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NÚMEROS Y ÁLGEBRA
Números naturales
Inicialmente, el ser humano representaba los números
naturales mediante marcas en piedras, huesos, maderas... en los que cada una de ellas hacía referencia a un
elemento. A medida que tuvo la necesidad de representar
números más grandes, creó sistemas de numeración que
permitirían representarlos de forma más rápida y fácil.
En la actualidad, los números naturales, ademas de para
contar, se utilizan también para estimar cantidades, ordenar elementos y codificar informaciones.
CONTENIDOS
1. Sistemas de numeración
2. El conjunto de los naturales
3. Técnicas de cálculo
Cre@ctividad
Creación de una calculadora simultánea
Rutina de pensamiento
MIRAR:10 VECES 2
• Observa la imagen del escritorio durante aproximadamente 30 segundos.
• Elabora una lista de diez palabras o frases sobre cualquier aspecto de la imagen.
• Observa de nuevo la imagen durante 30 segundos y
añade diez palabras o frases más.
• Poned en común y comentad vuestras respuestas.
12
13
1. Sistemas de numeración
A lo largo de la historia, diferentes civilizaciones han desarrollado distintos sistemas para representar cantidades.
Observa los símbolos que utilizaban los egipcios, los babilonios y los romanos.
Los egipcios (3000 a. C.)
2 3 4 5
1 000
6
7
10 000
8
100 000
Los babilonios (2000 a. C.)
1
2
6
7
20
30
3
4
Los romanos (500 a. C.)
1
5
2
3
4
5
10 100
9
1 000 000
8
9
40
6
10
50
10
7
50
8
100
9
500 1 000
Combinando estos símbolos y utilizando reglas específicas podían escribir cualquier número.
Observa cómo representaban el número 1664 en las tres civilizaciones anteriores:
4+
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 +
100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 +
(20 + 7) × 60 + 44 =
= 1 620 + 44 =
= 1 664
+ 1 000 = 1 664
1 000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 4 =
= 1 664
El conjunto de símbolos y reglas que permiten escribir y leer cualquier número se denomina sistema de numeración.
a) 12
b) 25
c) 250
d) 1 350
3. En la siguiente página encontrarás información sobre
diversos sistemas de numeración:
http://links.edebe.com/9mde
— ¿Cuándo se introdujo el símbolo del 0?
2. Elabora una lista con las ventajas y los inconvenientes
de los sistemas anteriores.
— ¿Aparece el 0 en el sistema de numeración griego?
¿Y en el maya?
— ¿Qué característica debe tener un sistema para que
sea eficaz a la hora de representar cualquier número
natural?
4. En grupo, cread un sistema de numeración con los símbolos y las reglas necesarios para poder representar
cualquier cantidad. Comprobad su validez escribiendo
distintas cantidades.
14
Unidad 1
Actividades
1. Representa las siguientes cantidades en los sistemas de
numeración egipcio, babilonio y romano:
1.1. Sistema de numeración decimal
El sistema de numeración decimal fue inventado en la India
y popularizado por los árabes.
Es por ello que se conoce como
sistema de numeración indoarábigo.
El sistema de numeración decimal fue introducido en Europa en el siglo xiii por un destacado matemático de la época: Leonardo Fibonacci.
•Para representar los distintos números se utilizan los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 y 9, denominados cifras o dígitos.
•El valor de estas cifras varía según la posición que ocupan dentro de cada
número. Se trata, por lo tanto, de un sistema de numeración posicional.
Observa el valor de las cifras del número 223:
2 centenas = (2 C)
2 decenas = (2 D)
3 unidades = (3 U)
+
+
20 unidades
200 unidades
3 unidades
Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. De ahí el nombre de sistema de numeración decimal.
=
=
10 decenas = 1 centena
10 unidades = 1 decena
A continuación, puedes ver en esta tabla los diferentes órdenes de unidades, hasta las unidades de millón, y su valor en unidades.
ORDEN DE LA
UNIDAD
Unidad de millón
(UMM)
Centena de millar
(CM)
Decena de millar
(DM)
Unidad de millar
(UM)
Centena
(C)
Decena
(D)
Unidad
(U)
VALOR
1 000 000
100 000
10 000
1 000
100
10
1
•Así, podemos descomponer el número 4 248 759 de la siguiente forma:
4 248 759 = 4 × 1 000 000 + 2 × 100 000 + 4 × 10 000 + 8 × 1 000 + 7 × 100 + 5 × 10 + 9
Se lee cuatro millones doscientos cuarenta y ocho mil setecientos cincuenta y
nueve.
6. Escribe un número de cuatro cifras en el que el 5 ocupe
el lugar de las centenas y el 3, el de las unidades de millar.
7. Observa los órdenes de unidades del número 3 546:
3 UM 5 C 4 D 6 U
— Ahora escribe los órdenes de unidades de cada una
de las cifras de estos números:
a) 7 892 b) 9 034 c) 216 314 d) 3 456 245 e) 5 378 167
Números naturales
15
Actividades
5.¿El sistema de numeración egipcio es posicional o no
posicional? ¿Y el babilónico? ¿Y el romano?
2. El conjunto de los naturales
Para contar, asociamos números a los objetos.
Los números naturales son los números que utilizamos para contar y forman un conjunto, el conjunto de números naturales, que representamos
por la letra N.
Características del
conjunto de los
números naturales
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
• El primer elemento es el número 1.
Con los números naturales podemos efectuar distintas operaciones. Repasaremos primero la suma, la resta, la multiplicacion y la división. Luego trabajaremos
las potencias y la raiz cuadrada.
• Cada elemento se obtiene del
anterior al sumarle una unidad.
+1
+1
+1
2.1. Suma y resta
1 2...143 144...3 256 3 257
Sumar consiste en agregar una cantidad a otra.
• Sus elementos están ordenados ya que cada número es
mayor que el ­anterior.
Ejemplo 1
… 215 < 216 < 217…
Irene tiene ahorrados 248 euros y Elena, 345. ¿Cuánto dinero tienen
entre las dos?
• El número de elementos del
conjunto es ilimitado.
593
PROPIEDAD
ENUNCIADO
EJEMPLO
Conmutativa
Si cambiamos el orden de
los sumandos, el resultado
no varía:
24 + 22 = 22 + 24
46 = 46
a+b=b+a
Asociativa
El resultado no depende de
la forma en que se agrupen
los sumandos:
La prueba de la resta
√
46 + 25 = 24 + 47
71 = 71
Restar es la operación contraria a la suma y consiste en quitar o sustraer una
cantidad de otra.
