tienen Oposición;
según el ángulo de su Elongación
serán visibles minutos u horas
después del atardecer o antes de
la madrugada. Marte se ve de
color rojo, Saturno, anaranjado,
Venus y Júpiter, blancos. Venus y
Mercurio muestran fases y
tránsitos por delante y atrás del
Sol; además para Venus se pueden
apreciar ocultaciones por parte de
la Luna.
proastronomia.wordpress.com
pegaso1701.blogspot.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ESTRELLAS Y PLANETAS
www.educa.madrid.org
Venus es el único planeta que
tiene movimiento retrógrado y
tiene la órbita menos excéntrica
de todos los planetas, 0.00677323,
el día dura 243 días terrestres. Los
planetas exteriores próximos
(Marte, Júpiter y Saturno) son
visibles y hacen bucles, ya que
vistos desde la Tierra su
movimiento orbital es más lento.
observatotio.info
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
LONGITUDES GEOCÉNTRICA Y HELIOCÉNTRICA
Son valores angulares para un
planeta, tomando como referencia
el centro de La Tierra o del Sol. Con
estos datos pueden calcularse las
“posiciones de interés” y por lo
tanto, las Efemérides. La Latitud
Heliocéntrica de un astro, es el
ángulo que forma el radio vector,
partiendo desde el centro del Sol, al
centro del astro, con su proyección
sobre el plano de la Eclíptica y La
Longitud Heliocéntrica, es el ángulo
que forma esta proyección con la
línea del Equinoccio de Primavera.
Guía Astronómica. Gonzalo Duque
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
LEYES DE KEPLER
teoriasdelsistemaplanetario.blogspot.com
Basado en las observaciones de Tycho Brahe,
sobre todos las relacionadas con el movimiento
retrógrado aparente de Marte, que era el planeta
más difícil de conciliar con los cálculos y las
observaciones; Johannes Kepler, descubre y
formula matemáticamente las Leyes del
Movimiento Planetario Heliocéntrico, que
permiten mejorar las predicciones astronómicas y
dimensionar el tamaño del sistema solar. Esto
trae cambios en la concepción que se tenía de
movimientos circulares eternos y perfectos,
heredados del Geocentrismo de Ptolomeo. La
elipse es la figura imperfecta, que mejor describe
el movimiento aparente de los astros en el
firmamento.
www.planetatodo.com.ar
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PRIMERA LEY DE KEPLER
Primera Ley de Kepler o Ley de
las órbitas elípticas.
Las órbitas de los planetas son
elipses que presentan una
pequeña excentricidad y donde el
Sol se localiza en uno de sus
focos. Con base en ello se van a
definir elementos para las órbitas
planetarias como su
excentricidad, El semieje mayor
(distancia del planeta al Sol), El
Afelio y el Perihelio. Para la
mayoría de los planetas del
sistema solar la excentricidad es
muy pequeña, siendo para La
Tierra 0,017 y para Venus los
focos casi se confunden: 0,007.
eucativa.catedu.es
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PRIMERA LEY DE KEPLER. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
La excentricidad (Ɛ), se define
como la distancia entre los focos,
dividida por el Eje mayor de la
elipse (en el gráfico es la letra a),
establece que tan alargada es la
elipse; su valor está entre 0 y 1, de
tal manera que 0 ≤ Ɛ ≤ 1, (0 si es
un círculo, 1 una línea recta) en el
gráfico es equivalente al segmento
c. Una excentricidad de 0, nos
genera una figura igual a un
círculo, ya que los Focos se
confunden con el punto de origen.
Construcción en geogebra
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PRIMERA LEY DE KEPLER. PERIHELIO Y AFELIO
blogs.elcorreo.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
PRIMERA LEY DE KEPLER. EXCENTRICIDAD TERRESTRE
Construcción en geogebra
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
SEGUNDA LEY DE KEPLER
Segunda Ley de Kepler o Ley de las áreas.
La línea que une al Sol con un planeta (el radio
vector), barre áreas iguales en tiempos iguales.
