Download MODULO MATEM+üTICA CICLO VI GRADO UNDECIMO
Document related concepts
Transcript
1 I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE MATEMÁTICA CICLO VI GRADO UNDÉCIMO 2 TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD 1 1. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS 1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS 1.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES 1.2.1. Conectivos lógicos 1.2.2. Las proposiciones se clasifican 1.2.2.1. Negación 1.2.2.2. Conjunción 1.2.2.3. Disyunción 1.2.2.4. Condicional 1.2.2.5. Bicondicional 1.2.2.6. Tautologías, contradicciones y contingencias 1.2.2.7. Implicaciones lógicas 1.2.2.8. Equivalencias lógicas 6 6 6 6 7 8 8 8 9 9 9 12 15 2. CUANTIFICADORES 18 3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6. 3.1.7. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. CONCEPTUALIZACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS CLASES DE CONJUNTOS Conjunto Universal Conjunto Infinito Conjunto Finito Conjunto Vacío Conjunto Unitario Conjuntos Iguales Conjuntos Disjuntos OPERACIONES CON CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B La intersección de dos conjuntos A y B La diferencia de dos conjuntos A y B La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B 18 19 19 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 21 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. NÚMEROS REALES NÚMEROS NATURALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS REALES OPERACIONES CON NÚMEROS REALES 22 22 23 23 24 24 24 PRUEBA TIPO ICFES 27 3 UNIDAD 2 1. 1.1. INTERVALOS Y OPERACIONES CON INTERVALOS OPERACIONES CON INTERVALOS 32 33 2. 2.1. 2.1.1. 2.2. 2.3. 2.3.1. 2.4. 2.5. 2.5.1. 2.6. 2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Inecuaciones equivalentes INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de inecuaciones PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES DEFINICIÓN Y GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO Tratamiento del valor absoluto utilizando la gráfica de f(x)=|x| ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c 35 35 35 38 40 41 42 43 44 45 45 45 46 PRUEBA TIPO ICFES 48 UNIDAD 3 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES 1.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES 1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES 1.3.1. Composición de funciones 1.4. CLASES DE FUNCIONES: POLINÓMICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIALES 1.4.1. Funciones polinómicas 1.4.2. Funciones trascendentes 1.4.2.1. La función exponencial 1.4.2.2. La función logarítmica 1.4.3. Funciones especiales 1.4.3.1. Función constante 1.4.3.2. La función identidad 1.4.3.3. La función proyección 1.4.3.4. La función canónica 1.5. FUNCIÓN INVERSA Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 1.6. SERIES, SUCESIONES Y PROGRESIONES 52 52 54 55 56 57 57 57 57 58 59 59 59 59 60 60 63 PRUEBA TIPO ICFES 65 UNIDAD 4 1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. LÍMITE FUNCIONAL LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Límite finito de una sucesión Límite infinito de una sucesión 69 69 70 71 4 2. 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.2. DEFINICIÓN ANALÍTICA DE LA DERIVADA TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Tasa de variación media Tasa de variación instantánea o derivada Derivadas laterales Derivabilidad y continuidad APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN OTRAS ASIGNATURAS Y CIENCIAS 73 73 73 74 74 75 75 3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Método de integración por sustitución Método de integración por partes Método de integración por cambio de variables 77 78 78 79 80 PRUEBA TIPO ICFES 82 BIBLIOGRAFÍA 87 5 UNIDAD 1 1. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS si. Se les llama Proposiciones Compuestas o Moleculares. Proposición es la oración afirmativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. En la lógica se distinguen dos tipos de proposiciones, siendo estas: Simples o atómicas y compuestas o moleculares. Ejemplos de proposiciones compuestas: 1. La ballena no es roja 2. Gustavo no es alto 3. Teresa va a la escuela o María es inteligente 4. 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10 5. El 1 es el primer número primo y es mayor que cero 6. El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10 7. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen 8. Si corro rápido entonces llegaré temprano 9. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa 10. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho Como ejemplos de proposiciones se dan los siguientes: 1. 2. 3. 5. 6. 8. 4 es menor que ocho Carlos es alto México es un país de América María es inteligente El sábado no hay clases El uno es el primer número natural Ahora se dan algunas expresiones que no son proposiciones: 1. 2. 4. 5. Observación. Se les llama términos de enlace o conectivos lógicos a las partículas: No, o, y, si…entonces, si y solo si. Observemos que los conectivos: o, y, si…entonces, si y solo si, se usan para enlazar dos proposiciones, pero el conectivo no actúa sobre una sola proposición. ¿Cómo te llamas? ¿Qué hora es? El árbol ¡Levanta esa pluma! Estas expresiones no son proposiciones porque no afirman nada que sea verdadero o falso, es decir, la 1 y 2 son preguntas, la 3 es una frase y la 5 es una orden. 1.2.1. Conectivos lógicos: negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional. A continuación se da una tabla en la que se da la expresión gramatical y el nombre del conectivo que representa: 1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS Las proposiciones simples o atómicas son proposiciones que ya no pueden descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones. Ejemplos de proposiciones simples o atómicas: 1. La ballena es roja 2. La raíz cuadrada de 16 es 4 3. Gustavo es alto 4. Teresa va a la escuela 1.2. PROPOSICIONES MOLECULARES COMPUESTAS O Para simbolizar cualquier proposición es necesario saber cómo se simbolizarán las proposiciones simples y los conectivos. A las proposiciones simples las simbolizaremos con letras mayúsculas: Las proposiciones en las que aparecen las partículas gramaticales como: No, o, y, si…entonces, si y solo 6 5. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen L=Yolanda es estudiosa M=Yolanda pasará el examen La simbolización es: L⇒M A, B, C, … , X, Y, Z El nombre y símbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente: 6. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa P=terminaré rápido La simbolización es: P⇔Q Q=me doy prisa 7. Si 3 es mayor que 2 y 2 es mayor que cero entonces 3 es mayor que cero A=3 es mayor que 2 B=2 es mayor que cero C=3 es mayor que cero La simbolización es: (A∧B) ⇒ C Ejemplos Simbolizar las proposiciones que se dan: 1. La ballena no se roja En este ejemplo la proposición simple es: la ballena es roja, luego podemos proceder de la forma siguiente: 8. No ocurre que Alejandro sea alto y sea chaparro D=Alejandro es alto E=Alejandro es chaparro La simbolización es: ¬ (D ∧E) A=la ballena es roja Observación. Siempre que aparezca la expresión “no ocurre que” indica que en la simbolización la negación antecede a los paréntesis y dentro de ellos se debe incluir la simbolización de la proposición restante. Y la simbolización para la proposición compuesta, al utilizar el símbolo correspondiente para el conectivo no, es: ¬A Es importante tener presente que la negación siempre antecede a la proposición simple al dar la simbolización. 9. Si estudio mucho y asisto a clases entonces no reprobaré el examen y pasaré la materia 2. Gustavo no es alto F=estudio mucho G=asisto a clases H=reprobaré el examen I=pasaré la materia La simbolización es: (F ∧G) ⇒ (¬H ∧I) B=Gustavo es alto Luego la simbolización es: ¬B Con el fin de ahorrar paréntesis es importante considerar la fuerza o jerarquía de los conectivos. A continuación se dan los conectivos de menor a mayor fuerza: a) ¬ b) ∨ c) ∧ d) ⇒ y e) ⇔ 3. Teresa va a la escuela o María es inteligente C=Gustavo es alto D=María es inteligente Luego la simbolización es: C ∨ D 4. El 1 es el primer número natural y es mayor que cero G=el 1 es el primer número natural mayor que cero La simbolización es: G∧H Como se observa el más débil de todos es el conectivo “no” y el más de ellos es el conectivo “si y sólo si”. H=el 1 es 1.2.2. Las proposiciones se clasifican de la siguiente forma: A partir de la fuerza o predominancia de los conectivos: 7 1.2.2.1. Negación. Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p¬ que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. La tabla de verdad de la negación es la siguiente: cualquier otro caso. Se escribe p ∧ q, y se lee "p y q". Así por ejemplo, la proposición compuesta Palmira tiene montañas y ríos es verdadera porque cada parte de la conjunción es verdadera. No ocurre lo mismo con la proposición Palmira tiene montañas y tiene mar. Esta proposición es falsa porque Palmira no tiene mar. Ejemplo: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas aves vuelan y el gato es un ave”, que es obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por otro lado la proposición p ∧ ¬ q que dice “algunas aves vuelan y el gato no es un ave” es verdadera pues es la conjunción de las proposiciones verdaderas. Ejemplo 1: Si p simboliza la proposición estamos en la clase de álgebra, entonces ¬p es no estamos en la clase de álgebra. Ejemplo 2: Consideremos la proposición p: “10 es múltiplo de 5”. Entonces el valor de p es (V). Su negación dese ser una proposición que es falsa siempre que p sea verdadera, por lo tanto ¬ p debe expresar exactamente lo contrario a lo que expresa p. 1.2.2.3. Disyunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". La disyunción de dos proposiciones puede ser de dos tipos: Exclusiva o excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ⊻ q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. Ejemplo 3: Consideremos la proposición q: “Todos los perros son blancos”. No debe confundirse la negación con decir algo diferente, por ejemplo… r: ”Algunos perros son blancos”. La proposición r no es la negación de q, puesto que si q es verdadera también r lo es. Si decimos s: “Ningún perro es blanco”, tampoco s es la negación de q, puesto que si existiera un único perro de color blanco y los demás fueran marrones, entonces tanto q como s serían proposiciones falsas. La disyunción de tipo inclusivo entre dos proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones son falsas. En el lenguaje coloquial y en matemática es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva, también llamada el “ o inclusivo”. A veces el contexto de una frase indica si la disyunción es excluyente o incluyente. La negación de q puede ser enunciada de la siguiente manera: ¬q: “Algunos perros no son blancos”. Así, si q es verdadera, claramente ¬q es falsa, mientras que si ¬q es verdadera, resulta ser falsa q. Ejemplo: “Los alumnos regularizan la materia si aprueban tres parciales o si aprueban o si aprueban dos parciales y tienen un 80% de asistencia”. 1.2.2.2. Conjunción. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en 8 En este caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero por ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se nos dice que tenemos como postre “helado o flan” normalmente no significa que podamos pedir ambos, siendo en este caso la disyunción exclusiva. 1.2.2.4. Condicional. Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p ⇒ q, y se lee "si p entonces q". 1.2.2.5. Bicondicional. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p ⇔ q, y se lee "si y sólo si p entonces q". Ejemplos de proposiciones simbolizadas en donde se pueden eliminar algunos paréntesis: 1.2.2.6. Tautologías, contradicciones y contingencias. Haciendo uso de las tablas de verdad podemos verificar cuando una proposición es una tautología, cuando es una contingencia y cuando es una contradicción, para tal efecto se dan las definiciones siguientes: 1. La proposición condicional (A ∧ B) ⇒ C se puede expresar como A ∧ B ⇒ C, dado que el conectivo “⇒” supera al conectivo “∧”. Definición 1. Una proposición compuesta es una Tautología si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es verdadero independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen. 2. La proposición bicondicional (A ∧ C) ⇔ (D ∨ E) puede expresarse como A ∧ C ⇔ D ∨ E. 3. La proposición disyuntiva (¬A) ∨ (¬B) se puede escribir como ¬ A ∨ ¬B. Definición 2. Una proposición compuesta es una Contradicción si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es falso 4. La proposición bicondicional (¬A) ⇒ (¬B) ⇔ (¬C) ∨ D se puede escribir como ¬A ⇒ ¬B ⇔ ¬C ∨ D. 9 Ejemplos Construir la tabla de verdad de las proposiciones compuestas que se dan e indicar si se trata de una tautología, contradicción o contingencia. independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen. Definición 3. Una proposición compuesta es una Contingencia si al construir su tabla de verdad no resulta tautología o contradicción. 