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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA
FACULTAD DE INGENIERÍA
“ME PREPARO PARA
ESTUDIAR EN LA SEDE”
CURSO DE ARTICULACIÓN 2011
Ecuaciones y Funciones
Lineales y Cuadráticas
Sistema de Ecuaciones
Msc. Adriana Zamar
Ing. Alberto Macoritto
Ing. Emilio Serrano
Prof. Inés Amaduro
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Mag. Adriana Zamar, Ing. Alberto Macoritto, Ing. Emilio Serrano, Prof. Inés Amaduro
HISTORIA
Historia de las ecuaciones lineales.
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se
caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta
fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra
geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de
una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo
de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos
simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de
los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros,
fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más
de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind -1.650 a. de C- y el
de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos
son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo,
encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún
objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones
con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x + ax = b
x + ax + bx = c
donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o
montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería:
x + 1 / 7 x = 24
La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de
la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita,
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probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos
obtendremos la solución exacta.
Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la x nos daría: 7 + 1/7 · 7 = 8 , y
como nuestra solución es 24 , es decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 ·7 , ya que 3 (7 + 1/7 - 7) = 24.
Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e
implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad),
cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones
utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para
representar la suma y resta, respectivamente.
Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a
300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas
demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones
de segundo grado.
Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y,
exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su
preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante
aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal.
Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los
Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos.
En éstos aparece el siguiente problema:
“Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y
sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. "
Esto es:
es decir, a x = S .
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Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.
Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver
ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la
primera sílaba de las palabras.
Dada la ecuación ax + b = cx + d , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de
los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,
Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista AbuKamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por
simple y doble falsa posición. El método de la doble falsa posición es el siguiente:
Sea la ecuación ax + b = 0 y supongamos dos valores para la x :
x=m
am + b = p
x=n
an + b = q
(1)
restando,
a (m - n) = p - q
(2)
Por otra parte, eliminando a en (1)
amn + bn = pn
amn + bm = qm
que restando,
b (n - m) = pn - qm
(3)
y dividiendo los resultados (2) y (3),
-
a / b = (p - q) / (pn - qm)
o también
-
b / a = (pn - qm) / (p - q)
siendo esto último el valor de x .
Veamos un ejemplo. Sea la ecuación 5x - 10 = 0 , si tomamos como valor de x :
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x = 3 y x = 4 , y sustituyendo,
5 · 4 - 10 = p
5 · 3 - 10 = q
se tiene que
x = (10 · 3 - 5 · 4) / (10 - 5) = (30 - 20) / 5 = 10 / 5 = 2
x=2
Actividad 1: Completa el siguiente cuadro acerca de la Historia de las ecuaciones lineales:
fases período
actividades / hallazgos
autor/es
Características generales:
---------------
a- ..............................................................................................
b- ..............................................................................................
Contribución:
...................................................................................................
Contribución:
...................................................................................................
álgebra geométrica: .................................................................
principal interés: .......................................................................
Contribución:
...................................................................................................
egipcios
babilonios
griegos
Sulvasütras
Extendieron métodos matemáticos en Europa.
Viète
Descartes
Euler
El lenguaje algebraico
No siempre contaron los matemáticos con este lenguaje. Hasta aproximadamente el año
1600, los problemas se planteaban y resolvían en forma retórica, es decir, empleando muchas
palabras y pocos símbolos. Alrededor de aquella fecha se comenzó a nombrar la incógnita, que
hasta ese entonces había sido “la cosa”, con una letra.
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La evolución fue lenta, en aquel entonces si, por ejemplo, la incógnita era A,
A2 se decía A quadratus;
A3 era A cubus y así,
A7 resultaba A cuadratus, cuadratus, cubus;
para el producto de dos factores se usaba la palabra in y la igualdad se anotaba aequalis; no
existía el signo =.
Con un lenguaje tan extenso, el planteo y la resolución de problemas se tornaban
difíciles.
El proceso de adoptar una escritura algebraica como la que actualmente nos parece
natural fue largo y se debió a varios matemáticos.
Fuente: Seveso de Larotonda, J; A. R. Wykowski; G. Ferrarini.1997 Matemática 8 E.G.B. Buenos Aires, Argentina, .Editora: Kapelusz
Editora S.A.
Ecuación Lineal :
Una ecuación con una incógnita se dice lineal o de primer grado, cuando el mayor grado
con que figura la incógnita es el primero.
