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Universidad del CEMA
Métodos Cuantitativos
Prof. José P Dapena
III – VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
3.1 Variable aleatoria
Es un concepto que le adjunta propiedades probabilísticas a los resultados cuantitativos de
un experimento.
Cuando un experimento es llevado a cabo, se mide una o más variables como resultado del
experimento. Por ejemplo, cuando una persona es muestreada aleatoriamente a partir de un
grupo de personas, podemos medir diversas variables (altura, peso, edad, sexo 0 o 1, etc.).
Similarmente, si una muestra química es el resultado de un experimento, entonces, para esa
muestra, podremos medir % de varios consituyentes, temperatura. Ph, etc.). El valor de esas
variables de interés no va a ser constante de una muestra a la otra, denominandose el mismo
variable aleatoria. De aquí que variable aleatoria es el concepto de medida que adquiere un
valor numérico particular para cada muestra. Por ejemplo si muestreamos cinco personas y
medimos sus alturas, entonces la variable altura es la variable aleatoria de interés, y los
cinco valores con los que contamos son las cinco realizaciones de nuestra variable. Es muy
importantes tener un concepto claro y definido del significado de variable aleatoria para
poder comprender los conceptos de muestra en los proximos capitulos.
3.2 La Distribución de Probabilidad
El tratamiento de distribución de probabilidad varía de acuerdo a su carácter de continua o
discreta de nuestra variable aleatoria, no obstante los tratamientos tienen muchos puntos en
comun.
Hemos visto que la variable aleatoria toma diferentes valores numéricos como resultado de
pruebas. El set o conjunto de todos los posibles valores que puede tomar la variable es
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denominado el ESPACIO MUESTRAL. A continuación presentamos algunos ejemplos de
variables aleatorias y sus espacios muestrales:
Experimento
Variable aleatoria
Espacio Muestral
Se tira un dado
Valor de la cara superior
1,2,3,4,5,6.
Se tira una moneda 5 veces Cantidad de caras obtenidas 0,1,2,3,4,5.
Una persona es muestreada Altura
De 1,3 m a 2,1m
Pero podemos ir in paso adelante al describir las propiedades de la variable aleatoria,
considerando que habrá valores que poseen muchas mayores chances de ocurrir en el
espacio muestral que otros. Podemos expresar las chances a traves de la distribución de
probabilidad.
Para cada punto del espacio muestral podemos asociar una probabilidad que representa las
chances que tiene la variable aleatoria de tomar ese valor en particular. El conjunto
completo de valores del espacio muestral con sus probabilidades asociadas (que deben
sumar 1) es llamado la DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD de la variable aleatoria, y
es representada frecuentemente graficando las probabilidades en el eje de ordenadas al
origen y los valores del espacio muestral en el eje de abcisas.
Ejemplo Tirada de un dado
Valores
r
1
2
3
4
5
6
Probabilidades
pr
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Esta es conocida como la distribución uniforme (caso discreto) y puede ser representada
como
pr = 1/6
r = 1,......., 6
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Ejemplo 2 Numero de caras al lanzar una moneda cinco veces
Valores
r
0
1
2
3
4
5
Probabilidades
pr
.03
.16
.31
.31
.16
.03
Estes es un ejemplo de la distribución binomial, representada por
pr= 5Cr * (0.5)5; r= 0,....,5
La distribución de probabilidad posee una interpretación natural a través de las frecuencias;
si el experimento es repetido un gran número de veces, entonces la probabilidad de
cualquier valor en particular de la variable aleatoria es igual al límite de su frecuencia
relativa, a medida que el experiemento se hace mas grande.
Existen muchas distribuciónes de probabilidad que describen las chances de eventos de la
vida real, y forman la base de la inferencia estadística y análisis de datos. La distribución
Binomial y la Poisson son discutidas en el presente capítulo, mientras que la Normal y
otras importantes distribuciónes muestrales son tratadas posteriormente.
3.3 La Distribución Binomial
La distribución binomial se aplica a una serie de pruebas conocidas como pruebas de
Bernoulli. Estas poseen las siguientes propiedades:-
1.
Cada prueba tiene asociada dos posibles resultados, usualmente conocidos como
éxito o fracaso.
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2.