10 Ejercicios 1. Simbolizar las proposiciones que se dan. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Sergio es doctor y Gustavo es Matemático. El árbol es alto y da mucha sombra. Si corro entonces no llego tarde. 7-2=5 o 2+3=5 2 16=4 si y sólo si 16=4x4. No ocurre que el 3 sea número par e impar. No ocurre que si me levanto temprano entonces no llegue a tiempo. Si no estudio y no asisto a clases entonces no pasaré el examen. Si 2>1 y 1>-4 entonces 2>-4. Un número es primo si y sólo si es divisible por si mismo y por la unidad. 3. Evalúa cada proposición según los valores de verdad p = F. q = V. r = F. a) p v q b) ¬ p v ¬ q c) ¬ p v q d) p v ¬(q ∧ r) 11 e) ¬(p v q) ∧ (¬ p v r) 4. Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) Todos los alumnos del curso son inteligentes. Todas las mujeres son lindas. Ninguna mujer es linda. Hay un banco que está roto. Hay exactamente un hombre inteligente. Al menos un hombre es inteligente. 4 es múltiplo de 8. A veces llueve. Me gusta estudiar. Me gusta estudair y tomar mate. Me gusta estudiar pero no me gusta tomar mate. No me gusta estudiar ni tomar mate. 7≤8 2 < 3 ≤ 5 (significa: 2 es menor que 3 y 3 es menor o igual a 5) a ∈ A ⋃ B. 1.2.2.7. Implicaciones lógicas. La noción de implicación lógica es esencial para formalizar los razonamientos deductivos. La proposición P implica lógicamente la proposición Q si, y sólo si la proposición condicional P → Q es una tautología. Demostración: Veamos que P ⇒ Q sólo si P → Q es una tautología. En efecto, supongamos que P implica lógicamente Q. Entonces, de acuerdo con la definición, cuando P es verdad, Q también lo es y cuando Q es falso, P es falso, por tanto, la tabla de verdad de P → Q conteniendo únicamente estas opciones es: es decir, P → Q es una tautología. Recíprocamente, veamos que P ⇒ Q si P → Q es una tautología. En efecto, si P es verdad y P → Q es una tautología entonces Q ha de ser verdad. También podríamos haber dicho que si Q es falso y P → Q es una tautología, entonces P ha de ser falso. Debido a este teorema, los lógicos prefieren adoptar el lenguaje común como el lenguaje de la lógica y leen p → q como “p implica q”. En este caso, ellos utilizan la palabra implica como el nombre de un conectivo lógico y como el nombre de una relación paralela entre proposiciones. Resolvemos ahora el ejemplo anterior viendo que ¬(p∨q) → ¬p es una tautología. Su tabla de verdad es: 12 luego, ¬(p ∨ q) → ¬p es, efectivamente, una tautología. Implicaciones lógicas más comunes. La tabla siguiente presenta algunas implicaciones l´ogicas con los nombres que usualmente reciben. 13 14 1.2.2.8. Equivalencias lógicas. La equivalencia permite hacer transformaciones sintácticas de las sentencias sin perder su semántica. Las proposiciones iciones compuestas P y Q son lógicamente lógicamente equivalentes y se escribe P ≡ Q ó P ⇐⇒ Q cuando ambas tienen los mismos valores ores de verdad. Obsérvese que de esta definición n se sigue que para probar que dos proposiciones son llógicamente equivalentes hay que probar ar que si P es verdad, Q también también ha de serlo y que si P es falso, Q tiene que ser falso. Obsérvese también que otra forma orma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de que Q lo es y probar que si Q es falso, entonces P tambié también lo es. Equivalencia Lógica y Proposición Bicondicional. La proposición P es lógicamente gicamente equivalente a la proposición proposici Q si, y sólo si la proposición n bicondicional P ←→ Q es una tautología. Demostración. Veamos que P ⇐⇒ Q sólo si P ←→ Q es una tautología. En efecto, si P ⇐⇒ Q, entonces tienen los mismos valores de verdad, es decir P y Q son, ambos, verdaderos o falsos, de aquí que el valor de verdad de P ←→ Q sea siempre verdadero, es decir es una tautología. Recíprocamente, probemos que P ⇐⇒ Q si P ←→ Q es una tautología. Efectivamente, si la proposición n bicondicional P ←→ Q es siempre verdadera, entonces de acuerdo con su definición, n, P y Q son, ambas, falsas o verdaderas, es decir tienen los mismos valores de verdad y, por tanto, P es lógicamente equivalente a Q. 15 En el ejemplo anterior vimos que ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q, luego este teorema afirma que la proposición bicondicional ¬(p ∧ q) ←→ ¬p ∨ ¬q es una tautología. Veamos que es cierto. En efecto, Equivalencias lógicas más comunes. Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las equivalencias lógicas más útiles junto con los nombres que reciben. 16 Ejemplo. Probar que la proposición condicional P → Q es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca ¬Q → ¬P. Solución: Veamos que ambos condicionales tienen los mismos valores de verdad. En efecto, si P → Q es verdad, entonces P puede ser verdad o falso. Pues bien, − si P es verdad, q ha de ser verdad, luego ¬P y ¬Q son, ambas, falsas y, consecuentemente, ¬Q → ¬P es verdad. − si P es falso, entonces ¬P es verdad y ¬Q −→ ¬P es verdad, cualquiera que sea el valor de verdad de Q. Por lo tanto, en cualquier caso, ¬Q −→ ¬P es verdad. Por otra parte, si P → Q es falso, entonces P es verdad y Q es falso, luego ¬Q es verdad y ¬P es falso y, por lo tanto, ¬Q → ¬P es falso. También podemos hacerlo escribiendo su tabla de verdad. Entonces, el bicondicional (P → Q) ←→ (¬Q → ¬P) es una tautología y es una equivalencia lógica. Ejercicios a) Verificar si las proposiciones condicionales son equivalencias lógicas o no. b) Simbolizar los argumentos que se dan y utilice tablas de verdad para verificar si son válidos o no. 1. Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nos despedimos ahora. Por tanto, no cumpliremos nuestro plan. 2. Si llovió la pasada noche, entonces la pista se ha limpiado. La pista no se ha limpiado. Por tanto, no llovió la pasada noche. 17 3. Este hombre es un abogado o un político. No es un abogado. Por tanto, no es un político. 4. Si Mr. Lincoln es elegido, entonces los Estados del Sur se separarán con seguridad. Si los estados del sur se separan, entonces estallará una guerra civil. Por tanto, Si Mr. Lincoln es elegido, entonces estallara una guerra civil. 5. Si 5>3, entonces 7>3. Si 7>3, entonces 5>0. Por tanton, 5>0. 2. CUANTIFICADORES En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar indica cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están: Cuantificador universal Para todo x, y... Cuantificador existencial Existe al menos un x, y... Cuantificador existencial único Existe exactamente un x, y... Negación del cuantificador existencial No existe ningún x, y... 3.. CONCEPTUALIZACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS Un conjunto es una colección n de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetos “tangibles” bles” como abstracciones matemáticas. matemá Esos objetos que al reunirse forman rman el conjunto, se denominarán n elementos del conjunto. diversos alfabetos. Lo más má frecuente (más por tradición que por norma) es usar letras mayúsculas para designar a los conjuntos, y reservar las minúsculas sculas para designar elementos. elementos Como se puede fácilmente cilmente imaginar, la expresión expresi del tipo “x es un elemento del conjunto A” o equivalentemente “x pertenece al conjunto A” A es de Se designa a los conjuntos y a los elementos que los constituyen por medio de letras pertenecientes pertenecien a 18 uso muy frecuente cuando se habla de conjuntos y elementos. Por ello, es útil recurrir a un símbolo que nos permita expresar esa idea más brevemente. Concretamente, “x pertenece al conjunto A” se representa por x ∈ A, “x no pertenece al conjunto A” se representa por x /∈ A. Los conjuntos suelen describirse encerrando sus elementos entre llaves “{” y “}”. Entre esas llaves pueden aparecer o bien todos los elementos del conjunto separados por comas, o bien expresar la condición que deben cumplir los elementos para pertenecer a dicho conjunto. Con un ejemplo se entiende mejor... pretendemos definir el conjunto A formado por los naturales que están entre 4 y 26 (ambos inclusive). Podemos hacerlo de dos modos, o bien A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, o también como: A = {n ∈ N : 4 ≤ n ≤ 26}. Del mismo modo, usamos símbolos para sintetizar o acortar las expresiones más frecuentes. Así, el símbolo “∀” se lee “para todo”, el símbolo “∃” se lee “existe”, los dos puntos “:” se leen como “tal que”, etc... 3.1. CLASES DE CONJUNTOS 3.1.1. Conjunto Universal. Es aquel conjunto que contiene a oros conjuntos. Se simboliza con la letra U. Si observas el siguiente diagrama de Venn, el conjunto universal U contiene a los conjuntos A,B,C, 3.1.2. Conjunto Infinito. Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos. Es decir, tiene infinitos elementos. ℕ = {0,1,2,3,4,5,…} Naturales ℤ = {…,-2, -1, 0,1,2,3,…} Enteros 3.1.3. Conjunto Finito. Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos. A = {0,1,2,3} B = {a,e,i,o,u} 3.1.4. Conjunto Vacío. Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se le representa por ∅ sin llaves. A ={ } 19 3.1.5. Conjunto Unitario. Es aquel que tiene un solo elemento. conjunto B un elemento emento 4. El elemento 5 no lo es, entonces y – 3 = 4. Resolviendo: y – 3 = 4, obtenemos: y = 7. A = { 2} Igualmente, si en el conjunto B, hay un elemento 5, entonces debe haber en el conjunto A un elemento 5. El elemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5. B = {3,3,3,3} es también unitario. Los elementos repetidos se consideran una sola vez. 3.1.6. Conjuntos Iguales. Son aquellos conjuntos que tienen los mismos elementos. Dados los conjuntos: A={2,3} y B={3,2}, entonces, debido a que tienen los mismos elementos, afirmamos que A = B. B Resolviendo:: x + 2 = 5, obtenemos : x = 3. Por lo tanto: “x + y” es: 3 + 7 = 10 3.1.7. .1.7. Conjuntos Disjuntos. Se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento o en común. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos. Ejemplo: Si los siguientes conjuntos son iguales, hallar “x+y”. A={x + 2; 4} y B={5; y – 3) Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío; vacío es decir, si Como los conjuntos A y B son iguales, entonces deben tener los mimos elementos: Si en el conjunto A hay un elemento 4, entonces debe haber en el EJERCICIOS 1) a) b) c) d) e) 2) Cuáles son los elementos de: El conjunto de los días de la semana El conjunto de las estaciones del año Los números ros impares menores de 11 Los números pares mayor que 10 y menor que 20 Los números primos menores de 15 Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso ( ) a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( ) b) y { o, p, q, x } c) x { o, p, q, y } d) Perú { países de Europa } ( ) e) Amazonas ( ) 3) a) b) c) d) e) f) g) ( ) { ríos de América } ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos? A = { x / x es día de la semana} B = { vocales de la palabra vals} C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} D = { x / x es un habitante de la luna} E={x N / x < 15} F={x Ny5<x<5} G={x N y x > 15} 20 h) H = { x N y x = x} i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico} j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } 3.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 3.2.1. La unión de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos de A ó B, ó de ambos. 3.2.3. La diferencia de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene exactamente aquellos elementos de A que no están en B. Ejemplos: 1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces A d} B = {a, b,c, Ejemplos: 1) {a, b, c} {a} = {b, c} 2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces A B = {a, b, c} 2) {a, b, c} {a, d} = {b, c} 3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces A 3) {a, b, c} {d, e} = {a, b, c} B = {a, b} 4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces A c, {a, b}} B = {a, b, 3.2.2. La intersección de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que están tanto en A como en B. 3.2.4. La diferencia simétrica de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene todos los elementos que están en A o en B pero no en ambos, es decir, A B = (A B) (A B). Ejemplos: 1) {a, b} {a, c} = {a} Ejemplos: 1) {a, b} {a, c}={b, c} 2) {a, b} {c, d} = {} 2) {a, b} {}= {a, b} 3) {a, b} {} = {} 3) {a, b} {a, b}={} 21 EJERCICIOS…… 1. Sea A= {a,b,c} y B= {b,c,d,e} entonces A⋃B = (represente con Diagrama de Venn). 2. Sea A= {1,3,5,7,…} y B= {2,4,6,8,…} entonces A⋂B = (represente con Diagrama de Venn). 