Así
ax+b=0
Ejemplo:
con
ayb ∈ℜ
y
x≠0
es una ecuación lineal
4x + 2 = 0 es una ecuación lineal
Actividad 2: Te proponemos traducir al lenguaje algebraico y resolver el siguiente problema:
La quinta parte de un enjambre de abejas se posó en la flor de Kadamba, la tercera en
una flor de Silinda, el triple de la diferencia entre estos dos números voló sobre una flor de
Krutaja, y una abeja quedó sola en el aire, atraída por el perfume de un jazmín y un pandnus.
Dime, bella niña, ¿cuál es el número de abejas que forman el enjambre?
Actividad 3: Los comienzos del álgebra:
Dicen que en la tumba de Diofanto figura el siguiente epitafio:
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“Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta
sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su
juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte
su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte
de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un
precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su
padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que
sobrevivirle, llorándole durante cuatro años.”
Encuentra cuántos años vivió Diofanto, tomando como incógnita el tiempo de su existencia y
plantea la ecuación que relaciona los datos conocidos.
Actividad 4: Resuelve las siguientes ecuaciones lineales:
a)
b)
x x + 2 x +1
+
+
=3
3
5
4
2 x − 5 = 4x − 2
Actividad 5: Planteo y resolución de ecuaciones lineales:
En un compuesto los átomos están unidos por compartir o transferirse electrones entre
ellos. De modo que los electrones transferidos ganados por uno (asignamos signo−) es igual al
número de electrones perdidos por el otro (asignamos signo +). De modo que la suma de estos
electrones ganados o perdidos es igual a la carga del compuesto.
En compuestos expresados por una fórmula sin carga (fórmula molecular) la suma de
estos electrones es cero.
En el caso de un ión la suma de estos números es igual a la carga del ión.
Ejemplo: Plantear una ecuación lineal, en base a los e- ganados o perdidos sabiendo que el
átomo de oxígeno gana 2 e- y el átomo de H pierde 1 e-. Determina el número de e- perdidos o
ganados por el elemento marcado en negrita.
a.) H2SO4
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Resolución: (+1) . 2 + x + (-2) . 4 = 0
Despejo x: x = +6
b.) HNO3
c.) H2S
d.) Cr(OH)3
e.) H2Cr2O7
Actividad 6: Sabiendo que los elementos del primer grupo de la tabla (columna I Li, Na, K etc.)
solo pueden perder 1 e- y que los elementos del segundo grupo de la tabla (columna II
Mg,Ca,Sr,Ba) pierden solo 2 e-. Determinar cuantos e- pierde el elemento marcado en negrita.
a.)
KMnO4
b.)
Ca(NO3 )2
c.)
Mg Cl 2
d.)
NaHCO3
Actividad 7:
a.)
Comparando la fórmula CuSO4 con la dada en el inciso a de la Actividad 5. Determina
cuántos e- pierde el Cu.
b.)
Hacer lo mismo para el Cu en el siguiente compuesto Cu2SO4.
c.)
Determina los e- perdidos por cada átomo de Fe en el siguiente compuesto: Fe2(SO4)3
Función lineal
Algo de historia: La noción actual de función empezó a desarrollarse en el siglo XIV cuando
filósofos escolásticos medievales comenzaron a ver cómo podían medir y representar
gráficamente las variaciones de ciertas magnitudes como la velocidad de un cuerpo en
movimiento o el cambio de temperatura que experimenta un objeto metálico en diferentes
puntos.
La persona que quizás influyó en su inicio fue Nicole Oresme (1323-1382), en París. Fue
el primero en utilizar diagramas para representar en el plano magnitudes variables, marcando los
valores de la variable independiente en una línea recta y los valores de la variable dependiente a
lo largo de una recta perpendicular a la primera.
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La relación matemática expresada de forma explícita aparece en particular en los trabajos
de mecánica de Galileo. En 1667 Gregory define a la función como una cantidad obtenida de las
otras cantidades mediante operaciones algebraicas sucesivas o mediante cualquier otra
operación que se pueda imaginar (límite)
Esto ayudó a que la matemática avanzara considerablemente y se iniciara una
interrelación entre el álgebra, el cálculo y la geometría.