Kepler con la formulación de esta ley, rompe con
otro de los paradigmas de la antigüedad, el cual
sólo aceptaba para los cuerpos celestes un
movimiento perfecto, es decir uniforme, sin
cambios.
Un planeta al moverse a lo largo de la elipse en
su órbita alrededor del Sol, cuando se encuentra
próximo a él, traza en un periodo de tiempo dado
un arco grande, por su proximidad al Foco del
Sol. Al contrario, cuando el planeta se encuentra
alejado del Sol, para el mismo periodo de tiempo
cubre un arco mucho más pequeño, por
encontrarse el Sol más distante. Pues bien,
Kepler descubrió que tanto el área del arco lejano
(cuando está lejos del Sol), como la que barre
cuando está más próximo, eran exactamente
iguales, independientemente de lo excéntrica que
fuera la órbita.
www.taringa.net
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
SEGUNDA LEY DE KEPLER
Para que esto sea posible, la velocidad del planeta
no puede ser uniforme, ésta será mayor conforme se
acerque al Sol, siendo máxima en el Perihelio; y
menor conforme se aleje del Sol, siendo mínima en
el Afelio, es decir, la velocidad de un planeta es
inversamente proporcional a su distancia al Sol. Con
esta deducciones Kepler, intuye sin formularlo
matemáticamente, pero nombrándolo como “anima
motrix”, la Ley de Gravitación, ya que es el Sol el que
como fuente central, hace que los planetas varíen
sus movimientos de acuerdo con su cercanía. La ley
de las áreas es equivalente a la constancia del
momento angular. En el Afelio y en el Perihelio, el
momento angular L es igual al producto de la masa
del planeta, por su velocidad y su distancia al centro
del Sol. L= m.r1 . v1 = m.r2 . v2 . Es decir, el vector
posición r de cada planeta, barre áreas iguales en
tiempos iguales; el momento angular es constante, lo
que lleva a las siguientes conclusiones: 1. Las órbitas
son planas y estables. 2. Se recorren siempre en el
mismo sentido y 3. La fuerza que mueve a los
planetas es central.
mind42.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
TERCERA LEY DE KEPLER
Tercera Ley de Kepler o Ley de
los armónicos.
Los cuadrados de los períodos
orbitales sidéreos de los planetas,
son proporcionales a los cubos de
sus distancias medias al Sol. (El
período sidéreo se mide desde el
planeta y respecto de las
estrellas; está referido al tiempo
transcurrido entre dos pasajes
sucesivos del Sol por el meridiano
de una estrella. En otras
palabras, mientras más lejano un
planeta, más tarda en completar
su órbita al Sol. Donde T1 y T2 ,
son los períodos orbitales y d1 y
d2, las distancias a las cuales
orbitan del cuerpo central.
www.imagui.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
TERCERA LEY DE KEPLER
Planeta
Mercurio
Eje
Período
Semimayor Orbital
(UA)
(año)
Inclinación
Velocidad Exentricida de órbita Período de
Orbital
d Orbital
a Eclíptica rotación
(km/segun (e)
(°)
(días )
do)
Inclinación
del
ecuador
y órbita
(°)
0.3871
47.9
0.2408
0.206
7.00
58.65
0
177.3
Venus
0.7233
0.6152
35.0
0.007
3.39
-243*
La Tierra
1.000
1
29.8
0.017
0.00
0.997
23.4
Marte
1.5273
1.8809
24.1
0.093
1.85
1.026
25.2
Júpiter
5.2028
11.862
13.1
0.048
1.31
0.410
3.1
Saturno
9.5388
29.458
9.6
0.056
2.49
0.426
26.7
Urano
19.1914
84.01
6.8
0.046
0.77
-0.75*
97.9
Neptuno
30.0611
164.79
5.4
0.010
1.77
0.718
29.6
Planetas enanos
Ceres
2.76596
4.599
17.882
0.07976
10.587
0.378
~3
Plutón
39.5294
248.54
4.7
0.248
17.15
-6.4*
122.5
Haumea
43.335
285.4
4.484
0.18874
28.19
0.163
?