En toda resta se cumple:
Sustraendo
+ Diferencia
Ejemplo 2
La distancia de Sevilla a San Sebastián es de 1 007 km.
Si ya hemos recorrido 428 km, ¿cuántos kilómetros nos
faltan para llegar?
Minuendo
Así, 428 + 579 = 1 007
a) 1 235 695 + 236 528
c) 532 214 − 125 638
b) 1 234 672 − 1 027 754
d) 23 456 + 456 782
— Comprueba el resultado de las restas aplicando la
prueba de la resta.
1 007 Minuendo
− 428 Sustraendo
579 Resta o diferencia
9. Explica de dos formas distintas cómo resolverías esta
operación: 1 325 + 75 + 5 698.
— ¿Qué propiedad has aplicado?
10. ¿Cumple la resta la propiedad conmutativa? ¿Y la propiedad asociativa? Razona tus respuestas.
Actividades
8. Efectúa las siguientes operaciones:
Unidad 1
√
(24 + 22) + 25 = 24 + (22 + 25)
(a + b) + c = a + (b + c)
16
248
+ 345
2.2. Multiplicación
Multiplicar consiste en sumar una misma cantidad cierto número de veces.
Ejemplo 3
Una estantería de la biblioteca tiene 24 estantes.
Si en cada estante colocamos 56 libros, ¿cuántos libros hay en la estantería?
24 Factor
× 56 Factor
144 Productos
120 intermedios
1 344 Producto
La multiplicación de números naturales tiene las siguientes propiedades:
PROPIEDAD
Conmutativa
ENUNCIADO
EJEMPLO
Si cambiamos el orden de los factores, el resultado
no varía:
12 × 3 = 3 × 12
Asociativa
Elemento unidad
√
36 = 36
a × b = b × a
El resultado no depende de la forma en que se agrupen los factores:
(a × b) × c = a × (b × c)
(9 × 3) × 4 = 9 × (3 × 4)
√
√
27 × 4 = 9 × 12
108 = 108
El 1 es el elemento unidad de la multiplicación, pues
al multiplicar cualquier número por 1 se obtiene el
mismo número.
34 × 1 = 34
a×1=a
Distributiva
de la multiplicación
respecto de la suma
El producto de un número por una suma (o resta) es
igual a la suma (o resta) de este número por cada
sumando (o sustraendo).
a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b − c) = a × b − a × c
3 × (7 + 4) = 3 × 7 + 3 × 4
3 × 11 = 21 + 12
→
3 × (7 − 4) = 3 × 7 − 3 × 4
3 × 3 = 21 − 12
→
√
√
33 = 33
9=9
Factor Común
La propiedad distributiva puede aplicarse para transformar una suma de productos con un factor común en el producto de dicho factor por una suma. Dicha
operación se denomina sacar factor común.
2 × 9 + 2 × 5 = 2 × (9 + 5)
a) 3 456 × 296
c) 97 532 × 26
b) 325 × 9 997
d) 329 × 8 976
12. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) 2 × (45 + 70)
b) 5 × (15 − 11)
13. Resuelve sacando factor común:
a) 125 × 5 + 300 × 5
b) 42 × 4 − 4 × 25
c) 3 × a + 3 × b
d) 5 × b + 5
14. Manuel tiene ahorrados, tres billetes de 10 ∑ y tres billetes de 5 ∑. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado de dos
formas distintas.
Números naturales
17
Actividades
11. Efectúa estas multiplicaciones:
2.3. División
Dividir consiste en repartir una cantidad en partes iguales.
Ejemplo 4
Susana quiere repartir 125 fotografías y 153 postales en 25 cajas de modo que cada
caja contenga el mismo número de fotografías y postales. ¿Cuántas de cada tipo
debe poner en cada caja?
REPARTO DE:
125 fotografías en 25 cajas.
Dividendo 125
25
Divisor
Resto
5
Cociente
División entera
• Ten en cuenta que en toda
división entera el resto es
mayor que 0 y menor que el
divisor.
0 < Resto < Divisor
0
Dividendo 153
25
Divisor
Resto
5
Cociente
3
Susana pondrá 5 fotografías en
cada caja y no le sobrará ninguna fotografía.
Susana pondrá 6 postales
en cada caja y le sobrarán 3
postales.
División exacta
División entera
Decimos que una división es
exacta si el resto es 0.
• En una divisón entera no es
posible repartir una cantidad en tantas partes iguales como indica el cociente.
El resto indica las partes que
sobran.
153 postales en 25 cajas.
Decimos que una división es
entera si el resto es distinto
de 0.
En toda división se cumple que:
Divisor × Cociente + Resto = Dividendo
Comprobamos que esta condición se cumple en las dos divisiones anteriores.
Divisor × Cociente + Resto =
= Dividendo
Divisor × Cociente + Resto =
= Dividendo
25 × 5 + 0 = 125
25 × 6 + 3 = 150 + 3 = 153
a) 2 422 : 56
c) 3 892 123 : 531
b) 1 326 : 26
d) 56 850 869 : 589
16. Efectúa las divisiones y verifica que se cumple la prueba
de la división.
a) 345 678 : 98
18
Unidad 1
b) 1 009 876 : 456
√
17. En una división entera el divisor es 474, el cociente 5 295
y el resto 83. ¿Cuál es el dividendo?
18. ¿Cumple la división la propiedad conmutativa? ¿Tiene
elemento unidad? Razona tus respuestas.
19. Un profesor reparte 176 fichas, en partes iguales, entre
sus 24 alumnos. ¿Cuántas fichas le sobrarán? ¿Cuántas
fichas recibirá cada alumno?
Actividades
15. Calcula estas divisiones e indica si son exactas o enteras.
√
2.4. Operaciones combinadas
A veces nos encontramos con varias operaciones distintas seguidas, separadas
en algunos casos por paréntesis. Se trata de operaciones c
­ ombinadas.
5×4+3
42 − 24 : 4 × 5
3 + 5 × (4 + 2)
¿En qué orden debemos efectuar estas operaciones?
Si no hay paréntesis, efectuamos primero las multiplicaciones
y las divisiones, en el orden en que aparecen, y después las
sumas y las restas.