Las pruebas son independientes unas de otras.
3.
La probabilidad de éxito de cada prueba es una constante “p”.
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Noten que, usando la interpretación de frecuencia relativa de probabilidades, p puede ser
considerada como el limite de la frecuencia relativa de éxitos a medida que el número de
pruebas se hace mas grande.
Sea q = 1 – p = probabilidad de fracaso.
Ejemplo de pruebas de Bernoulli: sexo de bebes nacidos, clasificación de ítems en
defectuosos o no, votos a favor de un candidato.
De hecho, muchas situaciones se tornan pruebas de Bernoulli si estamos interesados en
clasificar los resultados en una de dos formas (Ej. La altura de una persona si es mayor a
1.70m o no)
La FUNCION DE PROBABILIDAD general para la Distribución Binomial es
pr= nCr * (p)r * (q)n-r
r= 0,....,n
donde n es el número de pruebas de Bernoulli y p es la probabilidad de exitopara cada
prueba.
pr es la probabilidad que el numero de exitos en n intentos sea igual a r.
Esta fórmula puede ser utilizada para calcular probabilidades para cualquier Distribución
Binomial. Alternativamente, existen tablas estadísticas, y funciones incorporadas en
softwares que permiten realizar el cálculo de probabilidades y probabilidades acumuladas.
Esta última representa la probabilidad que una variable sea menor o igual a un valor r. Se
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sigue que fácilmente se puede calcular la función de probabilidad a partir de la función de
distribución y viceversa, usando la relación:
Fr = po + p1 + .....pr
pr = Fr - Fr-1, donde Fr es conocida como la Función de Distribución.
Ejemplo
Un broker de seguros cree a partir de datos históricos que para un contacto efectuado, la
probabilidad de cerra una venta es .4. Se define la variable X que tome el valor 1 si la venta
se cierra y 0 de otra manera. Este es un ejemplo de una variable Bernoulli. El broker tiene
previsto realizar cinco contactos. La variable X es ahora la cantidad de éxitos que tiene el
vendedor, y la distribución de probabilidad es
Px ( x ) =
P(0éxitos ) = Px (0) =
P(1éxito) = Px (1) =
5!
(.4) x (.6)5− x
x!(5 − x )!
5!
(.4)0 (.6)5 = .078
0!5!
P(4éxitos ) = Px (4) =
5!
(.4)1 (.6) 4 = .259
1!4!
P(2éxitos ) = Px (2) =
5!
(.4)2 (.6)3 = .346
2!3!
5
5!
(.4) 4 (.6)1 = .077
4!1!
P(3éxitos) = Px (3) =
5!
(.4)3 (.6)2 = ..230
3!2!
P(5éxitos ) = Px (5) =
5!
(.4)5 (.6)0 = .010
5!0!
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3.4 La Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se aplica a puntos aleatorios en un medio continuo (como puede
ser tiempo, distancia, área, volúmen, etc.)
Estos puntos aleatorios poseen las siguientes propiedades:
1.
Cada punto tiene las mismas chances de ocurrir que cualquier punto en el medio
considerado.
2.
La posición tomada por cada punto es completamente independiente de la
ocurrencia o no de otros puntos.
La variable aleatoria r de interés en esta situación es el número de puntos en una unidad en
particular del medio objeto de analisis.
Es facil pensar en ejemplos de procesos Poisson: Roturas de maquinas en el tiempo,
particulas en una mezcla, plantas dispersas en una plantacion, etc.
La FUNCION DE PROBABILIDAD general para la distribución de Poisson es
pr= λ n * exp (-λ
λ )/ r!
r= 0, 1, 2....
donde λ es el número promedio de puntos por unidad del medio.
λ es conocido como el parámetro de Poisson. Nótese que, en teoría, no existe un límite
superior para r.
Esta fórmula puede ser utilizada para calcular probabilidades para cualquier Distribución
Binomial. Alternativamente, existen tablas estadísticas, y funciones incorporadas en
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softwares que permiten realizar el cálculo de probabilidades pr y probabilidades
acumuladas Fr.
