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BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.1
ÚTILES DE
DIBUJO
PLANTILLAS RECTAS
ENUNCIADO
PLANTILLAS RECTAS.
Son unas reglas auxiliares del
dibujo que se utilizan para el trazado
de rectas paralelas y perpendiculares
y para el trazado de algunos ángulos.
Con ayuda de la escuadra y el
cartabón trazar rectas PARALELAS
a una dada.
Son dos: la ESCUADRA y el
CARTABÓN. Sus características
principales son:
LA ESCUADRA.
Se trata de un triángulo rectángulo
e isósceles.
90º
45º
DATOS
PASO 1
Se dibuja la recta s empleando para ello la
hipotenusa de la escuadra.
Sin mover la escuadra se apoya uno de los lados
del cartabón, preferentemente la hipotenusa, sobre
uno de los catetos libres de la escuadra.
45º
s
s
EL CARTABÓN.
Es un triángulo rectángulo.
30º
90º
60º
CARACTERÍSTICAS CONJUNTAS.
- No deben tener ningún tipo de
graduación.
- Los cantos deben ser rectos, sin
chaflan ni rebajes.
PASO 2
PASO 3
Considerando el cartabón como plantilla fija, se
desliza la escuadra sobre el cartabón la distancia
requerida.
SI
Se dibuja la recta s1 que es paralela a la recta s.
s
s
s1
NO
NO
- El juego está compuesto por una
escuadra con una hipotenusa de
longitud igual a la del cateto mayor del
cartabón
PASO 4
RESULTADO
Se repite la operación de deslizamiento de la
escuadra y dibujo de la línea tantas veces como
sea necesario.
Idéntica longitud
s
s
s1
s1
s2
s2
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1.1
BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.1
ÚTILES DE
DIBUJO
DISTINTOS POSICONAMIENTOS DE
LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN
Líneas horizontales
Líneas inclinadas a 45º
Líneas verticales
Líneas inclinadas a 45º
PLANTILLAS RECTAS
ENUNCIADO
Con ayuda de la escuadra y el
cartabón trazar rectas
PERPENDICULARES a una recta
dada.
DATOS
PASO 1
Se dibuja la recta s empleando para ello la
hipotenusa de la escuadra.
Sin mover la escuadra se apoya uno de los lados
del cartabón, preferentemente la hipotenusa, sobre
uno de los catetos libres de la escuadra.
s
s
Líneas horizontales
Líneas verticales
Líneas inclinadas a 45º en
ambos sentidos
PASO 2
PASO 3
Considerando el cartabón como plantilla fija, se gira
la escuadra sobre el cartabón apoyando sobre él
el cateto libre de la escuadra.
Se dibuja la recta s1 que es perpendicular a la recta
s.
s1
s
s
Líneas inclinadas a 30º
Líneas verticales
PASO 4
RESULTADO
Se desliza la escuadra sobre el cartabón, plantilla
fija, y se dibujan las rectas s2, s3,..., a la distancia
deseada.
Líneas inclinadas a 60º
Líneas verticales
s1
s1
s2
s2
s3
s
s3
s
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BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.1
ÚTILES DE
DIBUJO
REDES MODULARES.
Las redes modulares se definen
como la estructura o soporte básico
que permite ordenar las formas y
organizar el espacio.
PLANTILLAS RECTAS
ENUNCIADO
Construir una malla regular
cuadrada.
Las redes modulares que
organizan el espacio bidimensional por
medio de líneas paralelas equidistantes
se llaman MALLAS.
MALLAS REGULARES.
Son aquellas en las que la unidad
elemental que se repite, llamada
módulo, es un polígono regular.
De entre los distintos tipos de
mallas regulares, destacaremos:
DATOS
PASO 1
Se dibuja la recta s empleando para ello la
hipotenusa de la escuadra.
Sobre la recta s se marcan con el doble decímetro
(o compás) la separación establecida para cada
módulo (cuadrado) de la retícula.
MALLA ORTOGONAL, constituida
por líneas verticales y horizontales que
configuran el cuadrado como módulo.
O su variante, girada a 45°
s
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
s
5
PASO 2
PASO 3
Colocando el juego de plantillas en su posición
básica, se realiza una diagonal a 45°desde el último
punto marcado.
Girando la escuadra se realizan las verticales por
las marcas.
0
1
2
3
4
s
MALLA ISOMÉTRICA, constituida
por líneas que forman 60º y 120º con
la horizontal y configuran el triángulo
equilátero como módulo.
PASO 4
Volviendo a la posición básica, se dibujan las
horizontales por los puntos donde la diagonal corta
las líneas verticales.
RESULTADO
Se consigue una malla regular cuadrada.
O su variante, girada a 90°
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1.3
BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.1
ÚTILES DE
DIBUJO
REDES MODULARES.
ENUNCIADO
Construir una malla regular
isométrica.
DATOS
PASO 1
Se dibuja la recta s, y por el procedimiento conocido
se realiza una perpendicular cualquiera, que
posteriormente es marcada con el doble decímetro.
Se realizan las horizontales, con la posición básica
de las plantillas, por las marcas efectuadas.
5
Con las redes modulares
podemos obtener infinidad de
diseños geométricos.
PLANTILLAS RECTAS
s
0
1
2
3
4
s
PASO 2
PASO 3
Considerando la escuadra como plantilla fija, con
el cartabón dibujamos una línea inclinada a 60°
ubicada donde queramos.
Manteniendo la anterior posición de la escuadra,
giramos el cartabón y dibujamos las inclinadas a
120° por donde la anterior corta a las horizontales.
PASO 4
Volviendo a girar el cartabón, se completan las
líneas inclinadas a 60°.
RESULTADO
Se obtiene una malla isométrica. Para obtener la
malla girada 90°, basta empezar el procedimiento
dibujando líneas verticales y variar el cartabón.
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BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.2
ÚTILES DE
DIBUJO
EL COMPÁS
ENUNCIADO
EL COMPÁS
Es el instrumento imprescindible
para el trazado de arcos de
circunferencias, amén del transporte
de segmentos y de ángulos.
b
s=a+b
El compás de Dibujo Técnico debe
reunir las siguientes cualidades:
• Robusta construcción en acero.
• Los brazos deben estar unidos por
un tornillo sinfín con sistema de
bloqueo.
• Ambos brazos deben de ser
articulados.
a
Adición y sustracción de segmentos
r=a-b
DATOS
PASO 1
Los dos segmentos a y b que vamos a sumar o
restar.
Se dibuja una linea base, marcándose un punto de
origen O.
a
b
O
PASO 2 (suma)
El tornillo sinfín, unido a una
rueda, permite la aproximación exacta
de los brazos del compás.
RESULTADO (suma)
Medimos con el compás la magnitud del segmento
a y lo trasladamos a partir del punto O. Seguidamente
hacemos lo mismo con el segmento b.
a
Obtendremos otro segmento s, suma de los
segmentos a y b.
b
r=a
r=b
O
s=a+b
La articulación de los brazos
permite colocar las puntas siempre
perpendiculares al papel.
PASO 2 (resta)
RESULTADO (resta)
Trasladado el segmento mayor b a partir del punto
O, en sentido contrario hacemos lo mismo con el
segmento a.
Obtendremos otro segmento r, resta de los
segmentos a y b.
a
b
El afilado de la punta de la mina
de grafito debe realizarse en bisel
mediante una lija.
O
r=b
LIJA
r=a-b
r=a
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1.5
BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.3
ÚTILES DE
DIBUJO
ENUNCIADO
EL DOBLE DECÍMETRO
20
19
15 16 17
13 14
6
12
Construcción del triángulo universal
de escalas.
8
9
10
11
12
DATOS
Y una horizontal hacia la derecha.
5
7
6
7
13 14
2
18
1
19
0
3
4
5
15 16 17
20
EL ESCALÍMETRO
Es una regla graduada que
contiene distintas escalas métricas.
Generalmente tiene forma de prisma
triangular, con lo que permite ubicar
seis escalas distintas.
0
1
2
3
4
2
0
1
9
1
8
1
7
5
6
7
8
9
1
PASO 1
Trazamos una recta vertical.
4
3
11
2
10
1
9
0
18
Es una regla graduada en 20
centímetros (2 decímetros), de ahí su
denominación, que utilizaremos
exclusivamente para medir.
Deber ser de buen material plástico
transparente y tiene una asidero en su
parte central.
8
ÚTILES DE MEDIDA
0
1
1
1
2
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
9
1
3
8
1
4
7
1
5
6
1
6
5
1
7
4
1
8
3
1
9
2
2
PASO 2
PASO 3
Medimos con el doble decímetro 10 cm. en la
horizontal a partir de la intersección con la vertical
la cual, tambien se divide en 10 centímetros.
Desde la división 0 la vertical trazamos un haz de
rectas que pasen por la graduación horizontal.
0
0
1
2
1
2
3
4
3
4
5
6
5
6
7
8
7
8
9
10
9
10
0
1
0
ESCALA
Es la proporción que existe entre
las medias del dibujo y las medidas
reales de lo dibujado.
medidas del dibujo
Escala =
medidas de la realidad
Las escalas pueden ser de
ampliación o de reducción.Si el dibujo
tiene la misma medida que la realidad
se denomina escala natural.
A
Escala natural = 1 : 1
A
Escalas de reducción
Por ejemplo E = 1 : 2
A
Escalas de ampliación
Por ejemplo E = 2 : 1
11
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PASO 4
RESULTADO
Trazamos paralelas por todas las divisiones de la
recta vertical.
Estas paralelas van dando escalas de reducción
por encima de la base (escala natural E = 1:1) y de
ampliación por debajo.
0
1
2
1
2
3
4
3
4
5
6
5
6
7
8
7
8
9
10
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
E 1:10
E 2:10 = 1:5
E 3:10
E 4:10 = 2:5
E 5:10 = 1:2
E 6:10 = 3:5
E 7:10
E 8:10 = 4:5
E 9:10
E 1:1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E 11:10
E 12:10
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BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.3
ÚTILES DE
DIBUJO
ÚTILES DE MEDIDA
ENUNCIADO
EL TRANSPORTADOR DE
ÁNGULOS
Es un instrumento de medida, que
como su nombre indica, sirve para
medir, generar y transportar ángulos.
Con ayuda de la escuadra y el
cartabón trazar los ángulos de 75°,
105°, 120°, 135°, 150° y 210°.
Generalmente es un semicírculo
de material plástico transparente
graduado en 180° sexagesimales.
60
70
80
90
100
110
12
0
50
Ángulo 75°
13
0
14
0
40
Ángulo 105°
75° = 30° + 45°
105° = 60° + 45°
0
30
15
10
170
0
20
160
180
Para medir un ángulo ya
construido hay que hacer coincidir el
centro del semicírculo con el vértice
de dicho ángulo, y ajustar el cero con
uno de los lados, leyendo la medida
en el otro lado del ángulo
75°
105°
72°
20
30
40
50
60
70
Ángulo 120°
80
120° = 180° - 60°
90
Ángulo 135°
135° = 180° - 45°
0
10
0
10
110
120
130
140
150
160
17
0
0
18
Para las construcciones habituales
de geometría, y concretamente las
realizadas en este manual, no es
estrictamente necesario el uso del
transportador, puesto que con el auxilio
del compás y de las plantillas rectas
podemos construir los ángulos
normalmente utilizados, como vemos
en esta ficha con respecto a la
escuadra y el cartabón, y más adelante
mostraremos con el compás.
135°
120°
Ángulo 150°
150° = 180° - 30°
Ángulo 210°
210° = 180° + 30°
210°
150°
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1.7
BLOQUE TEMÁTICO 1
UNIDAD DIDÁCTICA 1.4
ÚTILES DE
DIBUJO
PAPEL
Es el soporte del dibujo y debe
reunir, entre otras, las siguientes
cualidades:
OTROS ÚTILES DE DIBUJO
ENUNCIADO
Dibujar un cuadrado conocido el
lado.
1. Superficie lisa, algo satinada y con
un gramaje suficiente para que le dé
la necesaria rigidez.
2. Inalterable a la luz.
3. Debe soportar la humedad
ambiental sin alterarse y permitir su
plegado sin que se produzcan grietas.
4. Adecuado para la técnica a utilizar:
lápiz tinta china, rotuladores, etc.
DATOS
PASO 1
Sobre una recta S, mido con el doble decímetro la
longitud AB del lado del cuadrado.
Con ayuda de la escuadra y el cartabón trazamos
por el extremo A una recta perpendicular a S.
LÁPIZ O PORTAMINAS
Tanto en un caso como en el otro,
lo esencial es la calidad y grado de
dureza de la barra de grafito que
encierran.
La mayor o menor dureza de una
mina se traduce en un trazo más fino
y gris o más grueso y negro.
Un lápiz o portaminas 2H y otro
2B nos serán, como mínimo
imprescincibles, para dibujar.
A
Imprescindibles para el dibujo a
lápiz. No es necesario si se opta por
portaminas de "mina fina".
s
B
La complejidad de ciertos
problemas hace aconsejable el empleo
de minas de color que nos ayuden y
clarifiquen las construcciones.
SACAPUNTAS O AFILAMINAS
B
0
1
2
3
4
A
5
s
PASO 2
PASO 3
Con centro en el extremo A y radio igual a AB
trazamos un arco de circunferencia que corta a la
perpendicular anterior en D.
Con ayuda de la escuadra y el cartabón trazamos
por el extremo B una recta perpendicular a S.
D
D
GOMA DE BORRAR
Las que se utilizan para borrar el
lápiz deben de ser blandas y no
engrasar el papal.
PLANTILLAS
Además de las ya conocidas,
escuadra y cartabón, podemos
destacar:
1. Plantillas de curvas para el trazado
por puntos. Reciben el nombre de
Burmester.
B
A
B
s
A
s
2. Plantillas de rotulación
PASO 4
RESULTADO
Con centro en el extremo B y radio igual a BA
trazamos un arco de circunferencia que corta a la
perpendicular anterior en C.
Uniendo el punto C con el D, dibujaremos el cuarto
lado del cuadrado pedido.
3. Plantillas de símbolos
ESTILÓGRAFOS
Para el acabado de los dibujos a
tinta.
D
C
B
A
s
D
C
A
B
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.1
GEOMETRÍA MÉTRICA
GEOMETRÍA EUCLIDIANA
La geometría Euclidiana se
fundamenta en axiomas o verdades
tan evidentes que no precisan de
demostración.
AXIOMAS FUNDAMENTALES
ENUNCIADO
Trazar por un punto P y con ayuda
del compás una recta S paralela a
otra conocida R.
S
R
AXIOMAS DE EXISTENCIA
1. Reconocemos la existencia de
infinitos entes llamados puntos, a cuyo
conjunto denominaremos espacio.
2. Los puntos del espacio se
consideran agrupados en ciertos
conjuntos parciales de infinitos puntos
llamados planos y los de cada plano
en otros conjuntos parciales de infinitos
puntos llamados rectas.
DATOS
PASO 1
La recta R y el punto P.
Con centro en un punto de la recta trazamos una
circunferencia que pase por P y corta a la recta en
A y B.
AXIOMAS DE ENLACE
1. Dos puntos distintos determinan
una recta a la que pertenecen.
2. Un plano está determinado
unívocamente por tres puntos no
alineados. Cuando dos puntos de una
recta pertenecen a un plano, todos los
puntos de la recta pertenecen a ese
plano.
P
P
3. Cuando un punto pertenece a
dos planos, existe otro punto distinto
del anterior que también es común a
ambos planos.
R
A
B
R
AXIOMAS DE ORDENACIÓN
1. De tres puntos distintos de una
misma recta, sólo uno de ellos está
situado entre los otros dos.
2. Dados dos puntos A y B, se
define como segmento AB al conjuntos
de los puntos A y B, llamados
extremos, y todos los de la recta que
contiene a A y B que están situados
entre ambos extremos.
PASO 2
3. Cuando una recta R, que
pertenece al plano determinado por
tres puntos A, B y C distintos y no
situados en dicha recta, contiene un
punto del segmento AB, también
contiene otro punto del segmento AC
o del BC.
AXIOMAS DE IGUALDAD O
CONGRUENCIA
1. Por un punto exterior a una recta
se puede trazar una y sólo una recta
paralela a a quella. (Postulado de
Euclides)
Con el mismo radio y centro en el extremo A,
trazamos un arco de circunferencia.
P
A
P
B
1. Dos figuras se llaman iguales o
congruentes cuando entre sus puntos
homólogos se puede establecer una
correspondencia biunívoca de
segmentos iguales determinados por
los pares de puntos homólogos a cada
una de ellas.
AXIOMAS DE PARALELISMO
PASO 3
Con centro en el extremo B se traza un arco de
radio igual PB.
R
A
B
PASO 4
R
RESULTADO
Este arco corta en P' a la circunferencia trazada en
primer lugar.
La recta PP' es la paralela buscada.
DEFINICIONES FUNDAMENTALES
Semirrecta es la porción de recta
comprendida entre un punto fijo,
llamado vértice, y un punto impropio
de la recta.
Segmento es la parte de recta
comprendida entre dos puntos.
P'
A
Una recta contenida en un plano
divide a éste en dos porciones o
semiplanos. A la recta se la denomina
borde, origen o contorno del semiplano.
P'
P
B
R
A
P
S
B
R
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1.1
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.1
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA MEDIATRIZ
ENUNCIADO
LUGAR GEOMÉTRICO
CONCEPTO
Se define lugar geométrico como
el conjunto de puntos que tienen una
misma propiedad.
Dibujar la mediatriz de un segmento
AB.
B
A
EJEMPLOS
La circunferencia es el "lugar
geométrico" de los puntos que
equidistan de otro llamado centro.
ci
a
DATOS
PASO 1
=
di
st
an
Se dibuja el segmento AB de longitud conocida.
Con centro en el extremo A y radio r cualquiera,
mayor que la mitad AB/2 del segmento, se traza un
arco de circunferencia.
r
Una recta r paralela a otra recta
s se puede definir como el "lugar
geométrico" de los puntos que
equidistan de la recta s.
B
A
B
A
r
Idéntica distancia
s
Otros lugares geométricos, objeto
de un estudio más extenso en estos
apuntes, son: la mediatriz, la bisectriz
y el arco capaz
LA MEDIATRIZ.
La mediatriz de un segmento AB
es la recta perpendicular en el punto
medio M del segmento
PASO 2
PASO 3
Con centro en el extremo B del segmento se traza
otro arco de radio igual al anterior.
Los dos arcos trazados se cortan en los puntos I y
J.
I
r
r
M
A
90º
B
B
A
B
A
La mediatriz de un segmento se
puede definir como el lugar geométrico
de los puntos que equidistan de los
extremos del segmento.
J
C
s
di
an
ci
=
a
r
r
=
di
ia
nc
st
ta
PASO 4
A
RESULTADO
Uniendo los puntos I y J, obtendremos la mediatriz
del segmento.
El punto M es el punto medio del segmento.
B
La mediatriz es, también, el lugar
geométrico de los centros de las
circunferencias que pasan por dos
puntos dados A y B.
I
r
r
B
A
A
M
B
O3
A
O2
O1
B
J
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.1
GEOMETRÍA MÉTRICA
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES
ENUNCIADO
SEMEJANZA.
Dos figuras se dice que son
semejantes cuando sus ángulos
homólogos son iguales y sus lados
homólogos proporcionales a cierta
razón que se denomina de semejanza.