Paréntesis 3 + 5 × (4 + 2)
División 42 − 24 : 4 × 5
Multiplicación 5 × 4 + 3
Suma
Si hay paréntesis, debemos efectuar primero
las operaciones indicadas dentro de ellos.
Multiplicación
20 + 3
42 − 6 × 5
Resta
23
Multiplicación
4 − 30
Suma
12
3 + 30
33
En algunas operaciones combinadas encontramos paréntesis dentro de otros
paréntesis. En estos casos los paréntesis exteriores se representan por corchetes [ ].
Ejemplo 5
3+5×6
Efectúa la siguiente operación combinada:
[18 + 4 × (5 × 3 − 9)] : 2 − 3 × (20 − 14)
COMPRENSIÓN:
En este caso aparecen paréntesis y corchetes. Comenzamos operando del más interno al más externo.
Calculadora
La calculadora puede serte útil
para efectuar operaciones con
números grandes y para comprobar tus resultados.
La mayor parte de las calculadoras actuales respetan la prioridad
de operaciones.
Por ejemplo, para efectuar la operación combinada
288 : (8 − 4) + 23
RESOLUCIÓN:
— Primero, efectuamos las operaciones indicadas en el paréntesis interior y sustituimos los corchetes por paréntesis:
es necesario teclear en tu calculadora los paréntesis:
(18 + 4 × 6) : 2 − 3 × (20 − 14)
— Después, efectuamos las operaciones que están dentro de los paréntesis y, a
continuación, procedemos como en las operaciones combinadas sin paréntesis:
42 : 2 − 3 × 6 = 21 − 18 = 3
a) 3 + 7 − 3 × (6 − 4) + 3
c) 250 − 12 × 28 + 4 × (28 − 7)
b) [(5 + 12) × 6] : 34
d) 5 625 − [(200 − 50) × 20] : 40
22. Dos amigos han instalado un chiringuito de venta de limonada en la playa. Al final de la semana han recaudado
cinco billetes de 10 ∑, cuatro billetes de 5 ∑ y cuatro
monedas de 2 ∑:
21. Completa en tu cuaderno con el número que falta:
a) ¿Cuánto dinero ganaron en total? a) 4 × ..... − 2 + 4 = 14
b) Si se repartieron el dinero en partes iguales, ¿qué
cantidad ganó cada uno?
b) 3 × (..... − 5) + 6 = 9
c) 2 × 3 + ..... − 3 × 2 = 5
d) 3 × (..... − 5) + 2 × (..... − 2) = 11
c) ¿Cómo expresarías lo que ganó cada uno en una operación combinada?
Números naturales
19
Actividades
20. Efectúa estas operaciones combinadas:
— ¿Qué sucedería si no los pusieras?
2.5. Potencias
Como ya sabes, la multiplicación se define a partir de sumas de sumandos iguales. Análogamente, a menudo conviene efectuar productos de factores iguales,
denominados potencias.
El cubo de la imagen tiene cuatro pisos. Cada piso tiene cuatro filas de cuatro
cubitos cada una. Así, el cubo mayor está formado por:
4 × 4 × 4 = 64 cubitos
Una potencia es un producto de factores iguales.
El factor que se repite es la base.
Ejemplo 6
El número de veces que se repite el factor es el exponente.
Ana recibe un sms. En un minuto reenvía el sms a Benito, Carlos y Diana. Cada uno de ellos, en un minuto, envía el sms a otras tres personas y así sucesivamente. Si todas las personas que reciben el sms son diferentes y cada una lo envía a otras tres personas en un minuto, ¿cuántas personas reciben el sms al cabo de 5 minutos?
COMPRENSIÓN: Un esquema o dibujo de la situación
puede ayudarnos en la identificación de datos y en la
resolución.
— E n el primer minuto reciben el sms 3 personas, en el segundo minuto 3 × 3, en
el tercero 3 × 3 × 3 y así sucesivamente.
RESOLUCIÓN:
Al cabo de 5 minutos han recibido el sms:
1 + 3 + 3 × 3 + 3 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 364
...
...
...
Transcurridos 5 minutos, 364 personas habrán recibido el sms.
Escritura de potencias
Cuadrados y cubos
El número que indica la base se escribe al mismo nivel y tamaño de letra que la
línea del texto y el exponente se escribe a la derecha, como superíndice.
Las potencias de exponente 2
se denominan cuadrados. Así,
72 se lee 7 elevado al cuadrado.
Las potencias de exponente 3
se denominan cubos. Así, 53 se
lee 5 elevado al cubo.
4×4×4=43
Potencia
Exponente
Base
Así, la solución del ejemplo anterior se puede escribir:
1 + 3 + 3 2 + 33 + 34 + 35
Lectura de potencias
Las potencias cuyo exponente es mayor que 3, como por ejemplo 68, se leen:
6 elevado a 8 o bien 6 elevado a la octava potencia
20
24. Expresa en forma de producto de factores iguales y calcula:
a) 4 × 4 × 4 × 4 × 4
a) 23 = 2 × 2 × 2 = 8
c) 31
e) 25
b) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
b) 35
d) 73
f) 52
Unidad 1
Actividades
23. Escribe en forma abreviada los siguientes productos.
Identifica en cada caso la base y el exponente, y calcula:
Potencias de 10
Orden de magnitud
Fíjate en el resultado de algunas potencias de 10:
El orden de magnitud de un número es la aproximación a la potencia de 10 más próxima a este
número. Por ejemplo, el orden
de magnitud de 1 273 es 103.
105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
108 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 000
En cada caso el número de ceros es igual al exponente.
Toda potencia de 10 cuyo exponente es un número natural es igual a la
unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.
Las potencias de 10 son muy útiles puesto que nos permiten mostrar el orden de
magnitud de cantidades muy grandes.
Observa el siguiente número:
8 × 1022 = 80 000 000 000 000 000 000 000
La expresión que usa la potencia de 10 nos permite reconocer el orden de magnitud del número; es decir, cuántas cifras tiene, mucho más rápida y claramente
que su expresión completa.
¿Grande o muy grande?
Además, la sencillez de su expresión permite su empleo como elemento fundamental en el sistema de representación de los números que se conoce como
notación científica.
