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1 Geometría Triángulos Semejantes y Trigonometría 20161202 www.njctl.org 2 Tabla de Contenidos click sobre el tema para ir a la sección • Resolución de Problemas con Triángulos Similares • Triángulos Semejantes y Trigonometría • Razones Trigonométricas • Razones Trigonométricas Inversas • Revisión del Teorema Pitagórico • Conversión del Teorema Pitagórico • Resolución de Problemas con Triángulos Similares • Preguntas de Muestra PARCC 3 MP1: Interpretar problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construcción de argumentos viables y crítica del razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Uso estratégico de las herramientas apropiadas. MP6: Ser preciso. MP7: Búsqueda y uso de la estructura. MP8: Búsqueda y expresión de la regularidad en razonamientos repetidos. Práctica de matemática A lo largo de esta unidad, se usaron los Estándares de Práctica de Matemática. En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige. 4 Resolución de Problemas con Triángulos Semejantes y Triángulos Rectángulos Tres enfoques básicos para la resolución de problemas de la vida cotidiana incluyen: • Triángulos Semejantes • Trigonometría • Teorema Pitagórico 5 Resolución de Problemas con Triángulos Semejantes Volver a la Tabla de Contenidos 6 Uno de los problemas matemáticos más antiguos fue resuleto usando triángulos rectángulos semejantes . Práctica de matemática Sombras y Triángulos Semejantes Hace alrededor de 2600 años, Thales of Miletus, quizá el primer matemático griego, estuvo visitando Egipto y se preguntó cual era la altura de la Gran Pirámide de Gaza Debido a la forma de la pirámide, no podía medir directamente su altura . 7 Sombras y Triángulos Semejantes http://www.metrolic.com/travelguidesthegreatpyramidofgiza147358/ Cuando Thales visitó la Gran Pirámide de Gaza, hace 2600 años, tenía cerca de 2000 años de antigüedad. El quería saber su altura. 8 Sombras y Triángulos Semejantes El observó que la gran pirámide proyectaba una sombra que podía ser medida sobre el piso usando una regla. Y se dio cuenta de que la regla ubicada verticalmente también proyectaba una sombra. . En base a aquellas dos observaciones, ¿puedes pensar en una manera que el pudo medir la altura de la pirámide? Discute en tu mesa por un minuto o dos. 9 Sombras y Triángulos Semejantes ¿Que 2 factores pueden recordar sobre triángulos semejantes. Completa en los espacios vacíos de abajo. Sus ángulos son todos congruentes. click Sus lados correspondientes están en proporción entre sí. click 10 Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes Dibuja un esquema de una pirámide que está siendo medida y su sombra...y la varilla para medir y su sombra. Representa la pirámide y la varilla como rectas verticales, la varilla mucho más corta que la pirámide. No podrás dibujarlas a escala, ya que la varilla es muy pequeña comparada a la pirámide, pero esto no afectará nuestro razonamiento. 11 Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes 12 Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes 13 Triángulos Rectángulos Semejantes Sacando los objetos y sólo dejando los triángulos formados por la altura del objeto, la luz del sol y la sombra sobre el piso, podemos ver que hay triángulos semejantes. Todos los ángulos son iguales, de modo que los lados deben estar en proporción. y x y x 14 Triángulos Rectángulos Semejantes Colocando un triángulo encima de otro, es fácil de ver que son semejantes. Usando las 2 ideas que se nos ocurrieron antes sabemos que los ángulos son los mismos y los lados están en proporción. 15 Triángulos Rectángulos Semejantes Lo cual significa que la longitud de cada sombra está en proporción a la altura de cada objeto. ray os altura de la pirámide de luz so lar sombra de la pirámide ray altura de la varilla os de luz so l ar sombra de la varilla 16 Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes Si la sombra de la varilla era de 2 metros de largo Y la sombra de la pirámide era de 120 metros de largo Y la altura de la varilla era de 1 metro. ¿Qué altura tiene la pirámide? ray altura de la pirámide os de luz so lar sombra de la pirámide ray os d altura de la varilla e lu z s o lar sombra de la varilla 17 Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes altura pirámide altura varilla sombra pirámide = sombra varilla altura varilla altura pirámide = x sombra pirámide sombra varilla 1 m h = (120 m) 2 m h = 60 m h 1 m 120 m 2 m 18 Esta idea puede usarse para medir la altura de un montón de objetos que proyectan una sombra. y, un conveniente recurso de medición es entonces, tu altura y la longitud de la sombra que proyectas. Práctica de matemática Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes Intenta hacer esto en el próximo día soleado cuando puedas salir afuera. Se puede medir la altura de cualquier objeto que está proyectando una sombra por medio de comparar la longitud de su sombra con la longitud de sí mismo. Laboratorio de Medición Indirecta Recuerda a partir de un espejo también se puede tomar una medición indirecta si estás haciendo este laboratorio en un día nublado. 19 A 6 pies B 2.7 pies C 13.5 pies Respuesta 1 Un poste de luz proyecta una sombra de 9 pies al mismo tiempo que una persona de 6 pies de altura proyecta una sombra de 4 pies. Calcula la altura del poste de luz. D 15 pies 20 ¿Qué altura tiene el edificio? Respuesta 2 Tienes una altura de 6 pies y observas que tu sombra a una hora es de 3 pies de longitud. La sombra de un edificio próximo en ese mismo momento tiene 20 pies de longitud. 21 ¿Qué altura tiene el árbol? Respuesta 3 Tienes 1.5 m de altura y observas que tu sombra a una hora tiene 4.8 m de longitud. La sombra de un árbol cercano en ese mismo momento es de 35 m de longitud. 22 ¿Qué longitud tendrá la sombra del edificio de 8 m de alto en ese mismo momento? Respuesta 4 Dos edificios están lado a lado. El de 35 m de alto proyecta una sombra de 21 m. 23 Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes 24 Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes También podemos construir un dispositivo para establecer triángulos semejantes a fin de hacer mediciones. 3 pulgadas Toma una tarjeta de 3" x 5" y cortála como se muestra abajo: 4 cm 2 cm 0.5 cm 5 pulgadas 25 Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes 3 pulgadas Ahora desliza una regla a través de la hendija en la parte inferior de la tarjeta. De esa manera, puedes mover la tarjeta a una distancia específica desde un extremo de la regla. 4 cm 2 cm 0.5 cm 5 pulgadas 26 Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes Mirando a lo largo de la regla, puedes mover luego la tarjeta de modo que un objeto distante entre a los 0.5 cm, 2 cm o 4 cm de la ranura. Puedes medir entonces la distancia que hay entre la tarjeta y tu ojo a lo largo de la regla. Esto forma un triángulo semejante que te permite calcular cuán alejado está un objeto de tamaño conocido, o el tamaño de un objeto situado a una distancia conocida. 27 Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes Esto muestra como por medio de alinear un objeto distante para que entre en una ranura de un dispositivo se forman dos triángulos, el triángulo rojo pequeño y el triángulo más grande en azul. Todos los ánguos son iguales y los lados están en proporción. También, la base y la altura de cada triángulo isósceles estarán en proporción. 