Estas dos figuras son semejantes
porque se dan las dos condiciones:
igualdad de ángulos y proporcionalidad
de segmentos.
Estas dos figuras no son
semejantes porque si bien se dá la
igualdad de ángulos, los segmentos
"altura de puerta" tienen una razón de
proporcionalidad diferente a la de los
demás.
Dividir un segmento AB en 5 partes
iguales.
DATOS
PASO 1
Se dibuja el segmento AB de longitud conocida.
Construimos el triángulo de Tales haciendo que
a' = b' = c' = d' = ....
A
Por uno de los extremos del segmento se traza una
recta cualquiera.
B
A
B
EL TRIÁNGULO DE TALES.
Consideremos dos rectas r y s
concurrentes en V que son cortadas
por un haz de rectas paralelas: t, u, v,
....
t
u
v
d'
3'
b'
1'
a'
a
1
V
4'
r
PASO 2
PASO 3
Sobre la recta trazada, con ayuda del compás y
radio arbitrario, se toman tantas divisiones iguales
como en partes hay que dividir el segmento.
Se une la última división 5' con el extremo libre del
segmento AB.
2' c'
b
r
c
2
d
3
4
El ángulo V es común para todos
los triángulos y los ángulos 1, 2, 3, ...
tienen los lados paralelos, (Son
correspondientes).
Ahora bien, en toda proporción, la
diferencia entre los antecedentes
(numeradores) partido por la de los
consecuentes (denominadores) es
igual a la razón de semejanza:
V1' V2'-V1'
V1 V2 -V1
a' b'
a b
V2' V3'-V2'
V2 V3 -V2
a' c'
a c
r
r
r
A
B
b'
b
c'
c
d'
d
A partir de esta relación de
proporcionalidad deduciremos las
construcciones de las láminas
siguientes.
V
A
L
È
N
C
I
A
3'
1'
B
RESULTADO
El segmento queda dividido en 5 partes iguales.
5'
4'
3'
2'
1'
A
1
2
3
4
Institut de Formació Professional
MISERICÒRDIA
A
5'
4'
2'
PASO 4
Para obtener los puntos 1, 2, 3 y 4 sobre el segmento
AB, bastará trazar rectas paralelas a B5' por los
puntos 4', 3', 2' y 1'.
O lo que es igual:
a'
a
r
r
Escribiendo la razón de
semejanza:
a'
a
r
r
s
Los triángulos 1'V1, 2'V2, 3'V3,....
son semejantes porque tienen los
ángulos iguales. En efecto:
V1' V2' V3' V4'
V1 V2 V3 V4
r
r
B
A
1
2
3
4
B
Página
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1.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.1
GEOMETRÍA MÉTRICA
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
CUARTO PROPORCIONAL
ENUNCIADO
SEGMENTO CUARTO
PROPORCIONAL
Dados tres segmentos, a, b y c,
se dice que el segmento x es su cuarto
proporcional cuando entre los cuatro
se establece la siguiente relación de
semejanza:
Hallar el segmentox, cuarto
proporcional de otros tres dados: a,
b y c.
a/b = c/x
CONSTRUCCIÓN
En el Triángulo de Tales hemos
visto la relación de proporcionalidad
existente entre los segmentos
determinados por las rectas paralelas
que cortan los lados de un ángulo
cualquiera.
a
b
DATOS
A partir de un punto A, trazamos dos rectas r y s
cualquiera. A partir del vértice trasladamos el
segmento b sobre la recta r.
a
s
b
c
c
x
PASO 1
Los segmentos a, b y c.
c
a
b
x
Para dibujar el segmento x, cuarto
proporcional de los otros tres, bastará
dibujar el triángulo de Tales con las
dimensiones adecuadas.
Según posicionemos los
segmentos en el triángulo,
obtendremos diferentes soluciones en
función de cual de los cuatro
segmentos sea el incógnita.
En sentido estricto, la única
solución válida es aquella en la que el
segmento incógnita es el cuarto y los
tres dados se disponen en el orden
del enunciado.
A
PASO 2
a
b
a
c
c
c
x
a
b
x
d
a
A
¿2º segmento?
a
x
c
PASO 4
RESULTADO
Se traza una paralela a esta recta por el extremo
libre del segmento c. En su intersección con la recta
r, define el segmento buscado.
El segmento x es el segmento cuarto proporcional
de los dados.
c
d
s
s
x
a
b
c
c
x
c
¿1er segmento?
b
x
b
d
c
r
b
A
x
a
r
b
¿3er segmento?
b
d
s
a
a
d
Mediante una recta se unen los extremos no
comunes de los segmentos a y b.
s
x
b
PASO 3
Sobre la otra recta s y a partir del vértice A,
trasladamos consecutivamente los otros dos
segmentos: a yc.
¿4º segmento?
c
r
b
c
d
a
x
a
b
A
x
r
b
r
Institut de Formació Professional
Página
1.4
x
A
© JAVIER FONT GISBERT - JOSÉ VTE. GÓMEZ HERRÁIZ
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MISERICÒRDIA
V
A
L
È
N
C
I
A
BOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.1
GEOMETRÍA MÉTRICA
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
TERCERA PROPORCIONAL
ENUNCIADO
SEGMENTO TERCERA
PROPORCIONAL.
Hallar el segmento x, tercera
proporcional de otros dos dados: a
y b.
Dados dos segmentos, a y b, se dice
que el segmento x es su tercera
proporcional cuando entre los tres
segmentos se establece la siguiente
relación de semejanza:
a/b = b/x
CONSTRUCCIÓN.
En el Triángulo de Tales hemos visto
la relación de proporcionalidad
existente entre los segmentos
determinados por las rectas paralelas
que cortan los lados de un ángulo
cualquiera.
DATOS
PASO 1
A partir de un punto A, trazamos dos rectas r y s
cualquiera. A partir del vértice trasladamos los
segmentos a y b sobre la recta r.
a
a
b
s
b
b
b
x
a
x
b
Para dibujar el segmento x, tercera
proporcional de los otros dos, bastará
dibujar el triángulo de Tales con las
dimensiones adecuadas.
Según posicionemos los segmentos
en el triángulo, obtendremos dos
soluciones diferentes:
a
b
a
PASO 2
PASO 3
Sobre la otra recta s y a partir del vértice A,
trasladamos el segmento b.
Mediante una recta se unen los extremos no
comunes de los segmentos a y b.
s
b
x
s
x
2ª SOLUCIÓN
a
b
a
b
a
r
1ª SOLUCIÓN
b
b
b
a
A
a
x
b
b
x
La solución correcta es aquella que
dispone los segmentos datos en el
orden del enunciado, es decir, el
segmento "doble" es el dado en
segundo lugar.
b
a
r
A
b
a
r
A
PASO 4
RESULTADO
Se traza una paralela a esta recta por el extremo
libre del segmento b (de r). En su intersección con
la recta s, define el segmento buscado.
El segmento x es el segmento tercera proporcional
de los dados.
s
s
a
b
x
b
x
b
a
A
b
x
b
a
r
A
b
r
Página
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1.5
BLOQUE TEMÁTICO
UNIDAD DIDÁCTICA 2.1
GEOMETRÍA MÉTRICA
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
MEDIA PROPORCIONAL
ENUNCIADO
SEGMENTO MEDIA
PROPORCIONAL
Hallar el segmento x, media
proporcional de otros dos dados: a
y b.
Dados dos segmentos, a y b, se
dice que el segmento "x" es su media
proporcional cuando entre los tres
segmentos se establece la siguiente
relación de semejanza:
a/x = x/b
CONSTRUCCIÓN.
En el Triángulo de Tales hemos
visto la relación de proporcionalidad
existente entre los segmentos
determinados por las rectas paralelas
que cortan los lados de un ángulo
cualquiera.
DATOS
a
C
a
x
x
b
PASO 1
Trasladamos consecutivamente sobre una recta los
dos segmentos dato.
x
D
b
D
B
a
x
b
En este caso, dado que tenemos dos
segmentos incógnita, no podemos
utilizar las propiedades del triángulo
de Tales para dibujar el segmento x,
media proporcional de a y b.
A estos efectos analizaremos la
relación existente en un triángulo
rectángulo entre la altura y los
segmentos que determina sobre la
hipotenusa.
A
b
a
C
D
B
PASO 2
PASO 3
Hallamos el punto medio M del segmento suma CB.
Se traza la semicircunferencia de diámetro igual al
segmento suma CB.
1 2
h
2
C
m
A
n
D
h
B
h
m
C
1
A
n
D D
B
Consideremos el triángulo ABC que
es rectángulo en A ya que está inscrito
en una semicircunferencia. Trazemos
la altura h sobre la hipotenusa que
determina en ésta el punto D.
Los triángulos ADB y ADC,
rectángulos en D por construcción son
semejantes ya que sus ángulos
homólogos tienen los lados
perpendiculares y consecuentemente
son iguales.
a
b
M
C
D
a
B
C
D
PASO 4
El segmento AD = x es la media proporcional de
los segmentos dato. En efecto, es la altura del
triángulo rectángulo ABC.
a
x
m
h
x
b
A
A
De dónde deduciremos que en un
triángulo rectángulo la altura es
media proporcional entre los
segmentos que determina en la
hipotenusa.
x
a
C
x
b
M
D
B
RESULTADO
Por el punto D levantamos la recta perpendicular a
CB que corta a la circunferencia en A.
Escribiendo la razón de semejanza:
h
n
b
M
b
a
B
C
D
B
Página
1.6
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.2
GEOMETRÍA MÉTRICA
ÁNGULOS
ENUNCIADO
ÁNGULOS
Transporte de un ángulo.
Dadas dos semirrectas R y S no
opuestas (es decir no alineadas) de
origen común V, llamaremos ángulo
convexo a la interferencia de los
semiplanos siguientes: aquel cuyo
borde es la recta R y que contiene a
la semirrecta S, aR, y aquel cuyo borde
es la recta S y contiene a la semirrecta
R,aS.
aR
a'R
V R
=
S
V
R
S
aS
DATOS
PASO 1
Se dibuja el ángulo a transportar, la recta soporte
de uno de sus lados y el vértice "v".
Con centro en el punto V y radio r cualquiera, se
traza un arco de circunferencia que corta a los lados
del ángulo en los puntos A y B .
B
a'S
V
R
aRWaS
S
a'RWaS
a'RWa'S
V
R
aRWaS
V
V
S
r
A
aRWa'S
Las semirrectas se llaman lados
y su origen común vértice.
Un ángulo se puede difinir también
como la porción del espacio plano
limitada por dos semirrectas, R y S,
que se cortan en un punto llamado
vértice, V.
Dos rectas secantes definen, pues,
cuatro ángulos convexos, coincidentes
con los cuatro semiplanos que
interfieren.
v
PASO 2
PASO 3
Con el mismo radio r, se traza un arco de
circunferencia de centro "v" que corta a la recta en
el punto "C".
Con centro en el punto A y radio igual a la cuerda
AB, se traza un arco de circunferencia.
Los dos semiplanos que define la
recta R los llamaremos aR y aR’. Los
que define la recta S los llamaremos
aS y aS’. Los ángulos definidos son las
interferencias de las regiones aRWaS,
aRWaS’, aR’WaS y aR’WaS’.
Se llaman ángulos adyacentes los
pares de ángulos procedentes de la
interferencia con un mismo semiplano:
aRWaS y aRWaS’.
v
B
r=A
B
B
V
r
Se llaman ángulos opuestos por
el vértice los que proceden de la
interferencia de semiplanos distintos:
aRWaS y aR’WaS’.
v
r
Cada ángulo tiene dos adyacentes
y un opuesto.
Se llama ángulo cóncavo de otro
convexo, al conjunto de los dos
adyacentes y el opuesto del ángulo
convexo.
PASO 4
r
A
V
r
C
RESULTADO
Uniendo el punto D con el vértice V, dibujaremos el
segundo lado del ángulo igual al del enunciado.
B
r=A
B
Se dice de un ángulo que es recto
cuando es igual a su adyacente.
Si el valor de un ángulo es inferior
a un recto (90º), se llama agudo. Si su
valor es superior, el ángulo se llama
obtuso.
r
A
D
D
B
V
R=A
Dos ángulos son complementarios
si su suma es un ángulo recto.
C
Con centro en C y radio igual a AB, se traza un
arco que corta al anterior en el punto D.
Se denomina ángulo llano a cada
uno de los semiplanos limitados por
dos semirrectas opuestas.
Dos ángulos son suplementarios
si su suma es un ángulo llano.
V
A
V
C
V
C
Página
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2.1
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.2
GEOMETRÍA MÉTRICA
ÁNGULOS
ENUNCIADO
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Suma de ángulos
Los ángulos se miden en grados
sexagesimales.
Un ángulo recto = 90 grados
+
Cada grado (°) se divide en 60
minutos (') y cada minuto en 60
segundos (").
=
1° = 60'
1' = 60"
90°
DATOS
PASO 1
El ángulo a y el ángulo b.
Se traza una recta r base de la operación y se marca
un punto Y vértice de la suma a obtener.
0°
180°
360°
a
V
b
U
a
V
b
U
SENTIDO DE LOS ÁNGULOS
Se considera sentido positivo (+)
el sentido antihorario y (-) el horario
r
Y
+
PASO 2
PASO 3
Con una apertura arbitraria del compás se trazan
sendos arcos iguales por los vértices V y U de los
ángulos dato y por el punto Y.
Se transporta el ángulo a, tal y como ya sabemos.
–
B
a
V
b
U
a
V
b
U
A
POSICIONES RELATIVAS DE UN
ÁNGULO RESPECTO A UNA
CIRCUNFERENCIA
Exterior
F
Semiinscrito
Inscrito Circunscrito
r
r
Y
Y
E
Interior
PASO 4
C
Central
A
RESULTADO
Se transporta el ángulo b a partir del punto F,
obtenido en el transporte anterior.
B
Se traza el lado YG que soluciona la suma de los
ángulos.
D
D
B
Ángulo central es áquel cuyo
vértice coincide con el centro de la
circunferencia. Su valor es proporcional
a la longitud del arco AB abarcado por
los lados:
a
V
U
A
b
a
V
r
b
C
G
F
de donde resulta:
U
A
C
G
(360º/2pR)=[Cº/long(AB)]
Cº= 180 x long(AB)/pR
B
F
r
Y
E
Y
E
Página
2.2
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.2
GEOMETRÍA MÉTRICA
Ángulo inscrito es áquel cuyo
vértice está situado en la circunferencia
y sus dos lados son rectas secantes.Su
valor es igual a la mitad del ángulo
central que abarca su arco.
ÁNGULOS
ENUNCIADO
Diferencia de ángulos
C
–
Inscrito
=
a1 a2
O
a1
DATOS
PASO 1
El ángulo a y el ángulo b.
2a1
Se traza una recta r base de la operación y se marca
un punto Y vértice de la diferencia a obtener.
A
B
D
En efecto, consideremos el ángulo
a1, inscrito en la circunferencia y uno
de cuyos lados, el CD, pasa por su
centro O.
a
V
U
b
a
V
b
U
El triángulo COA es isósceles ya
que tiene dos lados iguales,
OA=OC=radio.
El ángulo central AOD es
suplementario del AOC y en
consecuencia igual a la suma de los
otros dos ángulos interiores del
triángulo:
Y
OAC+OCA=a1+a1=2a1
AOD=2a1
Si ninguno de los lados del ángulo
inscrito pasa por el centro de la
circunferencia, la demostración es
inmediata si consideramos el ángulo
descompuesto en otros dos, a1 y a2,
uno de cuyos lados pasa por el centro
de la circunferencia.
Ángulo semiinscrito es áquel cuyo
vértice está situado en la circunferencia
y uno de sus lados es una recta
tangente. Su valor es igual a la mitad
del central que abarca.
PASO 3
Con una apertura arbitraria del compás se trazan
sendos arcos iguales por los vértices V y U de los
ángulos dato y por el punto Y.
Se transporta el ángulo mayor b, tal y como ya
sabemos.
D
a
V
U
b
a
V
b
U
C
F
O
r
a
r
Y
Y
E
A
C
Semiinscrito
a
E
B
RESULTADO
Se transporta el ángulo menor a a partir del punto
F, en el sentido contrario al anterior.
T
Se traza el lado YG que soluciona la diferencia de
los ángulos.
D
En efecto, el triángulo AOB es
isósceles en O. Tracemos la altura OC
a la cuerda AB. Los ángulos TBA
(semiinscrito) y BOC son iguales por
tener los lados perpendiculares.
D
B
B
a
V
U
A
El ángulo AOC es igual al BOC
ya que OC es la bisectriz del ángulo
central. Por lo tanto:
b
a
V
A
C
C
G
G
r
b
F
F
AOB=2a
U
r
Y
E
Y
E
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2.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.2
GEOMETRÍA MÉTRICA
Ángulo circunscrito es el formado
por las tangentes a la circunferencia
trazadas desde un punto V exterior.
V
A
a
a1
ÁNGULOS
ENUNCIADO
Dibujar la bisectriz de un ángulo V,
supuesto que el vértice quede
dibujado dentro de los límites del
papel.
Circunscrito
a2
b1
b2
B
DATOS
O
PASO 1
Se dibuja el ángulo dato de vértice "V".
Su valor es igual a la
semidiferencia de los ángulos centrales
que abarcan los arcos mayor y menor
definidos por los puntos de tangencia.
Para demostrarlo basta considerar que
el ángulo circunscrito a es igual al
semiinscrito a1, exterior al triángulo
AVB, menos el semiinscrito a 2 .
Consecuentemente:
a=(b1-b2)/2
Ángulo interior es el que tiene su
vértice en el interior de la
circunferencia.Su valor es igual a la
semisuma de los centrales
correspondientes a los arcos
abarcados por él y su opuesto por el
vértice. En efecto, si consideramos el
triángulo AVC, el ángulo a, interior a
la circunfenrencia, es exterior al
triángulo y por lo tanto, igual a la suma
de los otros dos: a1+a2. Como estos
ángulos son inscritos a la
circunferencia:
Con centro en el vértice "V" y radio "R1" cualquiera,
se traza un arco que corta a los lados del ángulo
en los puntos "I" y "J".
I
V
V
R1
J
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto "I" y radio arbitrario "R", se
traza un arco de circunferencia.
Se traza un nuevo arco de centro en el punto "J" y
radio "R", idéntico al anterior.
a=(b1+b2)/2
C
a1
b2
a2
I
V
a
O
V
b1
V
R1
B
a1
J
PASO 4
I
La bisectriz es la recta que une los puntos "V" y "K".
I
R
K
K
V
R
R1
b1
RESULTADO
Los dos arcos se cortan en el punto "K".
V
O b2
R
R1
J
Ángulo exterior es el situado en
la parte del plano exterior a la
circunferencia. Su valor es la
semidiferencia de los centrales que
corresponden a los arcos abarcados
por sus lados.Si consideramos el
triángulo AVD, el ángulo a, exterior a
la circunfenrencia, es interior al
triángulo y por lo tanto, igual a la
diferencia de : a 1 -a 2 . Como estos
ángulos son inscritos a la
circunferencia:
V
Exterior
a=(b1-b2)/2
C a
D
A
R
Interior
A
a2
I
R
J
J
B
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.2
GEOMETRÍA MÉTRICA
ÁNGULOS
ENUNCIADO
LA BISECTRIZ
Dibujar la bisectriz de un ángulo V,
supuesto que el vértice quede
dibujado fuera de los límites del
papel.