Descomposición polinómica de un número
Cualquier número formado por una o varias cifras puede expresarse como una
combinación de potencias de 10. Así:
7 654
Acércate al mundo de las magnitudes estelares.
http://links.edebe.com/s6dr9d
7 000
600
50
4
7 × 1 000
6 × 100
5 × 10
4
7 × 103
6 × 102
5 × 10
4
— Expresa los diámetros de
los planetas y las estrellas
que se presentan en los vídeos como producto de un
número por una potencia
de 10.
— Compara los diámetros de
los planetas y las estrellas
con el diámetro del Sol.
7 654 = 7 × 103 + 6 × 102 + 5 × 10 + 4
Esta expresión recibe el nombre de descomposición polinómica del número
7 654.
a) 103 = 10 × 10 × 10 = .........................
b) 104 = .................................................. = 10 000
a) De la Tierra al Sol, 150 000 000 km.
c) ......... = .................................................. = 10 000 000
b) De la Tierra a Marte, 78 000 000 km.
26. Escribe las descomposiciones polinómica de estos números:
a) 1 537
b) 9 007 163
Actividades
27. Expresa las siguientes distancias como producto de un número por una potencia de 10:
25. Completa:
c) 15 318
c) De la Tierra a la estrella Alfa de Centauro,
40 000 000 000 000 km.
Números naturales
21
Operaciones con potencias
En las operaciones combinadas, las potencias, dado que son productos de factores iguales, tienen prioridad respecto a las sumas y restas.
Observa el ejemplo siguiente:
Ejemplo 7
Paréntesis 5 × 103 − 3 × (52 + 25) + 24 × 42
Potencias y Multiplicaciones
5 × 103 − 3 × 57 + 24 × 42
5 000 − 171 + 256 = 5 085
División de potencias con la misma base
Multiplicación de potencias con la misma
base
7 ×
2
73
=7×7×7×7×7=
75
=7
117 : 114 =
11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11
11 × 11 × 11 × 11
2+3
=
= 11 × 11 × 11 = 113 = 117−4
El producto de potencias con la misma base es otra
potencia con la misma base cuyo exponente es la
suma de los exponentes.
El cociente de potencias con la misma base es otra
potencia con la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am × an = am + n
am : an = am − n
Veamos dos casos particulares de potencias.
Producto de potencias
Potencias de exponente 0
Potencias de exponente 1
Puesto que 100 = 1 y 101 = 10,
podemos expresar todas las cifras de cualquier número como
producto de potencias de 10.
Así:
Consideremos la siguiente división:
Consideremos la siguiente división:
7 654 = 7 ×
+6×
+ 5 × 101 + 4 × 100
103
102
74 : 74 =
74 : 73 =
= 74−4 = 70 = 1
=
Cualquier potencia de exponente 0 es igual a 1.
Cualquier potencia de exponente
1 es igual a la base.
a0 = 1
a1 = a
b) 26 : 42 + 30 × 41
b) 51 × 52 = 5.... = 5.... = .......
29. Razona, escribiendo todos los factores, que:
c) 24 : 23 = ....... = ....... = .......
d) 36 : 32 = ....... = ....... = .......
Actividades
30. Resuelve según el modelo:
a) 42 × 43 = 42 + 3 = 45 = 1 024
Unidad 1
7×7×7
= 74−3 = 71 = 7
a) 2 × 34 + (2 + 3)4 − 42 + 1
54 × 56 = 510
7×7×7×7
+
28. Calcula:
22
7×7×7×7
=
7×7×7×7
Potencia de una potencia
Potencia de un producto
(3 × 5)2 = (3 × 5) × (3 × 5) = 3 × 5 × 3 × 5 = 3 2 × 5 2
Para elevar un producto a una potencia, se eleva
cada uno de los factores a dicha potencia.
(a × b)n = an × bn
(7 2 ) 3 = 72 × 72 × 72 = 72 + 2 + 2 = 7 2
× 3
Al elevar una potencia a un exponente resulta una
nueva potencia con la misma base, cuyo exponente es
igual al producto de los exponentes.
(am)n = am × n
Ejemplo 8
Observa cómo se aplican las propiedades de las potencias en los siguientes
ejemplos:
Expresa las siguientes operaciones en forma de una sola potencia:
a) 252 × 53
b) 1443 : 12
COMPRENSIÓN:
a) Expresaremos 25 como potencia de 5 y aplicaremos las propiedades de las potencias.
b) Expresaremos 144 como potencia de 12 y aplicaremos las propiedades de las potencias.
RESOLUCIÓN:
a) 25 = 5 × 5 = 52
252 × 53 = (52)2 × 53 = 52 × 2 × 53 = 54 × 53 = 54 + 3 = 57
b) 144 = 12 × 12 = 122
Ejemplo 9
1442 : 12 = (122)2 : 12 = 122 × 2 : 121 = 124 : 121 = 124 − 1 = 123
Un terreno agrícola rectangular tiene 8 ha de ancho y 6 000 m de largo. ¿Cuántos metros cuadrados tiene de área? Expresa los datos y el resultado en forma de potencia de
10
COMPRENSIÓN: El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura.
Expresaremos las medidas en metros y en forma de potencia de diez y calcularemos el
área aplicando las propiedades de las potencias.
RESOLUCIÓN:
8 ha = 800 m = 8 × 102 m
6 000 m = 6 × 103 m
Área = 8 × 102 × 6 × 103 = (8 × 6) × 103+2 = 48 × 105
El área del terreno es de 48 × 105 m2
×
a)
25
2 3
b)
(34)7
c) (34)2 : 33 × 32
d)
103
e) (3 ×
× (2 ×
5)3
2)4
f) (23 × 23)2 : 23
g)
115
h)
63
:
112
× (2 × 3)2
i) (54 : 52)2
32. Expresa las siguientes operaciones en forma de una única potencia:
a) (642 × 83)5
b) (162 : 22 × 24)2
c) 72 × 74 : 493
33. Para fabricar una cortina hemos comprada una tela rectangular de 3 m de alto y 600 mm de ancho. ¿Cuántos
milímetros cuadrados tendrá la cortina? Expresa el resultado en forma de potencia de 10.
Números naturales
23
Actividades
31. Aplica las propiedades de las potencias para expresar
como una potencia única cada una de las expresiones
numéricas siguientes:
Cuadrado
Raíz cuadrada
2.6. Raíces cuadradas
1 × 1 = 12 = 1
1 =
12 = 1
Observa en la tabla los cuadrados de los diez primeros números naturales. ¿Cuál
es el número que elevado al cuadrado da 9? ¿Y el que da 64?
