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Algunos resultados importantes de Geometría Euclidiana en el plano:
Grados y radianes
El despeje de la siguiente ecuación permite realizar la conversión de la unidad angular:
grados radianes
=
180º
π
Triángulos:
Triángulo rectángulo isósceles:
Teorema de Pitágoras:
Triángulo rectángulo semiequilátero:
Derivados de Pitágoras:
c2 = a 2 + b2
Altura sobre la hipotenusa: h 2 = min
Producto de los catetos: c 2 = a in , b 2 = a in
Semejanza de triángulos:
Postulado A.A. (también llamado A.A.A.):
Si
ABC ≅ EDG ∧
BCA ≅ DGE , entonces ∆ABC ∼ ∆EDG
Teorema: criterio L.A.L.:
Si
a b
∧
=
e d
ACB ≅ DGE , entonces ∆ABC ∼ ∆EDG
Teorema: criterio L.L.L.:
a b c
= = , entonces ∆ABC ∼ ∆EDG
e d g
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Puntos y rectas notables:
Definición (Altura en un triángulo):
El segmento de recta perpendicular a un lado del triángulo o a su prolongación por el
vértice opuesto a ella recibe el nombre de Altura
Teorema:
Las tres alturas trazadas de los tres vértices de un triángulo concurren en un único punto
llamado ortocentro
Definición (Mediana en un triángulo):
El segmento de recta que pasa por el punto medio del lado opuesto al vértice sobre el
cual se traza recibe el nombre de mediana
Teorema:
Las tres medianas trazadas sobre los tres lados del triángulo concurren en un único
punto llamado centroide o baricentro
Definición (Mediatriz en un triángulo):
Recta perpendicular al punto medio de un lado del triángulo
Teorema:
Las tres medianas trazadas sobre cada uno de los lados del triángulo concurren en un
único punto llamado circuncentro
Corolario:
El circuncentro es el centro de la circunferencia que equidista de los tres vértices del
triángulo, a ésta circunferencia se le llama circunferencia circunscrita al triángulo
Definición (Bisectriz en un triángulo):
El rayo que biseca (divide en dos parte iguales) a un ángulo del triángulo recibe el
nombre de bisectriz
Teorema:
Las tres bisectrices de un triángulo concurren en un único punto llamado incentro del
triángulo
Corolario:
El incentro es el centro de la circunferencia que equidista de los tres lados del triángulo,
ésta circunferencia recibe el nombre de circunferencia inscrita al triángulo
Teorema:
La altura, mediana, mediatriz y bisectriz sobre el lado desigual (base) de un triángulo
isósceles coinciden sobre ese lado
Corolario:
Todas las rectas notables trazadas sobre un mismo lado en un triángulo equilátero
coinciden sobre ese lado
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Definición (Ángulos suplementarios):
Dos o más ángulos son correspondientes si al sumar sus medidas dan como resultado
180º o π radianes
Definición (Ángulos complementarios):
Dos o más ángulos son complementarios si al sumar sus medidas dan como resultado
π
90º o
radianes
2
Definición (Ángulos opuestos por el vértice):
Dos ángulos son opuestos por el vértice si comparten el mismo vértice y uno está
opuesto al otro, además todos los ángulos de éste tipo son congruentes
Si l1
Ángulos entre paralelas:
l2 entonces se cumple que:
Ángulos correspondientes:
m α =m ε , m δ =m θ
m β =m ζ , m γ =m η
Ángulos alternos internos:
m γ =m ε , m δ =m ζ
Ángulos alternos externos:
m α =m η, m β =m θ
Si l1 l2
Teorema de Thales (semejanza básica):
a c
l3 entonces se cumple que: =
b d
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Polígonos Regulares y Convexos:
Notas: n indica el número de lados del polígono
rc representa la medida del radio del círculo
rp es igual a la longitud del radio del polígono
a representa la medida de la apotema del polígono
l es la longitud del lado del polígono
m central =
360º
,
n
m interno =
180ºi( n − 2 )
,
n
# diagonales desde un vértice = ( n − 3) ,
∑m