La bisectriz de un ángulo es la
recta que divide al ángulo en dos
partes iguales.
triz
ec
Bis
DATOS
La bisectriz de un ángulo se puede
definir como el lugar geométrico de
los puntos que equidistan de los lados
del ángulo.
a
di
st
cia
iz
ctr
e
Bis
Se dibuja la bisectriz del ángulo "a".
T
b
a
R
an
R
iz
tr
ec
s
Bi
= distancia
=
PASO 1
Dibujadas las rectas "R" y "S", lados del ángulo,
se traza una tercera recta "T" que defina con las
anteriores cuatro ángulos:"a", "b", "c", y "d".
T
S
de
b
A
S
c
c
d
d
La bisectriz es, también, el lugar
geométrico de los centros de las
circunferencias que son tangentes a
los lados del ángulo.
triz
ec
O3
Bis
PASO 2
PASO 3
Se dibuja la bisectriz del ángulo "b".
Se dibuja la bisectriz del ángulo "c", que corta a la
bisectriz del ángulo "a" en el punto "I".
O2
T
O1
V
a
b
a
Bi
ect
iz
ctr
Bis
se
Bi
I
S
C
c
riz
B
S
s
sA
R
A
Bis
b
Bi
R
T
c
d
d
PASO 4
RESULTADO
Se dibuja la bisectriz del ángulo "d" que corta a la
bisectriz del ángulo "b" en "J".
La bisectriz es la recta que une los puntos "I" y "J".
a
b
sA
R
R
s
Bi
Bi
Bis
C
I
triz
c
Bise
S
c
D
J
I
J
S
d
Página
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2.5
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.2
GEOMETRÍA MÉTRICA
ÁNGULOS
2
ENUNCIADO
ARCO CAPAZ
Es el lugar geométrico de los
vértices de un ángulo "V" cuyos lados
pasan por dos puntos fijos "A" y "B".
Dibujar el arco cápaz del ángulo
"V" conocido que pasa por los
puntos "A" y "B".
3
V
1
V
V
2
3
V
1
V
V
A
A
B
DATOS
PASO 1
La posición de dos puntos A y B y el valor del ángulo
V, son los datos del problema.
Unimos los puntos A y B y dibujamos la mediatriz
del segmento obtenido.
B
Trataremos de demostrar que el
ARCO CAPAZ es una circunferencia
que pasa por los dos puntos "A" y"B".
En efecto, si la circunferencia
dibujada es el lugar geométrico
buscado, por definición de arco capaz,
los ángulos de vértices "1", "2" y "3"
tienen que ser iguales.
V
Y dado que estos ángulos son
inscritos y abarcan el mismo arco "AB",
necesariamente son iguales tal y como
queríamos demostrar.
A los efectos de justificar y recordar
la construcción gráfica del arco capaz,
que se incluye en esta ficha,
consideraremos:
1
V
A
B
B
A
PASO 2
PASO 3
Construimos el ángulo V con vértice en A y una de
sus lados el segmento AB.
Por el punto A trazamos una recta perpendicular al
lado del ángulo V dibujado.
O
V V
A
V
B
90
V
s
1º. El centro "O" del ARCO
CAPAZ tiene que encontrarse en la
mediatriz del segmento "AB" dado que
se trata de una circunferencia que pasa
por dos puntos conocidos "A" y "B".
2º. De otra parte sabemos que
todo ángulo central es doble del inscrito
que abarca el mismo arco. En
consecuencia el valor del ángulo
central en "O" es el doble del inscrito,
2V.
V
A
V
B
A
PASO 4
V
B
RESULTADO
El centro de la circunferencia "ARCO CAPAZ" es el
punto O intersección de la perpendicular por A y la
mediatriz de AB.
Se dibuja el Arco Capaz.
Una construcción semajante a la
que se desarrola en esta ficha, es la
siguiente:
1. Trazar por el extremo "A" del
segmento "AB" una semirecta "s" que
forme con "AB" el ángulo "V".
O
2. La perpendicular a "s" por "A"
corta a la mediatriz de "AB" en el
centro "O" del arco capaz.
O
V
A
V
V V
B
A
B
Página
2.6
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
ENUNCIADO
TRIÁNGULOS. CONCEPTO.
Dados tres puntos A, B, C no
alineados, llamaremos triángulo a la
interferencia de los tres semiplanos
aC, aB, y aA limitados por las rectas
AB, AC, BC y que contienen
respectivamente los puntos C, B y A.
a'C
TRIÁNGULOS
Dibujar un triángulo del que se
conocen los tres lados.
Dibujar el ortocentro del triángulo.
aC
A
c
B
C
aA
A
B
DATOS
C
a
a'A
a'B
A
PASO 1
Las longitudes de los tres lados del triángulo
Se dibuja uno de los tres lados conocidos. Por
ejemplo el lado a = BC.
b
B
C
aB
A
B
a
B
aAWaBWaC C
Los segmentos AB, AC, BC se
llaman lados y los puntos A, B, C
vértices del triángulo.
C
b
A
C
c
A
B
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS.
Los triángulos, en función de la
magnitud sus lados se clasifican:
Equilátero que es áquel que tiene los
tres lados iguales.
Isósceles que es el que tiene dos
lados iguales y el tercero desigual.
Escaleno que tiene los tres lados
distintos.
Equilátero
Isósceles
a
B
C
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto B y radio igual a la longitud
del lado c se traza un arco de circunferencia.
Con centro en el punto C y radio igual a la longitud
del lado b se traza otro arco de circunferencia.
Escaleno
dio
=b
c
Acutángulo, si los tres ángulos son
agudos.
ra
Rectángulo, si uno de los tres ángulos
es recto.
radio =
En función de la magnitud de sus
ángulos los triángulos se clasifican:
Obtusángulo, si uno de sus ángulos
es obtuso.
a
B
Dos triángulos son iguales si tienen:
a
B
PASO 4
Rectángulo Acutángulo Obtusángulo
CRITERIOS DE IGUALDAD
C
C
RESULTADO
En el punto de intersección de ambos arcos se
encuentra el tercer vértice A del triángulo.
El ortocentro H es el punto de intersección de las
alturas.
1. Los tres lados iguales.
2. Iguales dos lados y el ángulo
comprendido.
A
A
3. Un ángulo y los lados adyacentes
iguales.
CRITERIOS DE SEMEJANZA
b
c
Dos triángulos son semejantes si:
1. Los tres lados son proporcionales.
H
2. Dos ángulos son iguales.
3. Tienen un ángulo igual y los lados
adyacentes proporcionales.
b
c
B
a
C
B
a
C
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3.1
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
TRIÁNGULOS
ENUNCIADO
RECTAS NOTABLES DEL
TRIÁNGULO
Las mediatrices de un triángulo son
las rectas que bisecan sus lados.
LLamaremos cevianas las rectas que
unen un vértice con un punto cualquiera
del lado opuesto. Entre ellas cabe
destacar:
Dibujar un triángulo del que se
conocen dos lados y el ángulo que
forman.
Dibujar las bisectrices del triángulo.
Las medianas que unen un vértice con
el punto medio del lado opuesto.
Las bisectrices de cada uno de sus
ángulos.
Las alturas que son las perpendiculares
trazadas desde un vértice al lado
opuesto.
PUNTOS NOTABLES DEL
TRIÁNGULO
DATOS
Punto Ceva es el punto de intersección
de las cevianas. Destacaremos:
Se dibuja uno de los dos lados conocidos. Por
ejemplo el lado a = BC.
a
B
Circuncentro o punto de corte de las
mediatrices. Es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
PASO 1
Dos lados y el ángulo que forman
C
b
A
C
C
Incentro o punto de corte de las
bisectrices y que es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo.
Baricentro o punto de corte de las
medianas del triángulo. Coincide con
su centro de gravedad.
Ortocentro o punto de intersección de
las alturas.
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto C y radio igual a la longitud
del lado b se traza un arco de circunferencia.
2
C
1
dio
ra
Las tres mediatrices de un triángulo
se cortan en un mismo punto, llamado
circuncentro, que es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo
(pasa por sus tres vértices).
C
Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto C, se
traslada el ángulo C.
LAS MEDIATRICES.
Son las rectas perpendiculares a
los lados del triángulo en su punto
medio. Es decir son las mediatrices de
sus tres lados.
a
B
=b
A
2
b
c
Mdc
Mdb
C
a
B
a
Mda
C
a
B
PASO 4
C
B
1
RESULTADO
En el punto de intersección del lado del ángulo C
y del arco trazado, se encuentra el tercer vértice A"
del triángulo.
El radio de la circunferencia
circunscrita es la distancia que hay
desde el circuncentro a uno de los
vértices del triángulo.
Por el procedimiento ya estudiado se trazan las
bisectrices de cada uno de los tres ángulos.
A
A
b
B
C
a
b
c
C
B
a
C
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3.2
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
TRIÁNGULOS
ENUNCIADO
LAS BISECTRICES.
Las bisectrices de un triángulo son
las rectas bisectrices de cada uno de
sus tres ángulos.
Las tres bisectrices de un triángulo
se cortan en un mismo punto, llamado
incentro, y que es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo
(tangente a sus lados) .
Dibujar un triángulo del que se
conocen dos lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos.
Dibujar las mediatrices del triángulo.
A
Ba
DATOS
c
Bc
PASO 1
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Bb
Se dibuja uno de los dos lados conocidos. Por
ejemplo el lado a = BC.
b
I
a
B
a
B
C
En efecto, las bisectrices de los
ángulos A y B se cortan por formar
con el lado común AB ángulos cuya
suma es inferior a un llano. El punto
de corte I equidista de AB y AC por
pertenecer a Ba y de BA y BC por
pertenecer a Bb. Por lo tanto "I"
pertenecerá también a Bc.
C
c
A
B
C
El radio de la circunferencia inscrita
al triángulo es la distancia que hay
entre el incentro y uno de los tres lados;
se medirá sobre la perpendicular
trazada desde el incentro a cualquiera
de los tres lados.
A
90º
c 90º
a
B
C
PASO 2
PASO 3
Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto C, se
traslada el ángulo C.
Con centro en el punto B y radio igual a la longitud
del lado c se traza un arco de circunferencia.
2
b
I
C
a
C
a
B
Bc
Int
B
I
=
a
B
C
RESULTADO
Por el procedimiento ya estudiado se trazan las
mediatrices de cada uno de los tres lados.
A
90º
Ext
C
En el punto de intersección del lado del ángulo C
y del arco trazado, se encuentra el tercer vértice A
del triángulo.
Bb
I3
1
PASO 4
I2
A
c
2
o
Si consideramos las bisectrices de
los ángulos exteriores del triángulo
demostraríamos, con un razonamiento
semejante, que cada dos bisectrices
exteriores concurren con la interior del
tercer vértice en un punto denominado
exincentro, que es el centro de la
circunferencia tangente a un lado y a
las prolongaciones de los otros dos.
di
B
1
Ra
90º
A
C
Ba
b
c
b
c
I1
Las bisectrices interior y exterior
de un ángulo de un triángulo se cortan
perpendicularmente: dado que los
ángulos interior y exterior son
suplementarios es evidente que sus
mitades suman 90'
B
a
C
B
a
C
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3.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
TRIÁNGULOS
ENUNCIADO
LAS MEDIANAS.
Las medianas de un triángulo son
las rectas que unen un vértice con el
punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo
se cortan en un mismo punto llamado
baricentro.
Dibujar un triángulo del que se
conocen dos ángulos y el lado
adyacente.
Dibujar las medianas del triángulo.
A
a
B
DATOS
2
1
Mc
P
G
PASO 1
Dos ángulos y el lado adyacente
Se dibuja el lado a conocido.
Mb
Ma
Q
a
B
C
3
B
C
El segmento de cada mediana
comprendido entre su pie y el baricentro
es un tercio de la misma. En efecto,
tomemos los puntos medios P y Q de
GB y GC. En el triángulo ABC el
segmento 12 es paralelo a BC e igual
a su mitad (Teorema de Thales).
Igualmente en el triángulo BGC,
el segmento PQ es paralelo a BC e
igual a BC/2. Por lo tanto el cuadrilátero
12QP es un paralelogramo y sus dos
diagonales se cortan su punto medio
G. Obsevando la figura resulta:
G1=GQ=CQ y G2=GP=BP
Lo que demuestra la hipótesis de
partida.
B
C
a
B
C
PASO 2
PASO 3
Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto C, se
traslada el ángulo C.
Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto B, se
traslada el ángulo B.
2
4
C
B
1
3
2
a
B
4
B
1
C
a
B
C
3
PASO 4
RESULTADO
En el punto de intersección de los lados no comunes
de los ángulos trazados, se encuentra el tercer
vértice A del triángulo.
Para dibujar las medianas bastará unir cada vértice
con el punto medio del lado opuesto que se hallará
trazando previamente las mediatrices.
A
A
b
c
B
a
b
c
C
B
a
C
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
LAS ALTURAS.
TRIÁNGULOS
ENUNCIADO
Se define la altura de un triángulo
cómo la recta que trazada desde un
vértice, es perpendicular al lado
opuesto.
Las tres alturas de un triángulo se
cortan en un mismo punto llamado
"Ortocentro".
Dibujar un triángulo del que se
conocen dos ángulos y el lado
opuesto a uno de ellos.
Dibujar las alturas del triángulo.
A
Ha
DATOS
b
Hb
c
O
Hc
Ha
c
A
B
a
B
C
C'
A
b
Hb
H
B
C
C
Demostraremos que las alturas de
un triángulo se cortan en un punto:
para ello tracemos por los vértices A,
B y C sendas paralelas a los lados
opuestos. Estas rectas se cortan dos
a dos, por cortarse sus paralelas, en
A', B' y C'. Si demostramos que las
alturas del triángulo ABC son las
mediatrices del A'B'C' quedará
demostrada la existencia del ortocentro.
B'
a
B
a
B
PASO 1
Se dibuja el lado a conocido.
Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos
Hc
a
PASO 2
PASO 3
Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto B, se
traslada el ángulo B.
Sobre el nuevo lado y en un punto cualquiera X de
él, se traslada el ángulo A.
C
2
4
A
B
A'
1
El cuadrilátero ABCC' es un
paralelogramo por construcción y por
lo tanto:
A
2
B
C
1
y en consecuencia:
con lo que se demuestra que la
altura Ha del triángulo ABC es mediatriz
del lado B'C' en el triángulo A'B'C'
como queríamos demostrar.
B
a
B
BC=AB'
AB'=AC'
4
3
BC=AC'
De modo análogo si consideramos
el paralelogramo AB'BC
3
X
a
B
C
PASO 4
RESULTADO
Con ayuda de la escuadra y el cartabón
trasladaremos paralelamente esta última recta hasta
que pase por el extremo C del lado a.
Con ayuda de la escuadra y el cartabón se trazan
las perpendiculares a cada uno de los lados desde
el vértice opuesto.
A
A
A
X
c
B
b
a
b
c
A
C
B
a
C
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3.5
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
TRIÁNGULOS
ENUNCIADO
TEORAMA
La bisectriz Ba de un ángulo de un
triángulo y la mediatriz correpondiente
al lado opuesto, Mda, se cortan en un
punto de la circunferencia circunscrita
al triángulo.
1
A
Dibujar un triángulo del que se
conocen un lado, la longitud de la
altura sobre él y el valor del ángulo
opuesto.
Mda
Ba
O
B
DATOS
C
N
PASO 1
Un lado, la altura sobre él y el ángulo opuesto
Se dibuja el lado a conocido.
2
Dibujamos el triángulo definido por
las bisectrices interior y exterior del
ángulo A y la mediatriz del lado opuesto
BC.
a
B
Ha
Sabemos que las bisectrices
interior y exterior de un triángulo se
cortan formando un ángulo recto. Por
lo tanto el triángulo 1A2 es rectángulo
en A y consecuentemente debe quedar
inscrito en una semicircunferencia (arco
capaz de 90º). Esta semicircunferencia
tiene su centro en el punto O, medio
del segmento 12 que es la mediatriz
del lado BC por construcción, y que
pasa por A, no puede ser otra que la
circunscrita al triángulo ABC (Arco
Capaz del ángulo A asociado al
segmento BC.
TRIÁNGULO PEDAL
El triángulo pedal de uno dado es
el que tiene por vértices los pies de las
cevianas.
C
A
a
B
C
PASO 2
PASO 3
Dibujaremos el "Arco Capaz" del ángulo A que pasa
por los puntos B y C.
La paralela a BC que dista Ha corta al arco capaz
en A1 y A2.
Si las cevianas son las medianas,
el triángulo se llama mediano. Si son
las alturas, se llama órtico.
A1
A2
90º
Triángulo órtico
Triángulo podar
Dado un triángulo , se llama
triángulo podar del mismo, el formado
por los pies de las perpendiculares a
los lados trazadas desde un punto
cualquiera del plano del triángulo.
A
A partir de la perpendicularidad de
las bisectrices de los ángulos
adyacentes, podemos concluir: Los
lados del triángulo I1I2I3,formado por
los exincentros son las bisectrices
exteriores del triángulo ABC dado y,
las bisectrices interiores de éste son
I2
las alturas de aquél.
a
B
Podríamos definir el triángulo órtico
como el podar de su ortrocentro.
A
C
PASO 4
A1
C
RESULTADO
El triángulo A1BC es una solución al problema..
A
El triángulo A2BC es la otra solución del problema..
A2
A1
A2
Bb
90º
I3
a
B
Bc
I
C
B
A
Ba
I1
B
A
a
C
B
a
C
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
TEOREMA DE CARNOT
TRIÁNGULOS
ENUNCIADO
Dibujar un triángulo rectágulo del que
se conoce el segmento suma de los
catetos y el valor de la hipotenusa
Los simétricos del ortocentro H de
un triángulo respecto de sus lados,
pertenecen a su circunferencia
circunscrita.
H''
A
a
H'''
DATOS
H
a
a
B
PASO 1
El segmento 12, suma de los catetos y la longitud
a de la hipotenusa.
Se dibuja el segmento suma de los dos catetos. El
extremo 2 será el vértice de triángulo
C
H'
1
2
a
Los ángulos BAH' y BCH' son
iguales por ser inscritos en la
circunferencia y abarcar el mismo arco.
Los ángulos BAH' y BCH son
iguales por tener los lados
perpendiculares. Por lo tanto BCH' y
BCH son iguales que es lo mismo que
decir que H' es simétrico de H respecto
BC.
TEOREMA DE SIMSON
1
Las proyecciones ortogonales Pa,
Pb, y Pc de un punto P cualquiera de
la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC, sobre los lados del triángulo, son
puntos colineales.
2=B
PASO 2
PASO 3
Por el extremo 1 del segmento trazamos una recta
auxiliar que forme 45 con 12
Con centro en el extremo 2, trazamos una
circunferencia de radio la longitud a de la hipotenusa
A
Pb
B
Pc
w Pa
g
b
a
C
45º
P
1
Los puntos Pa, Pb, P y C son
conciclicos en una circunferencia de
diámetro PC ya que los triángulos PPaC
y PPbC son rectángulos. Los ángulos
a=PPaPb y b=ACP son suplementarios
ya que son inscritos y sus arcos
abarcan toda la circunferencia.
a
45º
2=B
A
1
PASO 4
2=B
RESULTADO
El punto de corte C es un vértice del triángulo
Trazando desde C la perpendicular a 12 queda
dibujado el triángulo
Análogamente los puntos Pa, Pc,
P y B son concíclicos y los ángulos
g=PPAPC y w=ABP suplementarios.