3. Supongamos que C= {a,e,i,o,u} y D= {e,o,u} entonces C⋂D= (represente con Diagrama de Venn). 4. Sean A= {p,q,r,s} y B= {r,s,k} entonces: A – B= y B – A= (represente con Diagrama de Venn). 5. 4. NÚMEROS REALES Los números son muy importantes para el hombre moderno. En estos tiempos en los que se realizan viajes espaciales y en los que las computadoras son usadas tanto por amas de casa, así como por investigadores, los números están presentes en toda actividad del hombre. Los números afectan a las actividades más comunes, como la adquisición de alimentos en el mercado y la consulta de fechas en el calendario. Resulta claro que sin los números no existirían instrumentos de medición como el reloj, la regla y el termómetro. aplicaciones, se han creado diversas clases de números. Los números reales son: Naturales, Racionales, Irracionales y Reales. Enteros, 4.1. NÚMEROS NATURALES Son los que se usan con mayor frecuencia, en actividades cotidianas; son también los números más antiguos que se conocen. Este conjunto de números se denota como: □ y está definido como sigue: El número es útil en una amplia gama de situaciones reales. Sin embargo, situaciones reales diferentes requieren el uso de diferentes clases de números: el pastor, que desea conocer el número de ovejas de su rebaño, necesita de los números naturales o números para contar; el ama de casa, que dispone de la receta de un guiso para 7 personas y desea prepararlo para 11, necesita de los números racionales o números para comparar. Para diversas □ = {1,2,3,4,5, } La gráfica de los números naturales sobre la recta real (siendo ésta la recta horizontal que va de menos infinito a más infinito) es la siguiente: 22 4.3. NÚMEROS RACIONALES Observemos que los números naturales al ser graficados sobre la recta real, son únicamente puntos aislados sobre ella. Estos números son útiles cuando es necesario trabajar con fracciones. Los números racionales se denotan por: □ y para definirlos se utiliza la notación constructiva de un conjunto. 4.2. NÚMEROS ENTEROS Los números naturales no son suficientes para todas las actividades del hombre. Existen diversas situaciones en que las cantidades pueden considerarse en una dirección o en la dirección opuesta. Por ejemplo, un saldo de quinientos pesos a favor es muy diferente a un saldo de quinientos pesos en contra, una temperatura de quince grados sobre cero es diferente a quince grados bajo cero, no es lo mismo 100 años antes de cristo que 100 años después de cristo, etc. En estas situaciones los números naturales únicamente sirven para describir una dirección y para describir la dirección contraria, es necesario usar los números enteros. El conjunto de números enteros se denota como: □ y se define por: Observemos que el cociente formado por números enteros (siempre y cuando el denominar sea diferente de cero) es un número racional. Como ejemplos de números racionales se dan los siguientes: Anteriormente se indicó que todo número natural es un número entero, ocurrirá que todo número entero también sea un número racional, la respuesta es si y la forma más simple es dividir a cada número entero entre uno. De esta forma siguen siendo números enteros, pero representadas como números racionales. Luego, se obtiene que los números enteros sean un subconjunto de los números racionales, es decir: □ ⊂ □ de manera mas completa □ ⊂ □ ⊂ □ La gráfica de los números enteros sobre la recta real es: El diagrama de Venn es: En la gráfica se observa que los números enteros sobre la recta real, continúan siendo puntos aislados, pero ya también aparecen números negativos. Además también nos damos cuenta que los números naturales son un subconjunto de los números enteros, es decir, todo número natural es un número entero y se representa como: □⊂□ Un diagrama de Venn es el siguiente: La gráfica de algunos números racionales es la siguiente: 23 4.5. NÚMEROS REALES Se puede observar que aunque fueron graficados sólo algunos números racionales, cubren mucho más espacio sobre la recta real y si nos imaginamos la gráfica de todos los números racionales, nos podremos dar cuenta que aún quedan huecos sobre la recta real y dichos huecos corresponden a los números irracionales. Los números reales se denotan por: “□” y lo forman todos los números racionales y todos los números irracionales, es decir: 4.4. NÚMEROS IRRACIONALES Un diagrama de Ven en donde se contemplan a todos los conjuntos de números que hemos visto es el siguiente: Estos números no son representados como números racionales y si se representan en su expansión decimal, se distinguen de los números racionales por que su expansión decimal no es periódica y la expansión decimal de todo número racional si es periódica. A continuación se dan ejemplos de números en su expansión decimal y se indica si es racional o irracional. 4.6. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Para todo número real a, b y c: Los ejemplos 1, 2, 3 y 4 representan números irracionales, dado que su expansión decimal no es periódica y los números de los ejemplos 5, 6 y 7 son números racionales por que su expansión decimal si es periódica, para el ejemplo 5 el período es dos, para el ejemplo 6 el período es tres y para el ejemplo 7 el período es cuatro. Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a·b=b·a Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2x4=4x2 Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c Si ahora sobre la recta real se graficaran todos los números racionales y todos los números irracionales, se cubrirían todos los puntos de la recta real, es esta la razón del por qué a cada punto de la recta real le corresponde un número real y también el por qué de dicho nombre. Los números irracionales serán denotados como: . Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7 Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4 Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3 24 Inverso Aditivo: a + (-a) = 0 Ejemplos: Ejemplo: 6 + (-6) = 0 Inverso Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c Multiplicativo: Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4 25 EJERCICIOS…… Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo: Número/Conjunto numérico 11 -7 0 ¾ 0.272727… 7.25 2.7985413… 1½ Natural Cardinal Entero Racional Irracional Real Identifica la propiedad en cada enunciado: 1. 7 + 5 = 5 + 7 ___________________________ 6. 11 + 0 = 11 ___________________________ 2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ___________________ 7. 9 + -9 = 0 ____________________________ 3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) ____________________ 8. 2 x ½ = 1 ____________________________ 4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ____________________ 5. 7 x 1 = 7 ________________________________ 26 PRUEBA TIPO ICFES CONTESTA LAS PREGUNTAS 1 A 3 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN de las bases circulares de la lata y multiplicar dicho valor por la altura. El gerente de una compañía procesadora de atún cita al fabricante de envases de lata, especificaciones sobre algunas de sus posibles alternativas. El fabricante advierte que el calibre de las latas con las cuales se fabrican los envases es el mismo y por lo tanto no incide en la capacidad de los envases. Además presenta las dos alternativas siguientes: b) Multiplicar el diámetro de una de las bases circulares por la altura. altura c) sumar a la altura la longitud de la circunferencia de una de las bases circulares de la lata. d) Determinar el área total de la lata y ha dicho valor restarle el doble del área de una de las bases circulares de la lata. 3. Para vender atún, las latas la se empacan en cajas sin tapa, como se muestra en las figuras. Si el gerente se decidió por la lata No.1 y en cada caja deben ir 6 latas, ¿cuál de las siguientes cajas no debe usar la compañía, si quiere utilizar la caja de volumen menor?: a) 1. Si por conveniencia ncia financiera, la compañía requiere la lata en la cual pueda envasar la menor cantidad de atún, ¿cuál de las dos latas se debe elegir?: b) a) La No. 2 ya que el radio de la No. 1 es el triple de la No. 2 y en consecuencia, el volumen de ésta resulta menor. b) Cualquiera alquiera de las dos latas, pues ambas tienen un volumen igual a 108 cm³. c) La No.1 ya que la No.2 tiene mayor volumen por tener una altura mayor. d) Cualquiera de las dos latas, pues, aunque el radio No.2 es la tercera parte del radio de la lata No.1, su altura es nueve veces la de la No.1, lo cual implica que su volumen sea el mismo. 2. Si al envase se le debe colocar una etiqueta de papel en el contorno (como lo indica la figura) y deseamos saber la cantidad de papel requerida en cada lata; de los siguientes procedimientos ¿cuál será el más conveniente?: c) d) a) Determinar la longitud de la circunferencia de una 27 CONTESTA LAS PREGUNTAS 4 A 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN porcentaje de ratones enfermos entre el tiempo t y un tiempo (t + 1) es: 6. Luego de resultar infectado con el virus, un ratón tiene tan solo un 35% de posibilidad de sobrevivir. Según esto, si hubiera suspendido el experimento al cabo de la primera hora de iniciado, el número de ratones vivos, unas horas más tarde, posiblemente sería 432. Esta afirmación es: 4. La gráfica que representa mejor el porcentaje de ratones enfermos es: a) Falsa, sa, porque de los 516 ratones morirían 129. b) Falsa, porque al cabo de esta hora habría aproximadamente 180 ratones vivos. c) Verdadera, porque sobrevivirían 65 ratones de los 387 que se contagiaron con el virus. d) Verdadera, porque al cabo de esta hora lograrían n sobrevivir 45 ratones de los infectados. a) b) c) d) a) 25t t Para probar el efecto que tiene una vacuna aplicada a 516 ratones sanos, se realiza un experimento en un laboratorio. ratorio. El experimento consiste en identificar durante algunas horas la regularidad en el porcentaje de ratones que se enferman al ser expuestos posteriormente al virus que ataca la vacuna. Las siguientes gráficas representan el porcentaje de ratones enfermos rmos al cabo de la primera, segunda y tercera hora de iniciado el experimento. b) 25 • 2 c) d) CONTESTA LAS PREGUNTAS 7 A 9 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN 7. El vendedor del almacén afirma que en el día se recibió la misma cantidad de dinero por la venta de baldosas triado que por la venta de baldosas cuadu. Basándose en la afirmación del vendedor usted puede deducir que: a) La cantidad de baldosas cuadu vendidas fue el 1.6% de la cantidad de baldosas trado. b) Por cada 8 baldosas triado vendidas, se vendieron 5 baldosas cuadu. c) La cantidad de baldosas baldo triado vendida fue 1.6 veces la cantidad de baldosas cuadu. d) El 50% del total de baldosas vendidas fue triado ya que se recibió la misma cantidad de dinero por su venta que por la venta de las baldosas cuadu. tr 5. Sea t el número de horas transcurridas después de iniciado el experimento. La expresión que representa el incremento en el 28 Tabla 1. Nacimientos en la primera semana 8. Para incentivar la compra de baldosas cuadu, el dueño del almacén decide unificar el valor por centímetro cuadrado de baldosas triado y cuadu. El procedimiento que usted le sugeriría al dueño para encontrar valores adecuados a sus propósitos es: DÍA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo a) Sumar y luego dividir entre 2 los cocientes resultantes de la división entre el precio de cada baldosa y el área que cubre. b) Sumar y luego dividir entre 31 los precios de una baldosa triado y una cuadu. c) Sumar y luego dividir entre dos los precios de una baldosa triado y una cuadu. d) Sumar los cocientes resultantes de la división entre el precio de cada baldosa y el doble del área cubierta por ella. HOMBRES 10 9 7 12 11 6 9 MUJERES 8 13 9 11 8 8 8 Tabla 2. Nacimientos en la segunda semana DÍA # TOTAL DE HOMBRES NACIMIENTOS Lunes 20 17 Martes 22 10 Miércoles 20 9 Jueves 18 9 Viernes 22 11 Sábado 16 4 Domingo 17 8 9. Un cliente sea dirigido a la sección de quejas y reclamos del almacén asegurando que, de los 24 m² que compró en baldosa cuadu, el 25% salió defectuosa y por tanto exige al almacén la devolución de $110.000 correspondientes al precio de las baldosas defectuosas. Usted no está de acuerdo con el cliente, pues: 10. Con los datos que registraron los estudiantes desean hacer una comparación entre la cantidad de hombres nacidos durante las dos semanas. