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ECUACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es verdadera para todos los valores de la variable o las variables que involucra. Clasificar las siguientes igualdades como identidades o no (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 x2 – 1 = 3 √𝑥 + 4 = 2 (x + y)(x – y) = x2 – y2 Una identidad que involucra funciones trigonométricas se denomina identidad trigonométrica. Identidades Fundamentales Estas identidades se utilizan para transformar unas expresiones en otras, lo cual permite comprobar otras identidades y resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. Relaciones Reciprocas Estas relaciones ya se conocen Seno β es el inverso de cosecante β 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 1 𝑐𝑠𝑐𝛽 y 𝑐𝑠𝑐𝛽 = 1 𝑠𝑒𝑛𝛽 Coseno β es el inverso de secante β 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 1 𝑠𝑒𝑐𝛽 y 𝑠𝑒𝑐𝛽 = 1 𝑐𝑜𝑠𝛽 Tangente β es el inverso de cotangente β 1 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝛽 y 𝑐𝑜𝑡𝛽 = Relaciones que son razón de dos funciones 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 1 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑡𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑒𝑛𝛽 Relaciones Pitagóricas P(x,y) La circunferencia de la figura es una circunferencia unitario, para el ángulo central β, se cumple que senβ = y cosβ = x Como en todo punto de la circunferencia unitario se cumple que x2 + y2 = 1, se tiene: 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = 1 Dividiendo la ecuación anterior por cos2β, se tiene 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 1 + = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝛽 Si en lugar de dividir la ecuación por cos2β se divide por sen2β, se tiene 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 1 + = 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛽 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝛽 Además se debe tener en cuenta que: cos(−∝) = 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑠𝑒𝑛(−∝) = −𝑠𝑒𝑛 ∝ tan(−∝) = −𝑡𝑎𝑛 ∝ cot(−∝) = −𝑐𝑜𝑡 ∝ sec(−∝) = 𝑠𝑒𝑐 ∝ csc(−∝) = −𝑐𝑠𝑐 ∝ Simplificación de Expresiones Trigonométricas Para simplificar expresiones trigonométricas se utilizan las mismas técnicas que son empleadas para simplificar expresiones algebraicas y las identidades trigonométricas fundamentales. Ejemplos, simplificar las siguientes expresiones trigonométricas sen3x + senxcos2x senx (sen2x + cos2x) factor común senx 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑐𝑠𝑐𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 1 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 1 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑛2 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 = 1 𝑠𝑒𝑐𝑦−𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑦 1 −𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 1−𝑐𝑜𝑠2 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 = (1−𝑐𝑜𝑠2 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 Demostración de Identidades Demostrar una identidad consiste en mostrar que uno de los miembros de una igualdad es igual al otro. Para ello se sugiere: -Transformar el mimbro más complejo de la igualdad en el miembro más simple, haciendo uso de las identidades fundamentales. -De ser posible expresar las funciones trigonométricas que aparecen en la igualdad en términos de las funciones seno y coseno. -Simplificar las expresiones Ejemplos 𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝐴) = 𝑐𝑠𝑐𝐴 Solución 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴( 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝐴) = 𝑐𝑜𝑠𝐴( = 1 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛2 