28 Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes La altitud y la base de un pequeño triángulo isósceles pueden ser medidas directamente, lo cual significa que la razón de esas dos medidas en el triángulo más grande resulta conocida. Dados el tamaño o la distancia al objeto, se puede determinar la otra. 29 Imagina que estás visitando París y tienes tu instrumento para medir triángulos similares. Sabes que la Torre Eiffel tiene una altura de 324 metros. Ajustas tu instrumento de modo que la altura lateral de la Torre complete la ranura de 2 cm cuando la tarjeta está a 20 cm de tu ojo. Práctica de matemática Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes ¿A qué distancia estás de la torre? 30 Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes distancia a la torre distancia a la tarjeta altura de la torre = ancho de la ranura distancia a la tarjeta x altura de la torre distancia a la torre = ancho ranura 20 cm d = (324 m) 2 cm d = 3240 m d 20 cm 2 cm 2 m 324 m 31 Respuesta 5 Mueves a la otra ubicación y la Torre Eiffel (324 m de altura) ahora completa los 4 cm de ranura cuando la tarjeta está a 48 cm de tu ojo. ¿A qué distancia estás de la torre ahora? 32 Respuesta 6 El edificio más alto del mundo, el Burj Kalifah in Dubai, tiene una altura de 830 m. Colocas tu dispositivo de modo tal que complete los 4 cm de ranura cuando está a 29.4 cm de tu ojo. ¿A qué distancia estás del edificio? 33 Respuesta 7 El ancho de un tanque de almacenamiento cabe en 2 cm de ranura cuando la tarjeta está a 48 cm de tu ojo. Sabes que el tanque está a 680 m de distancia. ¿Cuál es su ancho? 34 ¿Cuál es la distancia a la Luna? Respuesta 8 La Luna tiene un diámetro de 3480 km. La mides una noche para que complete la ranura de 0.5 cm cuando la tarjeta está a 54 cm de tu ojo. 35 Triángulos Semejantes y Trigonometría sinθ 1 θ cosθ Volver a la Tabla de Contenidos 36 Resolución de Problemas Recuerda que Tales calculó la altura de la pirámide usando triángulos semejantes formados por la sombra de la pirámide y una varilla de longitud conocida. 37 Resolución de Problemas Pero qué pasaba si él estuviera intentanto resolver este problema y no había una sombra para usar. O si estás intentando resolver otros tipos de problemas que no te permiten establecer fácilmente triángulos semejantes. La Trigonometría provee los triángulos semejantes necesarios para cualquier circunstancia, y esto es porque es una herramienta poderosa. 38 Resolución de Problemas con Trigonometría De modo que si Tales usó trigonometría para resolver su problema, el habría considerado este triángulo rectángulo. Primero, el había medido a Tita, el ángulo entre el piso y la parte superior de la pirámide, cuando una cierta distancia lo separa del suelo. Luego él había imaginado un triángulo semejante con el mismo ángulo. altura θ distancia 39 Resolución de Problemas con Trigonometría El tenía un triángulo rectángulo ya listo, gracias a los matemáticos que calcularon todos los posibles triángulos rectángulos que podrían formarse con una hipotenusa de 1 y colocando sus medidas en una tabla, una tabla trigonométrica. El lado opuesto del ángulo se llama seno de θ, o senoθ para abreviar y el lado adyacente al ángulo se llama coseno de θ, ó cosθ en la forma abreviada. altura senθ θ distancia 1 θ cosθ 40 Resolución de Problemas con Trigonometría Sabemos que todos los ángulos son iguales ya que ambos triángulos tienen un ángulo recto y el ángulo tita, de manera que aquellos dos ángulos son iguales. Y, ya que todos los ángulos del un triángulo suman 180, los tres ángulos deben ser iguales. Ya que todos los ángulos son iguales, esos triángulos son semejantes. altura senθ θ distancia 1 θ cosθ 41 Ya que todos los ángulos son iguales, los lados están en proporción, de modo que, ¿a qué sería igual la razón del triángulo al triángulo rectángulo? Práctica de matemática Resolución de Problemas con Trigonometría altura senθ = distancia cosθ altura senθ θ distancia 1 θ cosθ 42 Resolución de Problemas con Trigonometría Cuando resolvimos anteriormente el problema, usamos la altura de la varilla de 1 m y la longitud de su sombra de 2m. Eso signigicaría que el ángulo entre los rayos de sol y el piso hubiera sido de 26.6º. Y la longitud de la sombra de la pirámide era de 120 m. Vamos a usar el ángulo y la distancia para ver si obtenemos la misma respuesta. altura senθ 26.6º 120 m 1 26.6º cosθ 43 Resolución de Problemas con Trigonometría Si la distancia era 120 m, y el ángulo 26.6º, se puede calcular la altura resolviéndola y luego usando la calculadora para buscar los valores para el seno y el coseno. altura senθ = distancia cosθ altura sen(26.6º) = cos(26.6º) 120 m sen(26.6º) altura = cos(26.6º) (120 m) = (0.448) (120 m) = 60 m (0.894) altura senθ 26.6º 120 m 1 26.6º cosθ 44 Tangente θ Anteriormente, en el último problema calculamos que altura senθ = distancia cosθ La razón del seno al coseno se usa muy frecuentemente, y tiene su propio nombre: Tangente θ, ó tanθ para abreviar. La tangente de θ se define como seno de θ dividida por el coseno de θ. tanθ = senθ cosθ 45 Usando la Calculadora en Trigonometría El último paso de este problema fue calcular los valores del seno y coseno del ángulo de 26.6º. Cuando trabajamos con trigonometría, necesitamos calcular los valores de seno, coseno y otras funciones trigonométricas cuando tenemos un ángulo dado. Eso solía involucrar el uso de tablas, pero ahora es mucho más simple usar una calculadora científica básica. 46 Usando la Calculadora en Trigonometría Las calculadoras científicas básicas están disponibles en computadoras, tablets y smartphones. También pueden ser un dispositivo separado, similar a las calculadora mostrada aquí. Esta calculadora puede hacer todo lo que necesitas para este curso. 47 Usando la Calculadora en Trigonometría Las funciones trigonométricas que vamos a usar ahora mismo son seno, coseno y tangente. Están marcadas en el recuadro en la figura. En la mayoría de las calculadoras, hay botones que dicen SEN COS TAN 48 Usando la Calculadora en Trigonometría Esta tecla se usa para calcular el seno de un ángulo . 49 Usando la Calculadora en Trigonometría Esta se usa para calcular el coseno de un ángulo. 50 Usando la Calculadora en Trigonometría Esta se usa para calcular la tangente de un ángulo. 51 Resolución de Problemas con Trigonometría 1 senθ θ cosθ 52 Clinómetro En la práctica, tenemos que medir ángulos de elevación o depresión a fin de resolver problemas. Existen maneras muy precisas de hacer lo que suelen usar peritos, navegadores y otros. Pero se puedes hacer un dispositivo simple, llamado clinómetro, para hacer lo mismo y luego resolver problemas por tí mismo. 180 170 0 180 10 170 0 10 160 20 20 160 150 30 150 180° 40 140 130 50 140 40 120 60 130 30 70 80 120 90 100 50 110 60 70 110 100 90 80 53 Clinómetro Sólo pega un transportador a una regla y cuelga un pequeño peso en el agujero del transportador. Configúralo de modo que cuando la regla esté horizontal la cuerda vaya derecha hacia abajo. 180 170 0 180 10 170 0 10 160 20 20 160 150 30 150 180° 40 140 130 50 140 40 120 60 130 30 70 80 120 90 100 50 110 60 70 110 100 90 80 54 Clinómetro Entonces, si miras a lo largo de la regla, puedes sostener la cuerda donde toca con el transportador y leer el ángulo. Tendrás que restar 90 grados para obtener el ángulo de horizonte o ángulo de elevación. 