Por lo tanto:
a+b+g+w =360º
C
De otra parte los ángulos b y w son
ángulos opuestos del cuadrilátero
ABPC inscrito en la circunferencia y
en consecuencia son suplementarios:
b+w=180º, lo que nos conduce a la
conclusión de que
La recta que une los puntos Pa, Pb,
Pc se llama recta de Simson.
a
45º
a+g=180º
1
C
A
a
45º
2=B
1
A
2=B
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3.7
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.3
GEOMETRÍA MÉTRICA
TRIÁNGULOS
ENUNCIADO
TEOREMA DE STEINER
La
recta
de
Simson
correspondiente a un punto P de la
circunferencia circunscrita divide en
partes iguales a la que une el punto
P con el ortocentro cel triángulo.
Dibujar un triángulo dadas la
mediana, la altura y la bisectriz
correspondientes a un lado.
A
Ma Ba
PX=XH
H
R. de
B
Pc
DATOS
Pb
n
Pa
X
Q
PASO 1
La altura, la mediana y la bisectriz de un ángulo
Simso
C
Ha
Construimos el triángulo rectángulo AMN que tiene
por hipotenusa Ma y uno de sus catetos mide Ha.
Ma
Ba
P
A
Ha
Los triángulos HQX y PPaX son
iguales por tener iguales los tres
ángulos: dos de ellos opuestos por el
vértice y los otros dos alternos internos,
recordemos que la altura y el segmento
PPa son perpendiculares al lado BC y
consecuentemente paralelos entre sí.
Ma
Ha
M
N
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, la suma
de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
C
F
a
B
b
h
a
u
D
hAE
c
N
PASO 2
PASO 3
Con ayuda del compás y radio Ba, localizamos
sobre MN el punto P. Hemos dibujado en posición
y magnitud, las tres cevianas dato.
El punto 1, intersección de la recta bisectriz del
ángulo A y la mediatriz del lado opuesto pertenece
a la circunferencia circunscrita de centro en O.
b
90º
v
90º
A
hAD
c
A
A
E
Ha
Tracemos por el vértice A las
perpendiculares a los lados AC y AB
y sobre ellas trasladamos la longitud
de los lados b y c respectivamente.
Los triángulos ABD y AEC son iguales
ya que tienen, por construcción, dos
lados iguales y además los ángulos
BAD y CAE también son iguales.
Ba
M
Ma
Ha
P
Ba
N
M
Ma
P
O
N
1
Área de ABD=ADxhAD=(bxb)/2
Área de AEC=AExhAE=(cxv)/2
Como las áreas son iguales:
PASO 4
2
b =cxv
De forma semejante se tendrá:
RESULTADO
Los puntos B y C son los otros dos vértices del
triángulo
Dibujamos el triángulo
2
a =cxu
Expresiones que definen el
teorema del cateto: Un cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella. Sumando:
2
2
2
a +b =cx(u+v)=c
c.q.d.
Teorema de la altura: La altura es
media proporcional entre los
segmentos que determina sobre la
hipotenusa. A partir de la semejanza
de los triángulos ANC y BNC se
obtiene:
2
a =uxv
A
A
Ha
B
M
Ba
P
Ma
O
N
1
C
Ha
B
M
Ba
P
Ma
O
C
N
1
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.4
GEOMETRÍA MÉTRICA
CUADRILÁTEROS
ENUNCIADO
CUADRILÁTEROS
Se llama así aquella figura plana
y cerrada con cuatro lados, cuatro
vértices y dos diagonales.
Dibujar un rombo del que se conocen
las dos diagonales.
Cuadrilátero convexo es aquel
que queda contenido en un mismo
semiplano respecto de cada una de
las rectas que pasan por cualquiera
de sus lados, o lo que es lo mismo, el
que tiene dos diagonales interiores.
Cuadrilátero cóncavo es el que no
posee la propiedad anterior.
Convexo
Cóncavo
DATOS
PASO 1
Se conoce la longitud de las dos diagonales.
Dibujamos una de ellas, por ejemplo, la diagonal
menor AB sobre una recta horizontal.
D
C
A
B
Los cuadriláteros se clasifican en:
1. Cuadriláterios simples
Paralelogramos, que tienen los lados
paralelos e iguales dos a dos.
A
B
Trapecios, que tienen dos lados,
llamados bases, desiguales y
paralelos.
Trapezoides, que no tienen ningún
lado paralelo.
2. Cuadrilátero completo
Cuadrilátero completo, es la figura
formada por las cuatro rectas de un
cuadrilátero. Posee seis vértices y
tres diagonales.
t
D
C
al
on
ag
di
A
O
B
A
O
B
ig
A
Rectas diagonales:
r, s, t, que unen
pares de vértices
opuestos opuestos.
la
B
la
a
Vértices: A, B, C, D,
E, F.
ua
d r
s b
C
Lados: AB=a,
BC=b, CD=c, AD=d.
F
C
c
PASO 3
Trasladamos sobre la mediatriz la diagonal mayor
CD de forma que su punto medio sea O.
Cuadrilátero
completo
E
D
PASO 2
Hallamos la mediatriz del segmento AB. Obtenemos
el punto medio O de AB.
iá
m
et
ro
3. Cuatrivértice
A
Lados: AB, BC, CD,
AD, AC, DB.
C
T
D
PASO 4
Cuadrivértice
S
D
D
Cuadrivértice, es la figura definida
por cuatro vértices (no alineados tres
a tres), cuyos lados son rectas que
unen pares de vértices y por tanto
posee seis lados que se intersectan
en los llamados puntos diagonales.
B
RESULTADO
Unimos el punto A con el C, éste con el B, ....
R Vértices: A, B, C, D.
C
Puntos diagonales:
R, S, T, que es
donde se cortan
pares de lados
opuestos.
A
O
D
C
B
A
O
B
D
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4.1
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.4
GEOMETRÍA MÉTRICA
CUADRILÁTEROS SIMPLES
PARALELOGRAMOS
ENUNCIADO
PROPIEDADES
Dibujar un romboide del que se
conocen sus lados y uno de los
ángulos.
En un cuadrilátero, las rectas que
unen los puntos medios de sus lados
definen un paralelogramo.
En efecto, en el triángulo ABD, el
lado 14 es paralelo a BD (Teorema
de Thales). Idénticamente en el
triángulo BCD, 23 es paralelo a BD.
Por lo tanto 14 es paralelo a 23.
Análogamente demostraríamos el
paralelismo de 12 y 34.
4
A
DATOS
D
PASO 1
Trasladamos sobre una recta r y a partir de un punto
cualquiera el ángulo A. Obtenemos la recta s,
segundo lado del ángulo.
1
3
a
B
2
s
C
Los cuatro ángulos interiores de un
cuadrilátero suman 360º.
2
A
A
En efecto, una diagonal lo descompone
en dos triángulos, cada uno de los
cuales tiene la suma de sus ángulos
igual a 180º.
A
2
b
1
r
1
A
D
B
C
PARALELOGRAMO
PASO 2
PASO 3
Con centro en A y radio igual al lado a, trazamos
un arco que corta a la recta r en D, vértice del
cuadrilátero.
Con centro en A y radio igual al lado b, trazamos
un arco que corta a la recta s en B, vértice del
cuadrilátero.
s
Es un cuadrilátero que tiene sus lados
paralelos y los ángulos opuestos
iguales.
s
B
Se clasifican en:
a
a
a
a
a
b
b
a
a
a
Cuadrado, que tienen los
cuatro lados iguales y los
cuatro ángulos rectos.
Rectángulo, que tiene los
lados iguales dos a dos y
los cuatro ángulos rectos.
io
d
ra
D
radio
A
D
r
r
A
=a
Rombo, que tiene los
cuatro lados iguales y sus
ángulos opuestos iguales.
a
a
PASO 4
a
b
=b
b
a
Romboide, que tiene los
lados y los ángulos
opuestos iguales dos a dos.
RESULTADO
Por el punto B, trazamos una paralela a AD y por
el vértice D una paralela a AB. Ambas paralelas se
cortan en C.
En los cuadriláteros, las diagonales se
cortan siempre en su punto medio, y
en el cuadrado y rombo forman un
ángulo de 90º.
Uniendo los cuatro vértices queda dibujado el
romboide pedido.
C
B
C
B
En general la construcción de
paralelogramos se reduce a la de los
triángulos definidos por los lados y las
diagonales.
A
D
A
D
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.4
GEOMETRÍA MÉTRICA
CUADRILÁTEROS SIMPLES
TRAPECIOS
ENUNCIADO
TRAPECIO
Es un cuadrilátero con dos lados
paralelos y desiguales denominados
bases.
Dibujar un trapecio dadas sus base,
su altura y un lado.
La distancia entre las bases se llama
altura.
CLASIFICACIÓN
b
a
a
c
Trapecio isósceles,
que tienen los ángulos
iguales dos a dos.
DATOS
PASO 1
Trazaremos dos rectas paralelas r y s, separadas
una distancia igual a la altura.
b
d Trapecio rectángulo,
a
que tiene dos ángulos
rectos.
c
Base mayor
Base menor
Lado
b
d
c
Trapecio escaleno, que
tiene los cuatro ángulos
diferentes.
Al igual que ocurre con los
paralelogramos los datos para dibujar
un trapecio pueden ser objeto de
múltiples combinaciones. Será
necesario analizarlos y, conociendo
las características particulares del
trapecio pedido, proceder a su
resolución.
TRAPEZOIDE
Es un cuadrilátero que tiene los cuatro
lados y los cuatro ángulos diferentes.
s
Altura
altura
a
r
PASO 2
PASO 3
Trasladamos la base mayor sobre la recta r y con
centro en uno de sus extremos, el A, trazamos un
arco de circunferencia de radio igual al lado.
El punto de intersección de esta circunferencia con
la recta s será un nuevo vértice del trapecio, C.
Dibujamos el lado AC.
b
C
d
C
s
s
a
R
=
la
altura
do
c
Al igual que ocurre con los trapecios
los datos para dibujar un trapezoide
pueden ser objeto de múltiples
combinaciones. Será necesario
analizarlos y, conociendo las
características particulares del
trapezoide pedido, proceder a su
resolución.
r
Base mayor
B
A
r
A
PASO 4
RESULTADO
A partir del vértice C trasladamos la base menor
sobre la recta s obteniendo el último vértice D.
Base menor
C
A
B
El trapecio queda dibujado uniendo los vértices B
y D.
C
s
D
s
D
r
B
r
A
B
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4.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.4
GEOMETRÍA MÉTRICA
CUADRILÁTEROS SIMPLES
TRAPEZOIDES
ENUNCIADO
CUADRILÁTEROS
CIRCUNSCRIPTIBLES
Un cuadrilátero es circunscrito a una
circunferencia si todos sus lados son
tangentes a ella.
Dibujar un trapezoide del que se
conoce una diagonal, dos ángulos
opuestos a ella y dos lados opuestos.
Un cuadrilátero es circunscriptible
cuando son iguales las sumas de sus
lados opuestos.
D
3
4
DATOS
PASO 1
Dibujada la diagonal AB, trazaremos el arco capaz
del ángulo 1 que pasa por los extremos A y B.
C
A
a
1
b
2
diagonal
B
Efectivamente , sea el cuadrilátero
ABCD cuyos lados sean
respectivamente tangentes a una
circunferencia en los puntos 1, 2, 3 y
4.
1
2
1
A
B
El perímetro del cuadrilátero es:
A1+B1+B2+C2+C3+D3+D4+A4
Ahora bien, como las longitudes de los
segmentos de tangente trazadas desde
un punto exterior a una circunferencia
son iguales,
A1=A4, B1=B2, C2=C3 y D3=D4
PASO 2
PASO 3
Con centro en A y radio igual al lado a, trazamos
un arco que corta al arco capaz en C, tercer vértice
del cuadrilátero.
Se dibuja el arco capaz del ángulo 2 que pasa por
los puntos A y B.
el perímetro p será:
C
C
p= 2A1 +2B1 +2C3 +2D3
pero como
a
A1+B1= AB y C3+D3= CD
semiperimetro = p/2 = AB + CD
A
B
A
B
2
como queríamos demostrar.
CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES
Un cuadrilátero es inscrito a una
circunferencia si todos sus vértices
están en ella.
Un cuadrilátero es inscriptible si sus
ángulos interiores opuestos son
suplementarios.
A
PASO 4
RESULTADO
Con centro en B y radio igual al lado b, trazamos
un arco que corta al arco capaz en D, cuarto vértice
del trapezoide.
Uniendo los cuatro vértices queda dibujado el
trapezoide pedido.
C
C
1
a
B
D
A
C
En efecto, el par de vértices opuestos
B y D son extremos de un arco capaz
, ángulo A, y del que completa la
circunferencia, ángulo C.
B
2
b
A
B
b
2
D
D
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.5
GEOMETRÍA MÉTRICA
POLÍGONOS REGULARES
ENUNCIADO
POLÍGONOS
Se define el polígono como la
superficie plana y cerrada configurada
por líneas rectas.
POLÍGONOS REGULARES
Un polígono regular tiene todos sus
lados y todos sus ángulos iguales.
Dibujar un triángulo equilátero
inscrito en una circunferencia de
radio conocido.
Dibujar un hexágono inscrito en una
circunferencia de radio conocido.
POSICIONES RELATIVAS DE UN
POLÍGONO Y UNA
CIRCUNFERENCIA
Se dice que un polígono está
inscrito en una circunferencia cuando
todos sus vértices estan situados en la
circunferencia.
DATOS
PASO 1
Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el
punto O.
Se dice que un polígono es
circunscrito a una circunferencia
cuando sus lados son tangentes a la
circunferencia.
r
L4
Triángulo
Cuadrado
L5
L6
Pentágono
Hexágono
L7
L8
Heptágono
Octógono
r
0
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto 2 y radio r, se traza un arco
de circunferencia que corta a la dada en el punto
3.
El resto de puntos, situados en la circunferencia,
se obtienen trazando arcos de radio r y centro en
el punto de intersección obtenido anteriormente.
1
1
2
3
L9
L10
Eneágono
Decágono
ÁNGULO CENTRAL
El valor del ángulo central de un
polígono es igual a 360º dividido por
su número de lados.
1
2
CLASIFICACIÓN DE LOS
POLÍGONOS REGULARES EN
FUNCIÓN DEL NÚMERO DE LADOS
L3
Con centro en el punto 1 y radio r (igual al de la
circunferencia dato), se dibuja un arco de
circunferencia que corta a la dada en el punto 2.
2
6
3
5
4
TRIÁNGULO
HEXÁGONO
El triángulo equilátero pedido se obtiene uniendo
alternativamente los puntos dibujados.
El valor del ángulo definido por dos
lados adyacentes (g) de un polígono
es igual a 180º menos el valor del
ángulo central.
En el triángulo
AOB:
El hexágono pedido se obtiene uniendo
consecutivamente los puntos dibujados.
1
1
2
6
3
5
6
2
a+b+b= 180º
2b = 180º - a
O
De otra parte:
a
b
A
g = b+b = 2b
b
B
4
5
3
4
g = 180º - a
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5.1
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.5
GEOMETRÍA MÉTRICA
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
REGULARES
En función del dato consideraremos
tres supuestos:
1. Radio de la circunferencia inscrita
La circunferencia pasa por los
vértices.
POLÍGONOS REGULARES
ENUNCIADO
Dibujar un cuadrado inscrito en una
circunferencia de radio conocido.
Dibujar un octógono inscrito en una
circunferencia de radio conocido.
Este caso es objeto de estudio
detallado en las fichas que siguen y se
fundamenta en los procedimientos de
división de una circunferencia en partes
iguales.
2. Radio de la circunferencia
circunscrita.
DATOS
PASO 1
Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el
punto O.
Se localizan los puntos 1, 2, 3 y 4 de intersección
de la circunferencia con sus dos ejes ortogonales.
La circunferencia es tangente a los
lados.
1
Al igual que el supuesto anterior la
construcción de polígonos se realiza
dividiendo la circunferencia en tantas
partes iguales como lados tiene el
polígono y, a continuación, trazando
por cada una de las divisiones
perpendiculares a los radios
respectivos.
r
O
O
2
4
3. Lado del polígono.
Las construcciones del triángulo y
cuadrado a partir del lado ya han sido
explicadas en las fichas precedentes.
Las del hexágono y pentágono se
explican en las fichas de este núcleo.
Para otros polígonos emplearíamos
el método general por semejanza que
consiste en dibujar un polígono inscrito
en una circunferencia cualquiera y a
continuación por semejanza determinar
el que tiene como longitud del lado la
del dato.
3
PASO 2
PASO 3
Se unen los puntos 1 y dos con una línea recta.
Se unen los puntos 2 y 3 con una línea recta.
1
1
Como ejemplo, dibujaremos un
heptágono del que se conoce el lado
L7:
Heptágono auxiliar
O
2
4
O
2
4
O
3
3
L7
CUADRADO
OCTÓGONO
Se continúa el trazado uniendo los puntos 3, 4 y 5.
Las bisectrices de los ángulos rectos definen en la
circunferencia los puntos 5, 6, 7 y 8 que junto a los
cuatro hallados definen los 8 vértices.
L7
1
1
2
8
2
O
3
4
O
7
3
4
6
5
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.5
GEOMETRÍA MÉTRICA
POLÍGONOS REGULARES
ENUNCIADO
SEGMENTO AUREO
El segmento áureo x de un
segmento AB=a se define como aquél
que es media proporcional entre el
segmento a y la diferencia a-x.
N
a
Dibujar un decágono regular inscrito
en una circunferencia de radio
conocido.
Dibujar un pentágono regular inscrito
en una circunferencia de radio
conocido.
M
DATOS
PASO 1
Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en
el punto O. Nos fundamentaremos en que el lado
del decágono es áureo del radio
Localizaremos el punto medio M del segmento OA;
dibujaremos la mediatriz FG de dicho segmento
trazando un arco de centro en A y radio R.
x
A
B
a
a
x
=
x
a-x
F
Sea el segmento AB=a, por el
extremo B trazamos una circunferencia
tangente al segmento, de diámetro AB.
Uniendo el otro extremo A con el centro
de la circunferencia, localizamos el
punto M. El segmento áureo buscado
es AM=x.
r
r
A
O
O
M
En efecto, teniendo en cuenta el
concepto de potencia del punto A
respecto de la circunferencia:
a2=AB2=AMxAN=x(a+x)=ax+x2
x2=a2-ax=a(a-x)
G
que es la expresión de la media
proporcional.
JUSTIFICACIÓN DE LA
CONSTRUCCION DEL DECÁGONO
En el decágono, el ángulo central
tiene un valor de 360º/10=36º y el
ángulo definido por dos lados
adyacentes vale 180º-36º=144º.
2
A
72º
R-L
C
R
L
3
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto M y radio R/2, se traza una
circunferencia.
El segmento H1 es el lado del decágono. Con radio
igual a F1 y centro en el punto 1, se traza un arco
que corta a la circunferencia en el punto 2.
1
r = H1
G
1
2
L
L10
B
36º
36º
H
9
36º
A
O
R/2
O
A
B
O
M
M
8
4
F
7
5
6
Con estas consideraciones el
triángulo AOB es isósceles con lados
iguales al radio y ángulo desigual de
36º.