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor esta comparación? a) No es posible que haya comprado 24 m² en este tipo de baldosa porque ello implicaría que le vendieron partes de baldosas. b) La cantidad de dinero que exige como devolución sobrepasa el valor correspondiente al 25% de las baldosas compradas. c) La cantidad de dinero exigido como devolución es inferior al costo de 6 m² de baldosa cuadu. d) El precio de seis baldosas cuadu no corresponde al exigido en devolución. a) CONTESTA LAS PREGUNTAS 10 A 12 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN b) Algunos estudiantes de una universidad recogieron información acerca del número de hombres y mujeres que nacieron en un hospital durante dos semanas. La información la registraron en las siguientes tablas: 29 c) hombres nacidos es igual a la cantidad de mujeres. d) No, porque los datos registrados en la tabla no permiten establecer el porcentaje entre el nacimiento de hombres y de mujeres durante las dos semanas. CONTESTA LAS PREGUNTAS 13 A 15 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN d) Un profesor de matemáticas le propone a sus estudiantes realizar el conteo de dígitos de los números que hay desde 1 hasta 999, como lo indica el siguiente ejemplo: ¿Cuántos dígitos hay desde 8 hasta 13? 11. Partiendo de los datos presentados en las tablas es falso afirmar: La cantidad de dígitos de los números que hay desde 8 hasta 13 es 10 dígitos. a) En la primera semana hubo más nacimientos que en la segunda semana. b) El nacimiento de hombres en la primera semana fue menor que el nacimiento de mujeres. c) El número de nacimientos de mujeres fue menor que el nacimiento de hombres durante las dos semanas. d) El número de nacimientos cimientos de mujeres fue mayor en la segunda semana que en la primera semana. El profesor les da como información que la cantidad de dígitos que hay desde 1 hasta 99 es 189. 13. Para responder a la situación planteada pl por el profesor, cuatro estudiantes presentaron algunos procedimientos. Si el procedimiento debe ser el más rápido y confiable, ¿cuál de los presentados por los estudiantes escogería? a) Contar de 1 en 1 hasta llegar a 999. b) Contar de 1 a 9, luego de 10 a 99, por último de 100 a 999 y sumar la cantidad obtenida en cada grupo contado. c) Contar cuántos números hay con 1 dígito, con 2 dígitos y con 3 dígitos, multiplicar por 1, por 2 y por 3 respectivamente y luego sumar. d) Contar cuántos números hay desde 100 1 hasta 999; multiplicar por 3, y finalmente sumarle la cantidad de dígitos que ahí desde uno hasta 99. 12. Según los datos recogidos por los estudiantes durante las dos semanas en el hospital ¿es posible afirmar que la probabilidad de que nazca un varón en cualquier día de la semana es de 1/2.?: a) Sí, porque el porcentaje de nacimientos de hombres y mujeres en las dos semanas es del 50%. b) No, porque el número de nacimientos de hombres en la primera semana fue distinto al número de nacimientos en la segunda semana. c) Sí, porque al mirarr el número de nacimientos al finalizar las dos semanas la cantidad de 14. Daniel, luego de hacer el conteo afirma que cada dígito se repite la misma cantidad de veces en los números desde 1 hasta 999, pero uno de 30 sus compañeros mpañeros comenta que esa afirmación es falsa, porque: las siguientes láminas, ¿cuál considera que Germán Camilo debe elegir para cortar las tablas tabla para la repisa?: a) Los números de 1 a 999 tienen un orden pero sus dígitos no pueden repetirse la misma cantidad de veces. b) El conteo se hace desde 1 y no desde cero, teniendo al cero mínimo una vez menos. c) La cantidad de números que tienen 2 dígitos es distinta a la cantidad de números que tienen sólo 1 dígito. d) La cantidad de veces que se repite el cero no es la misma con la que se repiten los demás dígitos. 15. Un estudiante le pregunta al profesor si es posible saber cuántos uántos dígitos hay desde – 999 hasta – 1, conociendo la cantidad que hay desde 1 a 999, sin contar de 1 en 1. Si usted fuera el profesor, le respondería a este estudiante que: a) No, porque el conteo sólo es posible hacerlo de manera ascendente, es decir, desde des 1 hasta 999. b) Sí, porque aunque esté antecedido por el signo menos no afecta el conteo de dígitos. c) Sí, porque el orden y el signo no son involucrados en el conteo, siendo así el mismo número de dígitos el conjunto anterior. d) No, porque los dígitos son siempre sie positivos, entonces -1 1 no es un dígito. 17. Germán Camilo requiere enviar 25 repisas a Bogotá, pero como fueron selladas con un pegante especial y para que no se dañen, hay que transportarlas de pie y como máximo colocar una repisa sobre la otra. El furgón que contrataron para el transporte tiene un contenedor con capacidad de 2,4 m de largo, 1.2 m de ancho y 1.8 m de alto. ¿Este furgón servirá para llevar todas las repisas en un solo viaje?: a) Sí, porque cada repisa solamente ocupa un área de menos de ¼ de metro cuadrado y además se pueden colocar dos hileras. b) No, porque se requieren tres viajes del furgón. c) Sí, porque como el volumen del furgón es de 5,184 metros cúbicos y el de cada repisa 0,192 metros cúbicos, necesariamente caben 27 repisas. d) No, porque solamente se puede llevar en este furgón 24 repisas. CONTESTA LAS PREGUNTAS 16 A 18 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Una biblioteca mandó a construir el siguiente tipo de repisa para colocar los libros y textos escolares: 18. El dueño de la biblioteca requiere de otro tipo de repisa cuyas tablas tengan el doble del área de las tablas de la repisa inicial. Para ello Germán Camilo analiza posibles cambios en las dimensiones de las tablas de la repisa inicial. ¿Cuál de los siguientes cambios le conviene más a Germán Camilo? 16. Las tres tablas que tiene la repisa son rectángulos de madera completos. Germán Camilo es el encargado de cortar estas tablas, pero lo debe hacer de una misma lámina para cada repisa. De a) Cuadruplicar el largo y dejar el ancho de las tablas. b) Cuadruplicar el ancho y dejar la mitad del largo de las tablas. c) Triplicar el largo de las tablas. d) Triplicar el largo de las tablas y dejar la mitad del ancho de las tablas. 31 UNIDAD 2 1. INTERVALOS INTERVALOS Y OPERACIONES CON Supongamos que se tienen los conjuntos: Al conjunto A3 se le llama intervalo cerradoabierto, contiene todos los valores que están entre 0 y 3, contiene el 0 y no contiene el 3. Su notación es: Observemos que difieren entre sí, dado que por ejemplo en el primero se incluyen los extremos que son el 0 y el 3, y en segundo conjunto ya no se incluyen los extremos, es decir, en unos conjuntos se consideran los extremos y en otros no. Al conjunto A4 se le llama intervalo abiertocerrado, contiene todos los valores que están entre 0 y 3, no contiene el 0 y contiene el 3. Su notación es: Gráfica, nombre y notación para cada uno de los conjuntos indicados Observemos que cuando el extremo se considera geométricamente se representa por “ • ” y cuando no se considera se gráfica representa por “o”. Intervalos infinitos. Analicemos los conjuntos: Al conjunto A1 se le llama intervalo cerrado, es decir, contiene todos los números que están entre 0 y 3. También contiene los extremos, siendo estos el 0 y el 3. Su notación es: La gráfica para cada intervalo es: Al conjunto A2 se le llama intervalo abierto, contiene todos los números que están entre 0 y 3, no contiene los extremos. Su notación es: 32 Observemos que la flecha hacia la derecha indica que el intervalo tiende a infinito y la flecha hacia la izquierda indica que el intervalo tiende hacia menos infinito. 1.1. OPERACIONES CON INTERVALOS Las operaciones con las que trabajaremos son: unión, intersección y resta o diferencia. A continuación se recuerdan las definiciones de estas operaciones y para tal efecto, se utiliza la notación constructiva de conjuntos. 33 34 EJERCICIOS…… Realizar la unión, la intersección y la resta en ambos sentidos y construir las gráficas para cada pareja de intervalos que se dan: 2. INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO 2.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una desigualdad es cualquier expresión en la que se utilice alguno de los siguientes símbolos: < (menor que), > (mayor que) ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) Por ejemplo: 2<3 (dos es menor que 3) 7>π (siete es mayor que pi) x≤5 (x es menor o igual que 5) Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las de primer grado. 2.1.1. Inecuaciones equivalentes. El proceso de resolución de inecuaciones se basa (igual que en el caso de las ecuaciones) en la transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla. 35 36 EJERCICIOS….. En cada caso indica cuál de las inecuaciones, I, II, III, IV es equivalente a la dada: 1. Dada la inecuación −4 x ≤ I) − x ≥ −5 II) x ≤ −5 2. Dada la inecuación I) x ≥ − 6 9 I) x≥− −9 x ≤ 6 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: II) x ≤ − 3. Dada la inecuación 50 6 −3 x − 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: III) x ≤ 5 IV) − x ≤ −5 6 9 −6 x − 5 ≤ 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: 9 50 II) x ≤ − 6 37 2.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA 38 39 2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS En este caso, las soluciones no son conjuntos de números, sino conjuntos de parejas de números, por lo que no pueden representarse sobre una línea recta: deben representarse como subconjuntos del plano. Resolución gráfica Una solución de una inecuación de dos variables es una pareja de números (x0,y0), tales que al sustituir sus valores en las incógnitas de la inecuación, hacen que la desigualdad sea cierta. Cada pareja de números reales se puede representar como un punto del plano. Por tanto, resolver la inecuación equivale a obtener todos los puntos del plano cuyas coordenadas hacen que se verifique la desigualdad. Para ello se procede de la siguiente forma: se dibuja la recta, se elige un punto que no pertenezca a la misma y se comprueba si las coordenadas del punto cumplen la desigualdad o no, si la cumplen la zona en la que está el punto elegido es la solución de la inecuación, si no la cumplen la solución es la otra zona. 40 2.3.1. Sistemas de inecuaciones 41 EJERCICIOS…… INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 2 Resuelve la inecuación siguiente en forma gráfica: x –5x>0 INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Averigua si el punto P(-1,-2) es una solución de la inecuación -2x + 3y ≤ 1 y dibuja el semiplano solución, indicando si incluye o no a la recta -2x + 3y = 1 2.4. PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES 42 EJERCICIOS…… 1. 2. 2.5.. DEFINICIÓN Y GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO Dado un número real cualquiera, a,, se define su valor absoluto como: Este valor se conoce también como módulo de a y representa la distancia del origen de la recta real al punto que representa al número a. Si a, b ∊ ℝ y k ≥ 0 se verifican las siguientes propiedades: 43 2.5.1. Tratamiento del valor absoluto utilizando la gráfica de f(x)=|x|. El registro gráfico es muy útil para resolver ecuaciones del tipo , |x−3| = 3 si tenemos en cuenta el “efecto gráfico” de la aplicación del valor absoluto a funciones lineales. Para resolver |x−3| = 3, bastará graficar y=x-3, aplicar la reflexión con respecto del eje x de la parte negativa de la gráfica, obteniendo la gráfica de y=|x-3|, procediendo posteriormente a hallar la intersección con la recta y=3. En ejemplos como el dado quizá no queda clara la eficacia de este método. Sin embargo, debemos poner énfasis en su aplicación, aún en ecuaciones e inecuaciones sencillas, por constituir la base conceptual y procedimental para avanzar en el estudio de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto más complejas. Es aquí donde la potencia del uso del registro gráfico se pone de manifiesto al resolver ecuaciones e inecuaciones como: |||x|-1|-1|=5 ; |x+2| < 3x+4 ; |x2-3x+2| > 4x+7. ACTIVIDADES…… Actividad 1: ¿Cómo opera el valor absoluto sobre la función y=x?. Observa con detenimiento las siguientes gráficas: 44 ¿Puedes obtener alguna conclusión? El objetivo de esta actividad - claramente del tipo “mirar y ver”- indaga la capacidad de inferencia de los alumnos, a través de una secuencia en registro gráfico, sobre el “efecto” del valor absoluto sobre la gráfica de f(x)=x. Actividad 2: Utilizando lo anterior, graficar y= |x+1| Actividad 3: A partir del gráfico de la Actividad (2) determinar la solución de: a) |x-1|=0 b) |x-1|=3 c) |x-1|= -5 2.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 2.6.1. Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3. Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c. Ejemplos para discusión: 1) │3x - 4│ = 5 EJERCICIOS…… 1) │3x - 4│= 23 2) │2x + 1│ + 3 = 8 4) │x - 6│ = │5x + 8│ 2.6.2. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c ¿Qué significa │x│< 2 ? Significa que x es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica. 45 Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│<2 están entre -2 y 2. Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x < a. Ejemplos para discusión: 1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8 EJERCICIOS…… Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones: 1) │x│≤ 5 2) │x - 6│ < 15 3) │2 + 3(x – 1)│< 20 2.6.3. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c ¿Qué significa │x│> 2 ? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en el espacio provisto para que puedas visualizarlo. 46 De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a. Ejemplos para discusión: 1) │x│≥ 3 2) │x - 4│> 5 3) │2x - 3│> 5 EJERCICIOS…… Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. 1) │x│> 5 2) │x + 6│> 2 3) │-5x - 2│>13 47 PRUEBA TIPO ICFES MEDICIÓN c) Responda las preguntas 1 y 4 con la siguiente información: En una fábrica de congeladores construyen neveras como la representada presentada en el dibujo. En el manual de instrucciones de esta nevera se menciona, entre otras cosas, sus medidas y el volumen en litros por compartimiento, el cual es de 44 litros para el congelador y 176 litros para el conservador. d) 2. En el manual de instrucciones de la nevera se menciona que la proporción entre el volumen del congelador y del conservador es de 1 a 4, respectivamente. Esto significa que: a) Por cada litro de volumen del congelador hay 4 litros de volumen en el conservador. b) La diferencia entre volúmenes en litros apenas es tres veces el volumen del congelador. c) El volumen del congelador es ¼ en comparación al volumen del conservador. d) Por 4 litros de volumen en el congelador hay 1 litro de volumen en el conservador. n a los consumidores se 1. Para información grafica la distribución del volumen total de la nevera. La gráfica más adecuada sería: a) 3. La empresa decidió construir un nuevo modelo de nevera, manteniendo el volumen total de d la anterior y en el que la proporción entre el volumen del congelador y el conservador sea de 1 a 3 respectivamente. Analizando esta proporción se puede afirmar que en el nuevo modelo. a) El volumen del conservador y el del congelador aumentan respecto a la nevera inicial. b) 48 Se ha colocado x en las dimensiones de cada pieza, ya que pueden eden variar de acuerdo con las necesidades de los compradores. Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza 2, debe: a) A una pieza de dimensiones (2x+5).2x.3x quitarle un pedazo de dimensiones x.x(2x+5). b) Ensamblar 5 piezas iguales de dimensiones dimen x.x(2x+5) c) Ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de 2x.(2x+5) y otra de dimensiones x.x. (2x+5). d) Ensamblar tres piezas, dos de éstas iguales cuyas dimensiones corresponden a 2x.x y la otra de 3x.2x(2x+5) b) El volumen del congelador aumenta y el volumen del conservador disminuye, en comparación con la nevera inicial. c) El volumen del congelador representa un tercio y el del conservador representa dos tercios del volumen total. d) El volumen del congelador ngelador representa la cuarta parte y el del conservador representa las tres cuartas partes del volumen total. 4. El espacio para colocar la nevera en el apartamento de don Felipe tiene un área rectangular de 3.900 cm2. Él podría colocar allí una nevera como omo la representada en el dibujo inicial, si: a) La medida de las dos dimensiones del área rectangular es la misma (Aprox. 62 62-45). b) La medida de una de las dimensiones del rectángulo es 80 cm. c) La medida de un lado del rectángulo es 52 cm. didas de cada una de las d) Al multiplicar las medidas dimensiones del rectángulo no excede a 3.900 cm2. RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN En un club deportivo tienen 3 cubos numerados del 1 al 3, como se muestra en la figura, que se utilizan en el momento de entregar las medallas de oro, plata y bronce, a los ganadores de cada competencia. 5. Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la ornamentación como piezas de seguridad. 6. Si se gasta sta un galón de pintura para pintar el cubo 3. ¿De qué manera se puede determinar el número de galones de pintura que se necesita para pintar los cubos 1 y 2?. a) Contando el número de cuadrados de área 2 x un cara 4 que se necesita para formar una del cubo 1 y una cada del cubo 2. b) Contando el número de cubos de volumen 3 x que se necesita para formar los cubos 4 1 y 2. 49 c) Sumando los valores de t que solucionan las ecuaciones 1 x 6 4 2 = t x 6 4 2 y 1 x 6 4 2 = 9. Es posible quitar triángulos equiláteros de las esquinas del triángulo ABC, buscando que el polígono que se forma en el interior sea siempre de 6 lados, sólo si el lado de cada uno de estos triángulos: a) Es mayor o igual a 0 pero menor que la mitad de la longitud del lado del triángulo ABC. b) Es mayor que 0 pero menor o igual que la mitad de la longitud del lado del triángulo. c) Es mayor que 0 pero menor que la mitad de la longitud del lado del triángulo ABC. d) Está entre o y la mitad de la longitud del lado del triángulo ABC. t 6x 2 d) Sumando los valores de t que solucionan las ecuaciones 1 x 4 3 = t x 4 3 y 1 x 4 3 = t x2 10. Suponga que la longitud de los lados de los triángulos, en las esquinas del triángulo ABC, es exactamente la mitad de la longitud del lado de dicho triángulo, entonces, es cierto afirmar que: a) El polígono interior es congruente con cualquiera de los triángulos de las esquinas. b) El perímetro del polígono interior es la tercera parte del perímetro del triángulo ABC. c) El polígono que se forma en el interior no altera el perímetro del triángulo ABC. d) El área del polígono interior es la tercera parte del área del triángulo ABC. 7. Si se cambian los cubos 2 y 3 por cajas de base rectangular que tienen el mismo ancho y alto que los cubos 2 y 3 respectivamente, pero cada una con largo igual a la arista del cubo 1, y las numeramos 4 y 5 respectivamente, podemos decir que: a) Las cajas 4 y 5 tienen el mismo volumen, y éste es el doble del volumen del cubo 2. b) El área total de la caja 5 es tres veces el área total del cubo 3, y el área total de la caja 4 es menor que el doble del área total del cubo 2. c) El volumen de la caja 4 es el doble del volumen del cubo 2, y el volumen de la caja 5 es cuatro veces el volumen del cubo 3. d) El área total de las cajas 4 y 5 es la misma y ésta es cuatro veces el área total del cubo 3. RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 13 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN En los frascos de pintura de cierta marca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color. RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN A un triángulo equilátero de 75 cm de perímetro se le quitan tres triángulos también equiláteros de 5 cm de lado, como se muestra en la figura. 11. Un estudiante de publicidad, cuenta con 40 cm3 de pintura roja, pero para su trabajo requiere mínimo 50 cm3 de la misma. El asegura que puede mezclarla con 10 cm3 de pintura blanca siempre y cuando la tonalidad no disminuya más de un 25%. Respecto a agregar los 10 cm3 de pintura blanca, el estudiante debe tomar la decisión de: a) Agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 2,5%. b) Agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan sólo un 10% c) No agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 50%. d) No agregarlos ya que la tonalidad disminuiría un 60%. 8. El perímetro de la zona sombreada puede ser calculado así: a) A 75 cm le restamos el perímetro de cada uno de los triángulos de 5 cm de lado. b) A 75 cm le restamos el perímetro de uno de los triángulos de 5 cm de lado. c) Calculamos la medida de cada uno de los lados de la figura sombreada y luego sumamos estos valores. d) A cada lado del triángulo ABC le restamos 10 cm y luego multiplicamos ese valor por 3. 12. Un artista ha tomado cierta cantidad de pintura verde y por equivocación la ha mezclado con pintura 50 blanca, que equivale en cantidad a la tercera parte de la inicial. Ante la equivocación, el artista decide agregar la misma cantidad de pintura verde inicial para recobrar la tonalidad. El resultado que el artista obtiene luego de las mezclas indicadas no es el que él espera, porque: a) Para recobrar la tonalidad debió agregar tanta pintura verde, como la que agregó por equivocación. b) La tonalidad de la cintura disminuyó aproximadamente en 1,66%. dad debió agregar, en c) Para recobrar la tonalidad pintura verde, cinco veces la cantidad de pintura que agregó por equivocación. d) La tonalidad de la pintura disminuyó aproximadamente en 3,33%. 14. Por disposiciones generales, debe pintarse un molde tipo I de tal forma que la mitad de él sea en color blanco. Para construir un diseño ajustado lo pedido, puede recurrirse a: a) Indicar, dentro del molde, una circunferencia de radio X/4 y pintar ssu interior de blanco. b) Trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos formando un cuadrilátero. El interior del cuadrilátero será la región en blanco. c) Trazar dos pares de diámetros perpendiculares y unir sus extremos formando un octágono. El interior ior del octágono será la región en blanco. d) Indicar, dentro del molde una circunferencia de diámetro igual a la distancia entre los puntos sobre la circunferencia del modelo, determinados por dos radios perpendiculares. 13. Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de pintura verde con otra blanca. Luego de analizar cuál recipiente era el más adecuado para guardar la mezcla, ha escogido uno que tiene capacidad para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que los llenará completamente. De acuerdo con esto, el objetivo del estudiante, al realizar la mezcla era: a) Obtener pintura verde con una tonalidad 6% menor a la inicial. b) Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 60%. c) Obtener pintura verde con una tonalidad 10% menor a la inicial. d) Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 50%. 15. La persona encargada de recortar los moldes, debe cumplir con un pedido de dos moldes tipo I y tres de tipo II, pero al no saber cuál de las dos láminas disponibles debe escoger pide la opinión del ingeniero a quien le presentó las dos láminas: Una respuesta acertada por parte del ingeniero ing es: a) Dado que el área total de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles, puede escoger cualquiera de las dos. b) Aunque los dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 1 pues, por su forma, se despreciaría desprec menos material. c) Aunque las dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 2 pues, es posible superponer todos los moldes del pedido sobre ella. d) El área de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles sin embargo tendría que usar las dos para cumplir con el pedido. RESPONDA LAS PREGUNTAS 14 Y 15 DE ACUERDO CON LA SIGUEINTE INFORMACIÓN Para la señalización de las diferentes vías de transporte, se recorta de láminas de aluminio de variados tamaños y formas, dos tipos de moldes, con las siguientes características: 51 UNIDAD 3 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Relación de A en B: Dados dos conjuntos A y B, llamaremos relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB. Llamaremos relación binaria en A, a cualquier subconjunto de AxA. Propiedades de Relaciones de A en A Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el conjunto A={1,2,3,4}. 52 53 1.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES 54 1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta,multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x). Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por: Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) se deben excluir del dominio de la función cociente. 55 = 0 EJERCICIOS…… 1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x – 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas. 2) Sea: Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas. 3) Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas? 1.3.1. Composición de funciones Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por: donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por: EJERCICIOS…… Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio. Notas: 1) El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f. 2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida. 56 1.4.. CLASES DE FUNCIONES: POLINÓMICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIALES 1.4.1. Funciones polinómicas. Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, ltiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente. 1.4.2. .2. Funciones trascendentes. Una función es ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión son algebraicas, caso contrario se llaman TRASCENDENTES (trascienden el campo del álgebra). Las funciones algebraicas incluyen a las: 1.4.2.1. La función exponencial. exponencial Se llama función exponencial a la función: Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x,, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, les, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos) a>0 ⋀ a ≠1 Dada las condiciones anteriormente mencionadas, tenemos dos casos posibles: x 1. Que a>1, por ejemplo f(x)=2 , cuya gráfica es la siguiente: Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen: Función constante: f(x)= a Función lineal:: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado. Función cuadrática:: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado. 57 La característica ica de esta función es que es creciente,, corta a las ordenadas en 1 y el eje de las abscisas es asíntota a la curva. El dominio son los reales, y la imagen los reales es positivos. Con esta idea, y partiendo de la función exponencial se tiene: 2. O sea que la función logarítmica está dada por: Cuando 0<a<1, por ejemplo: Cuya gráfica es: Como o esta función es la inversa de la exponencial y la base a es también la base de la exponencial, entonces se dan los siguientes casos: Para a>1, por ejemplo: f(x)=log2 x tiene la siguiente gráfica: La función es decreciente,, corta al eje de las ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota as a la curva, el Dominio son los reales y la Imagen lo reales positivos. Observamos que la gráfica es creciente, corta a las abscisas en 1 y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado el dominio son los reales positivos y la imagen todos los reales. Si clasificamos la función exponencial observamos que bajo las condiciones planteadas ésta es biyectiva ya que es inyectiva porque para valores distintos de los reales, la función tiene imágenes distintas; y es sobreyectiva por que todos los elementos del conjunto de llegada, o sea los reales positivos, tienen preimágenes. Probemos para el caso de que 0<a<1, por ejemplo: La gráfica de esta función es: 1.4.2.2. La función logarítmica.. Como la función exponencial es biyectiva,, entonces admite inversa. Recordemos primero qué es el logaritmo de un número: Lo que significa que calcular el logaritmo en base “a” de un número “b”, es encontrar ontrar el exponente “c” a la que hay que elevar la base para obtener el argumento “b”. 4 Así por ejemplo, log3 81= 4, ya que 3 =81. 58 La función es decreciente, corta al eje de las abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota de la curva. Por otro lado, el dominio son los reales positivos y la imagen todos los reales. Esta se lee “identidad de x” O sea que si a∊A⟹i (a) a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será: A Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida la función logarítmica. 1.4.3. Funciones especiales. 1.4.3.1. Función constante. La función f:A ⟶ B se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder como imagen un único elemento “K” del codominio. O sea que: Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas. O sea: Haciendo un estudio de esta función se tiene que: - La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, y ellos son distintos. - La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen. - Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva. 1.4.3.3. La función proyección. Sea el conjunto R, sean los conjuntos A⊂R y B⊂R. Sea el producto cartesiano AxB, en donde un punto cualquiera P(a,b) pueden determinarse dos funciones llamadas proyecciones de la siguiente manera: Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida o dominio tienen siempre la misma imagen k, por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos los elementos del codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto no es sobreyectiva. Gráficamente: Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x=k, su gráfica cortará al eje de las abscisa en k y será paralela a las ordenadas.1.4.3.2. La función identidad. La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder como imagen ese mismo elemento, o sea: 59 1.4.3.4. La función canónica. Sea una relación de equivalencia “~” definida en un conjunto A, por supuesto a partir de ella se generan las clases de equivalencias y el conjunto cociente. cociente Esta función es sobreyectiva, sobreyectiva ya que todos los elementos del conjunto cociente (clases de equivalencias), tienen algún antecedente en el conjunto A, pero no es inyectiva ya que varios elementos de A tienen la misma imagen en el conjunto cociente. Se llama función canónica a aquella definida desde el conjunto to A hasta el conjunto cociente, de tal manera que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder la clase a la que pertenece. O sea: 1.5. FUNCIÓN INVERSA Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Sea f una función que asocia a un punto x de su dominio la imagen y=f(x). Supongamos que f es tal que diferentes x son transformados siempre en diferentes y. Así, cada y en el rango de f es la imagen de a lo más un valor val x. Puede asociarse con cada y en el rango de f el valor x que es su preimagen. De esta manera, se define una función g cuyo dominio es el rango de f y que al aplicarse a una imagen y=f(x), reproduce el valor original x, esto es, g(f(x))=x. g se denomina la inversa de f y se denota f-1. f 1. Esta función g se halla al despejar la x en función de y. f también es la inversa de g, de modo que también f(g(y))=y. 60 61 TEOREMA 62 1.6.. SERIES, SUCESIONES Y PROGRESIONES Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, mplo, en la importante sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no hay ninguna fórmula que exprese el término general. Una sucesión de números reales es es un conjunto ordenado de infinitos números reales a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama término de la sucesión. Consideremos la sucesión de término general an = 3n + 2; 5, 8, 11, 14, 17, 20,... Dada una sucesión { an }, se llama serie a la sucesión que forman los siguientes términos: a1, a1+ a2, a1+ a2+ a3, a1+ a2+ a3+ a4, … Observamos que cada término térmi de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión. El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de números reales. Al término: an = 3 + 2(n-1) se le llama término general. Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el 63 primero) es s igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. Son progresiones aritméticas: - En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 = 3. - En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n primeros términos de la progresión; en este caso se trata de una progresión aritmética limitada. Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2. Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3. Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 4 5a... La diferencia es d = a. EJERCICIOS…… 1- Calcular el polinómicas: dominio de las funciones 2. Calcular racionales: dominio de las funciones el 4. Determinar la función inversa de cada de las siguientes funciones 3. Calcular radicales: el dominio de las funciones 64 PRUEBA TIPO ICFES RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 4 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN b) c) Observe los siguientes dibujos. Se tomó una forma rectangular a la que se le ha ido aumentando una unidad de longitud y una unidad de área por cada lado, conservando la misma forma rectangular. d) 4. Si alguna forma rectangular en la misma posición de la inicial de dimensiones 5 x 4 se le añaden dos unidades de área de dimensiones 2 x 1, el perímetro de la nueva forma rectangular será mayor dos unidades de longitud debido a que: a) Sólo aporta al perímetro el valor de un una dimensión. b) Sólo incrementa al perímetro el largo de la figura, y cada lado aporta la mitad de este incremento. c) Incrementa el perímetro el valor del largo y ancho de la figura. d) Cada unidad de área aporta dos unidades más de longitud al perímetro. 1. La relación que se puede establecer entre las respectivas áreas al variar en una unidad las dimensiones, corresponde al siguiente arreglo numérico: a) 2 6 12 20 30 42 , , , , , ........ 6 12 20 30 42 56 b) 6 10 14 18 22 26 , , , , , ........ 10 14 18 22 26 30 c) 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72 …….. d) 6, 12, 20, 30, 48, 64, 81……… En cuatro unidades de área porque para conocer el área se multiplican largo por ancho. Agregándole al área anterior un número par en forma consecutiva. Agregándole al área anterior el doble de cada número natural en forma consecutiva. RESPONDA A LAS PREGUNTAS 5 Y 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Un estudiante de 11A recoge datos con las edades de sus 25 compañeros de curso y organiza en filas de la siguiente manera: 17 17 16 16 16 2. Al aumentar las dimensiones del rectángulo en una unidad de longitud, el perímetro de la nueva forma rectangular obtenida: a) Aumenta en cuatro unidades porque el número de lados dos de esta figura es cuatro. b) Se duplica porque cada dimensión que en todos lados con igual longitud. c) Se aumenta en dos unidades porque en cada dimensión se aumenta una unidad. d) Se aumenta en cuatro unidades porque cada uno de los lados del rectángulo adiciona adici una unidad al perímetro. 15 16 16 17 15 17 15 15 16 15 15 17 17 15 17 16 17 17 17 16 5. ¿Con cuál de las siguientes opciones se podría diferenciar la información recogida por el estudiante?: 3. Al agregar por cada lado una unidad de área, la nueva forma rectangular obtenida con respecto a la inmediatamente anterior aumenta cada vez: a) En dos unidades de área debido a que en cada dimensión aumenta una unidad de área. 65 6. El estudiante concluye que 2/5 de los estudiantes tienen 17 años, esto significa que: a) 3/5 de los estudiantes son menores de 17 años. b) Por cada fila de cinco personas hay dos estudiantes de 17 años. c) De las cinco filas por lo menos 2 son de estudiantes de 17 años. d) El 40% de los estudiantes tienen 17 años. d) No, porque la inclinación de las rectas depende solamente la altura de cada tanque. 9. Dado que a los 30 minutos cada tanque se llena. Se puede concluir que: a) La capacidad de los dos tanques es la misma. b) El área de la base de tanque uno es mayor que el área de la base de tanque dos. c) El nivel del agua es directamente proporcional al área de la base de los tanques. d) La altura del tanque dos varia frente a la altura del tanque uno. 7. Un estudiante de 11B observa que su curso guarda las mismas proporciones nes de número de estudiantes por edad. Si en 11B hay 12 alumnos cuya edad es de 17 años se puede afirmar que: a) El número de estudiantes de 11B es 25. b) El número de estudiantes menores de 16 años es 18. c) El número de estudiantes de 15 años está entre 8y10. d) El número de estudiantes de 11B es mayor que 25. 10. ¿La forma lineal de las gráficas depende solamente de la forma cilíndrica de cada tanque?: a) Sí, porque el nivel del agua crece longitudes iguales en tiempos iguales. b) No, porque también depende del flujo de agua que entra por minuto a cada tanque. c) No, porque además de la forma, también influye la medida del radio de cada tanque. d) Sí, porque en un instante de tiempo, la altura en un tanque cilíndrico es igual en cualquier punto. RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 14 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÖN RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Dos tanques de forma cilíndrica están siendo llenados de tal manera que a cada tanque entra la misma cantidad de agua minuto. Las gráficas gráfic uno y dos muestran la variación del nivel de agua de cada tanque: Cada figura se forma a partir de un cierto número de cubos, que tendrán la arista la mitad de longitud de la lista de los cubos que componen la figura anterior, como se ilustra a continuación: 11. Se puede afirmar de la superficie total de la figura tres en relación con la superficie total de la figura uno que: a) 8. ¿La inclinación de cada gráfica depende de la medida del radio de cada tanque?: a) No, porque al utilizar un tanque de radio mayor el nivel del agua crece más rápidamente. b) Sí, porque al utilizar un tanque de radio menor, el nivel de agua crece más rápidamente. c) Sí, porque la inclinación de las rectas depende también del flujo constante de agua. b) c) 66 La suma de la superficie de los 64 cubos de 1 cm de arista es 4 veces la superficie del cubo de 4 cm de arista. La superficie erficie de la figura 3 está en razón de 1 a 4 con respecto a la superficie de la figura 1. La superficie total de la figura 3 es mayor que la superficie de la figura 1 por estar compuesta por un mayor número de cubitos. d) La superficie total de las dos figuras figur es la misma, pues la arista del cubo de la figura 1 es equivalente a la suma de las aristas de 4 cubos de la figura 3. 