180 0 170 10 160 20 150 30 180 0 40 170 140 50 130 160 180° 60 150 70 120 140 80 90 110 100 110 120 100 90 10 20 30 130 40 50 80 70 60 55 Estás parado sobre el suelo y miras a lo largo de tu inclinómetro para ver la parte de arriba de un edificio para estar en un ángulo de de 30º. Luego mide la distancia a la base del edificio que es 30 m. Calcula la altura de un edificio recordando sumar la altura de tus ojos. 180 0 170 10 160 20 150 Respuesta Clinómetro 30 180 0 40 170 140 50 60 150 70 120 140 80 90 110 100 110 120 100 90 10 160 180° 130 20 30 130 40 50 80 70 60 56 Estas parado a una distancia de 200 m desde la base de un edificio. Práctica de matemática Ejemplo Mides la parte de arriba de un edificio para estar en un ángulo de elevación (el ángulo entre el piso y una recta dibujada hasta la parte superior) de 60º. altura ¿Cuál es la altura del edificio? 60º 200 m 57 Ejemplo Haz un bosquejo rápido mostrando el triángulo rectángulo original y uno mostrando las funciones trigonométricas apropiadas. altura 1 sin(60º) 60º 200 m 60º cos(60º) 58 Luego escribe las razones, sustituye los valores y resuelve. Respuesta Ejemplo altura sen(60º) 60º 200 m 1 60º cos(60º) 59 Respuesta 9 Estás parado a 30 m de distancia de la base de un edificio. La parte superior del edificio está en un ángulo de elevación (el ángulo entre el piso y la hipotenusa) de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio? altura 50º 30 m 60 Respuesta 10 Estás parado a 50 m de distancia de la base de un edificio. El edificio forma un ángulo de elevación con el piso de 80º. ¿Cuál es la altura del edificio? 61 Respuesta 11 Usa la función tanθ de tu calculadora para determinar la altura de un mástil de bandera si está a 30 m de distancia y su ángulo de elevación con el piso mide 70º. 62 Respuesta 12 Use la función tanθ de tu calculadora para determinar la altura de un edificio si su base está a 50 m de distancia y su ángulo de elevación con el piso mide 20º. 63 Respuesta 13 Estás en la parte superior de un edificio y miras hacia abajo para ver a alguien parado sobre el piso. El ángulo de depresión (el ángulo debajo de la horizontal de un objeto) es 30º y la persona está a 90 m de la base del edificio. ¿Qué altura tiene el edificio? (No tengas en cuenta tu altura y la de la otra persona) ¡Asegúrate de hacer un bosquejo! 64 Respuesta 14 Determina la distancia a la que un objeto está desde la base de un edificio de 45 m de alto si el ángulo de depresión es 40º. 65 Relaciones Trigonométricas Cuando resolvemos problemas con trigonometría calculamos un ángulo rectángulo similar al que está abajo. Luego, calculas la solución estableciendo las relaciones de proporción. Pero ya que la hipotenusa es 1, frecuentemente se olvida que esas son relaciones. senθ 1 θ cosθ 66 Relaciones Trigonométricas Volver a la Tabla de Contenidos 67 Relaciones Trigonométricas Completa con las relaciones trigonométricas fundamentales de abajo: Seno llamado "sen" para abreviar click Coseno llamado "cos" para abreviar click Tangente llamado "tan" para abreviar click 68 Relaciones Trigonométricas El nombre del ángulo generalmente sigue la función trigonométrica. Si el ángulo se llama θ (tita) los nombres de las funciones son: • senθ • cosθ • tanθ Si el ángulo se llama α (alfa) las funciones son • senα • cosα • tanα 69 Relaciones Trigonométricas Si tienes los lados, las relaciones trigonométricas le permiten calcular los ángulos. Pero si tienes un lado y un ángulo, las relaciones trigonométricas también le permiten calcular los otros lados. 70 Relaciones Trigonométricas hip ot lado opuesto en Esas relaciones dependen de cuál ángulo estas llamando θ; nunca del ángulo recto. us a Sabemos que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. θ lado adyacente El lado opuesto a θ se llama lado opuesto. El lado que toca a θ se llama lado adyacente. senθ 1 θ cosθ 71 Relaciones Trigonométricas Hay dos ángulos que pueden ser llamados θ. θ hip ot lado adyacente en us a Una vez que eliges cuál es el ángulo θ, quedan definidos los nombres de los lados. Puedes cambiarlo después, pero entonces los nombres de los lados también cambian. lado opuesto 72 Relaciones Trigonométricas Con este tita, los lados quedan así. senθ 1 θ cosθ 73 Relaciones Trigonométricas Si usas el otro ángulo, llamado α aquí, los nombres cambian de acuerdo a él. α cosα 1 senα 74 Relaciones Trigonométricas hip o lado opuesto Vamos a decir que estoy resolviendo un problema que involucra el triángulo rectángulo. ten us a θ lado adyacente Para usar trigonometría, calcularía un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 y lados de senθ y cosθ los cuales tienen el mismo ángulo θ, de modo que son semejantes. 75 Relaciones Trigonométricas Luego establece las razones. hip lado opuesto ot Hay razones básicas relacionando esos dos triángulos. en us a θ lado adyacente senθ Ya que son triángulos semejantes, la razón de cualesquiera dos de sus lados en un triángulo es igual a la razón de los lados en el otro. 1 θ cosθ 76 Relaciones Trigonométricas hip ot lado opuesto en us senθ lado opuesto op = = 1 hipotenusa hip a θ lado adyacente senθ 1 θ cosθ 77 Relaciones Trigonométricas hip ot lado opuesto en us a θ lado adyacente senθ cosθ lado adyacente ady = = 1 hipotenusa hip 1 θ cosθ 78 Relaciones Trigonométricas hip ot lado opuesto en us a θ lado adyacente senθ lado opuesto op = = cosθ lado adyacente ady senθ 1 θ cosθ 79 Relaciones Trigonométricas hip ot lado opuesto en us a senθ lado opuesto op = = 1 hipotenusa hip θ lado adyacente cosθ lado adyacente ady = = 1 hipotenusa hip senθ lado opuesto op = = cosθ lado adyacente ady senθ 1 θ cosθ 80 Relaciones Trigonométricas Pero, éstas pueden simplificarse ya que: senθ = senθ 1 senθ lado opuesto op = = 1 hipotenusa hip cosθ = cosθ 1 cosθ lado adyacente adj = = 1 hipotenusa hip senθ = tanθ cosθ senθ lado opuesto op = = cosθ lado adyacente ady 81 Relaciones Trigonométricas hip ot lado opuesto en u sa θ lado adyacente senθ lado opuesto op = = senθ hip hipotenusa lado adyacente ady cosθ = = hip hipotenusa op lado opuesto tanθ = lado adyacente= adj 1 θ cosθ 82 Para memorizar estas relaciones trigonométricas frecuentemente suele usarse la expresión "SOH CAH TOA." op lado opuesto = = senθ hip hipotenusa SOH lado adyacente ady = hip cosθ = hipotenusa CAH lado opuesto op = ady tanθ = lado adyacente TOA Práctica de matemática Relaciones Trigonométricas Si te confundes con los sonidos vocales en SOH CAH TOA, podrías también intentar con la sentencia mnemotécnica de abajo. Some Old Horse Caught Another Horse Taking Oats Away. 83 θ 3.0 Respuesta 15 Calcula el senθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.5 8.0 84 θ 3.0 Respuesta 16 Calcula el cosθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.5 8.0 85 θ 3.0 8.5 Respuesta 17 Calcula la tanθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.0 86 θ 7 16 Respuesta 18 Calcula la tanθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 14 87 θ 7 Respuesta 19 Calcula el senθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 16 14 88 θ 7 Respuesta 20 Calcula el cosθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 16 14 89 Razones Trigonométricas Por ejemplo, vamos a calcular la longitud del lado x. x 7.0 El lado que estamos buscando está opuesto al ángulo dado. 30º y la longitud dada es la hipotenusa; de