Trazando la bisectriz del ángulo B,
obtenemos sobre AO el punto C que
define el triángulo ABC, isósceles en
B con lados iguales al lado del
decágono y ángulo desigual de 36º.
Ambos triángulos son semejantes:
AO/AB=AB/AC
DECÁGONO
PENTÁGONO
Con centro en el punto 2 y el mismo radio se haya
el punto 3. Repitiendo el proceso localizaremos en
la circunferencia los puntos 4 al 10.
La construcción del L5 se basa en la del L10. Hay
que saber que el radio, L5 y L10 forman un triángulo
rectángulo de hipotenusa L5 y catetos L10 y R
2
10
L10
R
L5
3
9
E
4
5
2
L10
O
R/L=L/(R-L)
Relación que establece que el lado
del decágono es segmento áureo del
radio de la circunferencia que lo
circunscribe.
1
1
O
M
8
5
7
3
4
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5.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.5
GEOMETRÍA MÉTRICA
PENTÁGONO INSCRITO EN UNA
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO
El lado del pentágono es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo
que tiene por catetos el radio y el lado
del decágono.
POLÍGONOS REGULARES
ENUNCIADO
Dibujar un pentágono regular
conocida la longitud del lado.
R
L10
A
72º
2
B
DATOS
PASO 1
Dibujaremos el segmento 12 igual al lado. Se dibuja
su mediatriz y su punto medio M.
Con centro en el extremo 2 y radio igual al lado se
traza un arco que corta a la perpendicular trazada
por 2 en el punto A.
C
L5
3
9
T
O
8
4
A
7
5
6
Para demostrarlo prolongaremos
al lado AB del decágono y sobre él
tomaremos la longitud del radio.
Obtenemos el punto C.
El triángulo OAC es isósceles ya
que tiene dos lados, OA y AC, iguales
al radio. El ángulo A mide, por
construcción, 72º y consecuentemente
el lado OC será el lado del pentágono
inscrito en la circunferencia.
Tracemos desde C la tangente a
la circunferencia. El triángulo OTC es
rectángulo en T.
L5
L5
1
1
2
M
2
M
PASO 2
PASO 3
Con centro en M y radio MA, se traza un arco que
corta a la prolongación de 12 en B.
Con centro en el vértice 1 y radio B1 se traza un
arco que corta al de centro 2 y radio el lado en 3 y
a la mediatriz de 12 en 4.
4
La potencia del punto C respecto
la circunferencia es:
Pot (C) = CT2 = CBxCA
A
CT2 = R(R-L10)
3
A
Hemos demostrado anteriormente
que el lado L10 es segmento aureo del
radio y por lo tanto:
L102 = R(R-L10)
r=
Expresiones que determinan la
igualdad:
B
1
L10 = CT
PASO 4
L5
r = B1
Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 se obtiene el
pentágono.
4
L10
B
2
RESULTADO
El quinto vértice se obtiene en el punto de
intersección de los arcos de radio igual al lado y
centros en 1 y 4.
G
M
1
2
M
Y demuestra la hipótesis de partida
y justifica el procedimiento de
construcción:
1
L5
MA
4
L10
A
O
5
A
M
5
3
3
L5
R/2
L5
R
F
B
1
M
2
1
2
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.5
GEOMETRÍA MÉTRICA
PENTÁGONO DADO EL LADO
POLÍGONOS REGULARES
ENUNCIADO
El lado del pentágono es segmento
áureo de su diagonal.
Para demostrarlo consideremos el
triángulo isósceles 135, cuyos lados
son el lado L y la de la diagonal d del
pentágono.
Dibujar un eneágono regular inscrito
en una circunferencia de radio
conocido.
4
5
3
DATOS
PASO 1
Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el
punto O.
Se dibuja un diámetro de la circunferencia y se
divide en un número de partes igual al de lados del
polígono. En nuestro caso 9.
d
a
L
d
L
L
1
a
1
2
L
A
1'
2'
r
d
3'
O
O 4'
Por el vértice 3 del pentágono
trazamos la paralela 3A al aldo 15. El
cuadrilátero 153A es, por construcción,
un paralelogramo. Los ángulos a son
iguales ya que son opuestos de un
paralelogramo y en consecuencia, el
triángulo 23A es semejante al 135 ya
que ambos son isósceles y tienen un
ángulo igual.
5'
6'
7'
8'
9'
d/L=L/d-L
Ecuación ésta que confirma la
hipótesis
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto 1, extremo del diámetro y
radio igual a él, se traza un arco de circunferencia.
Con centro en el otro extremo del diámetro, 9', y el
mismo radio se traza otro arco de circunferencia
que corta al anterior en el punto I.
x
1
1
1'
x
1
2
2'
2'
3'
O
4'
O
I
5'
6'
L5
7'
d
8'
9'
9'
Conocida esta relación y a partir
del lado L5 del pentágono podemos
determinar la longitud de su diagonal
y, por triangulación, dibujar el
pentágono.
PASO 4
RESULTADO
Uniendo el punto I con el 2', independientemente
del polígono a dibujar, obtendremos en su
intersección con la circunferencia el punto 2.
El segmento 12 es el lado del polígono a dibujar. El
resto de vértices se obtienen trasladando esta
dimensión sobre la circunferencia.
1
1
2
2
9
2'
O
3
8
O
I
7
4
5
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5.5
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.5
GEOMETRÍA MÉTRICA
POLÍGONOS REGULARES
ENUNCIADO
OTRAS CONSTRUCCIONES DE
POLÍGONOS INSCRITOS
Las construcciones de los
polígonos inscritos en una
circunferencia de radio conocido cuyo
número de lados sea un número par y
además múltiplo de tres, cuatro o cinco,
se fundamenta siempre en la división
de la circunferencia en partes iguales
mediante el trazado de las bisectrices
de los ángulos centrales del triángulo
equilátero, del cuadrado, o del
pentágono.
El resto de polígonos no tienen un
método de dibujo exacto y su
construcción se basa en el
procedimiento aproximado que permite
la división de la circunferencia en un
número N de partes iguales que se
explica en esta ficha.
Dibujar tres eneágonos estrellados
de paso 2, otro de paso 3 el último
de paso 4.
DATOS
Unimos la segunda división con el punto I para
obtener sobre la circunferencia el vértice 2.
1
1
2
El lado del heptágono inscrito en
una circunferencia de radio conocido
también puede obtenerse, con bastante
exactitud, por el procedimiento empírico
descubierto por Durero que se dibuja
a continuación:
1'
2'
2'
3'
O
O 4'
I
5'
1
6'
7'
2
7
PASO 1
Se dibuja la circunferencia circunscrita y el eneágono
inscrito. Utilizaremos el método general. Dividimos
un diámetro en 9 partes iguales.
8'
L7
9'
O
6
PASO 2
3
R
PASO 3
Tomando este segmento 12 como radio se divide
la circunferencia en nueve partes iguales. En función
del paso del polígono uniremos los vértices.
5
4
1
2
9
3
8
O
5
Paso 3
8
7
4
5
6
PASO 4
Esta exigencia hace que algunas
formas estrelladas no se consideren
polígonos estrellados. Tal es el caso
de: hexágono de paso 2 ( dos triángulos
equiláteros), octógono de paso 2 (dos
cuadrados), eneágono de paso 3 (tres
triángulos equiláteros) etc.
Eneágono estrellado de paso 4.
1
1
2
2
9
3
8
7
4
5
6
RESULTADO
Eneágono estrellado de paso 3. Realmente no se
trata de un polígono estrellado sino de tres triángulos
equiláteros girados.
Estos polígonos se caracterizan
por necesitar varias vueltas para
completar su recorrido. En todos ellos
se exige que el punto de partida y el
punto final, tras varias vueltas, sea el
mismo.
9
3
7
4
Por ejemplo:
Paso 2
1
2
POLÍGONOS ESTRELLADOS.
Son polígonos que tienen por lados
cuerdas de la circunferencia en que
estan inscritos de forma que éstas unen
vértices no consecutivos. El número de
arcos iguales, definidos por los vértices,
que hay entre los extremos de un lado
se denomina paso.
Eneágono estrellado de paso 2.
6
9
3
8
7
4
5
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
CONCEPTO
Desde un punto P, trazar las rectas
tangentes a una circunferencia de
radio dado.
La circunferencia es una curva
cerrada plana cuyos puntos equidistan
de otro llamado centro. El valor de la
equidistancia se conoce como radio.
En el problema propuesto deberemos de considerar,
para resolverlo, que los triángulos PTO que se
forman son rectángulos en T y por consiguiente
están inscritos en una semicircunferencia de diámetro
igual a la hipotenusa PO (ángulos inscritos).
T
Se llama círculo a la parte del plano
interior a la circunferencia.
O
P
POSICIONES RELATIVAS DE UNA
RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
T
Tres supuestos se pueden dar:
Se
ca
nt
e
Recta exterior,
que no corta a la
circunferencia.
Recta secante,
que corta a la
circunferencia en
dos puntos.
Recta tangente,
que toca a la
circunferencia en
un punto.
nte
ge
n
Ta
PROPIEDADES DE LA RECTAS
TANGENTES A UNA
CIRCUNFERENCIA
DATOS
PASO 1
Se posicionan y dibujan la circunferencia de radio
r y el punto P.
Se une el punto P con el centro O de la
circunferencia.
r
Exterior
O
P
O
P
Una recta tangente a una
circunferencia es perpendicular al radio
en el punto de tangencia.
Por un punto de una cirfunferencia,
sólo se puede trazar una tangente a
ella. Si el punto es exterior, el número
de rectas tangentes es de dos.
Según esta propiedad para dibujar
la recta tangente a una circunferencia
conocido el punto de tangencia, bastará
trazar el radio OT y la perpendicular al
mismo por T.
PASO 2
PASO 3
Hallamos el punto medio M del segmento PO.
Dibujaremos la circunferencia de centro M y radio
r = PM = MO = PO/2 que corta a la dato (de radio
r) en los puntos T1 y T2.
recta tangente
90º
o
di
ra
T
T1
P
M
O
M
P
O
r=
PM
O
T2
Por simple deducción podremos
afirmar que el lugar geométrico de los
centros de las circunferencias
tangentes a una recta en un punto T,
es la perpendicular a la recta en dicho
punto.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
PASO 4
RESULTADO
Los puntos T1 y T2 son los puntos de tangencia.
Los unimos con el centro O de la circunferencia.
Exteriores cuando sus círculos no
se intersectan.
Las rectas tangentes son PT1 y PT2 que resultan
de unir el punto P con los puntos T1y T2. Estas
tangentes son perpendiculares a OT1 y OT2.
T1
T1
Interiores cuando la interferencia
de sus círculos da como resultado el
círculo de menor radio.
Secantes cuando las
circunferencias se cortan en dos
puntos.
P
Tangentes cuando la interferencia
de las circunferencias se produce en
un punto es decir, cuando contactan
en un único punto.
M
O
T2
O
P
T2
Página
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6.1
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
PROPIEDAD DE LAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
El punto de tangencia T de dos
circunferencias está en la recta que
une sus centros.
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
s
Enlazar dos rectas s y t, con una
circunferencia de radio r conocido.
T
r
o'
T
o
T
CONSIDERACIONES TEÓRICAS
Recordaremos que la bisectriz de
un ángulo se puede definir como el
lugar geométrico de los centros de las
circunferencias que son tangentes a
los lados del ángulo.
t
DATOS
PASO 1
Dibujaremos las dos rectas s y t. Supondremos que
se cortan en V.
Trazaremos la bisectriz del ángulo V. Si las rectas
no se cortaran dentro de los límites del papel,
emplearíamos el procedimiento específico.
s
s
radio
triz
ec
O3
Bis
O2
V
O1
V
V
CIRCUNFERENCIA DE RADIO
CONOCIDO TANGENTE A DOS
RECTAS
El proceso de resolución sigue los
pasos siguientes:
1º.- L.G. de los centros de las
circunferencias tangentes a dos rectas.
(Bisectriz).
2º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio dado
tangentes a una recta. (Paralelas).
t
t
PASO 2
PASO 3
Trazamos una recta paralela a una de las dato, por
ejemplo a la s. La recta dibujada corta a la bisectriz
en el punto O.
Por O trazamos las dos perpendiculares a las rectas
dato s y t. En el punto de intersección encontraremos
los puntos T de tangencia.
s
r
r
3º.- Intersección de los dos L.G.
s
T
En el caso general habrá un
máximo de cuatro soluciones.
90º
O
O
Bisectriz
V
V
Paralela
90º
R
T
R
t
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A
TRES RECTAS
Las soluciones son las cuatro
circunferencias que tienen por centro:
el incentro y los tres exicentros del
triángulo definido por las tres rectas.
t
PASO 4
RESULTADO
Con centro en O y radio r trazamos la circunferencia
tangente a ambas rectas.
Se resuelve el enlace.
s
s
T
T
O
O
T
r
V
r
V
T
t
t
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
RECTAS TGS EXTERIORES A DOS
CIRCUNFERENCIAS (Ficha 6.3)
Consideraremos el problema ya
resuelto, y
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
T
Dibujar las rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias.
T
O
T
T
O'
T
O
O'
T
T
T
desplazaremos paralelamente a si
mismas las dos tangentes hasta que
pasen por el centro O de la
circunferencia menor,
DATOS
PASO 1
Trazadas las circunferencias dato de radios r y r',
unimos sus centros O y O'.
Con centro en el centro O' de la circunferencia
mayor trazaremos una de radio igual a la diferencia
r'-r de los radios.
T
T
r'r
r
r
r'-
r
O
O'
r'
r'
T
O'
O
r
r
O'
r
O
T
de forma que, por construcción, estas
nuevas rectas son tangentes a la
circunferencia de radio igual a la
diferencia de radios r'-r y centro en el
punto O', centro de la mayor.
RECTAS TGS INTERIORES A DOS
CIRCUNFERENCIAS (Ficha 6.4)
PASO 2
PASO 3
Hallaremos los puntos 1 y 2 de tangencia de las
rectas que pasan por O y son tangentes a la
circunferencia de radio r'-r .
En la intersección de las rectas O'1 y O'2 con la
circunferencia dato de radio r', obtendremos dos
de los cuatro puntos T de tangencia buscados.
Al igual que en el caso anterior,
consideraremos el problema ya
resuelto, y
T
1
1
T
O
O
O'
r'-
r
T
M
O
O'
0'
2
T
2
T
T
desplazaremosmos paralelamente
a si mismas las dos tangentes hasta
que pasen por el centro O de la
circunferencia menor,
T
PASO 4
RESULTADO
Por el centro O, trazamos rectas paralelas a las TO'
y en su intersección con la circunferencia de radio
r, hallaremos los otros dos puntos T de tangencia.
Uniendo dos a dos los puntos T, obtendremos las
rectas tangentes pedidas.
r+
r'
T
r'
Este procedimiento de traslación para
reducir una circunferencia a un punto
lo llamaremos dilatación negativa.
O
O'
T
T
de forma que, por construcción,
estas nuevas rectas son tangentes a
la circunferencia de radio igual a la
suma de radios r+r' y centro en el
punto O', centro de la mayor.
T
T
T
T
O
O
O'
T
O'
T
T
T
Este procedimiento dilatación
positiva.
Página
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6.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO
TG A UNA RECTA Y QUE PASA POR
UN PUNTO (Ficha 6.5)
Recordemos el concepto de:
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
Circunferencia como el lugar
geométrico de los puntos 1, 2, 3, 4, ...
que son centro de otras circunferencias
del mismo radio y que pasan por un
punto O, llamado centro.
0
T
T
1
2
3
r
r'+
4
5
O'
O
r
3
PASO 1
Con centro en el centro O' de la circunferencia
mayor trazaremos una de radio igual a la suma r'+r
de los radios.
r
2
DATOS
Trazadas las circunferencias dato de radios r y r',
unimos sus centros O y O'.
r
Si la recta s es paralela a t, se
puede afirmar que s es el lugar
geométrico de los puntos 1, 2, 3, 4, ...
que son centro de las circunferencias
tangentes a t y radio igual a la distancia
entre rectas .
1
0'
O
r'
O'
s
t
Para resolver el problema
enunciado en esta ficha procederemos
de la siguiente forma:
PASO 2
PASO 3
Hallaremos los puntos 1 y 2 de tangencia de las
rectas que pasan por O y son tangentes a la
circunferencia de radio r'+r .
En la intersección de las rectas O'1 y O'2 con la
circunferencia dato de radio r', obtendremos dos
de los cuatro puntos T de tangencia buscados.
1
1
T
r
1º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio dado que son
tangentes a una recta.
r'+
2º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio dado que
pasan por un punto P.
M
O
3º.- Intersección de los dos L.G.
r'
4
T
r'
O
T
Dibujar las rectas tangentes interiores
a dos circunferencias.
O
O'
0'
T
CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR
UN PUNTO Y ES TG A UNA RECTA
EN UN PUNTO DADO (Ficha 6.6)
1º.- L.G. de los centros de las
circunferencias que son tangentes a
una recta en un punto T.
2º.- L.G. de los centros de las
circunferencias que pasan por dos
puntos, P y T.
2
2
PASO 4
RESULTADO
Por el centro O, trazamos rectas paralelas a las TO'
y en su intersección con la circunferencia de radio
r, hallaremos los otros dos puntos T de tangencia.
Uniendo dos a dos los puntos T, obtendremos las
rectas tangentes pedidas.
3º.- Intersección de los dos L.G.
T
T
T
T
O
O'
T
T
0
0'
T
T
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BLOQUE TEMÁTICO 2
GEOMETRÍA MÉTRICA
PROPIEDADES DE LAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES.
El punto de tangencia T entre dos
circunferencias está en la recta que
une sus centros.
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
Circunferencia de radio r, tangente
a una recta s y que pasa por un
punto P.
P
O
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO
TG A OTRA CIRCUNFERENCIA Y
QUE PASA POR UN PUNTO (Ficha
6.7)
O'
T
Recordemos el concepto de:
DATOS
Y circunferencia como lugar
geométrico de los centros de las
circunferencias de radio dado
tangentes a otra.
T
PASO 1
Trazamos una recta t paralela a la dato s. (La recta
t es el L.G. de los centros de las circunferencias de
radio r tangentes a s)
radio r
su
a
m
P
re
s
ta
P
t
radio r
Para resolver el problema
enunciado en esta ficha procederemos
de la siguiente forma:
1º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio dado que son
tangentes a otra circunferencia.
s
s
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto P trazamos una circunferencia
de radio r (L.G. de los centros de las circunferencias
de radio r que pasan por P).
Los puntos de intersección de ambos lugares
geométricos (recta y circunferencia), son los centros
de las circunferencias solución.
r
2º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio dado que
pasan por un punto
3º.- Intersección de los dos L.G.
P
P
t
CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR
UN PUNTO Y ES TG A OTRA
CONOCIDO EL PUNTO DE
TANGENCIA (Ficha 6.8)
Para resolver el problema enunciado
en esta ficha hallaremos:
O'
s
1º. El L.G. de los centros de las
circunferencias que pasan por los dos
puntos P y T. (Mediatriz).
2º. El L.G. de los centros de las
circunferencias tangentes en T a la
dato. (Recta que une el centro O con
T).
O
s
PASO 4
RESULTADO
Los puntos de tangencia T con la recta se obtienen
trazando la perpendiculares a s desde los centros
O y O'.