2 × 2 = 22 = 4
4 =
22 = 2
Diremos que 3 es la raíz cuadrada de 9, pues 32 = 9.
3 × 3 = 32 = 9
9 =
32 = 3
4 × 4 = 42 = 16
16 =
42 = 4
5 × 5 = 52 = 25
25 =
52 = 5
6 × 6 = 62 = 36
36 =
62 = 6
7 × 7 = 72 = 49
49 =
72 = 7
8 × 8 = 82 = 64
64 =
82 = 8
9 × 9 = 92 = 81
81 =
92 = 9
10 × 10 = 102 = 100
100 =
10 2 = 10
De la misma manera, 8 es la raíz cuadrada de 64, pues 82 = 64.
9 = 3
Símbolo de la
raíz cuadrada
Raíz cuadrada
Radicando
La expresión
9 se lee raíz cuadrada de 9.
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es
igual al primero.
A = a → a2 = A
Aquellos números que son el cuadrado de otro número se llaman cuadrados
perfectos. Así, según si el radicando es un cuadrado perfecto o no, tendremos
raíces cuadradas exactas o enteras.
Raíz cuadrada exacta
64
Cuadrados perfectos
64 es un cuadrado perfecto → 64 = 82
Memorizar algunos cuadrados
perfectos nos permitirá calcular
algunas raíces cuadradas exactas:
Por tanto, 8 es la raíz cuadrada de 64.
112 = 121;
64 =
Diremos que la raíz cuadrada exacta de 64 es 8.
Raíz cuadrada entera
121 = 11
60
122 = 144;
144 = 12
132 = 169;
169 = 13
142 = 196;
196 = 14
= 225;
225 = 15
49 <
60 <
64
202 = 400;
400 = 20
72 <
60 <
82
252 = 625;
625 = 25
152
82 = 8
60 no es un cuadrado perfecto, pero está comprendido entre dos cuadrados
perfectos, 49 y 64.
Así
60 cumplirá →
7<
60 < 8
La raíz cuadrada de 60 es un número entre 7 y 8.
Diremos que la raíz cuadrada entera de 60 es 7 (el menor de los dos).
— ¿Qué operación matemática estás efectuando?
35. Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y escríbelas ordenadas de mayor a menor:
400
36
100
25
625
64
36. Halla la raíz cuadrada entera de los siguientes números: 231, 453, 40, 125, 18, 990, 48, 72.
37. Disponemos de 88 baldosas cuadradas. ¿Cuántas baldosas tendrá la superficie cuadrada máxima que podremos
cubrir?¿Cuántas baldosas habrá en cada lado de esta superfície?
24
Unidad 1
Actividades
34. Halla los números cuyos cuadrados perfectos son: 4, 121, 144, 169, 16, 25, 81, 49.
Potencias y raíces con calculadora
Las calculadoras científicas permiten calcular directamente una potencia o una
raíz cuadrada mediante teclas específicas.
Observa las teclas que se utilizan en el cálculo de potencias y raíces cuadradas,
y efectúa las operaciones que tienes a continuación.
Potencias de números
Raíces cuadradas
a) 224
c)
576
b) 135
d)
1024
Cursor para trasladarse
de un caracter a otro
Elevado al cuadrado
Elevado al cubo
Raíz cuadrada
Elevado a una potencia
Signo −
Tecla para borrar un carácter
Abre paréntesis
Tecla para obtener el
resultado de la operación
Cierra paréntesis
Operaciones combinadas
Números muy grandes
e) 5 × 103 − 3 × (52 + 25) + 24 × 42
f) 1505 + 2505
— Cuando el resultado es un número muy grande, ¿cómo lo expresa la calculadora?
a)
94
b) 158
c)
(11)4
d) (20)17
e)
(7)3
+
(7)5
a) 33 : 32 + 5 × (92 × 33) + 17
f) 237 : 232
39. Efectúa con la calculadora estas raíces cuadradas:
a) 1024
b) 3 100
c ) 50 625
40. Efectúa con la calculadora las siguientes operaciones
combinadas:
d ) 725
b) 83 × 152 + 2 × (12)3 × (45 × 24) + 50 × 92
c) 54 : 252 + (25 × 23) × 36 − (142 × 140)
Números naturales
25
Actividades
38. Resuelve con la calculadora las siguientes potencias:
3. Técnicas de cálculo
7?
¿55-2
¿16+
Las estrategias de cálculo mental y las aproximaciones mediante redondeo permiten resolver operaciones con números naturales de un modo más fácil y rápido.
3?
3.1. Estrategias de cálculo mental
ESTRATEGIAS PARA LA SUMA
ESTRATEGIA
Reducción
y aumento
simultáneo
EJEMPLO
Se reduce y aumenta simultáneamente la misma cantidad en
los dos sumandos buscando completar el primer sumando a
la decena más cercana.
16 + 7 = (16 + 4) + (7 − 4) = 20 + 3 = 23
12 + 57 = (12 − 2) + (57 + 2) = 10 + 59 = 69
Descomposición
de números
Se descomponen los dos sumandos en sumas de decenas y
unidades, se suman las decenas y las unidades por separado,
y se suman los resultados parciales:
46 + 52 = (40 + 6) + (50 + 2) = (40 + 50) + (6 + 2) = 90 + 8 = 98
23 + 67 = (20 + 3) + (60 + 7) = (20 + 60) + (3 + 7) = 80 + 10 = 90
Propiedad fundamental
de la resta
Si sumamos o restamos el mismo número al minuendo y al
sustraendo obtenemos una resta equivalente.
ESTRATEGIAS PARA LA RESTA
ESTRATEGIA
Reducción
o aumento
simultáneo
27 − 18 = 9
• Si sumamos 2 al minuendo y
al sustraendo:
Se reduce o se aumenta simultáneamente la misma cantidad
en el minuendo y el sustraendo buscando completar el sustraendo a la decena más cercana.
55 − 23 = (55 − 3) − (23 − 3) = 52 − 20 = 32
48 − 29 = (48 + 1) − (29 + 1) = 49 − 30 = 19
(27 + 2) − (18 + 2) = 29 − 20 = 9
• Si restamos 8 al minuendo y
al sustraendo:
(27 − 8) − (18 − 8) = 19 − 10 = 9
EJEMPLO
Descomposición
de números
Se descomponen el minuendo y el sustraendo en sumas de
decenas y unidades, se restan las decenas y las unidades por
separado y se suman los resultados parciales.