modo que usaremos esa función trigonométrica que relaciona a esos tres: : lado opuesto = op senθ = hip hipotenusa 90 Razones Trigonométricas x op = hip senθ = lado opuesto hipotenusa op senθ = hip 7.0 op = (hip) (senθ) x = (7.0)(sen(30º)) 30º x = (7.0)(0.50) x = 3.5 91 Razones Trigonométricas Ahora, vamos a calcular la longitud del lado x en este caso. 9.0 El lado que estamos buscando es adyacente al ángulo dado. 25º x y la longitud dada es la hipotenusa; de modo que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos tres: ady cosθ = lado adyacente= hipotenusa hip 92 Razones Trigonométricas cosθ = lado adyacente = ady hipotenusa hip ady cosθ = hip 9.0 adj = (hip)(cosθ) x = (9.0)(cos(25º)) 25º x x = (9.0)(0.91) x = 8.2 93 Razones Trigonométricas Ahora vamos a calcular la longitud del lado x en este caso. 50º El lado que estamos buscando es adyacente al ángulo dado; 9.0 x y la longitud dada es la opuesta al ángulo dado; de modo que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos tres: op lado opuesto tanθ = lado adyacente= ady 94 Razones Trigonométricas op lado opuesto tanθ = lado adyacente= ady 50º tanθ = op ady 9.0 op = (ady)(tanθ) x = (9.0)(tan(50º)) x = (9.0)(1.2) x x = 10.8 95 Respuesta 21 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. 35 64º x 96 28 Respuesta 22 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. x 36º 97 Respuesta 23 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. 44º 28 x 98 Respuesta 24 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.. 7.4 37º x 99 La mayor parte de las veces, se usan razones trigonométricas para resolver problemas cotidianos, como se vió al comienzo de esta unidad. Ahora que las derivaciones de las tres razones trigonométricas te son familiares (seno, coseno y tangente), tu eres capaz de aplicar lo que sabes y resolver esos problemas. Práctica de matemática Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Antes de comenzar, vamos a repasar algún vocabulario clave que verás en estos problemas. 100 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas El ángulo de elevación es el ángulo sobre la horizontal a un objeto. objeto ta c e e lín a r El ángulo de depresión es el ángulo debajo a la horizontal a un objeto. . observador ángulo de depresión lín e a r ec ta ángulo de elevación objeto 101 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Tanto el ángulo de elevación como el de depresión están medidos en relación a las líneas horizontales paralelas, de modo que ambos miden lo mismo. e d 20º o l n gu sió n á pre 10,000 pies de 20º ángulo de elevación 102 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Ejemplo Amy está remontando un barrilete en un ángulo de 58º. 15 8 p ies La cuerda del barrilete tiene 158 pies de x largo y el brazo de Amy está a 3 pies desde el piso. 58 o ¿A qué altura está el barrilete del piso? 3 pies 103 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas x 15 8 p ie s 58º senθ = x 158 sen58 = x 158 .8480 = x 158 x = 134 Ahora, debemos sumar la altura a la que está el brazo de Amy. 134 + 3 = 137 Esta barrilete está a unos 137 pies del piso. 104 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Ejemplo Estas parado sobre una montaña de 5306 pies de alto. Miras hacia abajo tu compamento en un ángulo de 30º. Si tu altura es de 6 pies, ¿a qué distancia está la base de la montaña al campamento? 30o 6 pies 5306 pies x 105 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas 5312 pies 30º x tan30 = 5312 x .5774 = 5312 x .5774x = 5312 x ≈ 9,200 pies El campamento está a unos 9,200 pies de la base de la montaña. 106 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Ejemplo: Vernon está en la parte superior de un crucero y observa a 2 delfines uno detrás del otro en línea recta al barco. La posición de Vernon es 154 m sobre el nivel del mar, y los ángulos de depresión de los 2 delfines al barco son 35º y 36º respectivamente. Encuentra la distancia entre los 2 delfines y exprésala a la centésima más cercana del metro. 154 m 107 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas El primer paso es dividir el diagrama en dos diagramas individuales. Luego, calcula la distancia horizontal en ambos. Vamos a llamarlas x e y. 154 m 35º x 154 m 36º y Luego usa las relaciones trigonométricas para calcular esos valores. 108 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas 154 m 35º x tan 35 = 154 x 0.7002 = 154 x 0.7002x = 154 x = 219.94 m 109 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas 154 m 36º y tan 36 = 154 y 0.7265 = 154 y 0.7265y = 154 y = 211.98 m 110 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas 154 m 219.94 m 211.98 m Ahora, si restamos estas medidas, entonces calcularemos la distancia entre los 2 delfines. 219.94 211.98 = 7.96 m 111 Respuesta 25 Estás observado la parte superior de un árbol. El ángulo de elevación es 55º. La distancia desde la cima del árbol a tu posición (línea de mirada) es 84 piesSi tienes una altura de 5.5 pies, ¿a qué distancia estás de la base del árbol? 112 Respuesta 26 Una rampa para silla de ruedas tiene 3 metros de longitud y una inclinación de 6º. Calcula la altura de la rampa a la centésima más cercana del centímetro. La altur 113 Respuesta 27 John quiere calcular la altura de un edificio que está proyectando una sombra de 175 pies en un ángulo de 73.75º. Calcula la altura del edificio al pie más cercano. La altu 114 38° Respuesta 28 Un operador de radar de un barco detecta un submarino localizado a 800 metros del barco en un ángulo de depresión de 38º. ¿Qué profundidad tiene el submarino? 800 m 115 Respuesta 29 Un operador de radar de un barco detecta a un submarino localizado a 800 metros del barco con un ángulo de depresión de 38º. ´Si el submarino permanece en la misma posición, entonces ¿qué distancia tendría que recorrer el barco para estar directamente sobre el submarino? 38° 800 m 116 38° Respuesta 30 El barco anda a una velocidad de 32 metros por segundo, en dirección hacia el submarino. Desde su posición actual, ¿cuántos minutos, a la décima más cercana a un minuto, le tomará al barco para estar directamente sobre el submarino? La dist d 630.41 800 m 630.4 19. 117 Razones Trigonométricas Inversas Volver a la Tabla de Contenidos 118 Razones Trigonométricas Inversas Hasta aquí, hemos usado las razones seno, coseno y tangente cuando dada la medida de un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo queremos calcular las medidas de los lados que faltan. ¿Qué podemos usar cuando necesitamos calcular las medidas de los ángulos agudos? Tenemos las razones inversa del seno, inversa del coseno e inversa de la tangente que nos ayudarán a responder la pregunta de arriba. Si conocemos las medidas de 2 lados de un triángulo, entonces podemos calcular la medida el ángulo con esas razones. 119 Razones Trigonométricas Inversas Recuerda: A continuación se dan las razones trigonométricas inversas. A op op Si senθ = hip , θ = sin1 hip ( ) ( ) ady ady 1 Si cosθ = hip , θ = cos hip op op Si tanθ = ady , θ = tan1 ady ( ) op hip θ C Práctica de matemática o a o S C T h a h ady B 120 Usando la Calculadora con Trigonometría Inversa Las funciones trigonométricas inversas están localizadas justo arriba de las teclas del seno,coseno y la tangente. Están marcadas en el recuadro sobre la calculadora. En la mayoría de las calculadoras, esas teclas tienen un texto que dice: SIN1 COS1 TAN1 Generalmente se pueden usar presionando la 2da tecla o la tecla de shift, button (la flecha apunta a la tecla) y la tecla de seno, coseno o tangente. 