Makemake 45.791
309.88
4.419
0.159
28.96
?
?
Eris
557
3.436
0.44177
44.187
> 8 hrs ?
?
67.6681
http://www.windows2universe.org/our_solar_system/planets_orbits_table.html&lang=sp
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ELEMENTOS DE LAS ORBITAS PLANETARIAS
Sirven para determinar la
órbita de un planeta, un
satélite u otros cuerpos del
sistema. Supongamos que
el plano de una órbita se
describe con relación al
plano de la Eclíptica, para
ello debemos conocer: la
inclinación de ambos
planos, la línea de
intersección entre ellos, la
geometría de la órbita
elíptica y la posición de
esa elipse entre otras
variables.
Guía Astronómica. Gonzalo Duque
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ECLIPSES DE SOL Y DE LUNA
Los eclipses de Sol suceden en Luna Nueva y los
de Luna, en fase de Plenilunio y cuando está
ubicada en el plano de la órbita terrestre o en las
cercanías del nodo ascendente o descendente. En
el primer caso, La Luna oculta en mayor o menor
medida al Sol; en el segundo, La Luna desaparece
total o parcialmente en la sombra de la Tierra. Los
eclipses de Luna se presentan con una separación
de medio año. Si los nodos de la órbita lunar están
en las proximidades del Equinoccio de Primavera
y Otoño sobre la Eclíptica, habrá eclipses de Sol
en la Luna Llena (21 de marzo y 23 de
septiembre); y habrán eclipses de Luna en la
Fase Llena en este mismo intervalo. En general
hay anualmente entre 2 y 3 eclipses de Sol y de 1
a 5 de Luna.
Como la línea de los nodos es retrógrada (sentido
de las manecillas del reloj), los eclipses se van
adelantando de año en año, repitiéndose
exactamente igual al cabo de 18 años (Ciclo de
Saros), que equivale a 233 meses sinódicos,
entendidos como el período que transcurre entre
dos mismas fases consecutivas de La Luna =
29,53 días.
www.eurocosmos.net
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ECLIPSES DE SOL
Eclipses Parciales: la Luna Nueva, sólo oculta
una parte del disco del Sol. Quien lo aprecia,
estará ubicado en la penumbra de La Luna
Eclipses Totales: el pleno disco solar queda
oculto, quienes lo aprecien, deben encontrarse en
la Umbra de la sombra que proyecta La Luna;
dado que esta sólo tiene un diámetro máximo de
200 km. los eclipses totales sólo son visibles
desde una región muy limitada. Por el efecto
combinado de los movimientos de la Luna
alrededor de La Tierra y de la rotación de esta
última; la sombra de la Luna se mueve con una
velocidad de 28 km/minuto, barriendo la superficie
terrestre sobre el ecuador en una banda de
totalidad de W a E, sobre la cual los observadores
aprecian sucesivamente el eclipse total de Sol,
que tiene una duración máxima de 8 minutos.
Curiosamente nuestra posición en el sistema
solar, hace que los eclipses sean el resultado de
algo aparente, el diámetro del Sol es 400 veces
más grande que el diámetro de La Luna y como La
Luna está 400 veces más cerca, vistos desde la
Tierra, El Sol y La Luna tienen el mismo tamaño.
amanecerdearrakis.blogspot.com
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ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ECLIPSES DE SOL
Eclipse Anular: se aprecia un anillo del disco
solar. Esta ocultación se produce cuando la
Luna está cerca de su Apogeo (la mayor
distancia de La Tierra), por ello su diámetro
angular es tan pequeño.
Eclipse Híbrido: se presenta con relación al
observador y su ubicación en La Tierra, en
unos momentos es Anular y en otros Total. El
más reciente se presentó en 2013, sucede 10
veces cada siglo y sólo es apreciable en la
zona ecuatorial de África.