Se dibujan las circunferencias solución.
3º. Intersección de los dos L.G.
P
r
1º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio r' tangentes
recta s.
P
r
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO
TG A UNA RECTA Y A OTRA
CIRCUNFERENCIA (Ficha 6.9)
O
O'
O
O'
2º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio r' tangentes
a la O.
3º.- Intersección de los L.G.
T
T
s
T
T
s
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6.5
BLOQUE TEMÁTICO 2
GEOMETRÍA MÉTRICA
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO
TANGENTE A OTRAS DOS (Ficha
6.10)
1º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio r tangentes a
la O'.
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
Circunferencia que pasa por un punto
P y es tangente a una recta s en un
punto T.
2º.- L.G. de los centros de las
circunferencias de radio r tangentes a
la O''.
3º.- Intersección de los L.G.
Ahora bien, sabemos que el lugar
geométrico de los centros de las
circunferencias de radio dado
tangentes a otra circunferencia es
doble:
DATOS
PASO 1
Unimos los puntos P y T.
Una circunferencia de radio suma
de radios y,
Una circunferencia de radio
diferencia de radios.
m
su
re
st
a
a
P
P
s
s
T
La intersección de los dos lugares
geométricos dará lugar a un máximo
de 8 soluciones en función de las
magnitudes y posicionamiento de los
datos.:
T
PASO 2
PASO 3
Dibujamos la mediatriz del segmento PT que es el
L.G. de los centros de las circunferencias que pasan
por ambos puntos.
Por el punto de tangencia T levantamos una
perpendicular a la recta s que será el L.G. de los
centros de las circunferencias tangentes a s en T.
1º.- Intersección del L.G. r+r' con
el r+r''.
2º.- Intersección del L.G. r-r' con
el r-r''.
3º.- Intersección del L.G. r+r' con
el r-r''.
4º.- Intersección del L.G. r-r' con
el r+r''.
P
En el problema planteado
tendríamos las siguientes soluciones:
Caso 1
P
90º
s
T
PASO 4
Caso 3.
s
T
RESULTADO
El punto de intersección de ambos lugares
geométricos (mediatriz y perpendicular) es el centro
O de la circunferencia solución.
Caso 4
O'
O''
O
O
En este ejemplo las soluciones
"caso 2" no existirían dado que los
L.G. "diferencia" no se cortan.
P
r
r
P
s
T
s
T
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
MIXTILÍNEO
Un ángulo mixtilíneo es aquel que
determinan una recta y un arco que
son concurrentes.
Circunferencia de radio r' conocido,
tangente a otra circunferencia de
radio r y que pasa por un punto P.
=
=
s
=
DATOS
=
=
Dibujamos la circunferencia de radio r y
posicionamos el punto P.
=
=
=
=
radio r'
r'
r+
O
P
P
rr'
Sea el ángulo mixtilíneo de la figura
formado por la recta s y el arco de
centro O.
r'
=
PASO 1
Dibujamos las circunferencias de centros O y radios
r+r' y r-r' que son los L.G. de los centros de las
circunferencias de radio r' tangentes a la dada.
O
O
r
Tazaremos rectas paralelas a s y
círculos concéntricos al que configura
el ángulo a una misma distancia.
Las intersecciones de rectas y arcos
determinan la bisectriz.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
CURVILÍNEO
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto P trazamos una circunferencia
de radio r' (L.G. de los centros de las circunferencias
de radio r' que pasan por P).
Los puntos de intersección I y J de ambos lugares
geométricos (dos circunferencias), son los centros
de las circunferencias solución.
=
Un ángulo curvilíneo es aquel que
determinan dos arcos que son
concurrentes.
J
=
I
P
=
=
r'
=
P
O
=
O
=
=
O2
Sea el ángulo curvilíneo de la figura
formado por los arcos de centros O1 y
O2 .
Los puntos de tangencia T con la circunferencia
están en la intersección de ésta con las rectas que
unen el centro O con los centros solución I y J.
Las intersecciones de los arcos
determinan la bisectriz.
T
T
I
J
P
T
T
r'
Tazaremos círculos, a una misma
distancia, concéntricos a los que
configuran el ángulo.
RESULTADO
Se dibujan las circunferencias solución.
r'
PASO 4
O1
J
I
P
O
O
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6.7
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA
En geometría se entiende por
rectificación de una curva el dibujo de
un segmento de longitud igual a la de
la curva.
RECTIFICACIÓN DE UN ARCO DE
CIRCUNFERENCIA MENOR DE 90º
1. Sobre la circunferencia a la que
pertenece el arco AB, trazamos el
diámetro que pasa por un extremo del
arco y sobre su prolongación situamos
el punto C que dista de la circunferencia
3/4 del radio.
2. La recta que une C con B, extremo
del arco, corta a la perpendicular al
diámetro AC, trazada por A, en el punto
D.
DATOS
PASO 1
Se dibuja la circunferencia de centro O y radio r y
se posicionan los dos puntos P y T.
r
radio r
Unimos los puntos P y T.
r
3. El segmento AD representa la
rectificación del arco AB, es decir, la
longitud de AB.
Circunferencia que pasa por un
punto P y es tangente a otra
circunferencia de radio r en un punto
T.
O
O
T
D
B
3R/4
1
A
T
2
3
4
C
O
P
RECTIFICACIÓN DE UN
CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA
Además del procedimiento anterior,
podemos utilizar el llamado método de
Mascheroni:
P
PASO 2
PASO 3
Dibujamos la mediatriz del segmento PT que es el
L.G. de los centros de las circunferencias que pasan
por ambos puntos.
Unimos el centro O con el punto de tangencia T. La
recta trazada es el L.G. de los centros de las
circunferencias tangentes en T a la dato.
r
1. Sobre la circunferencia a la que
pertenece el arco trazamos el diámetro
AB que pasa por un extremo del
cuadrante.
O
O
T
T
2. Con centro en los extremos A y B
del diámetro dibujado se trazan los
arcos de radio igual al de la
circunferencia que la cortan en C y D
3. Con centro en B y radio BC se dibuja
un arco.
4. Con centro en A y radio AD se
describe otro arco que corta al anterior
en E.
5. Con centro en D y radio DE se traza
un arco que corta a la circunferencia
en F.
6. El segmento BF representa la
rectificación de un cuadrante de esta
circunferencia
P
P
PASO 4
RESULTADO
El punto de intersección de ambos lugares
geométricos (mediatriz y rectar) es el centro O' de
la circunferencia solución.
A
AD
O
C
O
T
T
r'
F
E
O'
DE
D
BC
B
P
P
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
RECTIFICACIÓN DE UNA
SEMICIRCUNFERENCIA
La longitud de la semicircunferencia
es igual a la suma del lado de un
triángulo equilátero y del lado de un
cuadrado inscritos en la circunferencia.
Circunferencia de radio r' conocido,
tangente a una recta s y a una
circunferencia de centro O y radio r.
O
L4
L3
DATOS
PASO 1
Se dibuja la circunferencia de centro O y radio r y
la recta dato s.
Las rectas t y u, paralelas a s a una distancia r',
son el L.G. de los centros de las circunferencias de
radio r tangentes a la recta s.
Otra forma de rectificar la circunferencia
es el llamado Método de Kochanski
que consiste en:
1. Por el extremo B de la
semicircunferencia trazamos una
perpendicular al diámetro.
t
r
r'
2. Desde O y respecto al diámetro AB
se construye un ángulo de 30º que
corta a la perpendicular en C.
O
O
s
r'
3. A partir de C trasladamos tres veces
el radio y determinamos el punto D.
s
u
4. El segmento AD es la rectificación
de la circunferencia.
A
PASO 2
PASO 3
Dibujamos circunferencia de centro O y radio r+r'
que es el L.G. de los centros de las circunferencias
de radio r' tangentes exteriores a la dato.
Los puntos 1, 2, 3, y 4, intersección de los dos L.G.,
son los centros solución. Las tangencias T con la
circunferencia dato se obtienen uniendo los centros.
O
R
30
B
C
D
R
R
R
r'
r+
t
1
2
T
O
RECTIFICACIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA
O
s
s
T
Arquimedes relacionó la longitud de la
circunferencia L, y su diámetro d,
mediante la siguiente expresión:
t
T
u
T
3
L= 22d/7 = 3d + d/7
u
4
que nos permite rectificar la
circunferencia:
1
5
6
7
2
RESULTADO
Se dibujan las circunferencias solución de centros
1, 2, 3, y 4 y radio r'.
d/7
d/7
d
PASO 4
Los puntos de tangencia T' con la recta s se obtienen
trazando las perpendiculares a la recta desde los
centros 1, 2, 3 y 4.
d
d
1
Otro procedimiento para rectificar la
circunferencia es el que se muestra
en el dibujo siguiente
d
d
1
2
T
3
T
O
T'
T'
d
r'
4
T
T
T'
T
2
T'
4
s
T'
T'
3
T
O
T
T'
T
T'
s
4
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6.9
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.6
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA CIRCUNFERENCIA
TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO
DIVISIÓN DE UN ARCO DE
CIRCUNFERENCIA EN PARTES
IGUALES
En la ficha 5.5, polígonos regulares,
se ha explicado el procedimiento para
dividir una circunferencia en partes
iguales. Veamos a continuación el
procedimiento para dividir un arco de
circunferencia en partes iguales:
Circunferencia de radio r conocido,
tangente a dos circunferencias de
centros O' y O'' y radios r' y r''.
1. El arco es menor que 180
a. Trazamos un diámetro CD
b. Con centro en C y radio CD
trazamos un arco de circunferencia
DATOS
PASO 1
Se dibujan las dos circunferencias dato.
Con centro en O' y radio r-r' se traza una
circunferencia, L.G. de los centros de las
circunferencias de radio r tangentes a la dato O'.
c. Con centro en D y radio DC
trazamos otro arco de circunferencia
r
d. Ambos arcos se cortan en P
e. Unimos P con los extremos A y B
g. Dividimos el segmento 12 en tantas
partes iguales como queramos dividir
el arco AB, y trazando desde P las
rectas que pasan por esos puntos
del segmento obtendremos sobre
el arco las divisiones buscadas.
O'
r''
O'
r'
r-
r'
f. Estas rectas cortan al diámetro CD
en los puntos 1 y 2
O''
O''
C
A
1
PASO 2
PASO 3
Con centro en O'' y radio r+r'' se traza una
circunferencia, L.G. de los centros de las
circunferencias de radio r tangentes a la dato O''.
Los puntos 1y 2, intersección de los dos L.G., son
los centros solución. Las tangencias T con las
circunferencias dato se obtienen uniendo los centros.
P
2
B
D
T
r+
1
r''
2. El arco es mayor que 180
O'
a. Localizamos el punto P de la misma
forma que en el ejercicio anterior
O''
O'
T
O''
T
b. La mediatriz de la cuerda AB corta
al arco en el punto E
2
T
c. La recta PE corta al diámetro CD
en el punto F
d. La recta PB corta al diámetro CD
en el punto G
e. Dividimos el segmento FG en tantas
partes iguales como queramos dividir
el arco AB, y uniendo el punto P con
la segunda división, punto 2',
obtenemos sobre el arco el punto 1
PASO 4
r
r
f. Trasladando sucesivamente la
distancia B1 sobre el arco
resolveremos el problema
3
RESULTADO
Se trazan las circunferencias radio r y centros 1
y 2.
C
T
E
F
4
2
T
1
O'
A
O''
1
T
T
O''
O'
P
T
1
2'
T
T
T
2
r
r
1'
2
G
B
D
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6.10
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.7
GEOMETRÍA MÉTRICA
POTENCIA
ENUNCIADO
POTENCIA
Dada una circunferencia y un punto
se denomina potencia del punto
respecto de la circunferencia al valor
constante del producto de las
distancias de los segmentos
determinados sobre las secantes que
pasan por el punto dado y los de
intersección con la circunferencia.
Circunferencias tangentes una recta
s que pasan por dos puntos A y B
del mismo semiplano.
A
B
s
PPR
A'
a
A
DATOS
O
PASO 1
Los puntos A y B y la recta S.
La recta que une los puntos A y B es el eje radical
del haz de circunferencias que pasan por A y B.
Dibujamos la mediatriz de AB.
a
B
E.R.
B'
Que dicho valor es constante se
comprueba observando que los
triángulos OAB' y OA'B son
semejantes pues tienen iguales los
ángulos a y el ángulo en O común,
por tanto:
A
OA/OB = OB'/OA'
A
B
O lo que es lo mismo:
OA x OA' = OB x OB' = Potencia
Consideremos la recta tangente a
la circunferencia trazada desde el punto
O. Los triángulos OTA y OTA' son
semejantes ya que tienen un ángulo
común, el O, y los a iguales por inscrito
y semiinscrito abarcando el mismo arco
La relación de semejanza será:
OT/OA = OA'/OT
B
S
S
C
PASO 2
PASO 3
Trazamos una circunferencia cualquiera que pase
por A y B. Trazamos la tangente t desde C, Centro
Radical de las circunferencias solución y auxiliar.
Se localizan los puntos T' y T'' de tangencia en la
recta trazando con centro en C un arco de radio CT.
Igual a:
E.R.
E.R.
A
A
OA x OA' = OT x OT = OT2 = Potencia
T
O
O
a
t
O
T
A
a
A'
Consideremos el conjunto de todas
las circunferencias que pasan por dos
puntos A y B. Su potencia es la misma
e igual al producto de OA x OB. Es
fácil deducir que las longitudes de todos
los segmentos de tangente OT deben
de ser iguales.
T
T
T
O
S
t
T
T
PASO 4
B
T'
C
T''
RESULTADO
La intersección de las perpendiculares trazadas a
s por los puntos T' y T'' con la mediatriz de AB,
posiciona los centros O' y O'' buscados.
Se dibujan las dos soluciones.
E.R.
A
A
O'
T
O
T
EJE RADICAL.
El E. R. de dos circunferencias se
define como el L.G. de los puntos del
plano que tienen igual potencia
respecto de las dos circunferencias.
s
C
B
A
T
B
S
T'
O'
O''
B
C
T''
s
O''
B
T'
T''
Página
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7.1
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.7
GEOMETRÍA MÉTRICA
POTENCIA
ENUNCIADO
PROPIEDAD DEL E.R.
El eje radical de dos
circunferencias es perpendicular a la
recta que une los centros.
A
Circunferencias tangentes a una
circunferencia y que pasan por dos
puntos A y B.
Supongamos que el punto P
pertenece al E.R. de las dos
circunferencias dibujadas.
B
Por definición de eje radical:
PPC
(d1-R1)(d1+R1)=(d2-R2)(d2+R2)
d1 -R1 =d2 -R2
2
2
2
2
DATOS
d12-d22=R12-R22
que es otra expresión de potencia.
PASO 1 C
La circunferencia de centro O y los puntos A y B.
P
d1
Dibujamos la mediatriz de AB, L.G. de los centros
de las circunferencias que pasan por AB, una
circunferencia auxiliar y C.R. de las dos y la solución.
d2
E.R.
A
O1
H
R1
M
A
E.R.
O2
R2
a/2
O1
a/2
Consideremos el punto medio M
del lado O1O2del triángulo O1PO2 y
apliquemos el teorema del coseno de
un ángulo de un triángulo, según el
cual: el cuadrado del lado opuesto a
un ángulo obtuso (agudo) es igual a
la suma de los cuadrados de los otros
dos lados, más (menos) el doble
producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él.
O
O
B
B
C
O1MP..... d12=(a/2)2+PM2+2(a/2)MH
PASO 2
PASO 3
O2MP...... d2 =(a/2) +PM -2(a/2)MH
Desde el punto C, centro radical, dibujamos la recta
tangente a la circunferencia de centro O1,
Por pertenecer C al E.R., los segmentos de tangente
trazados por C a las circunferencias O y O1 deben
de ser iguales a CT1, hallamos T' y T''.
2
2
2
Restando: d12-d22=2a(MH)
Que es la expresión de la potencia
del punto P que por pertenecer, es la
hipótesis, al E.R. tiene que ser
constante. Para ello MH debe serlo y
H tiene necesariamente que ser el pie
de las perpendiculares trazadas desde
cualquier punto del eje radical a O1O2,
es decir el E.R. es perpendicular a la
recta que une los centros.
A
O1
E.R.
O
T1
O
B
El E.R. de dos
circunferencia
secantes es la recta
secante común.
El E.R. de dos
circunferencias
tangentes es la
tangente común.
O1
T''
T1
EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS.
E.R.
A
B
T'
C
C
PASO 4
RESULTADO
Unimos T' y T'' con O, y localizamos sobre la
mediatriz de AB los centros O' y O''.
Se dibujan las dos soluciones.
A
El E.R. de dos
circunferencias
exteriores es
perpendicular a la
recta que une los
centros.
O''
O'
O'
T''
O
CENTRO RADICAL
El Centro Radical C de tres
circunferencias es el punto de
intersección de los ejes radicales de
las circunferencias tomadas dos a dos.
A
O
B
T'
O1 O''
T''
B
T'
C
C
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.7
GEOMETRÍA MÉTRICA
INVERSIÓN
ENUNCIADO
INVERSIÓN
Llamamos Inversión a la
transformación de un punto A en otro
A' de tal modo que:
Circunferencias tangentes a dos
rectas R y S y que pasan por un
punto A.
A
1. A y A' están alineados con otro
punto fijo O llamado centro de la
inversión.
2. El producto de sus distancias a
ese centro es una cantidad constante
que llamaremos potencia de inversión.
PRR
AO x A'O = k
T
A'
DATOS
PASO 1
Las rectas R y S y el punto A.
ibujamos el punto A', simétrico del A respecto la
bisectriz de RS. El problema a resolver será el PPR:
los puntos A y A' y la recta tangente R o S.
A
O
R
R
B
R=
O
T
A
B'
T
A
Si k>0 diremos que la inversión es
positiva y los puntos inversos quedarán
a un mismo lado del centro de la
inversión.
A'
Si k<0, la inversión es negativa y
los puntos homólogos quedan a uno
y otro lado del centro.
Recordando el concepto de
potencia es inmediato concluir:
1. Que dos parejas de puntos
inversos son concíclicos. Con esta
propiedad podremos hallar el inverso
de un punto a partir del centro y una
pareja de puntos homólogos.
S
S
PASO 2
PASO 3
Trazamos una circunferencia cualquiera que pase
por A y B. Trazamos la tangente desde C, Centro
Radical de las circunferencias solución y auxiliar.
Se localizan los puntos T' y T'' de tangencia en la
recta trazando con centro en C un arco de radio CT1.
2. Que la circunferencia de centro
O y radio OT es de puntos dobles, es
decir, inversos de si mismos. La
llamaremos de autoinversión.
A
INVERSO DE UN PUNTO B
A
O1
Sea una inversión definida por su
centro O y un par de puntos
homólogos, A y A'. Para hallar el
inverso del punto B consideraremos
dos casos:
O1
A' T1
A' T1
T'
C
C
1. Los puntos A, A' y B no están
alineados.
T''
R
R
A'
A
PASO 4
RESULTADO
La intersección de las perpendiculares trazadas a
R por los puntos T' y T'' con la bisectriz de RS,
posiciona los centros O' y O'' buscados.
O
Se dibujan las dos soluciones.
B
B'
2. Los puntos A, A' y B están
alineados. Hallamos M y M' cualquiera
y procedemos como en el caso anterior
con M, M' y B.