121 Respuesta 31 Calcula sin1(0.8) Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana. 122 Respuesta 32 Calcula tan1(2.3). Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana. 123 Respuesta 33 Calcula cos1(0.45). Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana. 124 Razones Trigonométricas Inversas Para calcular la medida de un ángulo desconocido en un triángulo rectángulo, necesitas identificar la función trigonométrica correcta que encontrará el valor faltante. Use "SOH CAH TOA" para ayudarte. 9 ∠A es tu ángulo de referencia. A B Coloca nombre a los dos lados dados θ de tu triángulo, opuesto, adyacente o hipotenusa. Identifica la función trigonométrica que relaciona a ∠A, y los dos lados. 15 C 125 Razones Trigonométricas Inversas Usando "SOH CAH TOA", tengo "a" y "h", de modo que la razón es a/h, es decir el coseno. 9 ad A B y θ hip 15 C cos A = 9 15 ( ) m A = cos1 9 15 m A = 53.13º ahora puedes resolver para for m∠A, el ángulo que falta usando la función trigonométrica inversa. Una vez que calculaste m∠A, puedes calcular fácilmente m∠C, usando el Teorema de la Suma de Triángulos. 126 Razones Trigonométricas Inversas Ahora, vamos a calcular la medida del ángulo θ en este caso. θ 13 12 Los lados que nos han dado son el lado opuesto y la hipotenusa de manera que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos dos ladosç con nuestro ángulo: op senθ = lado opuesto= hip hipotenusa 127 Razones Trigonométricas Inversas θ 13 sen θ = 12 13 ( ) 12 θ = sen1 12 13 θ = 67.38º 128 34 Calcula m∠D en la figura de abajo. Respuesta D 13 E 23 F 129 35 Calcula m∠F en la figura de abajo. Respuesta D 35 E 27 F 130 Respuesta 36 Calcula m∠G en la figura de abajo. G 18 H 17 J 131 Como hemos dicho anteriormente en esta unidad, las razones trigonométricas y las razones trigonométricas inversas se usan para resolver problemas de la vida cotidiana. Ahora que estás familiarizado con las tres razones trigonométricas inversas (inversa seno, inversa coseno e inversa tangente) estás listo para aplicar lo que sabes y resolver esos problemas. Práctica de matemática Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas 132 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas Un jugador de hockey está a 24 pies de la portería del equipo contrario. Tira el disco directamente a la portería. La altura de la portería es 4 pies. ¿Cuál es el máximo ángulo de elevación al cual el jugador tiene que tirar el disco para anotar un gol? 4 pies θ 24 pies 133 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas tan θ = 4 24 4 pies θ 24 pies ( ) θ = tan1 4 24 θ = 9.46º El ángulo de elevación al cual el jugador puede tirar el disco tiene como máximo 9.46º. 134 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas Inclinas una escalera de 20 pies contra una pared. La base de la escalera está a 5 pies de la pared. ¿Cuál es el ángulo de elevación formado por la escalera y el piso? 20 pies 5 pies 135 Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas cos θ = 5 20 ( ) θ = cos1 5 20 20 pies θ = 75.52º 5 pies 136 Respuesta 37 Katherine mira hacia abajo de la corona de la estatua de la libertad desde un transbordador situado a 345 pies. La distancia de la corona al piso es alrededor de 250 pies. ¿Cuál es el ángulo de la depresión? 137 Respuesta 38 La Torre Sear en Chicago, Illinois tiene una altura de 1451 pies. El sol está proyectando una sombra de 50 pies sobre el piso. ¿Cuál es el ángulo de elevación formado por la punta de la sombra sobre el piso? 1451 pies 50 pies 138 Respuesta 39 Apoyas una escalera de 30 pies contra un lado de tu casa para entrar en una habitación del segundo piso. La altura de la ventana es 25 pies. ¿En qué ángulo de elevación debes colocar la escalera a fin de alcanzar la ventana? 30 pies 25 pies 139 Respuesta 40 Estás mirando por la ventana de tu habitación la punta de la sombra formada por tu casa. Tu amigo mide la longitud de la sombra y es de 10 pies de largo. Si estás a 20 pies de distancia del piso, ¿cuál es el ángulo de depresión necesario para ver la punta de la sombra de tu casa? 140 Respuesta 41 Vuelves a mirar la sombra de tu casa 3 horas más tarde. Tu amigo mide la longitud de la sombra y es de 25 pies de largo. Si estás a 20 m de distancia del piso, ¿cuál es el ángulo de depresión necesario para ver la punta de la sombra de tu casa? 141 Revisión del Teorema de Pitágoras Volver a la Tabla de Contenidos 142 Revisión del Teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2 "c" es la hipotenusa "a" y "b" son los dos lados; cual es "a" y cual es "b" no importa. 143 Respuesta 42 Los lados de un triángulo rectángulo tienen 7.0 m y 3.0 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? 144 Respuesta 43 Los lados de un triángulo rectángulo tienen 2.0 m y 12 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? 145 Respuesta 44 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 m y uno de sus lados tiene una longitud de 2.5 m. ¿Cuál es la longitud del otro lado? 146 Respuesta 45 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 m y uno de sus lados tiene una longitud de 4.5 m. ¿Cuál es la longitud del otro lado? 147 Respuesta 46 ¿Cuál es la longitud del tercer lado? 7 4 148 Respuesta 47 ¿Cuál es la longitud del tercer lado? 15 20 149 Respuesta 48 ¿Cuál es la longitud del tercer lado? 7 4 150 9 Respuesta 49 ¿Cuál es la longitud del tercer lado? 15 151 Respuesta 50 ¿Cuál es la longitud del tercer lado? 3 4 152 Ternas Pitagóricas Las ternas son soluciones de enteros del Teorema de Pitágoras. 5 3 4 345 es la más famosa de las ternas. No necesitas una calculadora si te das cuenta de que los lados están en esta relación. 153 Respuesta 51 ¿Cuál es la longitud del tercer lado? Observ 6 8 154 12 20 Respuesta 52 ¿Cuál es la longitud del tercer lado? Observ 155 Respuesta 2 2 53 (senθ) + (cosθ) = ? senθ 1 cosθ 156 Respuesta 54 Katherine mira hacia abajo de la corona de la estatua de la libertad a un ferry entrante a 345 pies. La distancia desde la corona al piso es de 250 pies. ¿Cuál es la distancia desde el ferry a la base de la estatua? 157 Inversa del Teorema de Pitágoras Volver a la Tabla de Contenidos 158 Inversa del Teorema de Pitágoras Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo B Si c2 = a2 + b2, entonces ΔABC es un triángulo rectángulo. c a C b A 159 Dí si el triángulo es un triángulo rectángulo. Explica tu razonamiento. D Recuerda c es el lado más largo 24 E 7 25 F Respuesta Ejemplo 625 = 57 625 = 62 Este eje Pregunt estánda ¿Qué in ¿Cómo triángulo Constru problem 160 Teorema Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es obtuso. B c a Si c2 > a2 + b2, entonces ΔABC es obtuso. C b A 161 Teorema Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es agudo. B a c Si c2 < a2 + b2, entonces ΔABC es agudo. A b C 162 Clasifica el triángulo como agudo, recto u obtuso. Explica tu razonamiento. 15 13 Respuesta Ejemplo 17 163 A agudo B recto C obtuso D no es un triángulo 12 Respuesta 55 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 15 11 164 A agudo B recto C obtuso D no es un triángulo 4 10 Respuesta 56 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 6 165 A agudo B recto C obtuso D no es un triángulo 5 3 Respuesta 57 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 6 166 A agudo B recto C obtuso D no es un triángulo 25 Respuesta 58 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 20 19 167 A agudo B recto C obtuso Respuesta 59 Dí si las longitudes 35, 65, y 56 representan los lados de un triángulo agudo, recto y obtuso. 