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elsofista.blogspot.com
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ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ECLIPSES DE LUNA
Eclipse Lunar: Su visibilidad geográfica es
mucho mayor, literalmente desde todo el lado
nocturno de la Tierra, que tiene la Luna Llena
sobre el horizonte; la zona de visibilidad es
mayor al 50% de la superficie terrestre, debido
a que pueden tener una duración máxima de
3,5 horas.
wiki%2FFile
naukas.com
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
LA LEY DE GRAVITACIÓN
cienciaes.com
La ley de la gravitación formulada por Isaac Newton, plantea que todas las masas se atraen con una
fuerza F que es proporcional al producto de las masas m1 y m2 e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r que los separa, así: F = G m1 m2 / r2, donde G es la constante de gravitación universal, con un valor
de: 6,67392×10 -11 m3/s2kg .
Si queremos calcular la gravedad en la superficie de la Luna y compararla con la de la Tierra, extrapolemos la
Tierra o la Luna de forma esférica y omitamos los efectos de su rotación. La fuerza de la gravedad en la
superficie de la Tierra, es g t , cuyo valor está dado por: g t = G mt/rt2. Se ha denominado mt y rt a la masa y
radio de la Tierra.
El valor de la aceleración gl en la superficie de la Luna, si su masa y radio son ml y rl, esta dado por una
expresión análoga: gl = G ml/rl 2 .
Si dividimos entre sí ambas ecuaciones, se obtiene la relación de las fuerzas de gravedad, al reemplazar
numéricamente masas y radios, encontramos que es seis veces mayor en la Tierra.
De la ley gravitatoria podemos deducir la tercera Ley de Kepler. Para un planeta de masa m tenemos:
Donde M es la masa del Sol y a la distancia Sol-Planeta
Un planeta se encuentra en una órbita estable cuando no cae hacia el Sol, como resultado de la fuerza de
gravedad, ni sale despedido de su órbita por efecto de la fuerza centrífuga. La fuerza de gravedad del Sol y la
fuerza centrífuga se equilibran mutuamente.
La fuerza centrífuga C depende de la masa m del planeta, de su velocidad orbital v y del radio de curvatura r
de la órbita, es decir, de la distancia planeta- Sol. C= mv2/r
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
ROTACIÓN DE DOS CUERPOS ALREDEDOR DE UN CENTRO DE MASA
La figura muestra un sistema doble de soles orbitándose entre
sí. Las dos órbitas están en el mismo plano y los focos de las
órbitas deben alinearse de tal manera que ambas tengan un
mismo foco en el centro de masa.
Sea a el centro de masa del sistema.
Al tratarse de elipses, siendo A1 y A2 los semiejes mayores,
la distancia entre los dos cuerpos d1 + d2 , será el producto
entre uno de los semiejes y la razón de las masas X/Y o Y/X
según se trate de A1 o A2. En esta dinámica geométrica, el
período de los planetas es el mismo al igual que la
excentricidad de las elipses.
Si la masa de un cuerpo X es poco significativa, comparada
con la de su acompañante Y, como el caso de los sistemas
Luna-Tierra o Tierra-Sol, el centro de masa coincide con la
masa Y, y la totalidad de la distancia (d1 + d2) se asemeja a
d1. En este caso el segundo cuerpo de mayor masa se
considera en reposo, para que el primero describa una órbita
elíptica, cuyo semieje será igual a la suma de los semiejes
A1+ A2 con el segundo en uno de sus focos.
Para el caso de dos cuerpos con masas parecidas, la órbita
también es una elipse cuyo semieje mayor es igual a la suma
de los semiejes A1 + A2.
Guía Astronómica. Gonzalo Duque
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
VELOCIDAD ORBITAL
BIBLIOGRAFÍA
•
•
DUQUE ESCOBAR, Gonzalo. Guía Astronómica. Guía 3. Elementos de Mecánica
Planetaria. Universidad Nacional de Colombia. Manizales, 1992.
Enlace donde el autor hace la demostración de la primera ley de Kepler a partir de
la construcción en geogebra de una elipse. http://youtu.be/SC7UCJwwj4s