Ejemplo
La distribución de Poisson ha sido exitósamente utilizada en Teoría de Colas (waiting line o
queuing problemes). Clientes arriban a un mostrador de recepción a una tasa promedio de
dos cada 5 minutos. Estos procesos de arribos pueden ser representados por una
distribución Poisson. Sea X el número de arribos en un período de 5 minutos, entonces X
tiene una distribución con media λ = 2 y función de probabilidad
Px ( x ) =
e −2 (2) x
x!
para x = 0, 1, 2....
3.5 La aproximacion de Poisson a la Binomial
Cuando el número de pruebas en una situación Binomial es muy grande, y el valor p es
extremo, se puede demostrar que la función de probabilidad Binomial puede ser
aproximada por la función de probabilidad de Poisson con λ= np (o nq si q es pequeño).
Como una regla “a dedo”, n tiene que ser mayor a 30 y p tan extremo tal que np (o nq) debe
ser menor que 10.
Ejemplo : una compañía de seguros tomará un gran numero de pólizas de seguros de vida
de personas de cierto grupo de edad, y la probabilidad que una póliza en particular resulte
en un reclamo durante el año es muy baja. La distribución del número de reclamos es
binomial con un gran n y pequeño p.
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3.6 La Media Poblacional
Ciertas propiedades importantes de las distribuciónes surgen si consideramos promedios
ponderados por probabilidades de variables aleatoria, y de funciones de variables aleatorias.
Consideremos por ejemplo, como podríamos determinar la media de una variable aleatoria.
Sería ilógico tomar el promedio simple de todos los valores que la variable aleatoria puede
adoptar, porque significaría que valores con pocas chances de ocurrir tendrían las mismas
probabilidades asociadas que valores con muchas chances de ocurrir. La función obvia para
usar es el PROMEDIO PONDERADO POR PROBABILIDADES de los valores del
espacio muestral.
De ahí que si x1, x2, ....., xN son los posibles valores de la variable aleatoria, con sus
probabilidades asociadas p1, p2, ....., pN, entonces el promedio de la variable aleatoria es
definido como
x1 *p1 + x2 * p2 + .....+ xN * pN,
Este promedio tiene asociados diversos nombres, los mas comunes: media poblacional,
media de la variable aleatoria, media de la distribución, valor esperado de la variable
aleatoria, expectativa de la variable aleatoria.
Es una medida de localización, en este caso de la distribución, y es generalmente denotada
por µ. Otra notación útil es
E(R ) = valor esperado de R.
Tal que E() es una forma corta de escribir “promedio ponderado por probabilidad de...”
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Si la variable R sigue una distribución Binomial con tamaño muestral n y probabilidad de
éxito p, entonces
E(R ) = 0 * qn + 1 * nqn-1p + ....+ n * pn, y puede ser demostrado que es igual a np
Si r sigue una distribución Poisson con media λ, entonces ;
E(R ) = 0*exp(-λ) + λ * exp (-λ)+ .... + r* {λr * exp (-λ)/r!} + ....., y puede ser demostrado
que es igual a λ
3.7 La Varianza Poblacional
El concepto de promedio ponderado por probabilidad puede ser extendido a funciones de la
variable aleatoria, eg si R toma los valores x1, x2, ....xN, con sus probabilidades asociadas
p1, p2, ....., pN, entonces podemos definir
E(1/R) = p1* 1/x1 + p2 * 1/x2 +.....pN * 1/xN,
E(R2) = p1* x12 + p2 * x22 +.....pN * xN2,
Un promedio muy importante asociado con la distribución es el valor esperado del
cuadrado de las desviaciones de la variable aleatoria con respecto a su media
ie.
si µ = E(R ) entonces tendremos
E{(R- µ )2} = p1* (x1 - µ )2 + p2 * (x2 - µ )2 +.....pN * (xN - µ )2,
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Esto puede ser visto como una medida de dispersión de la distribución, y es conocido como
la VARIANZA de la variable aleatoria o como la VARIANZA POBLACIONAL.