168 A triángulo agudo B triángulo recto C triángulo obtuso Respuesta 60 Di si las longitudes representan los lados de un triángulo agudo, recto u obtuso. 169 Revisión Si c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo. Si c2 > a2 + b2, entonces el triángulo es obtuso. Si c2 < a2 + b2, entonces el triángulo es agudo. 170 Triángulos Rectángulos Especiales Volver a la Tabla de Contenidos 171 Triángulos Rectángulos Especiales En esta sección aprenderemos sobre las propiedades de los dos triángulos rectángulos especiales 454590 306090 45o 90o 60o 45o 90o 30o 172 Investigación: Teorema del Triángulo 454590 Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES! C 1 y 2 Respuesta Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos. 45º 45º 2 1 45º y 2 2 173 Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos. Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES! 45º W 3 Respuesta Investigación: Teorema del Triángulo 454590 C 4 45º 3 4 174 Investigación: Teorema del Triángulo 454590 Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos. C 5 x 6 45º 5 Respuesta Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES! 45º 6 175 Usando la longitudes de lado que calculaste, ¿puedes descifrar la regla o fórmula para el Teorema del Triángulo 454590? Respuesta Teorema del Triángulo 454590 Un trián triángul recto, d veces la x 176 Teorema del Triángulo 454590 Este teorema puede ser demostrado algebraicamente usando el Teorema de Pitágoras. a2 + b2 = c2 x2 + x2 = c2 2x2 = c2 x√2 = c 45º x√2 x 45º x 177 Calcula la longitud de los lados que faltan. Escribe la respuesta en la forma radical más simple. 6 P Q Respuesta 454590 Ejemplo 45º y x 45º R 178 Respuesta 454590 Ejemplo Calcula la longitud de los lados que faltan. Escribe la respuesta en la forma radical más simple. S y 18 Ya que S triángulo is ángulo rec ST=TV x=y Hay 2 form T x V 179 Calcula la longitud de los lados que faltan. Escribe la respuesta en la forma radical más simple. y Respuesta 454590 Ejemplo x 8 180 61 Calcula el valor de x. 5 B 5√ 2 C 5√ 2 2 y 5 Respuesta A x 181 hipot Respuesta 62 ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de un triángulo isósceles recto si la longitud de los lados es 8√ 2 pulgadas. 182 Respuesta 63 ¿Cuál es la longitud de cada lado en un isósceles, si la longitud de la hipotenusa es 20 cm. 183 Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos. Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES! Respuesta Investigación: Teorema del Triángulo 306090 30º 30º 2 z y 4 60º 60º 1 2 184 Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos. Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES! 30º 30º w 6 v 8 60º 60º 3 Respuesta Investigación: Teorema del Triángulo 306090 4 185 Investigación: Teorema del Triángulo 306090 30º 30º u 10 t 12 60º 60º 5 Respuesta Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos. Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES! 6 186 Teorema del Triángulo 306090 Respuesta Usando la longitudes de lado que calculaste, ¿puedes descifrar la regla o fórmula para el Teorema del Triángulo 454590? En un tr 30609 doble d más lar del lado x 187 Teorema del Triángulo 306090 Este teorema puede ser demostrado usando un triángulo equilátero y el Teorema de Pitágoras. x 2x 30o x√ 3 Para el triángulo rectángulo ABD, BD es una bisectriz perpendicular. Llamemos a = x, c = 2x y b = BD a2 + b2 = c2 x2 + b2 = (2x)2 x2 + b2 = 4x2 b2 = 3x2 b = x√3 60o B c=2x 30º 30º 2x b 60º A a=x 60º D x C 188 306090 Ejemplo Ejemplo: Calcula la longitud de los lados que faltan del triángulo rectángulo. G 30º y x 60º H 5 F 189 306090 Ejemplo G Recuerda la desigualdad en triángulos, el lado más corto es el opuesto al ángulo más pequeño y el lado más largo es el opuesto al ángulo más 30º grande y HF es el lado más corto GF es el lado más largo (hipotenusa) GH es el 2do lado más largo HF < GH < GF H Respuesta hipoten x lado más 60º 5 F 190 Ejemplo: Calcula la longitud de los lados faltantes en el triángulo rectángulo. x M A 60º 9 Respuesta 306090 Ejemplo lado más y 30º T 191 306090 Ejemplo 15 30º y x 60º Respuesta Ejemplo: Calcula la longitud de los lados faltantes en el triángulo rectángulo. 192 306090 Ejemplo Ejemplo: Calcula el área del triángulo. Estos sig 209) dire Práctica de matemática 14 pies Pregunta ¿Qué inf ¿Qué lon (MP1) ¿Qué ten diagrama MP5) Arma un 193 306090 Ejemplo La altitud (o altura) divide al triángulo en dos triángulos 30o60o90o. 14 pies h ? ? La longitud del lado más corto es 7 pies. La longitud del lado más largo es 7√3 pies A = 1/2 b(h) = 1/2 14(7√3) A = 49√3 pies cuadrados ≈ 84.87 pies cuadrados 194 Ejemplo: Calcula el área del triángulo. 9 pies Respuesta 306090 Ejemplo 30o 195 A Respuesta 64 Calcula el valor de x. 7 60º B 7√ 3 C 2 7√ 2 D 14 7 30º x 196 A 7 B 7√ 3 C 7√ 2 2 14 D x 7√ 2 Respuesta 65 Calcula el valor de x. 197 66 Calcula el valor de x. A 7 B 7√ 3 7√ 2 2 14 C D 30o x 60o Respuesta 7√3 198 Respuesta 67 La hipotenusa de un triángulo 30º60º90º es 13 cm. ¿Cuál es la longitud del lado más corto? 199 Respuesta 68 La longitud del lado más largo de un triángulo 30º60º90º es 7 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Lado m 200 Práctica de matemática Este ejem direcciona Preguntas ¿Qué info ¿Qué lon (MP1) ¿Qué ten diagrama MP5) Arma una La rampa para sillas de ruedas en tu escuela tiene una altura de 2.5 pies y alcanza un ángulo de 30º. ¿Cuál es la longitud de la rampa? 201 Ejemplos Cotidianos ? 2.5 30o El triángulo formado por la rampa es un triángulo rectángulo 30º60º90º. La longitud de la rampa es la hipotenusa. hipotenusa = 2(lados más cortos) hipotenusa = 2(2.5) hipotenusa = 5 La rampa tiene 5 pies de largo. 202 Respuesta 69 Un skater construye una rampa usando madera terciada. La longitud de la madera terciada es de 3 pies y cae en un ángulo de 45º. ¿Cuál es la altura de la rampa? Redondea a la centésima más cercana. 45o ? 3 pies 203 45o 3 pies Respuesta 70 ¿Cuál es la longitud de la base de la rampa? Redondea a la centésima más cercana. ? 204 20 pulgadas Respuesta 71 Este cartel tiene la forma de un triángulo equilátero. Calcula la altitud. 205 20 pulgadas Respuesta 72 Este cartel tiene la forma de un triángulo equilátero. Calcula el área del cartel. 