Leibniz (1714) empleó el término función para designar cantidades que dependen de una
variable, es decir que se sirve de la palabra para designar toda cantidad que varía de un punto a
otro de una curva, por ejemplo, la longitud de la tangente o de la subtangente y de la normal. Se
debió a él el análisis de los puntos máximos y mínimos de una curva, y crear un método general
para obtener la recta tangente a las curvas en un punto determinado.
Definición: Se denomina función lineal a la función definida por:
f : ℜ → ℜ / f(x) = m x + b
donde: m y b ∈ ℜ
x es la variable independiente, puede tomar distintos valores
y es la variable dependiente, su valor depende del valor de x.
La representación gráfica de una función lineal es una recta, donde:
b
es la ordenada al origen
m
indica la pendiente de la recta, m = tg α, α es el ángulo que forma la recta con el
semieje positivo x .
Casos particulares de la función lineal:
1) m = 0 lo cual implica y = b En este caso tenemos una función constante. Da una recta
horizontal que pasa por b.
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Por ejemplo: éste es el gráfico de la función y = 3
2) b = 0 lo cual implica y = mx Esta función pasa siempre por el origen de coordenadas (0,0)
Por ejemplo: éste es el gráfico de la función y = 2x
3) m=1 y b=0 lo cual implica y=x Esta función se denomina función identidad. Es la bisectriz del
primer y tercer cuadrante porque los divide en dos partes iguales.
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Por ejemplo: éste es el gráfico de la función y=1x+0
Acerca de la pendiente de la recta...
Definimos a la pendiente como la variación de y dividido por lo que varía x. Es el aumento o la
disminución de y por cada aumento unitario de x.
Fórmula de la pendiente de una recta conociendo dos puntos: m = (y1-y0)/(x1-x0)
*Cuando la pendiente es positiva, tanto x como y aumentan o bien, ambas disminuyen. Si la
pendiente es positiva, el ángulo de inclinación es agudo y la función es creciente.
Por ejemplo: éste es el gráfico de la función y =1/3x+2
*Cuando la pendiente es negativa, cuando x aumenta, y disminuye o bien, x disminuye al
aumentar y. Si la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación es obtuso y la función es
decreciente.
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Por ejemplo: éste es el gráfico de la función y = -1/3x+2
* Si la pendiente es 0, esto indica que no hay variación. El ángulo de inclinación es 0. Un
ejemplo es la primera función que graficamos, y = 3
Actividad 8: Grafica en un mismo sistema de ejes las siguientes funciones lineales
y = 4 ; y = −2 ; y = 0 ; y = 2 x ;
y=−
2
x ;
3
y=x+2 ;
y=−
1
x+3 ;
2
y = −x − 2
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas
*Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Por ejemplo, y = 5/2x−7/2, y = 5/2x+8.
*Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y opuestas (están "dadas
vuelta" y cambiadas de signo). Por ejemplo, y = 5/2x−7/2, y = − 2/5x+4
Ecuaciones de la recta
*Ecuación de la recta conociendo dos puntos de la misma
(y−y0) / (x−x0) = (y1−y0) / (x1−x0)
*Ecuación de la recta conociendo un punto y la pendiente
y−y0 = m (x-x0)
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Actividad 9: Decide cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares.
2x + 3y – 2 = 0 ; 3x – 5 y + 3 = 0 ; 2x + 3y + 10 = 0 ;
5x + 3y – 4 = 0
Sistemas de Ecuaciones
Historia de los sistemas de ecuaciones lineales.
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales
llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que
tuvieran relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de
ecuaciones en los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor
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a una mano y observaban que la
solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido
al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28
y + x = 10
restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4 .
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos
geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un
determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
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Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones,
pero transformándolos en una ecuación lineal.
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver
problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado
anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de
ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema
métodos a veces excesivamente ingeniosos.
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante,
no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de
ecuaciones.
El libro El arte matemático, de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene
algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método
de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas
equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
Definición
Se llama sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas a 2 ecuaciones de primer
grado con 2 incógnitas cada una. Resolverlo es hallar todas sus soluciones.
Se indica que dos ecuaciones forman un sistema, abarcándolas con una llave.
Por ejemplo:
x + y = 7

 x − y = −1
la solución de este sistema es x = 3 e y = 4
En este caso el sistema admite una solución única, se dice que el sistema es
determinado o compatible determinado (rectas concurrentes).
Si el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones se dice que es compatible
indeterminado (rectas coincidentes). Si el sistema no tiene solución se dice que es incompatible
(rectas paralelas).