La raíz cuadrada de esta medida es conocida como la desviación estándar, siendo
representada por σ tal que la varianza es σ2
Una expresion alternativa para la Varianza es
Tenemos que
σ2 = E{(R - µ )2} =
E(R2 – 2 * R* µ + µ 2)
E(R2) – 2* µ 2 + µ 2 = E(R2) – µ 2
Esta es una expresión muy importante para la varianza, que en palabras puede ser
expresada como
“La varianza es igual a la media del cuadrado de la variable, menos el cuadrado de la
media”
o
“El valor esperado del cuadrado de la variable aleatoria es igual a la varianza mas el
cuadrado de la media”
Una interpretación útil de las propiedades de los parámetros poblacionales es pensar en
ellos como el equivalente en el límite de los correspondientes estadísticos muestrales.
Supongamos que muestreamos n valores de la variable aleatoria R, r1, r2, ....rn. Entonces a
medida que
n
∞,
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la media muestral se hace equivalente a µ y la varianza muestral se transforma en σ2.
Usando las definiciones previas, puede ser demostrado que :
la varianza de la distribución binomial es npq
la varianza de la distribución Poisson es igual a λ
3.8 Distribuciones relacionadas a la Binomial
Existen tres importantes distribuciónes relacionadas a la Binomial, siendo las mismas:
La distribución Binomial negativa
Se aplica también con pruebas de Bernoulli, pero en este caso se especifica el número de
éxitos que se requieren (tal que r es constante) y la variable aleatoria pasa a ser N, el
número de pruebas necesario para obtener r éxitos. Por ejemplo, podemos lanzar una
moneda para obtener cinco caras, en este caso el número de lanzamientos de moneda sera la
variable aleatoria.
La funcion de probabilidad para esta distribución es
n-1
Cr-1 * pr * qn-r, para n= r, r+1, r+2........
La media de esta distribuciónes r/p, mientras que su varianza es r*q/p2
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La Distribución Hipergeometrica
Se aplica tambien a la clasificación de ítems en 2 grupos, pero en este caso usamos
muestras sin reposición, aplicándose a muestras de una población pequeña o finita, y a
medida que cada muestra es tomada, la población disminuye de a 1. Por ejemplo,
supongamos que tenemos una urna con 8 bolillas rojas y 4 blancas. La probabilidad de
selecconar una bollila roja es 8/12. Seleccionamos una bolilla al azar, y es roja, y no la
depositamos nuevamente en la urna, la probabilidad que la siguiente bola sea roja es 7/11
ahora, en consecuencia las pruebas no son independientes, al verse afectada la probabilidad
del mismo evento en la segunda prueba por el resultado de la primera. En general, si
tenemos una poblacion de N elementos con R “exitos” y (N-R) “fracasos”, entonces la
probabilidad que una muestra aleatoria de n tenga r éxitos estará dada por la distribución de
probabilidad Hipergeometrica.
{RCr * N-RCn-r } / NCn
para a< r < b, donde a= max (0, n – N + R), y b = min(n, R)
la media de esta distribución es nR/N, mientras que la varianza es nr(N – r)(N-n)/N2 (N-1)
La Distribución Multinomial
Se aplica a la clasificación de items en k grupos y en este caso usamos muestreo con
reposición. También se aplica a una población infinita. Es una generalización obvia de la
Binomial desde 2 a muchas clasificaciones.
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Supongamos k grupos con probabilidades p1, p2, ....., pk, y permitamos que una muestra de
n items sea tomada. Entonces las variables aleatorias son R1, R2, Rk, representando la
cuenta de items que pertenece a cada clase.
Noten que R1 + R2 +............ Rk = n
Entonces la funcion de probabilidad para la distribución multinomial es la probabilidad que
R1 = r1 , R2 = r2... Rk = rk, que puede ser mostrada como
n! / {r1! * r2! ....* rk!} * p1 r1 * p2 r2 * pk rk
donde el rango de cada ri varia de o hasta n sujeto a r1 + r2 + ....+ rk = n
La media de ri es npi, y la varianza npiqi
Notese que las distribuciónes marginales de cada Ri es la binomial, y que la Binomial es un
caso especial donde k = 2.
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA
3.8 Introducción
En este capítulo trataremos con la teoría de distribuciónes para variables aleatorias
continuas, y particularmente dedicaremos bastante atención a una muy importante variable
aleatoria continua, llamada NORMAL, y veremos como encontrar probabilidades de
variables aleatorias que se encuentren en ciertos intervalos. Por variables aleatorias
continuas significamos variables que pueden tomar cualquier valor en un rango continuo,
en oposición a variables como la Binomial que solo puede tomar ciertos valores discretos
en un íntervalo, en ese caso los números entereos.