12. A medida que va aumentando el número de cubitos en cada nueva figura, resultan cubos más pequeños; de éstos cubos podemos afirmar que: a) Sus superficies se conservan. b) Sus volúmenes van disminuyendo a medida que disminuyen sus superficies. c) La superficie de cada uno de los cubos aumenta al igual que la cantidad de cubos resultantes en cada nueva figura. d) Sus superficies disminuyen, aunque aunqu la superficie total de la figura aumenta. 15. Se puede determinar la medida de la base de cualquier triángulo n de la sucesión, teniendo en cuenta que: a) 13. El volumen en cada nueva figura: a) Aumenta, dado que se van dispersando más los cubos resultantes en cada figura. b) Crece, pues es directamente proporcional al número de cubos resultantes en cada figura. c) Se conserva erva invariante, pues si se encajan cada uno de los cubos de cada figura formando uno solo, las aristas de estos nuevos cubos quedarían de igual longitud. d) No varía, puesto que la suma de los volúmenes de los cubos que componen cada figura, siempre es constante. b) c) d) 16. Si se quiere modificar la sucesión de triángulos para que la medida de los ángulos θ1, θ2, θ3, …, sea siempre la misma, se podría: 14. En la figura 2 se puede afirmar que el número de vértices: a) Es múltiplo del número de cubos que conforman la figura. b) Es inversamente proporcional al número de cubos que conforman la figura. c) Es equivalente al número de cubos que conforman la figura a elevada al cuadrado. d) Excede en ocho el número de cubos que conforman la figura. RESPONDA LAS PREGUNTAS 15 A 17 ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN La medida de la base de cualquier triángulo de la sucesión siempre mide 1 m más que la medida de la base del primer triángulo. triángu La medida de la base del triángulo 1 es 2 m; que hay (n – 1) triángulos entre el triángulo 1 y el triángulo n y que la diferencia entre la medida de las base de dos triángulos consecutivos es 1 m. La medida de la base de cualquier triángulo n puede obtenerse enerse sumándole al número que representa su posición 1 m. Entre las medidas de los lados de cualquier triángulo n de la sucesión, la diferencia es 1 m. a) b) c) DE d) Observe la siguiente sucesión de triángulos. Los puntos suspensivos significan que la sucesión de triángulos tri continúa. No modificar la medida de la base de cada triángulo de la sucesión y hacer que todas las alturas de los triángulos miran 5 m. Modificar la medida de la altura de cada triángulo de la sucesión y hacer que todas las bases de e los triángulos miran 6 m. Por cada aumento de una unidad en la altura, duplicar la base. No modificar la medida actual de las bases de los triángulos de la sucesión y aumentar la longitud del cateto opuesto a 0n, en 1 m, para obtener triángulos rectángul rectángulos isósceles. 17. Se puede inferir que los ángulos θ1, θ2, θ3, …, de los triángulos de la sucesión NO MIDEN lo mismo porque: a) b) 67 Los triángulos de la sucesión son semejantes. Las medidas de los catetos de los triángulos son proporcionales. c) d) 18. Para ubicar la posición exacta de un equipo en el río, respecto del puesto de arranque, se requiere conocer: Los triángulos de la sucesión no cumplen con criterios de semejanza de triángulos. La razón entre las medidas de los catetos del triángulo 1 es θ y de ninguno de los otros triángulos puede obtenerse la misma razón, pues la razón entre dos números naturales consecutivos mayores res que 2 nunca es θ. RESPONDA LAS PREGUNTAS 18 Y 19 ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN a) DE b) El Campeonato Mundial de deportes de río de 1998, tuvo como sede un país latinoamericano y contó con la participación de 23 equipos de los cinco continentes. La prueba principal – canotaje - se desarrolló en el río Amarillo que corre de norte a sur. Al oriente del río se encuentra una autopista desde la cual se puede apreciar el recorrido de la competencia. La gráfica muestra el mapa de la competencia por el río Amarillo, que toma como referencia el puesto de arranque. Entre el puesto de arranque y la meta se han dispuesto tres bases. Cuando un equipo pasa por una base se registra el tiempo que ese equipo tardó en alcanzar esa base desde el inicio. c) d) 19. Se puede afirmar que toda posición en el mapa, con coordenada mayor de 600 m Oriente, se encuentra más al Oriente que todo punto que pertenece al recorrido ecorrido del río Amarillo, porque: a) La tabla muestra ra el registro de tiempo (en minutos y segundos) de siete equipos, en la base. b) c) d) Equipo Japón Suecia Rusia Canadá Argentina USA Brasil Tiempo promedio La medida del segmento de recta que une el puesto de arranque con ese punto del recorrido y el ángulo que forma ese segmento de recta respecto a la recta que representa la dirección Norte — Sur. La distancia desde cualquier punto de la recta que representa la dirección Norte — Sur , hasta ese punto del recorrido. Las coordenadas de ese punto que indican su dirección Norte te—Sur y su dirección oriente— occidente . Si ese punto del recorrido está entre la base 1 y la base 2. Base 3 23 min 40 seg 25 min 38 seg 27 min 02 seg 25 min 15 seg 26 min 38 seg 27 min 29 seg 26 min 18 seg 26 min 68 La posición que se ubica más al oriente y pertenece al recorrido del río Amarillo, es la meta. La coordenada en la dirección oriente oriente— occidente, de todo punto que pertenece al recorrido del río Amarillo, está entre los 300 30 m occidente y los 600 m oriente. Todo punto del recorrido del río Amarillo está más al oriente que el puesto de arranque. El punto más al oriente que pertenece al recorrido del río Amarillo tiene coordenadas 1500 m sur y 600 m oriente. UNIDAD 4 1. LÍMITE FUNCIONAL 1.1. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los l términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del de límite de una función cuando tiende a . Formalmente, se dice que la sucesión se denota como: tiende hasta su límite 69 , o que converge o es convergente (a ), y si y sólo si para todo valor real ε>0 >0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal,, y de manera compacta: Este límite, e, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente. 1.1.1. Límite finito de una sucesión. Una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para par cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término a k , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |a n −L| < ε. La sucesión an = 1/n tiene por límite 0. Se puede determinar a partir de qué término de la sucesión, su su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), ( por pequeño que éste sea. Como k>10 a partir del a 1 1 se cumplirá cumplir á que su distancia a 0 es menor que 0.1. Vamos a determinar a partir de qué término la distancia a 0 es menor que 0.001. 70 A part ir del a 1 0 0 1 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001. También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos: Una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno. 1.1.2. Límite infinito de una sucesión. Una sucesión a n tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que a n > M. 2 El límite de la sucesión an= n es +∞. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000. 2 a101= 101 = 10 201 Una sucesión a n tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término a k , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que a n < −N. 2 Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a n = −n es −∞. −1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ... Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 1 0 1 superará a −10 000. a101= −1012 = −10 201 71 Ejemplo: Demuestra que la sucesión 0.1. tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que A part ir de a 4 1 la distancia a 2 será menor que una decima. EJERCICIOS…… 1. Probar que la sucesión tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001). 2. Demuestra que la sucesión tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001). 3. Probar que que 0.01. . Averigua los términos cuya distancia al límite es menor 4. Demuestra que la sucesión tiene por limite +∞. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón. 2 5. Demuestra que la sucesión a n = −n tiene por limite −∞. Y calcula a partir de qué términ o la sucesión toma valores menores que -10 000. 72 2. DEFINICIÓN ANALÍTICA DE LA DERIVADA En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo. 2.1. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 2.1.1. Tasa de variación media 73 2.1.2. Tasa de variación instantánea o derivada 2.1.3. Derivadas laterales 74 2.1.4. Derivabilidad y continuidad 2.2. .2. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN OTRAS ASIGNATURAS Y CIENCIAS El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. infinitesimal El otro concepto es la «antiderivada» o integral;; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. cálculo A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la a derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde don es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología,, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico g en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como ellímite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. convexidad Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave,, por lo que es susceptible sus de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente. 75 EJERCICIOS…… 1. Las gráficas 1, 2 y 3 corresponden, en otro orden, a las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c). ¿Cuál es la derivada de cuál? Razona tu respuesta: 2. Obtén el valor de f '(3), utilizando la definición de derivada, para la función: 3. Halla la derivada de la función f (x), en x0 = - 1, utilizando la definición de derivada: 4. 5. 76 3. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL La integración es un concepto fund fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños que están bajo la curva. El cálculo integral,, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo lculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Dada una función la recta real, la integral de una variable real es igual al área de la región del plano el eje , y las líneas verticales las áreas por debajo del eje . y y un intervalo de limitada entre la gráfica de , , donde son negativas La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva:: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida,, mientras que las integrales tratadas en este artículo a son las integrales definidas.. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas. Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo cálculo,, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación,, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX,, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b]] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie,, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física,, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. electromagnetismo Los conceptos os modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue. Lebesgue 77 3.1. .1. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 3.1.1. Método de integración por sustitución El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Ejemplo #1 Suponiendo que la integral a resolver es: En la integral se reemplaza con ( ): (1) Ahora se necesita sustituir también Se tiene que Se despeja para que la integral quede sólo en función de : por tanto derivando se o obtiene y se agrega donde corresponde en (1): Simplificando: Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites límit de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo : (límite inferior) (límite superior) Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final: 78 Ejemplo #2 Suponiendo ahora que la integral a resolver es: Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: sustitución conveniente resulta ser y : , Entonces (por Teorema de la suma y la resta) por otra parte o la integral queda después de dicha sustitución: 3.1.2. Método de integración por partes El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho cho la resolución de la integral. . Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por partes, la cual dice así: 79 la "Sentado ( ) un día vi, un valiente aliente soldado ( ) vestido de uniforme" . "Un día vi un viejo sin bastón vestido estido de uniforme". "un viejo soldado (-integral) vestido de uniforme" . "Unamuno dice verdades: una verdad menos integra verdaderas dudas universales" . Eligiendo adecuadamente los valores de Para elegir la función y , puede simplificarse mplificarse mucho la resolución de la integral. se puede usar una de las siguiente siguientes reglas mnemotécnicas: 1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, ogarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, eno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S. Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES. 2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, ogarítmicas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales. xponenciales. ⇒ I L A T E. Nota: Elegimos os siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE. 3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, ogarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas rigonométricas ⇒ I L P E T Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra palabra ILPET. 3.1.3. Método de integración por cambio de variables El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalen equivalente te a la primera. Para integrales simples de una sola variable si es la variable original y es una función invertible, se tiene: 80 EJERCICIOS…… Método de integración por sustitución 1. 2. 3. Método de integración por partes 1. 2. 3. Método de integración por cambio de variables 1. 2. 3. 81 PRUEBA TIPO ICFES RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN I= Internet PB= Pago en banco PP= Punto de pago. CE= Cajero Electrónico En una ciudad se realiza un estudio para determinar cómo prefieren pagar las personas las facturas turas correspondientes a algunos servicios públicos. La siguiente tabla muestra los resultados del estudio. Servicio Forma pago Bancos p. de pago Cajero electrón internet Teléfono Agua Gas natural Luz TV cable 11% 14% 10% 15% 23% 15% 5% 25% 53% 26% 20% 63% 37% 40% 0% 55% 12% 25% 30% 21% 3. Si en el estudio se entrevistaron 300 personas, para determinar el número de personas que pagan el agua utilizando Internet se debe: a) Multiplicar 55 × 300, ya que el 55% de las personas prefieren utilizar Internet para parar el agua. b) Explicar 300 × 0,12 ya que el 12% de las personas pagan el agua utilizando Internet. c) Dividir 300 entre 15, puest puesto que el 15% de las personas utilizan Internet para pagar el agua. d) Dividir 300 entre 12, puesto que el 12% de las personas prefieren pagar el agua utilizando Internet. 1. De acuerdo con la información de la tabla, se puede afirmar que: a) La forma de pago preferida por las personas para pagar el teléfono es el cajero electrónico. b) Las personas prefieren pagar el agua utilizando Internet. c) La mayoría de las personas prefiere pagar el servicio de luz utilizando los cajeros electrónicos. d) La mayoría de personas que tienen tv cable prefieren pagarlo utilizando el cajero electrónico. 4. Se puede decir que de 300 personas, la cantidad de ellas que prefieren utilizar In Internet para pagar el agua es: a) 36 c) 15 b) 278 d) 360 5. De la expresión "ninguna persona prefiere pagar tv cable utilizando el cajero electrónico" se puede afirmar que: a) Es falsa puesto que el 20% de las personas paga el servicio utilizando el cajero electrónico. b) Es cierta puesto que 0% de las personas utilizan cajero para pagar el servicio. c) Es falsa puesto que todas las personas utilizan el cajero para pagar el servicio. d) Es cierta ya que todas las personas utilizan Internet net para pagar el servicio. 2. La gráfica que representa, cómo pagan las personas el gas natural es: a) b) PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS 6 A 10 TENGA EN CUENTA LO SIGUIENTE El diagrama de barras, el cual representa el consumo de luz de una familia durante los últimos siete meses del año c) d) 82 6. El mes en el cual se presenta el mayor consumo es: a) Noviembre. c) Junio. b) Julio. d) Diciembre. 7. El promedio del consumo de luz durante los últimos tres meses es: c) 180. a) 204. b) 157. d) 200. 8. Para determinar el porcentaje de luz que se consumió en diciembre teniendo en cuenta el e total de luz consumido en los siete meses se puede: a) Encontrar el total de luz que se consumió en los 7 meses y el resultado de dividirlo entre 180 que es el consumo de luz en diciembre y el resultado de vivirlo entre 100 para expresarlo como porcentaje. b) Dividir 1500 que es el total de luz consumido en los 7 meses entre 180 que corresponde a la cantidad de luz consumida en diciembre y el resultado multiplicarlo por 100 para escribirlo como porcentaje. c) Multiplicar 180 que corresponde a la cantidad de luz consumida nsumida en diciembre por 1500 que es el total de luz consumida en los 7 meses. d) Dividir 180 (consumo de diciembre) entre 1500 que es el total de luz que se consumió en los 7 meses y el resultado multiplicarlo por 100 para expresarlo como porcentaje. 12. La cantidad de hombres y de mujeres que trabajan en la empresa es respectivamente: a) 40 y 60. c) 40 y 40. b) 60 y 40. d) 40 y 80. 13. Para determinar la probabilidad de que al seleccionar un profesor sea escogida una mujer que trabaje en la sección de primaria se debe: a) dividir 7/20 puesto que en primaria de los 20 profesores 7 son mujeres. b) Dividir 7/80 puesto que en primaria hay 7 mujeres del total de 80 profesores del colegio. c) Dividir 20/80 puesto que de los 80 profesores del colegio 20 trabajan en primaria. d) Dividir 7/60 puesto que hay 7 profesoras en primaria y 60 profesores que no pertenecen a dicha sección. 9. El porcentaje de luz que se consumió en diciembre con respecto al total de luz consumido en los 7 meses es: a) 12%. b) 18% c) 15%. d) 22% 14. Si el Comité de admisiones en el colegio está conformado por 6 profesores sele seleccionados de las tres secciones, el número de maneras en que se puede nombrar un presidente, un vicepresidente y un secretario es: a) 210. c) 18. b) 20. d) 120. 10. De la gráfica presentada se puede afirmar que los tres meses en los cuales se presentaron los mayores consumos de luz son: a) Junio, octubre y diciembre. b) Junio, agosto y noviembre. c) Junio, agosto y septiembre. d) Diciembre, julio y octubre. 15. Si a un curso de capacitación se inscriben 16 profesores y deben conformar grupos de tres personas rsonas para elaborar un trabajo, el número de maneras en las cuales pueden organizar los profesores que están en el curso es: a) 3360. c) 560. b) 650. d) 3630. RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 15 TENIENDO EN CUENTA LA SIGUIENTE INFORMACIÓN El esquema muestra las secciones que hay un colegio y el número de profesores y profesoras que trabajan en cada sección. PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS 16 A 19 TENGA EN CUENTA LA SIGUIENTE INFORMACIÓN 11. Si se desea escoger un representante de todos los profesores (hombres y mujeres) para que los represente ante el Consejo directivo del colegio, la probabilidad de que la persona seleccio seleccionada sea hombre es: a) 1 / 2 c) 80 / 40 b) 4 / 80 d) 4 / 10 Estos son los resultados ltados de un estudio que se realizó en un colegio con el fin de determinar qué pensaban hacer los estudiantes de grado 11º una vez terminado el bachillerato. Según los resultados del estudio el 60% pensaba ingresar a la universidad, el 30% pensaba trabajar y el 10% pensaba estudiar en la Universidad y trabajar para poderse pagar sus estudios. 83 16. Si se escoge un estudiante del colegio, la probabilidad de que cuando salga del colegio se dedique solamente a trabajar es: a) 10%. c) 30%. b) 20%. d) 50%. a) b) a) 75 b) 100 c) 200 d) 225 Responde las preguntas 23, 24 y 25 de acuerdo con la siguiente información. 18. La probabilidad de que un estudiante del colegio piense únicamente en ingresar a la universidad corresponde a: a) 60% puesto que el 30% piensa trabajar y el 20% no han pensado que hacer. b) 50% puesto que el otro 50% corresponde a los que han pensado trabajar o han pensado trabajar y estudiar. c) 50% puesto que del 60% de los estudiantes que han pensado ingresar en la Universidad, el 10% también ha pensado trabajar al mismo tiempo para pagarse sus estudios. d) 20% puesto que del 30% de estudiantes que han pensado trabajar, el 10% también ha pensado en estudiar. Un banco abre sus puertas a las 9:30 a.m. y entran 14 personas. A partir de este momento cada 9 minutos sale una persona y cada 6 minutos entra una, durante todo el día. 23. A las 11:00 a.m. hay en el banco: a) b) c) d) 5 personas más que a las 9:30 a.m. 4 personas menos que a las 9:30 a.m. 5 personas menos que a las 9:30 a.m. Igual número de personas que a las 9:30 a.m. 24. ¿En qué4 momento hay en el banco 24 personas? a) b) c) d) 19. Si el colegio había en total 50 estudiantes en grado 11º, el número de estudiantes que pensaban ingresar la universidad es: a) 30 estudiantes. b) 25 estudiantes. c) 15 estudiantes. d) 10 estudiantes. A medio día Tres horas más tarde después de abrir. A las 11:30 a.m. En un mismo día no puede haber 24 personas en el banco. 25. ¿Será posible que en algún momento haya en el banco 33 personas, si se cierra a las 3:30 p.m.? a) Responde las preguntas 20, 21 y 22 de acuerdo con la siguiente información. b) En Colombia hay 2,5 millones de niños trabajadores. Se considera que en Bogotá, una cuarta parte de los niños es población económicamente activa (trabajadores) y de estos, uno de cada tres está obligado a trabajar. c) d) 20. En Colombia hay aproximadamente 40 millones de habitantes. Los niños trabajadores representan aproximadamente: c) d) c) 1.350.000 d) 1.800.000 22. De un grupo de 300 niños trabajadores que vive en Bogotá, el número de niños obligados a trabajar es de: 17. La probabilidad de que un estudiante no haya pensado que hacer al terminar el bachillerato es: a) 20%. c) 10%. b) 30%. d) 0%. a) b) 150.000 300.000 Sí, porque siempre el número de personas va aumentando. Sí, hay exactamente 33 personas en el banco antes de que entre la última. No es posible, porque el número de personas dentro del banco salta de 32 a 34. No, porque el máximo de personas en el banco es de 29. 26. ¿En cuál de las siguientes figuras se representa un ángulo de 270º? El 25% de los habitantes de Colombia. Entre el 2,5% y 4% de los habitantes de Colombia. El 6,2% de los habitantes de Colombia. Entre el 1% y 3% de los habitantes de Colombia. a) 21. Si en Bogotá hay aproximadamente 450.000 niños trabajadores, el número aproximado de niños que vive en Bogotá es: 84 b) c) a) d) b) Responde las preguntas 27, 28, 29 y 30 de acuerdo con la siguiente información. c) d) 30. ¿Cuál fue, en promedio, la producción anual de café en Colombia entre 1995 y 2000? a) b) c) d) 27. Con base en la gráfica anterior, se puede afirmar que la producción de café, a nivel nacional fue de: a) b) c) d) 350 millones de toneladas en el año 1996 750 millones de toneladas en el año 1995 1250 millones de toneladas en el año 1998 1600 millones de toneladas en el año 1999 Responde las preguntas 31, 32, 33 y 34 de acuerdo con la siguiente información: Observa la siguiente secuencia de circunferencias 28. En el año 2000 se exportó el 83% del café producido en Colombia. ¿Cuántas toneladas quedaron para abastecer de café a todo el país? a) 269 millones b) 269,5 millones 1.125 millones de toneladas 1.250 millones de toneladas 1.750 millones de toneladas 1.997,5 millones de toneladas c) 279,5 millones d) 297,5 millones 29. Si se proyecta que la producción de café aumenta al mismo ritmo que el presentado en la gráfica durante los siguientes cinco años, la producción en millones de toneladas desde el año 2000 al 2005, estará representada por la gráfica: 85 33. La expresión que representa el radio de la circunferencia de una figura n cualquiera es: b) 2r c) 1 b) c) d) a) b) d) 5r 32. Se puede observar en la secuencia, que la longitud de una circunferencia (2 r) cualquiera se incrementa con respecto a la longitud de la anterior. Dicho incremento es: a) b) 34. El radio de una circunferencia de la secuencia está dado por la expresión 10r, dicha circunferencia se encuentra en: 31. El radio de la figura 4 es: a) a) c) r d) r 86 La figura 5 La figura 9 c) La figura 19 d) La figu7ra 20 BIBLIOGRAFÍA http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_jtz.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificador http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4reate30.pdf http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/inecuaciones/impresos/quincena5.pdf http://www.uccor.edu.ar/paginas/REDUC/cerizola.pdf http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemavalor.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Funciones_matem%C3%A1ticas http://www.x.edu.uy/inet/RELACIONES_FUNCIONES.pdf http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm http://matematica.50webs.com/funcion-inversa.html http://uah-ade-matematicas-1.wikispaces.com/file/view/tema+7+sucesiones+y+series.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc1_Contenidos.html http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada http://www.alcaste.com/departamentos/matematicas/bachillerato/Segundoccss2/06_Derivabilidad/teoria06.pdf 87