43 − 12 = (40 + 3) − (10 + 2) = (40 − 10) + (3 − 2) = 30 + 1 = 31
57 − 25 = (50 + 7) − (20 + 5) = (50 − 20) + (7 − 5) = 30 + 2 = 32
26
a) 31 + 53 e) 86 − 38
b) 95 + 12 f) 120 − 29
c) 76 + 12 g) 151 − 142
d) 36 + 54 h) 76 − 39
Unidad 1
42. Indica la estrategia más adecuada (reducción o aumento
simultáneo o descomposición de números) para resolver
las operaciones siguientes:
a) Sumar dos números y que la suma de las unidades
sea menor que 10.
b) Restar dos números y que el resultado de la resta de
las unidades sea con llevadas.
Actividades
41. Aplica una de las estrategias anteriores para calcular
mentalmente estas sumas y restas:
3.2. Redondeo
A veces, no es necesario trabajar con un número exacto y basta con conocer una
aproximación de este que nos facilite los cálculos a la hora de efectuar operaciones.
Para redondear un número a un cierto orden de unidad, observamos la cifra
siguiente a la que queremos redondear.
Observa como redondeamos el número 54 374 a las unidades de millar y a las
centenas:
— Para redondear a las unidades de millar, nos fijamos en la cifra de las centenas:
54 374
Si es menor que 5, se sustituyen por 0 todas
las cifras de su derecha y dicha cifra.
54 000
— Para redondear a las centenas, nos fijamos en la cifra de las decenas:
Ejemplo 11
54 374
Si es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la cifra anterior y se sustituyen por 0
todas las cifras de su derecha y dicha cifra.
54 400
La familia de María ha gastado en sus vacaciones 2 550 ∑ y la familia de Juan,
2 738 ∑. ¿Cuánto dinero han gastado aproximadamente entre las dos familias?
COMPRENSIÓN: Como no necesitamos un resultado exacto, redondeamos los
sumandos a las centenas y calculamos la suma de los operandos redondeados.
Aproximación en
operaciones
Si en una operación queremos
obtener el resultado redondeado a un cierto orden de unidad,
podemos sustituir los números
que intervienen en la operación
por números próximos más sencillos obtenidos mediante el redondeo.
RESOLUCIÓN:
— Redondeamos a las centenas cada uno de los sumandos:
2 550 → 2 600
2 738 → 2 700
— Sumamos: 2 600 + 2 700 = 5 300
Entre las dos familias han gastado 5 300 euros.
COMPROBACIÓN: Observamos que si sumamos y después redondeamos
obtenemos el mismo resultado:
2 550 + 2 738 = 5 288 ∑
5 288 → 5 300
— Si hubiéramos aproximado los operandos a las decenas, ¿los cálculos hubieran
sido más fáciles o más complejos? ¿Y más aproximados o menos?
a) 127 124 000
b) 58 527 333
c) 2 381 456 214
44. En los últimos dos meses Jesús ha leído tres libros: el
primero de 127 páginas, el segundo de 220 páginas y el
tercero de 107 páginas. Calcula el número de páginas
que ha leído Jesús redondeadas a las centenas.
45. Redondea a las centenas los números de estas operaciones y efectúalas con los números redondeados:
a) 3 980 × 320 + 5 550 × 432 c) 7 723 + 1 572
b) 3 576 × (467 + 423)
d) 4 780 × 720 + 5 356 × 693
46. En una carrera popular se han inscrito 2 389 hombres
y 2 029 mujeres. Calcula el número de inscritos redondeando a las centenas y a las decenas.
Números naturales
27
Actividades
43. Redondea los siguientes números a las decenas de
­millón:
ACTIVIDADES RESUELTAS
Método general de resolución de problemas
Antes de abordar la resolución de un problema, debes entender el enunciado
y ser capaz de reescribirlo con tus propias palabras. Una vez hayas analizado el
problema, tendrás que elaborar un plan de resolución y resolverlo.
Como último paso y antes de dar el problema por terminado, debes comprobar que el resultado responde a la pregunta inicial
planteada y que el proceso de resolución elegido es correcto.
Una familia gasta en un mes 240 ∑ en alimentación, 300 ∑ en actividades de ocio, 900 ∑ en el alquiler y 150 ∑ en gastos de suministros
(luz, gas y agua). Si los ingresos son de 1 832 ∑, ¿cuánto dinero ahorran mensualmente?
Comprender
— Anotamos los datos del enunciado.
Gastos mensuales:
— ¿Cuáles son los datos de los que dispones?
Alimentación: 240 ∑
— ¿Cuál es la pregunta?
Ocio: 300 ∑.
— ¿Tienes suficientes datos? ¿Hay datos irrelevantes?
Alquiler de la vivienda: 900 ∑.
Ingresos mensuales:
1 832 ∑.
Suministros: 150 ∑
Planificar
— Calculamos los gastos mensuales y los comparamos con los
ingresos.
— Configura un plan para resolver el problema.
— Si los ingresos son mayores que los gastos, restamos los ingresos de los gastos y obtenemos el dinero ahorrado.
Dinero ahorrado = Ingresos totales − Gastos totales
Ejecutar el plan
— Sumamos los gastos mensuales.
240 + 300 + 900 + 150 = 1 590 ∑
— Resuelve las operaciones.
— ¿Te convence el método de resolución? Si no es así,
prueba con otra forma de ejecutar el problema.
— Como los ingresos son mayores que los gastos
1832∑
(1 832 ∑ >1 590 ∑), restamos y obtenemos el
− 1 5 90 ∑
dinero ahorrado.
242∑
— Mensualmente ahorran 242 ∑.
Revisar
— Repasamos que la suma de los gastos sea correcta.
— Comprobamos la diferencia mediante la prueba de la resta:
— ¿Cómo puedes comprobar si tu solución es correcta?
— ¿Crees que podrías resolver el problema de otro modo?
47. Carlota ha abierto la hucha y tiene dos billetes de 10 ∑,
dos de 5 ∑ y diez monedas de 2 ∑. ¿Podrá comprar un
juego que cuesta 59 ∑?