Muchas de las propiedades y fórmulas para variables continuas son similares a aquellas
para variables discretas que hemos visto en capítulos anteriores, pero una cosa debe ser
tenida especialmente en cuenta, que para variables continuas solamente intervalos son de
interés, y no puntos específicos. No consideraremos en ningún caso valores puntuales sino
intervalos.
3.9 La funcion de densidad probabilistica
Las propiedades estadísticas de una variable aleatoria continua X son descriptas por una
función f(x). Esto no representa probabilidad, sino que es la densidad de la probabilidad en
un punto x, mientras que probabilidad corresponde al area por debajo de la funcion f(x).
Entonces por ejemplo si queremos la probabilidad de X este entre los intervalos 3 y 5, está
dada por el área bajo la curva definida por f(x) en el intervalo 3 a 5.
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f(x)
3
Probability
5
X
En esta forma, la función de densidad nos proporcionará las probabilidades asociadas con
cualquier intervalo de interés. Nótese que no hay nunca un interés en obtener la
probabilidad para un valor puntual de una variable aleatoria continua Con la anterior
interpretación en mente, las siguientes importantes propiedades de una variable aleatoria
continua deberían ser aparentes.
1.
p(3<X<5) = area por debajo de f(x) en el intervalo (3,5)
2.
El área total bajo la curva es igual a uno (1), representando la probabilidad que X
adopte cualquier valor.
3.
La FUNCION DE DISTRIBUCIÓN, F(x) de X es la probabilidad que X sea
menor o igual que x, de manera que tenemos la relacion
X
F ( x) =
∫ f (u)du
y
f(x) = dF(x)/ dx
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Otras propiedades son análogas a las definidas para variables discretas:
4.
La media de X = E(X)
X
E ( x) = ∫ x * f ( x )dx
Donde se integra en el rango total cubierto por X
5.
La varianza de X =
X
Var ( X ) = E{( X − µ )2 } = ∫ ( x − µ )2 * f ( x)dx
y como antes, Var (X) = E(X2) - µ2
3.10 Ejemplos
La Distribución Uniforme
Supongamos que X sigue una distribución uniforme entre 0 y 10, de manera tal que es
igualmente probables que adopte cualquier valor en ese rango, y es imposible que adopte
un valor por fuera del mismo. Entonces la funcion de densidad esta dada por
f(x) = 0.1
0 < x <10
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Nótese que la integral de la funcion en el rango es igual a 1.
En consecuencia, p (3<X <5) =
5
∫ (.1)dx = .2
3
y p (X< 6)
6
∫ (.1)dx = .6
0
Claramente, para el caso de la distribución uniforme no es necesario resolver la integral
para el cálculo de las probabilidades, sino que basta con calcular el área por debajo de los
rectángulos que surgen del gráfico de la función de densidad
La Funcion de Distribución
X
F ( x ) = ∫ (.1)du = x / 10
0
para 0< x < 10
la Media
µ = E ( X ) = ∫ x (.1)dx = 5
la Varianza
5
∫ (3 exp(−3x))dx = exp(−9) − exp(−15) = .00012
3
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La Distribución Exponencial
Esta distribución surge a través de las teorías de confiabilidad y de colas. En este caso X es
una variable aleatoria positiva con función de densidad
f(x) = 3exp(-3x),
x>0
entonces p(3<x<5),
5
∫ (3 exp(−3x))dx = exp(−9) − exp(−15) = .00012
3
la Función de Distribución
X
F ( x) = ∫ 3 exp( −3u )du = 1 − exp( −3 x)
0
la Media
µ = E ( X ) = ∫ x(3 exp( −3x))dx = 1 / 3
La Varianza
σ 2 = E ( X 2 − µ 2 ) = ∫ x 2 (3 exp( −3x ))dx − 1 / 9 = 1 / 9
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La Distribución Normal
Es la distribución más importantes en teoría estadística, y constituye la base y esencia para
el entendimiento de la misma. Es en algun sentido la distribución de origen de todas las
distribuciónes muestrales que veremos mas adelante. Provee de un método para adjuntar
probabilidades a intervalos de variables de interés. Por ejemplo, podemos hacer las
siguientes afirmaciones
(a) hay un 20% de probabilidad que una persona mida entre 1.50m y 1.65m
de altura
(b) hay una chance del 5% que una persona mida mas de 1.95m
Las dos alternativas son afirmaciones probabilisticas acreca de intervalos, y la distribución
normal es la “herramienta” que usamos para determinar dichas probabilidades.
