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Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Algunos resultados importantes de Geometría Euclidiana en el plano: Grados y radianes El despeje de la siguiente ecuación permite realizar la conversión de la unidad angular: grados radianes = 180º π Triángulos: Triángulo rectángulo isósceles: Teorema de Pitágoras: Triángulo rectángulo semiequilátero: Derivados de Pitágoras: c2 = a 2 + b2 Altura sobre la hipotenusa: h 2 = min Producto de los catetos: c 2 = a in , b 2 = a in Semejanza de triángulos: Postulado A.A. (también llamado A.A.A.): Si ABC ≅ EDG ∧ BCA ≅ DGE , entonces ∆ABC ∼ ∆EDG Teorema: criterio L.A.L.: Si a b ∧ = e d ACB ≅ DGE , entonces ∆ABC ∼ ∆EDG Teorema: criterio L.L.L.: a b c = = , entonces ∆ABC ∼ ∆EDG e d g Página 1 de 8 [email protected] Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Puntos y rectas notables: Definición (Altura en un triángulo): El segmento de recta perpendicular a un lado del triángulo o a su prolongación por el vértice opuesto a ella recibe el nombre de Altura Teorema: Las tres alturas trazadas de los tres vértices de un triángulo concurren en un único punto llamado ortocentro Definición (Mediana en un triángulo): El segmento de recta que pasa por el punto medio del lado opuesto al vértice sobre el cual se traza recibe el nombre de mediana Teorema: Las tres medianas trazadas sobre los tres lados del triángulo concurren en un único punto llamado centroide o baricentro Definición (Mediatriz en un triángulo): Recta perpendicular al punto medio de un lado del triángulo Teorema: Las tres medianas trazadas sobre cada uno de los lados del triángulo concurren en un único punto llamado circuncentro Corolario: El circuncentro es el centro de la circunferencia que equidista de los tres vértices del triángulo, a ésta circunferencia se le llama circunferencia circunscrita al triángulo Definición (Bisectriz en un triángulo): El rayo que biseca (divide en dos parte iguales) a un ángulo del triángulo recibe el nombre de bisectriz Teorema: Las tres bisectrices de un triángulo concurren en un único punto llamado incentro del triángulo Corolario: El incentro es el centro de la circunferencia que equidista de los tres lados del triángulo, ésta circunferencia recibe el nombre de circunferencia inscrita al triángulo Teorema: La altura, mediana, mediatriz y bisectriz sobre el lado desigual (base) de un triángulo isósceles coinciden sobre ese lado Corolario: Todas las rectas notables trazadas sobre un mismo lado en un triángulo equilátero coinciden sobre ese lado Página 2 de 8 [email protected] Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Definición (Ángulos suplementarios): Dos o más ángulos son correspondientes si al sumar sus medidas dan como resultado 180º o π radianes Definición (Ángulos complementarios): Dos o más ángulos son complementarios si al sumar sus medidas dan como resultado π 90º o radianes 2 Definición (Ángulos opuestos por el vértice): Dos ángulos son opuestos por el vértice si comparten el mismo vértice y uno está opuesto al otro, además todos los ángulos de éste tipo son congruentes Si l1 Ángulos entre paralelas: l2 entonces se cumple que: Ángulos correspondientes: m α =m ε , m δ =m θ m β =m ζ , m γ =m η Ángulos alternos internos: m γ =m ε , m δ =m ζ Ángulos alternos externos: m α =m η, m β =m θ Si l1 l2 Teorema de Thales (semejanza básica): a c l3 entonces se cumple que: = b d Página 3 de 8 [email protected] Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Polígonos Regulares y Convexos: Notas: n indica el número de lados del polígono rc representa la medida del radio del círculo rp es igual a la longitud del radio del polígono a representa la medida de la apotema del polígono l es la longitud del lado del polígono m central = 360º , n m interno = 