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Actividad 10: Resuelve por el método de sustitución.
2 x + y = 3

a) 3
 2 x − 2 y = 5
3u + v − 1 = 0
b) 
− v = 2u − 4
Actividad 11: Resuelve por el método de igualación.
 x + 3 y = 10

a )
5
2 x + 4 y = 1
4 v − 2 t = 7
b) 
2 v + 4 t = −4
Actividad 12: Cuando se combina 1 g del elemento carbono con 2,66 g de oxígeno se forma el
dióxido de carbono. Para formar 10,0 g de este compuesto: ¿Qué masa de carbono y de oxígeno
es necesario combinar?
Actividad 13: Un óxido de hierro presenta la siguiente composición elemental en peso:
Elemento
%
hierro
69,92
oxígeno
30,08
Con 10 gramos de hierro y 50 gramos de oxígeno ¿Qué masa máxima de óxido se puede formar
con estas cantidades?
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Actividad 14: El sodio es un elemento que se combina con el oxígeno hasta que toda su
superficie queda completamente oxidada. Además por análisis se determinó que con un gramo
de sodio se combinan 0, 348 gramos de oxígeno. Se sabe que la superficie de una muestra de
sodio es de 15 cm2, y consume una masa de oxígeno de 3,5 g. Calcula: a) La masa de sodio que
se combinó con el oxígeno; b) La masa de óxido formada.
Actividad 15: El metal cinc se oxida por acción del oxígeno del aire. Se pesa una muestra de
óxido y la misma es de 17,5 gramos. Conociendo que la masa de cinc es 4,086 veces mayor que
la de oxígeno, determina las masas de cada uno de estos elementos que constituyen la muestra.
Actividad 16: El magnesio es un metal que se combina con los ácidos para formar sales, siendo
una sal el cloruro de magnesio que tiene el siguiente porcentaje elemental: 25,50 % de magnesio
y 74,5 % de cloro. A) Determina la masa de cloro que se combina con 1,00 g de magnesio. B)
Calcula la masa de cada uno de estos elementos para formar 12,5 g del compuesto.
Actividad 17: Resuelve los siguientes problemas:
a) La suma de un número más el triple de otro es igual a 17, si del triple del primero se resta el
doble del segundo se obtiene 7. ¿Cuáles son los números?
b) El perímetro de un triángulo isósceles es de 27 cm. Si la diferencia entre dos de sus lados es
de 3 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de sus lados?
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c) Julio tiene la mitad de la edad que tendrá Pedro dentro de 5 años y Pedro tiene la mitad de
las dos edades más 5. ¿Cuáles son las edades de Julio y Pedro?
d) Un automóvil parte de Bs. As.( km 0 ) y lleva una velocidad constante de 120 km /h . Se
dirige a Mar del Plata (km 400). En el mismo instante parte otro automóvil desde Mar del
Plata hacia Bs. As. con una velocidad constante de 80 km /h. ¿Qué tiempo tardan en
cruzarse y en qué lugar lo hacen?
e) Halla la velocidad de una barca en aguas en reposo, y la velocidad de la corriente del río,
sabiendo que emplea 2 horas en navegar 9 km a favor de la corriente y 6 horas en recorrer
dicha distancia en sentido contrario.
f) ¿Cuánto alcohol puro debe añadir una enfermera a 20 cm3 de una solución de alcohol al 60
%, si desea una solución de alcohol al 90%?
g)
El radiador de un automóvil contiene una mezcla de agua y anticongelante al 20 %. ¿Qué
cantidad de esta mezcla debe vaciarse y reemplazarse por anticongelante puro para obtener
una mezcla de agua y anticongelante al 40%?
Ecuaciones cuadráticas
Algo de interés: François Viète (1540 –1603)
El llamado “matemático francés más importante del siglo XVI” fue también abogado,
miembro del parlamento y consejero particular del rey Enrique IV de Francia, pero dedicaba sus
horas libres a las matemáticas. Se cuenta que descifró un código secreto español que contenía
centenares de símbolos y que durante varios años Francia se aprovechó de ello en su guerra
contra España, pero la contribución más importante de Viète fue probablemente haber utilizado
“parámetros” por primera vez en la historia de las matemáticas.