Es importante a esta altura que dediquemos tiempo a esta distribución y nos familiaricemos
con sus propiedades formales y las razones de su relevancia para situaciones reales.
Las afirmaciones (a) y (b) de arriba son afirmaciones perfectamente estadísticas hechas en
términos de todos los días. Mas formalmente, podemos querer hacer afirmaciones en la
siguiente manera
Si una persona es muestreada al azar de una población, e Y representa su altura, entonces,
(a) prob(1.5<Y<1.65) = 0.20
(b) prob(1.95<Y) = 0.05
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Será conveniente utilizar este tipo de notación al desarrollar las propiedades formales de la
distribución normal.
El significado de la Distribución Normal
En orden de obtener un “feeling” de la distribución normal, nos permitamos considerar el
ejercicio de construir un Histograma de la altura de las personas. Supongamos que
empezamos con 100 personas y construimos un Histograma usando intervalos de clase, de
manera tal que el diagrama nos de una imagen de la distribución de datos. Será un diagrama
un poco desparejo, pero útil. Supongamos que incrementamos el numero de personas a 500,
y construimos el histograma usando nuevos intervalos de clase al contar con mayores datos.
El diagrama sera más suave que el anterior, con un pico en el centro, y con cierta simetría
en su forma. La distribución normal comienza a emerger! Supongamos que repetimos el
experimento con 5.000, 50.000 y mas personas, eventualmente obtendremos una curva
acampanada suave, perfectamente simétrica.
El punto central de simetría es denominado usualmente con la letra griega µ. Es tambien
conocido como la media de la distribución o la media de la población.
El diagrama obtenido representa la distribución de la población. Es una convención el
ajustar la escala vertical de manera tal que el área bajo la curva sea igual a 1, y puede ser
facilmente mostrado que dicha area representa probabilidades. La curva posee, en efecto,
una muy conocida forma matemática que puede ser computada para calcular áreas y en
consecuencia probabilidades. Para esta etapa, es importante el apreciar que una distribución
de probabilidad puede ser considerada como el límite acentuado de un histograma básico, a
medida que el tamaño de la muestra se agranda. Elegimos la variable altura de las personas,
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debido a que es bien conocido que la misma se distribuye normalmente. No ocurriría lo
mismo si hubiesemos escogido ingresos de las personas. La misma hubises seguido otro
tipo de distribución. De todas formas, muchas variables siguen una distribución normal.
La relevancia de la Distribución Normal
La distribución normal es relevante para metodos cuantitativos por muchas razones, entre
las que se encuentran:
(a)
Surge en forma natural. Es bien conocido que poblaciones de variables que surgen
naturalmente siguen una distribución normal, peso de personas, animales, altura de
arboles, etc.
(b)
Promedios. Anteriormente fué mencionado el punto que variables muestrales tienen
distribuciónes de probabilidad. Puede ser demostrado en froma teorica y practica,
que, con un adecuado tamaño de muestra, la distribución del promedio muestral
seguira una distribución normal, sin importar la distribución de la variable original.
Este es un muy importante dato, no obstante puede parecer un poco sorprendente al
inicio. L justificacion teorica es conocida como TEOREMA DEL LIMITE
CENTRAL, y ha sido descubierto y redescubierto muchas veces y en muchos
campos ademas del estadístico. Las consecuencias de este resultado es que un
número de métodos estadísticos que utilizamos tienen la propiedad de robustez en el
hecho que no importa la distribución de la muestra realizada, estamos justificados
de usar normalidad para estadísticos que son funciones lineales de los mismos. Por
tamaño “razonable” se entiende un número de 30 o mas, no obstante muestra de
menor tamaño pueden ser normales en algunos casos. Esto dependerá de la
distribución de las variables originales. Si las variables originales poseen una
distribución normal, entonces las medias muestrales seran normalmente
distribuidas. Si no, número razonable de tamaño muestral sera necesario para
justificar el uso de la distribución normal para la media muestral.