180ºi( n − 2 ) , n # diagonales desde un vértice = ( n − 3) , ∑m internos = 180º i( n − 2 ) , #total diagonales = ni( n − 3) 2 Teorema: La medida del lado de un hexágono regular es igual a su radio Polígonos inscritos en una circunferencia: Por T. Pitágoras: rc = a 2 2 ⎛l⎞ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ 2 Polígonos circunscritos en una circunferencia: Por T. Pitágoras: ⎛l⎞ rp = rc + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ 2 2 2 Algunas fórmulas de áreas Áreas del Triángulo: bi h A∆ = 2 A∆Herón = s∆ ( s∆ − a )( s∆ − b )( s∆ − c ) A∆equilátero = A∆ = l2 3 4 s∆ = P∆ = a + b + c a+b+c 2 bc sin α 2 Página 4 de 8 [email protected] Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Áreas de cuadriláteros: ATrapecio = ( B + b )i h AP.Regular = Aparalelogramo = bih 2 Pia 2 Sobre el círculo y la circunferencia Teoremas sobre arcos y ángulos: -Ángulo central: m α = m AB -Ángulo inscrito: m α = mAB 2 -Ángulo circunscrito: m α = Página 5 de 8 -Ángulo exterior: m α = mAB − mCD 2 -Ángulo interior m α = mAB + mCD 2 m ACB − mCD mAB -Ángulo semi-inscrito: m TBA = 2 2 [email protected] Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Teoremas sobre radios y cuerdas: - Un radio es perpendicular a una cuerda si y solo si biseca a la cuerda - Una recta que posee un punto sobre la circunferencia (punto de tangencia) es tangente a ella si y solo si el radio es perpendicular a ese punto - Cuerdas equidistantes del centro son congruentes - Cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes - Si dos cuerdas de una circunferencia son paralelas entonces son congruentes Regiones circulares: Notas: r y R representan las longitudes de radios de circunferencias y nº indica la media de un ángulo en grados Área del círculo: A (O, r) = π r 2 Sector circular: π r 2 nº ASect (O, r) = 360º Segmento circular: π r 2 nº − A∆ ASect (O, r) = 360º Circunferencia: CΟ (O, r ) = 2π r Longitud de arco: π rn º l AB = 180º Estereometría (Geometría Euclidiana en 3 ) a. Poliedros: Notas: Ab : área de la base, h : altura de la pirámide 1. Prismas rectos: Vprisma = Ab ih Alateral = Arectángulo i #caras Abasal = Área de la base Cubo: db : Diagonal del cuadrado de la base Por triángulos especiales se tiene que: db = a 2 Dc : Diagonal del cubo Por teorema de Pitágoras se tiene que: Dc = a 3 Página 6 de 8 [email protected] Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Paralelepípedo: db : Diagonal de la base Por teorema de Pitágoras se tiene que: db = a 2 + l 2 Dc : Diagonal del cubo Por teorema de Pitágoras se tiene que: Dc = a 2 + l 2 + h 2 Prismas rectos de base regular: P ia 2 = Abasal i h Abasal = Vprisma Alateral = Arectángulo i #caras 2. Pirámides rectas de base regular: 1 Vpirámide = Ab ih 3 Alateral = Atriángulo i#caras Abasal = Área de la base Pirámides rectas de base regular: Simbología: a : Arista de la pirámide ab : Apotema de la base de la pirámide a p : Apotema de la pirámide, i.e. altura del triángulo isósceles que forma la cara lateral hp : Altura de la pirámide r : Radio de la base de la pirámide l : Longitud del lado de la base Note que: a p 2 = hp 2 + ab2 Página 7 de 8 [email protected] Prof.: Bach Carlos Enrique Guillén Pérez Matemática ~ Geometría Euclidiana en 2 Note que: a 2 = hp 2 + r 2 b. Cuerpos redondos: Cilindro circular recto: Prisma recto de base circular, engendrada al girar un rectángulo sobre uno de sus lados. Vprisma = π r 2 h Alateral = 2π rh Abasal = π r 2 h=g ATotal = 2π rh + 2π r 2 Cono circular recto: Pirámide recta de base circular, engendrada al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. 1 Vpirámide = π r 2 h 3 Abasal = π r 2 Alateral = π rg ATotal = π rg + π r 2 g 2 = h2 + r 2 Esfera: Engendrado al girar sobre un diámetro a media circunferencia 4 Vesfera = π r 3 3 Página 8 de 8 ATotal = 4π r 2 [email protected]