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La idea de los parámetros ha sido fundamental en el desarrollo de las matemáticas: en
geometría por ejemplo, un diagrama de triángulo ABC podía representar “todos” los triángulos
pero en álgebra no se conocían esas generalizaciones. En álgebra se estudiaban sólo casos
especiales, se resolvían ecuaciones con coeficientes específicos, pero no existía un modelo que
representara “todas” las ecuaciones cuadráticas o “todas” las ecuaciones cúbicas.
Viète empezó a utilizar vocales para representar las incógnitas y consonantes para
representar magnitudes o números dados o supuestamente conocidos (parámetros). Con esa
idea, a partir de Viète, el álgebra pudo estudiar clases de ecuaciones y concentrarse en la
estructura de los problemas y no en su forma particular.
Viète escribía por ejemplo:
“B in A quadratum, plus D plano in A, aequari Z sólido”, cuyo significado es: BA2 + D2 A = Z3 ,
que corresponde a : ax2 + b2x = m3, que hoy se escribe: ax2 + bx + c = 0, representando así
“todas” las ecuaciones de segundo grado.
Es interesante notar que, para Viète, las letras representaban solamente números
positivos y que esas letras correspondían a magnitudes geométricas cuya naturaleza había que
indicar a fin de respetar lo que él llamó la ley de homogeneidad (parecido a las ecuaciones en
física). Pero aquí también Viète dio un salto importante y fue más allá de las tres dimensiones de
la geometría euclideana; para muchos matemáticos de su época, eso era “contra-natura”.
La influencia de la geometría sobre el álgebra era todavía muy fuerte en esa época y se
nota en la forma de expresar las potencias sucesivas de un número. Damos a continuación
algunos ejemplos, teniendo en cuenta que el latín era la lengua internacional de las
matemáticas.
Siglo XVI
Hoy
Latus in se facit quadratum
x.x = x2
Latus in quadratum facit cubum
x.x2 = x3
Latus in cubum facit quadrato-quatratum
x.x3 = x4
Cubus in se facit cubo-cubum
x3.x3 = x6
Con este tipo de notación no es de extrañar que el álgebra haya avanzado tan
lentamente.
Fuente: Perero. M 1994 Historia e Historias de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica.
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Definición
Se llama ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, en la incógnita x, a la siguiente
expresión:
a x 2 + bx + c = 0
con a, b, c ∈ ℜ , llamados coeficientes de la ecuación.
Pueden ser completas o incompletas, la anterior es completa, las incompletas se producen
cuando b = 0 ó cuando c = 0
Resolver una ecuación es hallar los valores de la incógnita que hacen verdadera la
igualdad; esto equivale a hallar las raíces o ceros del polinomio P( x) =a x 2 + b x + c
Las raíces de una ecuación cuadrática pueden obtenerse mediante la siguiente fórmula:
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
Actividad 18: En un rectángulo de 8 cm2 de área, uno de los lados mide 2 cm más que el otro.
¿Cuánto mide el lado menor del rectángulo?
Actividad 19: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 3x 2 + x − 2 = 0
b)
x + 4 3x + 4
=
x +1
x+3
c)
5x
x−4
2
=
−
2x + 4 x + 4x + 4 x + 2
Discriminante de la ecuación de segundo grado
Se designa con la letra griega ∆ (delta) a la expresión b2 – 4 a c, es decir ∆ =b 2 − 4 a c .
El análisis de ∆ permite determinar la naturaleza de las raíces.
Si ∆ = 0
entonces
Si ∆ > 0
entonces las raíces son reales y distintas.
Si ∆ < 0
entonces las raíces son complejas o imaginarias y distintas.
x1 = x2
Actividad 20: Calcula cuánto tiene que valer k para que la ecuación cuadrática 2x2– 6x + k = 0
tenga:
a) una raíz;
b) dos raíces;
c) ninguna raíz.
Si las raíces de una ecuación de segundo grado son x1 y x2 , entonces :
x1 + x2 = - b / a
x1 . x2 = c / a
con lo que, conocida las mismas, se puede armar la ecuación.
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Actividad 21: Encuentra la ecuación cuadrática que tenga:
a) raíces: 2 y – 5 ; a = 3
b) raíces:
3 y- 3 ; a=2
Actividad 22: Un ácido es una sustancia capaz de generar iones hidrógeno en solución acuosa.
Si se coloca un mol de moléculas de un ácido en un litro de solución, éste se disocia
parcialmente en ion hidrógeno y en anión. Se conoce que la relación x2 /(1-x) = 2 x 10-5. Calcula
la fracción del mol que se disoció.