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Error. La distribución normal es generalmente utilizada como la distribución de el
término de error en modelos estadísticos o cuantitativos standards tales como
regresiones, análisis de varianzas, series de tiempo, econometrias, etc. Este supuesto
puede y debe ser chequeado. En forma teórica pueder ser justificado hasta cierto
punto por el Teorem del Limite Central a partir de que errores pueden ser tomados
como el resultado de un efecto acumulativo de numerosos pequeños factores que no
son susceptibles de ser medidos.
Caracteristicas de la Distribución Normal.
Existe un gran número de distribuciones normales para acomodar un gran número de
variables que son normalmente distribuidas. No debemos esperar , por ejemplo, que la
variable altura de personas, tenga la misma distribución que peso de chanchos, y a pesar de
ello las dos variables siguen una distribución normal. Esto significa que las dos
distribuciónes tienen la misma forma matemática con la característica campana, pero estan
basadas en diferentes parámetros.
Dos parámetros caracterizan una distribución normal. Ellos son:
La media µ
La desviacion estándar σ
La media poblacional µ representa la media aritmética de toda la población, y esta
localizada en el punto central de la distribución. Es tambien el valor límite de la media
muestral a medida que el tamaño de la muestra se agranda.
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La desviacion estándar, σ, es un poco mas complicada. Representa la dispersión de la
distribución y es el valor límite de la desviación estándar muestral a medida que el tamaño
de la muestra se agranda.
Es tambien la raiz cuadrada positiva de la varianza poblacional.
Una interpretación simple y práctica de σ es que si uno toma un intervalo de 2σ por debajo
y arriba de la media µ (i.e. µ +/- 2σ), dicho intervalo contendra el 95% de la poblacion. Es
evidente entonces que para una población altamente concentrada σ sera pequeño mientras
que para una población dispersa σ tenderá a ser alta.
Una distribución normal en particular es definida en forma inequívoca entonces por una
afirmación como:
“La variable Y sigue una distribución normal con media X y varianza Z”, que por lo
general se abrevia de la siguiente manera:
Y ~ N (X, Z)
Notese que la media puede adoptar cualquier valor, pero que la varianza (y su desviación
estandar) deben ser positivas.
Otras propiedades dignas de mención son :
(a) la distribución es simetrica alrededor de µ
(b) µ es tambien el punto mas alto de la distribución (modo)
(c) la probabilidad total debajo de la curva es igual a 1.
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(d) No obstante en teoria la curva se extiende hasta infinito en ambas direcciones, la
probabilidad que un valor se encuentre a mas de 3σ desde el centro es
insignificante.
Propiedades matematicas
Ahora detallamos el formato matemático de la distribución normal. Es de destacar que no
es necesario saberse la fórmula de memoria desde que existen tablas con valores tabulados,
y softwares con funciones estadísticas especiales para determinar las probabilidades.
Para una variable aleatoria X distribuida como N{µ, σ), la forma funcional de la curva es
conocida como FUNCION DE DENSIDAD PROBABILISTICA e igual a:
f(x) = exp[-1/2{(x - µ ) /σ
σ}2] / σ√ (2π
π ),
-∞ < x < +∞
Para la funcion estándar, esto deviene en
f(z) = exp[-1/2{z}2] / √ (2π
π ),
-∞ < z < +∞
Las areas por debajo de las curvas representan probabilidades y, para la forma general, el
área total bajo la curva para valores menores que x es la probabilidad que una variable
aleatoria normal sea menor que x; esta es la Función de Distribución Normal y es igual a la
integral de la funcion de densidad desde -∞ hasta x.
La funcion de densidad juega un rol similar a aquel de función de probabilidad para
variables aleatorias discretas; la media poblacional y la varianza son definidas como
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µ = E ( x) = ∫ xf ( x )dx
X
σ 2 = Var ( X ) = E{( X − µ )2 } = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x)dx = E ( x 2 ) − µ 2
utilizando f(x) de acuerdo a su correspondiente forma, para la distribución normal estándar
los valores de estos parametros son 0 y 1 respectivamente.