𝐴+𝑐𝑜𝑠2 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑒𝑛𝐴 ) = 𝑐𝑠𝑐𝐴 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 1+𝑡𝑎𝑛2 𝛼 𝑐𝑠𝑐 2 𝛼 El segundo miembro es el lado más complejo, así que a partir de él se llegará al primero 1+𝑡𝑎𝑛2 𝛼 𝑐𝑠𝑐 2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 𝑐𝑠𝑐 2 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 1−𝑐𝑜𝑠𝛽 = = 1 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 1+𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑒𝑛𝛽 Multiplicando el numerador y denominador del primer miembro por 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑒𝑛𝛽 1+𝑐𝑜𝑠𝛽 1−𝑐𝑜𝑠𝛽 1+𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛽(1+𝑐𝑜𝑠𝛽) 1−𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛽(1+𝑐𝑜𝑠𝛽) 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 = 1+𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑒𝑛𝛽 (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 (producto notable) = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝐴 cot(−𝐴) cos(−𝐴) + 𝑠𝑒𝑛(−𝐴) = -𝑐𝑠𝑐𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 = −𝑐𝑜𝑠 2 𝐴−𝑠𝑒𝑛2 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐴 =− (𝑠𝑒𝑛2 𝐴+𝑐𝑜𝑠 2 𝐴) 𝑠𝑒𝑛𝐴 =− 1 𝑠𝑒𝑛𝐴 =−𝑐𝑠𝑐𝐴 Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor). Ejemplos Resolver la siguiente ecuación para 0 < x < 90º 8 sen x = 2 + 4 csc 𝑥 8 sen x = 2 + 4 senx 4 sen x = 2 sen x = 2/4 = ½ x = sen-1(1/2) luego x = 30º cos (70 – x) = cos (x – 10) 70 – x = x – 10 70 + 10 = 2x; luego x = 40 2 tan x = 1 + tan 𝑥 tan2x = tan x + 2 tan2x – tan x – 2 = 0 (tan x – 2) (tan x + 1) = 0 factorizando tan x = 2 tan x = -1 x = tan-1 2 x = tan-1 -1 x = 63.43º x = -45º ACTIVIDAD Se propone la solución de los siguientes ejercicios Demostrar las siguientes identidades 1. 𝑠𝑒𝑐𝐵−1 𝑠𝑒𝑐𝐵+1 = 1−𝑐𝑜𝑠𝐵 1+𝑐𝑜𝑠𝐵 2. 𝑠𝑒𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑡𝐵 = 𝑐𝑠𝑐𝐵 3. (𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑡𝑎𝑛𝛼)(𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑡𝛼) = (𝑐𝑜𝑠𝛼 − 1)(𝑠𝑒𝑛𝛼 − 1) 4. 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥 5. 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑛2 6. 1−2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥 7. 1 − 𝑐𝑜𝑡 4 𝛽 = 2𝑐𝑠𝑐 2 𝛽 − 𝑐𝑠𝑐 4 𝛽 8. 9. 𝑐𝑜𝑡𝑦−1 = 𝑐𝑜𝑡𝑦 1−𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔+𝑡𝑎𝑛2 𝜔−1 𝑠𝑒𝑛2 𝜔 = 𝑡𝑎𝑛2 𝜔 10. (𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 − 1)(𝑡𝑎𝑛2 𝐴 + 1) = 1 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝐴 11. (𝑠𝑒𝑐 2 𝜃+𝑡𝑎𝑛2 𝜃)2 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃−𝑡𝑎𝑛4 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝐴 12. 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 13. 14. 1+𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑠𝑒𝑐𝐴 𝑐𝑜𝑠3 𝜑−𝑠𝑒𝑛3 𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑−𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝐴 1+𝑐𝑜𝑠𝐴 + = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 1+𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 2𝑐𝑠𝑐𝐴 15. 𝑐𝑠𝑐 4 𝛽 − 𝑐𝑜𝑡 4 𝛽 = 𝑐𝑜𝑡 2 𝛽 + 𝑐𝑠𝑐 2 𝛽 Simplificar las siguientes expresiones 16. 𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 − 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 17. 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 18. 1 𝑠𝑒𝑛2 𝐵 - 𝑐𝑜𝑠 2 𝐵 𝑠𝑒𝑛2 𝐵 19. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑐𝑠𝑐𝛼 20. 𝑡𝑎𝑛2 𝑤 (1−𝑐𝑜𝑠 2 𝑤)2 Resolver las siguientes ecuaciones en el conjunto dado 21. 2cos2x + cosx – 1 = 0 0 ≤ x ≤ 2π 22. Cosx + senx = 1 0 ≤ x ≤ 2π 23. sen 2x + sen 4x = 0 0 ≤ x ≤ 2π Bibliografía Red de Matemáticas de Antioquia. Nociones de trigonometría y geometría analítica Moreno Gutiérrez Vladimir. Nuevo Alfa 10. Grupo Editorial Norma, Bogotá 2001 Matemáticas 10. Editorial Santillana, Bogotá