internos = 180º i( n − 2 ) ,
#total diagonales =
ni( n − 3)
2
Teorema:
La medida del lado de un hexágono regular es igual a su radio
Polígonos inscritos en una circunferencia:
Por T. Pitágoras:
rc = a
2
2
⎛l⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
2
Polígonos circunscritos en una circunferencia:
Por T. Pitágoras:
⎛l⎞
rp = rc + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
2
2
2
Algunas fórmulas de áreas
Áreas del Triángulo:
bi h
A∆ =
2
A∆Herón = s∆ ( s∆ − a )( s∆ − b )( s∆ − c )
A∆equilátero =
A∆ =
l2 3
4
s∆ =
P∆ = a + b + c
a+b+c
2
bc sin α
2
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Áreas de cuadriláteros:
ATrapecio =
( B + b )i h
AP.Regular =
Aparalelogramo = bih
2
Pia
2
Sobre el círculo y la circunferencia
Teoremas sobre arcos y ángulos:
-Ángulo central: m α = m AB
-Ángulo inscrito: m α =
mAB
2
-Ángulo circunscrito: m α =
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-Ángulo exterior: m α =
mAB − mCD
2
-Ángulo interior m α =
mAB + mCD
2
m ACB − mCD
mAB
-Ángulo semi-inscrito: m TBA =
2
2
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Teoremas sobre radios y cuerdas:
- Un radio es perpendicular a una cuerda si y solo si biseca a la cuerda
- Una recta que posee un punto sobre la circunferencia (punto de tangencia) es tangente
a ella si y solo si el radio es perpendicular a ese punto
- Cuerdas equidistantes del centro son congruentes
- Cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes
- Si dos cuerdas de una circunferencia son paralelas entonces son congruentes
Regiones circulares:
Notas: r y R representan las longitudes de radios de circunferencias y nº indica la
media de un ángulo en grados
Área del círculo:
A (O, r) = π r 2
Sector circular:
π r 2 nº
ASect (O, r) =
360º
Segmento circular:
π r 2 nº
− A∆
ASect (O, r) =
360º
Circunferencia:
CΟ (O, r ) = 2π r
Longitud de arco:
π rn º
l AB =
180º
Estereometría (Geometría Euclidiana en
3
)
a. Poliedros:
Notas: Ab : área de la base, h : altura de la pirámide
1. Prismas rectos:
Vprisma = Ab ih
Alateral = Arectángulo i #caras
Abasal = Área de la base
Cubo:
db : Diagonal del cuadrado de la base
Por triángulos especiales se tiene que:
db = a 2
Dc : Diagonal del cubo
Por teorema de Pitágoras se tiene que:
Dc = a 3
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Paralelepípedo:
db : Diagonal de la base
Por teorema de Pitágoras se tiene que:
db = a 2 + l 2
Dc : Diagonal del cubo
Por teorema de Pitágoras se tiene que:
Dc = a 2 + l 2 + h 2
Prismas rectos de base regular:
P ia
2
= Abasal i h
Abasal =
Vprisma
Alateral = Arectángulo i #caras
2. Pirámides rectas de base regular:
1
Vpirámide = Ab ih
3
Alateral = Atriángulo i#caras
Abasal = Área de la base
Pirámides rectas de base regular:
Simbología:
a : Arista de la pirámide
ab : Apotema de la base de la pirámide
a p : Apotema de la pirámide, i.e. altura del
triángulo isósceles que forma la cara lateral
hp : Altura de la pirámide
r : Radio de la base de la pirámide
l : Longitud del lado de la base
Note que:
a p 2 = hp 2 + ab2
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Note que:
a 2 = hp 2 + r 2
b. Cuerpos redondos:
Cilindro circular recto: Prisma recto de base circular, engendrada al girar un rectángulo
sobre uno de sus lados.
Vprisma = π r 2 h
Alateral = 2π rh
Abasal = π r 2
h=g
ATotal = 2π rh + 2π r 2
Cono circular recto: Pirámide recta de base circular, engendrada al girar un triángulo
rectángulo sobre uno de sus catetos.
1
Vpirámide = π r 2 h
3
Abasal = π r 2
Alateral = π rg
ATotal = π rg + π r 2
g 2 = h2 + r 2
Esfera: Engendrado al girar sobre un diámetro a media circunferencia
4
Vesfera = π r 3
3
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ATotal = 4π r 2
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