M'
A
A
O1
O'
O''
O1
O'
O''
M
O
B
A
A' B'
A' T1
T'
A' T1
T'
C
C
T''
T''
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7.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.7
GEOMETRÍA MÉTRICA
INVERSIÓN
ENUNCIADO
INVERSA DE UNA RECTA
1. Si la recta pasa por el centro de
inversión O, la inversa es la propia
recta R.
Circunferencias tangentes a dos
rectas R y S y una circunferencia.
O
2. Si la recta no pasa por el centro
O, la inversa es una circunferencia que
pasa por O y tiene su centro en la
perpendicular trazada por O a la recta.
B
CRR
DATOS
PASO 1
La circunferencia de centro O y las rectas R y S.
M
A
B'
O
S
Dilatamos la circunferencia hasta transformarla en
un punto y las dos rectas trazando las rectas
paralelas a una distancia igual al radio.
S
s
R
M'
O
A'
O
Sea O el centro de la inversión, R
la recta y A-A' un par de puntos
inversos.
Dibujamos el inverso B' de un
punto cualquiera B de R.
Hallamos el inverso M' de M, pie
de la perpendicular trazada desde el
centro de inversión a la recta R.
El ángulo OMB es, por
construcción, de 90º en M. El ángulo
M'B'B es también un ángulo recto ya
que ambos son inscritos y abarcan el
mismo arco. En consecuencia el
triángulo OB'M' es rectángulo en B'
y por lo tanto incribible en una
circunferencia de diámetro OM'.
R
PASO 2
PASO 3
Se deshace la dilatación , dibujamos las
circunferencias y localizamos los puntos de tangencia.
s
O
INVERSA DE UNA
CIRCUNFERENCIA
T2
Q2
T1
Q1
O
O'
2. Si la circunferencia no pasa por
O, su inversa es otra circunferencia
homotética con ella y centro de
homotecia en O.
r
Resolvelmos el caso PRR ya estudiado. El punto
es el centro de la circunferencia y las rectas, r y s,
paralelas a las rectas dato.
Idéntico razonamiento podríamos
realizar con otro punto cualquiera de
la recta para llegar a la conclusión de
que la circunferencia de diámetro OM'
es la figura inversa de la recta R.
1. Si la circunferencia pasa por el
centro de inversión, su inversa es una
recta que no pasa por O y es
perpendicular a la definida por O y el
centro de la circunferencia (teorema
recíproco del anterior).
R
O''
A'
T'
O''
O'
T'
C
T''
T''
r
PASO 4
RESULTADO
Si al realizar la dilatación, las tangentes las dibujamos
hacia el exterior, con un procedimiento análogo
obtendríamos otras dos soluciones.
P2
Si el punto de intersección de las dos rectas es
interior a la circunferencia dato, el número de
soluciones es de ocho.
S
P1
O
T1
T2
Por homotecia..... H=OP2/OP1
O
O
Por inversión....... P=OP1 x OQ1
Multiplico............. HxP = OP2 x OQ1
Que demuestra que los puntos P2
y Q1 son inversos de razón HxP.
R
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.7
GEOMETRÍA MÉTRICA
ENUNCIADO
CIRCUNFERENCIA Y RECTA
INVERSAS
Dadas una recta y una circunferencia siempre existen dos inversiónes,
una positiva y otra negativa, que
transforman la recta en circunferencia.
Circunferencia
inversa de R
INVERSIÓN
Circunferencias que pasando por un
punto P sean tangentes a una recta
y a una circunferencia.
P
R
PRC
A'(+)
CI(+)
A'(-)
CI(-)
A
DATOS
PASO 1
El punto P, la recta R y la circunferencia de centro
O.
Consideraremos la inversión de centro P y potencia
la de P con relación a la circunferencia de centro
O. La inversa de la circunferencia es ella misma.
CIRCUNFERENCIA INVERSA DE
UNA RECTA QUE NO PASA POR C
Circunferencia de
autoinversión
Ya hemos demostrado que si la
recta pasa por el centro de la inversión,
su transformada es la propia recta y
que si la recta no pasa por C, la inversa
es una circunferencia que pasa por C
y tiene su centro en la perpendicular
trazada desde C a R.
O
O
P
P
Consideraremos, ahora, dos
supuestos:
1. La recta R corta a la
circunferencia de autoinversión.
R
Circunferencia
inversa de R
R
R
A=A'
PASO 2
PASO 3
Hallamos la circunferencia inversa de una recta, la
dato R, que no pasa por el centro de inversión.
Las soluciones serán las circunferencias inversas de
las rectas tangentes comunes a la circunferencia
dada y la transformada de la recta R.
C
Circunferencia de
autoinversión
B=B'
de
T3' Circunferencia
autoinversión
O
P
T 7'
Circunferencia de autoinversión
P
Los puntos A y B son dobles en
la inversión por pertenecer a la
circunferencia de autoinversión.
T6' P
T 5'
Circunferencia
de inversa de R
T4'
R
A
R
T2'
T
A'
R
T
T1'
T 8'
Dibujamos la circunferencia que
pasa por A, B y el centro de la inversión
C.
2. La recta R no corta a la
circunferencia de autoinversión.
Circunferencia
de inversa de R
T
A'
A
PASO 4
RESULTADO
Para dibujar la figura inversa de la recta T'1T'2 es
suficiente hallar los inversos de estos puntos y
dibujar la circunferencia que pasa por P, T1 y T2
De las cuatro posibles soluciones se han dibujado
dos.
T8
C
P'
P
P
Circunferencia
inversa de R
P
P
T1
Circunferencia de autoinversión
Hallaremos el inverso de P, pie de
la perpendicular trazada desde el
centro de la inversión a R. Para ello
trazamos la tangente desde P a la
circunferencia de autoinversión y desde
el punto de tangencia la perpendicular
a CP, cuyo pie nos da P'.
T1'
Circunferencia
de inversa de R
P
T1
O1
T2'
R
T2
A'
A
R
T8
T2
A
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7.5
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.7
GEOMETRÍA MÉTRICA
INVERSIÓN
ENUNCIADO
CIRCUNFERENCIA INVERSA DE
OTRA
Sabemos que si la circunferencia
no pasa por el centro de inversión, la
figura inversa es otra circunferencia
homotética con la dato.
Circunferencias tangentes a dos
circunferencias O' y O" y que pasan
por un punto P.
Consideraremos dos supuestos:
1. La circunferencia dada corta a
la de autoinversión.
PCC
A=A'
T
DATOS
PASO 1
Las circunferencias de centros O' y O'' y el punto
P.
Consideremos la inversión de centro P y potencia
la de P respecto la circunferencia de centro O".
Dibujamos la circunferencia de autoinversión.
C O
P
Circunferencia de
autoinversión
P'
P
P
1
B=B'
O'
O'
2
Circunferencia de autoinversión
O''
O''
T
Los puntos A y B son dobles en
la inversión y por ellos pasará la
circunferencia transformada de la de
cento O.
Localicemos el inverso del punto
P donde la circunferencia dato corta a
la recta CO sobre la que sabemos que
se ubica el centro de la circunferencia
buscada. Para ello levantamos por P
la perpendicular a CO hasta que corte
en T a la circunferencia de
autoinversión. Trazando por T la
tangente a esta circunferencia
localizaremos en su intersección con
CO el puntro P'.
PASO 2
PASO 3
Dibujemos la inversa de la circunferencia O'. Los
puntos 1 y 2 son dobles. Hallemos A inverso de A'.
Dibujada la circunferencia O''', inversa de la O', se
trazanlas rectas tangentes comunes a O'' y O''' cuyas
circunferencias inversas serán las soluciones.
Circunferencia de
autoinversión
90º
La circunferencia buscada pasa
por A, B y P'.
P
1
1
T1
T5
A'
90º
A'
O'
A
2. La circunferencia no corta a la
de autoinversión.
Circunferencia de
autoinversión
Circunferencia
inversa de la O'
P
O'
A
T3
2
O''
T
T
T8 T2
T7
O''
T6
T4
T'
C
O' P'
P
O
A
PASO 4
Hallamos el inverso P' de P
trazando desde P la tangente a la
circunferencia de autoinversión y desde
aquí la perpendicular a CO.
Como ambas circunferencias
tienen que ser homotéticas con centro
de homotecia en C, trazamos la
tangente desde C a la circunferencia
de centro O.
Por P' trazamos una paralela a AT
que corta a la tangente trazada desde
C en T', punto desde el que trazamos
una paralela a TO que nos localiza el
centro O'de la circunferencia buscada.
RESULTADO
Hallamos los inversos T1' y T2' de los puntos T1 y
T2, una de las circunferencias solución ha de pasar
por T1', T2' y P.
Dibujamos las cuatro las soluciones.
P
P
T1'
T1'
1
T1
A'
T2
T2'
A
O'
T 5'
T3'
T7'
2
T 2'
T4'
T6'
O''
T8'
O''
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BOLQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.8
GEOMETRÍA MÉTRICA
CURVAS TÉCNICAS: EL ÓVALO
ENUNCIADO
EL ÓVALO
Como consecuencia de las
tangencias entre circunferencias se
pueden generar determinadas curvas
cerradas uniendo arcos de
circunferencias tangentes.
Construcción del óvalo, dado el eje
mayor.
Una de ellas se obtiene al resolver
la tangencia entre cuatro
circunferencias, iguales dos a dos.
DATOS
PASO 1
El eje mayor AB.
Se divide el eje mayor en tres partes iguales,
obteniéndose los puntos 1 y 2 sobre el eje.
A
B
Si nos quedamos con los cuatro
arcos de las circunferencias tangentes
entre sí, obtenemos una curva que se
denomina óvalo.
2
1
A
PASO 2
B
PASO 3
Con centro en el punto 1 se traza una circunferencia
de radio 1A.
Con centro en el punto 2 se dibuja la misma
circunferencia. En la intersección de ambas
circunferencias maracamos los centros O1 y O2.
O1
2
1
A
B
2
1
A
El óvalo es una curva cerrada y
plana, simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares y compuesta por cuatro
arcos de circunferencia iguales dos a
dos.
B
O2
En los ejes de simetría se
encuentran los centros de los arcos
que componen el ovalo.
PASO 4
RESULTADO
Desde O1 y O2 trazamos rectas que pasen por 1 y
2 y corten a las circunferencias en los ptos. de
tangencia T1' y T2', y T1 y T2.
Completamos el óvalo trazando los arcos T1'-T2'
con centro en O1; el T1-T2 con centro en O2; el T1T1' con centro en 1 y el T2-T2' con centro en 2.
C
O2
T1
O1
A
O
T2
O3
B
O1
T1
T1'
O4
D
T2
O1
T1
T2
T2'
2
1
A
T1'
O2
B
T2'
2
1
A
T1'
O2
B
T2'
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8.1
BOLQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.8
GEOMETRÍA MÉTRICA
CURVAS TÉCNICAS: EL ÓVALO
ENUNCIADO
EL ÓVALO ÓPTIMO
Dados los dos ejes del óvalo
existen infinitas soluciones del mismo,
que abarcarían desde el óvalo mínimo
de sólo dos centros en el eje menor.
Construcción del óvalo, dado el eje
menor.
C
A
DATOS
B
PASO 1
El eje menor CD.
D
Hallamos la mediatriz del eje menor CD y su punto
medio O.
C
Hasta el óvalo máximo, de sólo
dos centros en el eje mayor.
C
C
O
A
B
D
D
D
Existe un óvalo, de entre todas
las posibilidades, denominado óvalo
óptimo, compuesto por arcos que
pasan por el incentro del triángulo
rectángulo formado por ACE, siendo
E un vértice del rectángulo que
circunscribe al óvalo y que tiene la
propiedad de guardar la máxima
relación entre los dos radios del óvalo,
por lo que es mínimo el cambio de
curvatura.
PASO 2
PASO 3
Trazamos la circunferencia de centro O y que pasa
por A y B, encontrando sobre la mediatriz los centros
del óvalo O1 y O2.
Desde los extremos del eje menor C y D dibujamos
rectas que pasen por O1 y O2, sobre las cuales
estarán los puntos de tangnecia.
C
C
O1
E
A
O
O2
O1
O
O2
C
O
D
B
D
D
PASO 4
RESULTADO
Desde C y D trazamos los arcos de radio CD,
obteniendo sobre las rectas diagonales los puntos
de tangencia T1-T2 y T1'-T2', respectivamente.
Completamos el óvalo trazando los arcos T1-T1' con
centro en O1 y el T2-T2' con centro en O2.
C
C
T2
T1
O1
O
T1'
O2
O1
T2'
D
T2
T1
O
T1'
O2
T2'
D
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BOLQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.8
GEOMETRÍA MÉTRICA
CURVAS TÉCNICAS: EL ÓVALO
ENUNCIADO
EL OVOIDE
El ovoide es una curva cerrada y
plana, con un sol eje de simetría,
compuesta por dos arcos de
circunferencia iguales y dos desiguales
Construcción del óvalo óptimo,
dados los dos ejes.
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE
DADOS SUS DOS EJES
1. Se dibuja una circunferencia de
diámetro igual al eje menor CD.El
centro de esta circunferencia es O1 y
la semicircunferencia superior es uno
de los arcos del ovoide.
El cuadrante superior se hace
coincidir con el extremo A del eje mayor
AB. Se dibuja este eje.
DATOS
PASO 1
El eje mayor AB y el eje menor CD.
Unimos los extremos de los ejes A y C y prolongamos
el eje menor a partir de C. Con centro en O trazamos
el arco OA hasta encontrar R en la prolongación.
R
2. El cuadrante inferior de la
circunferencia de diámetro igual a CD
es el centro O4 y BO4 el radio del otro
arco.
C
C
3. Con centro en el extremo C se
localiza el punto E que dista BO4 deél
4. Se traza la mediatriz del
segmento EO4 y en el punto de
intersección con el eje menor
localizaremos el centro O3. El centro
O2 se halla por simetría
A
B
O
A
B
A
D
4
BO
O1
E
C
D
D
O3
O2
PASO 2
PASO 3
Con centro C y radio CR obtenemos S sobre AC.
Hallamos la mediatriz m del segmento AS que corta
a los ejes en los centros O1 y O4.
O4
T3
R
T4
B
1. Se dibuja una circunferencia de
diámetro igual al eje menor CD.El
centro de esta circunferencia es O1 y
la semicircunferencia superior es uno
de los arcos del ovoide. Los otros tres
centros se localizan en los cuadrantes
de esta circunferencia.
m
m
O
O1
A
O1
A
O
O3
B
O4
D
D
PASO 4
RESULTADO
Dibujamos las rectas que unan los cuatro centros
encontrados O1, O2, O3 y O4. Desde O2 trazamos el
arco de radio O2D entre T1' y T2'. Lo mismo desde O4.
Completamos el óvalo trazando los arcos T1-T1' con
centro en O1 y el T2-T2' con centro en O3.
T1
D=O3
O1
B
O2
S
O4
3. Idénticamente se obtiene el arco
de centro C y el punto de tangencia T3
A
C
S
2. Con centro en O2 y radio CD se
dibuja un arco de circunferencia y se
localiza el punto T4 de tangencia.
4. El último arco tiene centro en O4
y radio O4T3 = O4T4
R
C
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE
DADO SU EJE MENOR
C=O2
Obtenemos O3 sobre el eje mayor mediante una
semicircunferencia de centro O y radio OO1. De
igual modo obtenemos O2 sobre el eje menor.
R
R
C
C
O2
S
T1
T2
m
T2
m
O1
A
O2
S
O
O3
B
O1
A
O
O3
B
O4
T1'
T3
B
T4
O4
D
T2'
T1'
O4
D
T2'
Página
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8.3
BOLQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.8
GEOMETRÍA MÉTRICA
CURVAS TÉCNICAS: EL OVOIDE
ENUNCIADO
OTRAS CURVAS TÉCNICAS
Son las volutas, las espirales y las
hélices.
Trazado práctico del ovoide.
La Voluta es una curva formada
por arcos de circunferencia tangentes
entre sí, siendo los centros sucesivos
de estos arcos los vértices de un
polígono determinado.
DATOS
PASO 1
El eje mayor AB.
Dividimos el eje mayor AB en seis partes iguales.
A
A
1
2
3
La espiral es una curva abierta y
plana, generada por un punto que se
desplaza uniformemente a lo largo de
una recta, a la vez que ésta gira
alrededor de uno de sus extremos con
velocidad angular constante.
4
5
El paso de una espiral es la
distancia longitudinal con que se desplaza el punto en una vuelta completa
B
B
Prodeso de trazado de una espiral
de Arquímedes:
PASO 2
PASO 3
1. Se dibuja una circunferencia de
radio igual al paso de la espiral.
Por la división número 2, que coincide con el primer
centro O1 del ovoide, trazamos una perpendicular
al eje mayor AB.
Con centro en O1 trazamos la semicircunferencia
de radio O1B que permite encontrar sobre la
perpendicular los centros O2 y O3
A
A
2. Se divide la circunferencia y el
radio en el mismo número N (12) de
partes iguales.
1
3. Se dibujan las N (12) circunferencias concentricas y los N radios
1
2
O1
4. La curva se dibuja uniendo los
puntos definidos por la intersección de
los radios y las circunferencias.
2
O1
O2
3
3
4
4
5
5
O3
9
10
8
7
11
B
0
6
5
1
PASO 4
RESULTADO
Ladivisión 5 será el centro O4, que unimos con O2 y O3
para hallar los puntos de tangencia. Con centro en O2
se traza el arco T4T2. Igual desde O3.
Completamos el ovoide trazando el arco T3-T4 con
centro en O4.
A
A
2
4
3
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PASO
La hélice cilíndrica es una curva
abierta generada en el espacio por un
punto que se desplaza con movimiento
uniforme a lo largo de una recta directriz
que pertenece a la superficie exterior
de un cilindro mientras éste gira
uniformemente alrededor de su eje de
revolución. El paso es la distancia que
hay entre dos espigas consecutivas
sobre la recta generatriz.
Su trazado se explica en la ficha 6
de esta unidad didáctica
1
O2
T1
1
2
O1
T2
O3
O2
T1
2
O1
3
3
4
4
O4
5
T3
B
O3
O4
5
T4
T2
T3
T4
B
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BOLQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.8
GEOMETRÍA MÉTRICA
CURVAS TÉCNICAS: LAS CURVAS CÍCLICAS
ENUNCIADO
CURVAS CÍCLICAS
Se denominan cíclicas o
cicloidales las curvas planas que
describe un punto de la periferia de un
círculo móvil (ruleta o circunferencia
generadora) cuando éste gira sin
resbalar sobre una línea recta o sobre
un camino circular (directriz).
Trazado de la ciloide nornal dado
el radio de la ruleta y la directriz
P4
P3
P5
P2
P6
P7
P1
P
P8
CICLOIDE NORMAL
Es la curva plana que describe un
punto fijo de la ruleta cuando rueda sin
resbalar sobre una recta directriz.
Su trazado se explica y desarrolla
en esta misma ficha.
EPICILOIDE
DATOS
PASO 1
Se dibuja la ruleta de radio dado y se rectifica la
circunferencia sobre una recta paralela a la directriz
con origen en el centro O de la ruleta
Se divide la circunferencia y su rectificada en partes
iguales, 8 en el ejemplo, y se dibujan las circunferencias de centros 1, 2, 3, ... iguales a la ruleta.