28
Unidad 1
1 590 ∑ + 242 ∑ = 1 832 ∑
48. La equipación de tenis de María consta de unas bermudas de 13 ∑, una camiseta de 22 ∑, unas deportivas
de 54 ∑ y una raqueta de 63 ∑. Si dispone de un vale
de descuento de 100 ∑, ¿cuánto ha pagado por toda la
equipación?
Actividades
Utiliza la estrategia anterior para resolver estos problemas:
Sustraendo + Diferencia = Minuendo
SÍNTESIS
NÚMEROS NATURALES
Se expresan mediante el sistema de numeración decimal
y se emplean para contar, ordenar, codificar...
Operaciones
elementales
Suma
Resta
Multiplicación
Potencias
Raíz cuadrada
La potencia es un producto de
factores iguales.
Base: factor que se repite.
Exponente: número de veces
que se repite el factor.
La raíz cuadrada de un número
A es otro número a que elevado al cuadrado es igual al primero:
A = a → a2 = A
Exactas
División
Enteras
Actividades finales
Sistemas de numeración
49. a Escribe todos los números de tres cifras que
53.
contienen un 2, un 4 y un 7.
50.
a
¿Cómo se leen los siguientes números?
a) 8 245 365
51.
Escribe el número anterior a cada uno de los
siguientes:
a
a) 2 millones
52.
b) 165 755 256
Escribe los números mayor y menor de cuatro
cifras que pueden formarse con el 2, el 4, el 6 y el
8 de modo que en ambos no se repita ninguna de
ellas. ¿Cuál es la diferencia entre los dos números?
s
El conjunto de los números naturales
54. a Escribe diez números naturales comprendidos
entre 1 y 20, y diez números naturales comprendidos entre 1 000 y 1 100.
c) 5 centenas de millón
b) 3 decenas de millón d) 20 unidades de millar
55.
a
Ob serva cómo se calculan las centenas
que hay en un millón: 1 UMM = 1 000 000 U =
= 100 000 D = 10 000 C
56.
s
s
— ¿Cuántas decenas de millar hay en una decena
de millón?
Ordena de menor a mayor los siguientes números: 365 089, 356 088, 365 004, 145 567, 145 099.
Un código numérico muy utilizado es el que se
emplea en las bibliotecas para identificar los libros.
Inventa un código que tenga en cuenta el autor, el
tema del libro y su ubicación dentro de la biblioteca.
Descríbelo.
Números naturales
29
Actividades finales
Suma, resta, multiplicación y división
57.a Efectúa en tu cuaderno las siguientes sumas y restas:
sultados de las siguientes operaciones:
a) (2 + 3) × 5 − (3 − 2) × 9
a) 4 906
+ 2 001
b) 8 305
+ 4 595
c) 7 827
− 3 084
58.a En este momento, la diferencia de precio entre
dos modelos de coches es de 987 ∑. ¿Cuál será la nueva
diferencia si el modelo más caro disminuye 50 ∑ en su
precio y el más económico lo aumenta en 200 ∑?
59.a Calcula:
a) 5 816 × 927 c) 2 835 : 27
b) 14 280 × 143 d) 5 901 : 84
b) 1 + 5 × (2 + 8) − 6 × (4 − 2)
c) 3 × (7 − 3) + 2 × (4 − 5)
d) 6 × (2 − 1) + (7 − 3) × 3
67.d Calcula sacando factor común:
a) 2 × (3 × 9 + 3 × 5) − (3 × 6 − 3 × 4) − 1
b) 5 × (2 × 9 + 2 × 3) − 4 × (2 × 5 + 2 × 4)
c) 4 × 2 + 4 × 5 − 4 × 6
60.a ¿Qué número dividido por 12 da 63 de cociente y 7
de resto?
61.a En una división entera el dividendo es 50, el co-
68.d Usando la propiedad distributiva, halla cuál es el
número que falta en cada una de estas expresiones:
a) ...... × 5 − ...... × 4 + ...... × 3 = 8
ciente es 3 y el resto es 5. ¿Cuál es el d
­ ivisor?
b) 2 × (...... × 3 − ...... × 2) + ...... × 3 = 20
— ¿Cuál debería ser el dividendo para que con el mismo
cociente y el mismo divisor, la división fuera exacta?
c) (5 × ...... − 2 × ......) × 2 + 3 × (...... + ...... × 2) = 15
62.s Calcula las siguientes operaciones combinadas sacando factor común:
Potencias y raíces
69.a Halla el valor de cada una de estas expresiones.
a) 2 × 7 + 2 × 6 + 2 × 2 + 2 × 9
c) 2 × 4 + 7 × 4 + 8 × 4
a) 52 c) (2 + 3)4
e) 32 × 23
b) 9 × 3 + 9 × 1 + 9 × 9
d) 5 × 3 + 9 × 5 + 5 × 9
b) 56
d) (7 − 2)3 f ) 82 + 24
63.s Resuelve estas operaciones combinadas. Recuerda
70.a Completa, siguiendo el modelo:
la prioridad que se establece en ellas:
a) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243
d) 5 × ..... = 54 = .....
a) 23 + 34 × 12 + 5 d) 12 + 3 × (4 − 6 : 2)
b) 4 × 4 × 4 = 43 =..... e) ................ = 5... = 125
b) 3 + 2 × (4 + 3) e) 29 × [3 − (2 × 6 − 10)]
c) 4 × 4 × 4 × 4 = ..... = .....
f ) ................ = 63 = .....
c) 9 − 6 : 3 + 1 f ) 3 × [4 + 6 : (2 × 5 − 8)] − 5
64.
 Coloca los paréntesis necesarios para que el resultado sea correcto:
s
a) 7 + 4 × 5 = 55
c) 12 : 2 × 3 + 2 = 30
b) 5 + 3 : 2 + 5 − 3 = 2
d) 3 + 15 × 7 − 9 = 117
65.
 Efectúa estas operaciones combinadas:
s
a) 26 − 2 × 5 − 7 × 2 + 10 : 5
b) 10 + 4 × 3 − 12 : 3 − 10 : 5
c) (6 + 2 × (4 − 2 )) : 5 + (2 + 4 × 2)
d) 3 × 9 + (6 + 5 − 3) − 12 : 2
e) 30 + 3 − 45 : 5 + 14
f ) (3 + 12 × 2) : 3 + 4
30
66.s Usa la propiedad distributiva para calcular los re-
Unidad 1
71.a Escribe y calcula las potencias que se indican:
a) Cubo de 3.
c) Base 4 y exponente 3.
b) Base 3 y exponente 4.