206 Preguntas PARCC Las restantes diapositivas en esta presentación contienen preguntas de la Prueba de Muestra PARCC. Después de terminar esta unidad deberías ser capaz de responder estas preguntas. ¡Buena Suerte! Volver a la Tabla de Contenidos 207 Pregunta 10/25 Tema: Razones Trigonométricas Un equipo de arqueólogos está excavando artefactos de un barco mercante hundido en el suelo marino. Para ayudarse con la exploración el equipo usa una sonda robótica. La sonda viaja aproximadamente a 3,900 metros en un ángulo de depresión de 67.4 grados desde el barco del equipo sobre la superficie del océano debajo del barco hundido en el suelo oceánico. La figura muestra una representación del equipo y de la sonda PARCC Released Question (EOY) 208 Pregunta 10/25 Tema: Razones Trigonométricas A 1,247 B 1,500 Respuesta 73 Cuando la sonda alcanza el suelo oceánico, aproximadamente estará a __________ metros debajo de la superficie del océano. C 1,623 D 3,377 E 3,600 PARCC Released Question (EOY) 209 Pregunta 10/25 Tema: Razones Trigonométricas 74 Cuando la sonda alcanza el suelo oceánico, la distancia horizontal de la sonda detrás del barco del equipo sobre la superficie del océano será aproximadamente ___________ metros. AF 1,247 CH 1,623 DI 3,377 Respuesta BG 1,500 EJ 3,600 PARCC Released Question (EOY) 210 75 En el triángulo rectángulo ABC, m∠B ≠ m∠C. Vamos a llamar al sen B = r y al cos B = s. ¿Cuánto es el sen C cos C? B A r + s Respuesta Tema: Razones Trigonométricas Pregunta 3/25 B r s C s r D r s A C PARCC Released Question (EOY) 211 Tema: Razones Trigonométricas Pregunta 16/25 Un vehículo aéreo no tripulado (UAV) está equipado con cámaras usadas para monitorear los incendios en lso bosques. La figura representa un momento en el tiempo en el cual un UAV, en el punto B, volando a una altitud de 1,000 metros (m) está directamente arriba del punto D sobre el piso del bosque. El punto A representa la localización de un pequeño fuego sobre el suelo del bosque. PARCC Released Question (EOY) 212 Pregunta 16/25 Parte A Tema: Razones Trigonométricas Respuesta 76 En el momento representado por la figura, el ángulo de depresión desde el UAV al fuego mide 30º. En ese momento, ¿cuál es la distancia desde el UAV al fuego? PARCC Released Question (EOY) 213 Pregunta 16/25 Parte B Tema: Razones Trigonométricas Respuesta 77 ¿Cuál es la distancia, al metro más cercano, del fuego al punto D? PARCC Released Question (EOY) 214 Respuesta Tema: Razones Trigonométricas Pregunta 16/25 Parte C 78 Los puntos C y E representan el rango lineal de visión de la cámara cuando está apuntando directamente hacia abajo al punto D. El campo de visión de la cámara es 20º y está representado en la figura por ∠CBE. La cámara toma una imagen directamente sobre el punto D, ¿cuál es el ancho aproximado del suelo del bosque que será capturado en la imagen? A 170 metros B 353 metros C 364 metros D 728 metros PARCC Released Question (EOY) 215 Pregunta 16/25 Parte D Tema: Razones Trigonométricas Respuesta 79 El UAV está volando a una velocidad de 13 metros por segundo directo hacia el fuego. Supón que la altitud del UAV es 800 metros, ahora. La nueva posición está representada por F en la figura. Desde su posición en el punto F, ¿cuántos minutos, a la décima más cercana de un minuto, le tomará al UAV estar directamente sobre el fuego? A 0.6 B 1.2 C 1.8 D 2.0 PARCC Released Question (EOY) 216 Pregunta 20/25 Parte A Tema: Razones Trigonométricas Respuesta Un resorte está unido a un extremo a un soporte B y en el otro extremo a una argolla A, como se representa en la figura. La argolla A se desliza a lo largo de una barra vertical entre los puntos C y D. En la figura, el ángulo θ es el ángulo formado a medida que la argolla se mueve entre los puntos C y D. 80 Cuando θ = 28°, ¿cuál es la distancia desde el punto A hasta el punto B, expresada a la décima más cercana de un pie? PARCC Released Question (EOY) 217 Pregunta 20/25 Parte B Respuesta Tema: Razones Trigonométricas Un resorte está unido a un extremo a un soporte B y en el otro extremo a una argolla A, como se representa en la figura. La argolla A se desliza a lo largo de una barra vertical entre los puntos C y D. En la figura, el ángulo θ es el ángulo formado a medida que la argolla se mueve entre los puntos C y D. 81 Cuando el resolrte está estirado y la distancia desde A a B es 5.2 pies, ¿cuál es el valor de θ a la décima más cercana de un grado? A 35.2° C 54.8° B 45.1° D 60.0° PARCC Released Question (EOY) 218 Pregunta 4/7 Tema: Razones Trigonométricas m∠F = 90º DE = √113 DF = 7 EF = 8 Escribe una expresión que represente cos W. Respuesta 82 El triángulo rectángulo WXY es semejante al triángulo DEF. Las siguientes son medidas en el triángulo rectángulo DEF. ¿Qué número representa al numerador de la fracción? A 90 B √113 C 7 D 8 PARCC Released Question (PBA) 219 Pregunta 4/7 Tema: Razones Trigonométricas m∠F = 90º DE = √113 DF = 7 EF = 8 Escribe una ecuación que represente al cos W. Respuesta 83 El triángulo rectángulo WXY es semejante al triángulo DEF. Las siguientes son medidas del triángulo rectángulo DEF. ¿Qué número representa al denominador de la fracción? A 90 B √113 C 7 D 8 PARCC Released Question (PBA) 220 Tema: Razones Trigonométricas 84 La medida el grados de un ángulo en un triángulo rectángulo es x, y el sen de x = 1/3. ¿Cuáles de esas expresiones son iguales a 1/3? Selecciona todas las que aplican. A cos(x) B cos(x 45°) Respuesta Pregunta 6/7 C cos(45° x) D cos(60° x) E cos(90° x) PARCC Released Question (PBA) 221 Question 7/7 Tema: Razones Trigonométricas Respuesta 85 En esta figura, el triángulo GHJ es semejante al triángulo PQR. En base a esta información, ¿qué relación representa a tan H? 17 A 8 P Q 15 B 8 J 8 17 15 C 15 8 R H G 17 D 8 PARCC Released Question (PBA) 222 Question 5/11 Tema: Razones Trigonométricas tan(42) = Respuesta 86 Mariela está parada en un edificio y mira por la ventana un árbol. El árbol está a 20 pies desde Mariela. La línea de visión de Mariela a la cima del árbol forma un ángulo de elevación de 42, y su línea de visión a la base del árbol forma un ángulo de depresión de 31°. x = 20tan x = 18 o tan(31) = y = 20tan y = 12 o ¿Cuál es la altura en pies, del árbol? Escribe tu respuesta. PARCC Released Question (PBA) 223 Preguntas de la Prueba PARCC Las siguientes preguntas que están en la prueba PARCC PBA usan lo que hemos aprendido y lo combina con lo que aprendimos anteriormente para formar una buena pregunta. Por favor, intenta ésto por tí mismo. Luego, iremos a lo largo del proceso que usamos para resolverlo. PARCC Released Question (PBA) 224 Pregunta 1/11 Tema: Razones Trigonométricas La figura muestra el diseño de un galpón a construir. usa la figura para responder todas las partes de la tarea. 9 pies x° s 18 pies pie 8 1 La base del galpón será un cuadrado que mide 18 pies por 18 pies. La altura de los lados rectangulares será 9 pies. La medida del ángulo formado por el techo con el lado del galpón puede variar y está nombrado como x°. Diferentes ángulos en el techo forman diferentes áreas de techo. El área del techo determinará el número de tejas para techos necesarias para construir el galpón. Para cumplir con las necesidades de drenaje, los ángulos del techo deben ser al menos 117°. 225 Parte A El constructor del galpón está considerando usar un ángulo que mide 125°. Determina el área del techo si se usa el ángulo de125. Explica o muestra tu proceso. Parte B Sin cambiar las medidas de la base del galón, el constructor también esta considerando usar un ángulo de techo que creará un área de techo que es 10% menor que el área del techo para la Parte A. Menos superficie requerirá menos tejas. ¿Cumplirá el ángulo con las necesidades específicas de drenaje? Explica como obtuviste tu conclusión. Parte C Un paquete de tejas cuesta $27.75. Cada paquete puede cubrir aproximadamente 35 pies cuadrados. Se puede comprar las tejas en paquetes completos. El constructor tiene un presupuesto de $325 para tejas. ¿Cuál es el mayor ángulo que el constructor puede usar para estar dentro de su presupuesto? Explica o muestra tu proceso. 