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Liceo A-1
Javiera Carrera
Santiago
Matemática
Congruencia
NM1
2012
Para que dos figuras sean congruentes; a una de ellas le debemos superponer la otra figura y estas se
confunden a simple vista, vale decir coinciden en toda su extensión.
- Tienen igual forma y dimensión.
De forma simple podemos concluir que:
para que exista una congruencia es
necesario tener 2 figuras o más y que
una de ellas sea la imagen de la otra
Por ejemplo en la imagen presentada;
Las figuras A, B y C son congruentes, pues
tienen la misma forma y el mismo tamaño.
La figura D, en cambio, no es congruente a
las anteriores porque su tamaño es mayor.
SEGMENTOS CONGRUENTES
Se dice que dos segmentos de recta son congruentes cuando al superponer uno sobre el otro coinciden en todos
sus puntos. Así, por ejemplo, si al colocar el punto X del segmento
sobre el punto A del segmento
punto Y cae sobre el punto B, coincidiendo punto con punto entre los segmentos.
Si dos segmentos son congruentes se escribe:
, el
.
ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos ángulos son congruentes cuando es posible superponerlos de modo que coincidan los vértices y los lados
de los ángulos. Así, por ejemplo, si al colocar el vértice del ángulo ABC sobre el vértice del ángulo PQR , y
los lados de los ángulos coinciden punto con punto éstos son congruentes.
Si dos ángulos son congruentes se escribe: ABC
. PQR
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Congruencia de triángulos
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual
medida o congruentes, es decir, Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma
longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.
Si el triangulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:
En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los
siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.
Criterios de congruencia de triángulos
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de
congruencia, los cuales son:

Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro,
entonces los triángulos son congruentes. A este criterio se le conoce como lado-lado-lado, y lo denotamos
por LLL.

Criterio LAL: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendio entre ellos iguales, son
congruentes. A este criterio se le conoce como lado-angulo-lado, y lo denotamos por LAL.

Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de
otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A este criterio se le conoce como ángulo-ladoángulo, y lo denotamos por ALA
COROLARIOS:
I. dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen respectivamente iguales un cateto y un
ángulo agudo.
II. dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen respectivamente iguales sus catetos.
III. dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen respectivamente iguales un cateto y la
hipotenusa.
IV. dos triángulos rectángulos son congruentes cuando tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un
ángulo agudo.
V. dos triángulos isósceles son congruentes si tienen igual base y ángulo basal.
VI. dos triángulos isósceles son congruentes si tienen iguales el lado y el ángulo del vértice.
VII. dos triángulos equiláteros son congruentes si tienen igual el lado.
POLÍGONOS CONGRUENTES
Dos polígonos son congruentes cuando todas sus partes coinciden. Así, al superponer dos polígonos que son
congruentes las componentes de los polígonos que coinciden se denominan partes correspondientes.
Dos polígonos se dicen congruentes cuando los lados y los ángulos del uno son, respectivamente, congruentes a
los lados y ángulos del otro.
La congruencia de polígonos, que se expresa como
P(ABCDE...)
P(A'B'C'D'E'...),
siendo A y A', B y B', C y C', D y D', E y E'... los vértices correspondientes, ocurre si y sólo si
,
ABC
A'B'C',
,
BCD
,
B'C'D',
,... y
CDE
C'D'E',...
Una correspondencia de éste tipo permite afirmar que las partes correspondientes de polígonos congruentes son
congruentes.
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Propiedades de la congruencia

La propiedad reflexiva de la congruencia establece que
 Polígono A
Polígono A.
En otras palabras, cualquier polígono es congruente consigo mismo.

La propiedad simétrica de la congruencia establece que
si Polígono A

Polígono B, entonces Polígono B
Polígono A.
La propiedad transitiva de la congruencia establece que
si Polígono A
Polígono B y Polígono B
entonces Polígono A
Polígono C,
Polígono C.
Ejercicios:
1) Responde con una V (verdadera) o F (falsa) cada uno de los siguientes enunciados y justifica las falsas.
a) ............Si dos ángulos son congruentes, entonces sus ángulos suplementarios (para llegar a180°) también lo
son.
b)............. Si dos ángulos son congruentes, entonces sus ángulos complementarios(lo que falta para llegar a 90°)
también lo son.
c) ............Dos ángulos rectos son congruentes.
2) En la figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es punto
medio de CB. ¿Qué criterio de congruencia permite demostrar que el
ACE
BDE?
a) LAL b) ALA c) LLA d) LLL e) AAL
3) Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes.
I.
a) Sólo I y II
II.
b) Sólo I y III
III.
c) Sólo II y III
d) I, II y III
e) Ninguno
4) Marca la alternativa de la proposición verdadera
a) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes.
b) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo.
c) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales.
d) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL
e) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.
5) Si  ABC   DEF, selecciona la proposición falsa en cada ítem:
(A) AC  DF, ángulo B  ángulo E, BC  DE, ángulo C  ángulo F
(B) AB  ED, ángulo A  ángulo D, ángulo C  ángulo F, AB  EF
(B) AB  DE, BC  FE, ángulo C  ángulo D, AC  DF
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6) Si  UVW   XYZ , completar:
a) Ángulo U  ___________
b) Ángulo V  ___________
c) Ángulo W  ___________
d) VU  ___________
e) UW  ___________
f) VW  ___________
7) Si  ABC   DEF. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
(A)
(B)
(C)
(D)
 BCA   EFD
 CBA   FDE
 ACB   EFD
 CAB   FDE.
8) Si  UVW   XYZ , completar:
d) Ángulo U  ___________
e) Ángulo V  ___________
f) Ángulo W  ___________
9) Si Ángulo A  Ángulo B
Ángulo T  Ángulo P
Ángulo R  Ángulo J
d) VU  ___________
e) UW  ___________
f) VW  ___________
AP  BT
AR  BJ
PR  TJ
Entonces  ___________ es congruente con  ___________
10 Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida de EF es:
a) 9
b) 15
c) 17
d) 40
e) Falta información