Las tablas de la distribución Normal
Ahora discutiremos la determinación de probabilidades normales usando tablas estadisticas
estándar; esta tecnica es redundante desde que existen software que realizan los calculos en
forma inmediata, no obstante es necesario contar con un cabal conocimiento de cómo se
originan los resultados.
La tabla de estadisticas estándar proporciona probabilidades para una distribución normal
particular, conocida como la normal estándar. Es una distribución normal con media 0 y
varianza 1.
Z ~ N(0, 1)
Nos permitamos realizar afirmaciones probabilísticas sobre una variable que es conocida
por seguir una distribución normal estándar. Supongamos que queremos determinar las
siguientes probabilidades
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(a)
que Z es mayor que 2.4
i.e. p( z > 2.4)
(b)
que Z yace entre –1.24 y 1.86
i.e. p( -1.24< z < 1.86)
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Demostraremos el uso de las tablas normales a través de estos ejemplos. Existen una pocas
propiedades básicas de la distribución estándar normal que nos permiten determinar
probabilidades para cualquier intervalo de Z.
Estas son:
La distribución es simetrica alrededor de cero.
La probabilidad total (area) debajo de la curva es igual a 1
El área debajo de la curva representa probabilidad.
La tabla Normal esta dada por el Listado de tablas Estadisticas, y expresa la Función de
Distribución Normal, i.e. las probabilidades (areas) a la izquierda de los puntos dados.
Ahora con las propiedades detalladas se puede calcular facilmente los valores buscados.
La Distribución Normal General
Las tablas de distribución normal estandar pueden ser utilizadas para calcular
probabilidades de valores pertenecientes a cualquier distribución normal.
Supongamos que estamos interesados en unas variable X que se dustribuye normalmente
con media µ y varianza σ2, siendo ambos valores conocidos.
Entonces puede ser demostrado que si reducimos µ de X y lo dividimos por σ, la variable
resultante sigue una distribución normal estandar,
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i.e. . Z = (X - µ) /σ), o bien X = µ + Zσ.
En lo que sigue nos referiremos a esto como la estandarización de la variable, a los efectos
de encontrar valores de probabilidades.
Supongamos que X se distribuye en froma norma con media 5 y varianza 4,
i.e.
X ~ N(5,4), y queremos determinar p(5.8 < X < 7.0)
Ahora decir que X yace entre 5.8 y 7.0 es lo mismo que decir que (X – 5)/2 yace entre (5.8
– 5)/2 y (7.0 – 5)/2 (donde hemos realizado una standarizacion de la variable)
Entonces p(5.8<X<7.0) = p{(2.8-5)/2 < Z < (7 – 5)/2}, o sea
= p (0.4 < Z < 1)
y utilizando la tabla de norma estándar como lo hicimos anteriormente, tenemos que:
p(5.8 < X < 7.0) = 0.1859
Otros Aspectos de la Distribución Normal
Generalmente prestamos atención a funciones lineales (e.g. sumas) de variables distribuidas
normalmente. Los siguientes resultados básicos son útiles cuando tratamos con estas:
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(a) Si X1 y X2 son variables aleatorias normales e independientes tal que
X1 ~ N (µ
µ 1,σ
σ12), y
X2 ~ N (µ
µ 2,σ
σ22),
Entonces X1 + X2 se distribuira normalmente con media µ1 + µ2 y varianza σ12 + σ22,
Similarmente, X1 - X2 se distribuira normalmente con media µ1 - µ2 y varianza σ12 + σ22.
(b) Una combinacion lineal de una variable aleatoria normalmente distribuida seguira una
distribución normal:
X
~ N (µ,σ2), siendo a y b constantes, entonces
A + bX sigue una distribución normal con media a + bµ y varianza b2σ2
Aun cuando se presente un caso en que la distribución de origen no es normal, una
combinacion lineal puede resultar en una variable que sigue una distribución normal.
En algunos casos donde la distribución esta sesgada hacia la derecha y es difinitivamente
no normal, la transformación Y = ln X donde ln es el logartimo natural (en base e) resulta
en una variable Y que sigue una distribución normal (se dice entonces que X sigue una
distribución lognormal).
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