226 Pregunta 1/11 Parte A Tema: Razones Trigonométricas 87 ¿Qué conceptos se usarán para el problema? A Área de un rectángulo Respuesta El constructor del galpón está considerando usar un ángulo que mide 125°. Determina el área del techo si se usa el ángulo de125. Explica o muestra tu proceso. B Trigonometría de Triángulos Rectángulos C Postulado de la Adición de Ángulos D Todos los de arriba 227 88 Si el valor de x es 125°, ¿cuál sería la m∠1? A 90° B 25° C 35° D 160° 1 9 pies x° x° ies 18 pies p 18 2 9 pies Respuesta Tema: Razones Trigonométricas Pregunta 1/11 Parte A 18 pies Vista frontal del galpón 228 Tema: Razones Trigonométricas 89 ¿Cuál sería el valor de y en la figura a la derecha? A 6 pies B 9 pies C 12 pies D 18 pies 9 pies y x° x° s 18 pies ie 8 p 1 Respuesta Pregunta 1/11 Parte A 1 2 9 pies 18 pies Vista frontal del galpón 229 Tema: Razones Trigonométricas 90 ¿Qué razón usaríamos para calcular el valor de z en la figura de abajo? A sen(35) = z 18 B tan(35) = 9 z C cos(35) = 9 z D tan(35) = z 9 z 9 pies x° 18 pies y s pie 18 x° 1 Respuesta Pregunta 1/11 Parte A 2 9 pies 18 pies Vista frontal del galpón 230 Pregunta 1/11 Parte A Tema: Razones Trigonométricas z A 7.37 pies B 10.32 pies z 9 pies x° 18 pies C 10.99 pies D 12.85 pies y x° s pie 18 9 pies 1 2 Respuesta 91 ¿Cuál es el valor de z en la figura de abajo? 18 pies Vista frontal del galpón 231 Pregunta 1/11 Parte A Tema: Razones Trigonométricas A 98.91 pies z 2 B 197.82 pies z 2 2 C 296.73 pies D 395.64 pies2 9 pies y x° 18 pies x° s pie 8 1 9 pies 1 2 Respuesta 92 ¿Cuál es el área del techo? 18 pies Vista frontal del galpón 232 Pregunta 1/11 Parte B Tema: Razones Trigonométricas Sin cambiar las medidas de la base del galón, el constructor también esta considerando usar un ángulo de techo que creará un área de techo que es 10% menor que el área del techo para la Parte A. Menos superficie requerirá menos tejas. ¿Cumplirá el ángulo con las necesidades específicas de drenaje? Explica como obtuviste tu conclusión. 233 Tema: Razones Trigonométricas 93 Después de calcular la respuesta que el área del techo es 395.64 pies2, ¿cuál sería el área del techo que es menor en un 10%? z z A 356.08 pies2 9 pies B 316.52 pies 9 pies x° 2 18 pies x° s pie 18 1 2 Respuesta Pregunta 1/11 Parte B Si e respues del techo nuevo re 9 pies C 197.8 pies2 A 18 pies D 39.56 pies2 Vista frontal del galpón 234 Pregunta 1/11 Parte B 94 Usando el área que calculamos en las diapositiva previa, ¿cuál es el nuevo valor de z? z A 10.99 pies B 17.58 pies C 19.78 pies D 9.89 pies 9 pies z 9 pies x° x° 18 pies 1 2 Respuesta Tema: Razones Trigonométricas s pie 18 9 pies 18 pies Vista frontal del galpón 235 Pregunta 1/11 Parte B Tema: Razones Trigonométricas 95 Usando el nuevo valor de z, ¿cuál es la nueva m∠1? B 24.49° C 42.30° D 47.70° 9 pies z 9 pies x° x° 18 pies 1 2 s pie 18 9 pies Respuesta z A 65.51° 18 pies Vista frontal del galpón 236 Pregunta 1/11 Parte B Tema: Razones Trigonométricas Sí No Respuesta 96 ¿Satisfacen las medidas del nuevo ángulo x los requerimientos de construcción? z z 9 pies 9 pies x° 18 pies x° s pie 18 1 2 9 pies 18 pies Vista frontal del galpón 237 Pregunta 1/11 Parte C Tema: Razones Trigonométricas Un paquete de tejas cuesta $27.75. Cada paquete puede cubrir aproximadamente 35 pies cuadrados. Se puede comprar las tejas en paquetes completos. El constructor tiene un presupuesto de $325 para tejas. ¿Cuál es el mayor ángulo que el constructor puede usar para estar dentro de su presupuesto? Explica o muestra tu proceso. 238 z z A 10 9 pies B 11 9 pies x° 18 pies x° s pie 18 1 Respuesta Pregunta 1/11 Parte C Tema: Razones Trigonométricas 97 Si un paquete de tejas cuesta $27.75 y su presupuesto es $325, ¿cuántos paquetes de tejas puede comprar? 2 9 pies C 11.71 18 pies D 12 Vista frontal del galpón 239 z 2 A 420 pies 2 B 409.85 pies 9 pies C 385 pies2 z 9 pies x° x° 18 pies Respuesta Tema: Razones Trigonométricas Question 1/11 Part C 98 Si cada paquete de tejas cubre un área de 35 pies cuadrados, entonces, ¿cuál es el área cubierta por la cantidad de paquetes que el constructor compró? 1 2 s pie 18 9 pies D 350 pies2 18 pies Vista frontal del galpón 240 A 10.69 pies B 14.26 pies C 16.04 pies D 21.39 pies z z 9 pies 9 pies x° 18 pies pie 18 x° s 1 2 Respuesta Pregunta 1/11 Parte C Tema: Razones Trigonométricas 99 Usando la nueva área calculada en la última pregunta, ¿cuál es el valor de z en las figuras de abajo? 9 pies 18 pies Vista frontal del galpón 241 Tema: Razones Trigonométricas 100 Usando el nuevo valor de z calculado en la última pregunta, ¿cuál es el nuevo valor de x en las figuras de abajo? A 32.66° z z B 57.34° 9 pies C 122.66° Respuesta Pregunta 1/11 Parte C 9 pies x° 18 pies x° s pie 8 1 1 2 9 pies D 147.34° 18 pies Vista frontal del galpón 242 Preguntas de la Prueba PARCC Las siguientes preguntas que están en la prueba PARCC PBA usan lo que hemos aprendido y lo combina con lo que aprendimos anteriormente para formar una buena pregunta. Por favor, intenta ésto por tí mismo. Luego, iremos a lo largo del proceso que usamos para resolverlo. 243 Tema: Resolución Problemas con Triángulos Semejantes Pregunta 3/11 Una cartelera a nivel del piso tiene un soporte de 26 pies de longitud que se extiende desde la parte superior del cartel al piso. Se le une un poste de 5 pies de alto al soporte y está a 4 pies desde donde la base del soporte está metida en el piso. En la figura la distancia, en pies, desde la base de la cartelera a la base del soporte está nombrada como x. Arma una ecuación que pueda ser usada para determinar x. Discute cualquier supuesto que podría hacerse en relación a esta ecuación. Usa la ecuación para calcular el valor de x. Muestra tu trabajo o explica tu respuesta. 244 Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes 101 ¿Se puede resolver este problema? Sí No Respuesta Pregunta 3/11 245 Pregunta 3/11 Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes A Teorema de Pitágoras B Trigonometría de Triángulo Rectángulo Respuesta 102 Si asumimos que tanto la cartelera como el poste están perpendiculares al piso, ¿qué conceptos podríamos usar para resolver este problema? C Triángulos Semejantes D Todos los de arriba 246 Pregunta 3/11 Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes Primero, vamos a usar la combinación del A Teorema de Pitágoras y C Triángulos Semejantes A 3 B 9 Respuesta 103 ¿Cuál sería el valor de y? C √41 D 41 247 Pregunta 3/11 Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes 5 = √41 x 26 B 4 = √41 x 26 C 5 = √41 b 26 D 4 = 26 x √41 A Respuesta 104 ¿Qué proporción usaríamos para calcular el valor de x? 248 105 ¿Cuál es el valor de x? Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes Respuesta Pregunta 3/11 249 Ahora, vamos a usar la combinación de B Trigonometría de Triángulos Rectángulos y C Triángulos Semejantes. 106 ¿Cuál sería la razón que usaríamos para calcular la medida del ángulo G? A tan G = 5 4 B sen G = 5 26 C cos G = 4 26 D tan G = 4 5 Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes Respuesta Pregunta 3/11 250 Pregunta 3/11 Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes Respuesta 107 ¿Cuál es la medida del ángulo G? E F G 251 Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes Ya que los dos triángulos son semejantes, la medida del ángulo G es igual en ambos triángulos. 108 Usando la medida del ángulo G, ¿cuál es el valor de x? E F Respuesta Pregunta 3/11 G 252 Attachments NBK63481054150.galleryitem