Es la curva plana que describe un
punto fijo de la ruleta cuando rueda sin
resbalar por el exterior de una
circunferencia directriz.
Ruleta
R
O
Directriz
La relación entre los radios de las
circunferencias ruleta (r) y directriz (R)
determina diferentes tipos de
epicicloides, siendo las más conocidas:
4
5
Cardioide (R=r), Nefroide (R=2r) y
Natural (R=4r)
1
2
6
7
4
3
5
3
6
1 2
7
O
3
2
4
5
6
8
7
1
0=8
d/7
d/7
3d
Cardioide (R=r)
Nefroide (R=2r)
Epicicloide Natural (R=4r)
PASO 2
PASO 3
El primer punto de la cicloide es P=O=8. Por la
división 1 de la circunferencia se traza una paralela
a la directriz que corta a la circunferencia 1 en P1
Por la división 2 de la circunferencia se traza una
paralela a la directriz que corta a aquella en P2. Por
la división 3 de la circunferencia ...
P3
3
En la ficha siguiente, 8.6, se
explicará la construcción de una
epicicloide.
P1
2
1
1
2
3
1
P=0=8
P=0=8
HIPOCILOIDE
Es la curva plana que describe un
punto fijo de la circunferencia directriz
cuando rueda sin resbalar por el interior
de una circunferencia directriz.
Al igual que en el caso de las
epicicloides, en las hipocicloides la
relación entre los radios de las
circunferencias ruleta (r) y directriz (R)
determina diferentes tipos curvas.
PASO 4
RESULTADO
Los puntos 4, 5, 6,... se obtienen de manera análoga
Completamos el óvalo trazando los arcos T1-T1' con
centro en O1 y el T2-T2' con centro en O3.
En la ficha siguiente, 8.6, se
explicará la construcción de una
hipopicicloide.
La hipocicloide Natural es aquella
en la que la relación de radios es de
1/4.
5
4
P3
3
P2
6
7
P3
P5
P2
P6
2
P1
P4
P7
P1
P4
P5
P6
P7
1
P=0=8
P8
P
P8
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8.5
BOLQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.8
GEOMETRÍA MÉTRICA
ENUNCIADO
DIBUJO DE LA EPICICLOIDE
La forma de la epicicloide, como
ya se ha dicho, depende de la relación
entre los radios de las circunferencias
ruleta y directriz.
Vamos a dibujar una epicicloide en
la que la relación de estos radios es
de 1/3, lo que supone que la ruleta
habrá dado una vuelta completa cuando
haya recorrido 1/3 de la circunferencia
directriz o, lo que es lo mismo, se haya
desplazado un ángulo de 360º/3=120º.
Dividiremos este ángulo en 4 partes
para posicionar las ruletas después de
haber girado 90º, 180º, 270º y 360º lo
que nos permitirá localizar las 4
posiciones del punto de 1 tangencia de
la primera ruleta con la directriz.
120º
Directriz
R=3r)
4
Trazado de la hipocicloide normal
dados los radios de la circunferencia
generadora y la circunferencia
directriz. La relación de radios en la
hipocicloide normal es r/R=1/4
DATOS
PASO 1
Se dibuja la ruleta de radio r tangente a la
circunferencia directriz de radio R=4r en el punto 1.
El arco de la directriz que tiene la misma longitud
que la ruleta es: 360 x r/R, en nuestro caso 90 que
dividiremos en 4 partes iguales.
1
1
1
Ruleta (r)
Dibujadas las circunferencias
ruletas, dibujaremos la circunferencia
que define los extremos de los
diámetros perpendiculares a los ejes
radiales dibujados que nos permitirça
localizar los puntos 2, 3, 4 y 5 de la
curva.
Circunferencia
de cuadrantes
CURVAS TÉCNICAS: LAS CURVAS CÍCLICAS
3
PASO 2
PASO 3
Dibujaremos las cuatro teóricas posiciones de la
ruleta al deslizarse tangente a la circunferencia
directriz.
Dibujaremos los puntos P1, P2, P3 y P4 que
corresponden a la posiciçon del punto 1 después
de deslizarse 1/4, 1/2, 3/4 y una vuelta
P4
5
2
P3
1
P2
P1
1
Circunferencia
de centros
Circunferencia
de centros
4
Circunferencia
de cuadrantes
1
Circunferencia
de centros
3
5
2
1
PASO 4
RESULTADO
Uniendo los puntos obtenidos dibujaremos un cuadrante
de la hipocicloide.
P4
Por simetría se completa el trazado de la curva
P4
P3
P3
P2
P2
P1
1
P1
1
1
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.9
GEOMETRÍA MÉTRICA
LAS CURVAS CÓNICAS
LA ELIPSE
ENUNCIADO
Son aquellas que resultan de la sección
producida por un plano sobre una
superficie cónica de revolución
completa.
Se puede definir también como el lugar
geométrico de los puntos del plano en
los que la relación de distancias a un
punto fijo, llamado foco, y a una recta
fija, llamada directriz, es constante.
Esta relación de distancias se llama
excentricidad.
Construcción de la elipse por
puntos, dados sus dos ejes.
En función de la posición relativa del
plano con la superficie cónica se
producen tres tipos de curvas:
DATOS
PASO 1
Los dos ejes de la elipse. El eje mayor AB y el eje
menor CD.
Obtenemos los focos F y F' como consecuencia de
la definición como lugar geométrico de la elipse,
puesto que CF (o CF') es igual al semieje mayor.
C
C
ELIPSE (Excentricidad<1)
r=
AO
Si el plano corta a todas las
generatrices.
B
A
O
F
A
F'
B
a
D
D
HIPÉRBOLA (Excentricidad>1)
Si el plano es paralelo a dos
generatrices.
PASO 2
PASO 3
A partir de uno de los focos hacia el origen O
marcamos una serie de puntos (1, 2...) y trazar los
arcos A1 y 1B desde los focos F y F' respectivamente
Se invierte el trazado de arcos, estos es, desde F
se dibuja el arco 1B y desde F' el arco 1A,
obteniéndose cuatro puntos de la elipse.
C
C
a
r=1
B
F
F'
1 2 3
B
A
F
F'
1 2 3
B
PARÁBOLA (Excentricidad=1)
r=
1A
A
Si el plano es paralelo a una generatriz.
D
D
PASO 4
RESULTADO
Se repiten las mismas operaciones con los restantes
puntos.
Se traza la elipse a mano alzada por los puntos
obtenidos, más los cuatro puntos extremos de los
dos ejes.
a
C
A
F'
C
F'
1 2 3
D
B
A
F'
F'
1 2 3
B
D
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.9
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA ELIPSE
ENUNCIADO
LA ELIPSE
Es una curva cerrada y plana, lugar
geométrico de los puntos del plano cuya
suma de distancias a otros dos fijos,
denominados focos, es constante e
igual al eje mayor.
Construcción de la elipse por haces
proyectivos, dados sus dos ejes.
PF + PF' = k (constante)= 2a
C
P
A
F
c
a
a2=b2+c2
F'
B
b
DATOS
PASO 1
Los dos ejes de la elipse. El eje mayor AB y el eje
menor CD.
Trazamos el rectángulo EFGH que contiene a los
dos ejes, y dividimos el semieje AO y el lado AE en
el mismo número de partes.
2c
2a
C
F
3
ELEMENTOS
Eje mayor, real o principal, (AB=2a) es
la intersección del plano de la cónica
con el que conteniendo al eje de la
superficie de revolución es ortogonal a
áquel.
C
E
2
O
A
Eje menor, imaginario o secundario,
(BC=2b) perpendicular al mayor.
B
1
A
1
2
3
O
H
D
B
G
D
Distancia focal, (FF'=2c) que es la
distancia entre los focos.
Circunferencia principal, es el lugar
geométrico de los puntos de
intersección de las tangentes a la elipse
con las perpendiculares trazadas desde
los focos a cada una de ellas. Es la
podaria de los focos. Tiene su centro
en el centro de la elipse y su diámetro
es el eje mayor.
Circunferencia focal, es el lugar
geométrico de de los simétricos del otro
foco respecto de las tangentes a la
elipse. Tiene su centro en el centro de
la elipse y su radio es el eje mayor.
Directriz es una recta, perpendicular al
eje mayor, tal que la relación de
distancias desde cualquier punto de la
elipse a un foco y a la directriz es
constante e igual a c/a. Es la polar de
los focos.
PASO 2
PASO 3
Desde el extremo C del semieje menor trazamos
una recta hasta el punto 1 del lado AE y desde el
extremo D otra hacia 1 de AO.
La intersección de ambas es un punto de la elipse
y se repite la operación tantas veces como divisiones
hayamos efectuado.
C
E
F
E
3
3
2
2
1
A
1
2
3
O
H
B
D
G
1
A
H
C
1
2
3
F
O
D
G
OTRA CONSTRUCCIÓN DE LA
ELIPSE
Se deriva del concepto proyectivo de
la elipse al considerarla como el
resultado de la transformación afín de
una circunferencia.
PASO 4
RESULTADO
El mismo proceso se realiza en el cuadrante inferior
del rectángulo, invirtiendo los puntos de origen de
los haces de rectas.
Se completa la elipse, con igual procedimiento, en
los otros dos cuadrantes. El método es igualmente
válido si los datos son dos diámetros conjugados.
C
3
2
1
A
1
2
3
D
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.9
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA HIPÉRBOLA
ENUNCIADO
LA HIPÉRBOLA
Es una curva abierta, plana y con dos
ramas, lugar geométricode los puntos
del plano cuya diferencia de distancias
a otros dos fijos, llamados focos, es
constante.
Construcción de la hipérbola por
puntos, dado el eje real y los focos.
PF' - PF = k (constante) = 2a
P
A O
B
a
b
c
F
F'
DATOS
PASO 1
El eje real de la hipérbola, de extremos A y B, y los
dos focos F y F'.
A partir de un foco, en este caso F, marcamos una
serie de puntos auxiliares cualesquiera (1,2...).
c2=a2+b2
2a
2c
ELEMENTOS
A
F
Eje mayor, real o principal, (AB=2a) es
la intersección del plano de la cónica
con el que conteniendo al eje de la
superficie de revolución es ortogonal a
áquel.
B
F
F'
A
B
F'
4 3 2 1
Eje menor, imaginario o secundario,
(BC=2b) perpendicular al mayor.
Distancia focal, (FF'=2c) que es la
distancia entre los focos.
Circunferencia principal, es el lugar
geométrico de los puntos de
intersección de las tangentes a la
hipérbola con las perpendiculares
trazadas desde los focos a cada una
de ellas. Es la podaria de los focos.
Tiene su centro en el centro de la
hipérbola y su diámetro es el eje mayor.
Circunferencia focal, es el lugar
geométrico de de los simétricos del otro
foco respecto de las tangentes a la
hipérbola. Tiene su centro en el centro
de la hipérbola y su radio es el eje
mayor.
PASO 2
PASO 3
Tomando con el compás la medida 1A trazamos
sendos arcos haciendo centro respectivamente en
F y F'.
Encontraremos cuatro puntos de la hipérbola
trazando arcos de radio 1B en F y F' y buscando
la intersección con los arcos anteriores.
r = 1A
r = 1A
A
F
B
r = 1B
F
F'
4 3 2 1
r = 1B
A
B
F'
4 3 2 1
Directriz es una recta, perpendicular al
eje mayor, tal que la relación de
distancias desde cualquier punto de la
hipérbola a un foco y a la directriz es
constante e igual a c/a. Es la polar de
los focos.
Asíntotas de la hipérbola son las rectas
tangentes a la curva en el infinito. Si
las asíntotas forman 45º con los ejes,
la hipérbola se denomina equilátera.
ínt
ota
Las asíntotas son las diagonales del
rectángulo que tiene por lados los ejes
real e imaginario.
F
A
a
c
b
B
r = 4B
r = 3B
r = 4A
r = 2B
r = 2A
C
Circunferencia
Principal
2a
RESULTADO
Una vez obtenidos todos los puntos de ambas ramas
de la hipérbola se dibuja la curva a mano alzada.
r = 3A
As
Circunferencia
Focal
PASO 4
Encontraremos tantos puntos de la hipérbola como
operaciones dibujemos, idénticas a la ya descrita,
tomando las distancias 2A,2B,3A,3B...
F'
F
4 3 2 1
A
B
F
F'
A
B
F'
4 3 2 1
D
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9.3
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.9
GEOMETRÍA MÉTRICA
LA PARÁBOLA
ENUNCIADO
LA PARÁBOLA
Es una curva abierta, plana y de una
sola rama, lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de una
recta fija d, llamada directriz, y de un
punto fijo F, que se denomina foco.
Construcción de la parábola por
puntos
PF = PB
d
P
B
D
A
F
DATOS
PASO 1
La directriz, el eje de la parábola y en él el foco F
y el punto A, perteneciente a la parábola y
equidistante de D y F.
A partir del punto A marcamos una serie de puntos
auxiliares cualesquiera 1, 2...
D
A
D
F
A
F
1
ELEMENTOS
2
3
Eje de la parábola, es la intersección
del plano de la cónica con el que
conteniendo al eje de la superficie de
revolución es ortogonal a áquel.
Circunferencia principal, es el lugar
geométrico de los puntos de
intersección de las tangentes a la
parábola con las perpendiculares
trazadas desde el foco a cada una de
ellas. Es la podaria del foco. Es la recta
perpendicular al eje por el vértice A.
PASO 2
PASO 3
Se trazan paralelas a la directriz por los puntos
marcados anteriormente.
Trazamos arcos de radio 1D desde el foco F y su
intersección con la paralela que pasa por el punto
1 pertenece a la parábola
Circunferencia focal, es el lugar
geométrico de de los simétricos del otro
foco respecto de las tangentes a la
hipérbola. Es la directriz de la parábola
que también se define como:
Directriz es una recta, perpendicular al
eje mayor, tal que la relación de
distancias desde cualquier punto de la
parábola al foco y a la directriz es
constante e igual a la unidad. Es la
polar del foco.
D
A
1
Parámetro (2p) es la longitud del
segmento determinado por la parábola
sobre la perpendicular al eje trazada
por el foco. Si el eje OX coincide con
el eje de la parábola, el semiparámetro
es el valor de la ordenada del punto de
la curva cuya abcisa es el foco.
D
F
2
3
F
A
r = 1D
1
2
3
PASO 4
RESULTADO
El mismo proceso se realiza con tantos puntos como
hayamos marcado.
Se dibuja la parábola a mano alzada por los puntos
encontrados y por el punto A.
d
D
A
F
Parámetro = 2p
P
r = 3D
D
A
r = 2D
D
F
1
2
3
A
F
1
2
3
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BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.9
RECTAS TANGENTES A UNA CÓNICA
GEOMETRÍA MÉTRICA
ENUNCIADO
FUNDAMENTOS
Nos basaremos en el concepto de:
Circunferencia focal como el lugar
geométrico de los simétricos del otro
foco respecto a las tangentes a la
cónica.
T1
Construcción de la recta tangente
a la hipérbola desde un punto
exterior a ella.
F
F'
A
B
P
TANGENTES TRAZADAS DESDE UN
PUNTO DE LA CÓNICA
1. Se traza la circunferencia focal de F'
2. Se localiza el punto F", en la
intersección de F'P con la circunferencia
3. La mediatriz de FF" es la tangente
buscada.
4. Es fácil ver que la tangente también
coincide con la bisectriz del ángulo
exterior que definen los radios vectores
del punto P.
F''
T2
DATOS
El eje real de la hipérbola, de extremos A y B, los
dos focos F y F' y el punto P.
PASO 1
A partir de un foco, en este caso F', dibujamos la
circunferencia focal. Su radio será AB=2a.
Circunferencia focal de F'
P
F
F'
A
F'
A
P
B
P
B
F'
A
F
F
B
2a
En la parábola es la bisectriz de ángulo
FPB.
d
P
B
D
PASO 2
PASO 3
Con centro en P y radio PF se traza una
circunferencia que corta a la focal en 1 y 2.
Las mediatrices de los segmentos F1 y F2 son dos
de las tangentes buscadas.
F
A
1
1
F
F
F'
A
PF
F'
A
B
P
B
P
TANGENTES TRAZADAS DESDE UN
PUNTO EXTERIOR DE LA CÓNICA
2
1. Con centro en el punto P, se traza la
circunferencia de radio PF que corta a
la focal de F' en F" (también corta en
F''' que no está dibujado y daría como
resultado la otra tangente a la cónica
desde P).
2. La mediatriz del segmento FF'' (y la
del FF''') son las tangentes a la curva.
3. El punto de tangencia es el de
intersección de la recta tangente con
las rectas F'F'' (y con F'F''').
PF
PASO 4
RESULTADO
Los puntos de tangencia los obtendremos en los
de intersección de las tangentes con las rectas F'1
y F'2.
Si realizamos la construcción con la circunferencia
focal de F, el resultado es idéntico
F''
T
3
T1
T1
1
P
F
F
F'
A
F
2
P
F'
A
B
P
B
F'
2a
2
4
Circunferencia focal de F
T2
T2
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9.5
BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.9
GEOMETRÍA MÉTRICA
RECTAS SECANTES A UNA CÓNICA
ENUNCIADO
TANGENTES A LA CÓNICA
PARALELA A UNA DIRECCIÓN
Vamos a dibujar la recta tangente a una
elipse, paralela a una dirección dada.
Sea la elipse de la que se conoce su
eje mayor y la posición de los focos.
Conocemos también la dirección de la
tangente.
Construcción de tangente a la
parábola paralela a una dirección
dada.
d
F'
F
A
B
1. Dibujamos la circunferencia focal de
F' cuyo centro está en F' y su radio es
2a.
DATOS
PASO 1
La directriz, el eje de la parábola y en él el foco F.
También se facilita como dato la dirección d de la
tangente .
Dibujamos la circunferencia focal de la curva que en
el caso de la parábola degenera en la directriz, por
el foco trazamos la perpendicular a la dirección d
d
d
2. Por F trazamos la recta perpendicular
a la dirección d dada que corta a la
circunferencia focal en F'' y F'''.
3. Las mediatrices de los segmentos
FF'' y F F''' son las rectas tangentes a
la elipse.
90º
D
D
F
A
F
4. Los puntos de tangencia T se
encuentran en la intersección de estas
tangentes con las rectas que unen el
foco F' con F'' y F'''.
F"'
iz
tr
ia
ed
M
PASO 2
PASO 3
La perpendicular trazada a la dirección d por el foco
corta a la circunferencia focal (directriz) en F''
La mediatriz del segmento FF" es la recta tangente
a la parábola paralela a la dirección d
de
'''
FF
90º
d
T
F
A
F
d
d
90º
90º
F'
B
T
D
5. El ejercicio se puede terminar
dibujando la cónica:
F"'
A
D
F
F''
F
A
F''
r
at
i
ed
M
iz
de
FF
'''
90º
d
PASO 4
C
T
F
Se dibuja la parábola por puntos
F'
A
F
RESULTADO
El punto de tangencia T lo encontraremos en la
intersección de la recta tangente con la paralela al
eje trazada por F".
B
d
d
90º
90º
T
D
D
F''
F
A
T
D
F''
A
F
T
Página
9.6
© JAVIER FONT GISBERT - JOSÉ VTE. GÓMEZ HERRÁIZ
Depósito Legal V-3512-1997