HA
Se prepara
⇔
H+
+
A-
1 mol
Se disocia x (fracción de 1) (1-x)
x
x
Actividad 23: Cuando se disocia otro ácido se disocia un valor de x = 0,04. Calcula el valor de x2
/ (1-x) para este ácido.
Actividad 24: En el caso del ácido del ejercicio 6 en lugar de colocar l mol se colocan 2 mol en
cada litro. Determina el valor de x.
Actividad 25: Planteo y resolución de ecuaciones cuadráticas
La ionización del ácido acético en agua, se representa mediante la siguiente ecuación:
CH3COOH + H2O ===== CH3COO - + H3O +
La constante de ionización es: Ka = [CH3COO- ] * [H3O +]/ [CH3COOH]= 1,8x10 -5 en la cual
[CH3COO- ], [H3O +] y [CH3COOH] representan las concentraciones en el equilibrio de esas tres
especies respectivamente.
Inicialmente [CH3COOH]=0,1 M, luego de producirse la ionización, las concentraciones en el
equilibrio de las tres especies son: [CH3COO- ] = x; [H3O +] = x, y [CH3COOH]= x - 1. Utilizando
la expresión de la constante de equilibrio dada, calcula el valor de las concentraciones en el
equilibrio.
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Actividad 26: Resuelve las siguientes ecuaciones completas de segundo grado
a ) x 2 + 3x + 2 = 0
c) 3x 2 + x − 2 = 0
b ) x 2 − 3x − 10 = 0
d ) 6x 2 - x - 1 = 0
Actividad 27: Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado del tipo:
ax2 + c = 0
a ) 3x 2 − 12 = 0
c) x ( x + 3) − (3x + 4) = 0
x + 4 3x + 4
d)
=
x +1 x + 3
b ) 25x 2 − 81 = 0
Actividad 28: Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado del tipo:
ax 2 + bx = 0
a ) 3x 2 − 5x = 0
b)
2 2 5
x − x=0
3
6
c)
5x
x−4
2
−
=
2x + 4 x + 4x + 4 x + 2
d)
x 2 + 1 2x + 5
11
−
=−
3
4
12
Función Cuadrática
Se llama función cuadrática a la función polinómica de segundo grado. Es decir, una
función cuadrática es una función
f:ℜ → ℜ
dada por
2
f(x) = a x + b x + c
donde: a, b, y c ∈ ℜ y además a ≠ 0
Esta función puede escribirse en la forma
y= a (x – xo)2 + yo
con xo , yo ∈ ℜ
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Ejemplo:
f:ℜ → ℜ
10
dada por: f(x) = x2 –- 4 x + 3 es una función cuadrática.
8
La misma se puede escribir completando cuadrados
como:
6
2
4
y = ( x – 2) – 1
2
La gráfica de una función cuadrática es una
-2
0
-2 0
2
4
6
parábola. Sus dos ramas son simétricas respecto de una recta. En el ejemplo anterior la recta x
= 2 es el eje de simetría.
Se llama vértice al único punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. En
el ejemplo es el punto V = (2, –1)
Actividad 29: Resuelva los siguientes problemas:
a) ¿Cuáles son los números enteros que cumplen la condición de que su cuadrado más el
doble del consecutivo es igual a 677?
b) El producto de dos números naturales consecutivos, disminuidos en 42 es igual a 68¿Cuáles
son los números?
c) La superficie de un rectángulo es de 108 cm2 . Sabiendo que uno de los lados es igual a los
4/3 del otro, calcula las dimensiones del rectángulo.
d) Determina los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus dimensiones son números
consecutivos.
e) Calcula el tiempo que tarda un móvil, animado con movimiento uniformemente acelerado, en
recorrer 1.044 m, sabiendo que la velocidad inicial es de 40 cm /seg. y la aceleración de 6
cm / seg.2
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f) Resuelve el mismo problema anterior, cuando el espacio recorrido es de 1.890 m, la
velocidad inicial de 30 cm /seg. y la aceleración de 4 cm / seg.2
Actividad 30: Para resumir:
Completa el siguiente cuadro:
Concepto 1: Funciones
Concepto 2:
Concepto 3:
Concepto 3:
Concepto 3:
Concepto 2:
Concepto 3:
Concepto 3:
Concepto 3:
Bibliografía
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