72.a Escribe como producto de un número natural por
una potencia de 10 los números siguientes:
a) 450 000 000 000
c) 812 000 000
b) 700 000 000
d) 900 000
73.a¿ Cuáles de las expresiones siguientes se pueden
escribir como una sola potencia? Escribe las que lo sean
en forma de base y exponente:
a) 6 + 6 + 6 d) 23 × 25
b) 4 + 4 + 4 + 4 e) 23 × 45
c) 5 × 5 + 5 × 5 + 5 × 5
f ) (3 + 5) × (3 + 5) × (3 + 5)
74.
75.
76.
Aplica las propiedades de las operaciones con potencias:
s
a) 54 × 54
e) 75 : 73
i) (3 × 6)8 : 62
b) 53 × 54
f ) 95 : 9
j) 3 × 32 × (32)2
c) 125 × 123
g) 811 : 84 × 83
k) (43)5
d) 42 × 43 × 44
h) (3 × 5)6
l) (23)5 : 212
Calcula aplicando las propiedades de las potencias:
s
a) 107 × 103
c) 105
b) 105 : 102
d) (103)2
s
:
s
78.
(1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) = 16 = 42
— ¿Puedes intuir cómo serán los cuatro resultados siguientes? En tal caso comprueba tu teoría.
83.
Halla el valor de cada una de estas raíces cuadrab)
100
c)
255
d)
d
c) 240
84.
Indica:
c) El primero cuya cuarta potencia tiene cuatro cifras.
¿Cuántos cuadraditos tiene este cuadrado? ¿Cuántos cubitos tiene el cubo?
Calcula las raíces cuadradas:
25
b)
144
— Efectúa ahora 25 × 144 y justifica si es válida la siguiente afirmación: «La raíz cuadrada de una suma
es igual a la suma de las raíces cuadradas».
d) 10 005
b) El primer número natural cuyo cubo tiene tres cifras.
d
a)
10 000
Calcula mentalmente el valor de la raíz cuadrada
entera de cada uno de los números siguientes y busca su
aproximación decimal mediante la calculadora:
b) 110
Observa estos resultados:
(1) + (1 + 2) = 4 = 22
Completa:
169
d
(1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 9 = 32
a) Todos los números naturales cuyos cuadrados están
comprendidos entre 200 y 500.
80.
82.
d
a) 12
79.
b) Si se pinta toda la superficie exterior del cubo ¿cuántos cubitos quedarán con una sola cara pintada?
das:
a)
Observa las figuras anteriores y resuelve las cuestiones siguientes escribiendo las respuestas en forma de
potencia:
d
a) ¿Cuántos cuadraditos se pueden contar en total en la
superficie exterior del cubo?
104 × 103
Cuando buscamos la raíz cuadrada de un número A, estamos buscando otro número tal que ............... nos dé A.
Por ello, 169 ............... ya que (13)..... = ...............
77.
81.
Queremos colaborar con una ONG prestando ayuda de este modo: cada día una persona ayuda a 3 más y
cada una de las personas que ha sido ayudada, ayuda a
su vez a 3 personas más que no hayan recibido ayuda
antes. Así sucesivamente. ¿A cuántas personas habremos ayudado el 5.o día? ¿Y al cabo de 10 días?
d
Problemas
85.
a
86.
a
87.
a
Calcula la diferencia entre seis docenas de docenas
de huevos y la mitad de una docena de docenas de huevos.
d
Un autobús escolar, de lunes a viernes, va de la estación a la escuela (2 km). Además, los lunes, los miércoles y los viernes cubre el recorrido de la escuela a la
piscina (7 km), y los viernes de la escuela al museo de
arte (3 km). ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana?
Ten en cuenta que cada trayecto es de ida y vuelta.
Un grupo musical ofrecerá cuatro conciertos
en cuatro estadios diferentes en los que caben 5 500,
11 380, 5 450 y 6 500 personas. Si se han agotado todas
las entradas y el precio de cada una de ellas es de 24 ∑,
haz una estimación de lo que se ha recaudado en total.
Números naturales
31
Actividades finales
88.a Para celebrar una fiesta de cumpleaños hemos
comprado 100 caramelos de fresa y 200 de menta, y los
queremos distribuir en bolsas que contengan 3 caramelos de fresa y 7 de menta:
a) ¿Cuántas bolsas podremos preparar?
b) ¿Cuántos caramelos de cada clase sobrarán?
89.a Necesitamos colocar 354 botones en cajas de 6 uni-
dades. ¿Es posible agruparlos sin que nos sobre ningún
botón? ¿Y si hemos de agruparlos en cajas de 11 unidades? Justifica tus respuestas.
90.a Una persona podría completar el Camino de San-
tiago en 30 días recorriendo diariamente 18 kilómetros,
pero por una herida en el pie no puede andar más de
12 km por día. ¿Cuánto tiempo de más tardará en completarlo?
95.s Un operario que cobra 12 ∑ por el desplazamiento
y 23 ∑ por cada hora de trabajo, repara una fuga de agua
de un radiador por la que cobra 58 ∑:
a) ¿Cuántas horas ha tardado en completar la reparación?
b) ¿Cuánto cobraría por una reparación de tres horas de
duración?
96.s La recaudación de un establecimiento al cerrar
la caja un día cualquiera es de 23 billetes de 20 ∑, 15 de
10 ∑, 25 de 5 ∑, 40 monedas de 2 ∑ y 38 de 1 ∑.
a) ¿Cuánto ha recaudado el propietario del establecimiento?
b) Si decide ir al banco a cambiar la recaudación por el
mínimo número de billetes posibles, ¿cuántos billetes le darán? ¿Cuántas monedas le sobrarán?
97.s He comprado 12 cajas de pañuelos. En cada una de
ellas hay 12 paquetes y cada paquete tiene 12 pañuelos.
¿Cuántos pañuelos tengo en total? Escribe el resultado
en forma de potencia.
98.s La suma de tres potencias de base 3 es 279. La mayor es 35 y tiene 234 unidades más que la menor. ¿Cuáles
son dichas potencias?
99.s El número de filas de un teatro coincide con el nú91.a Un comedor escolar necesita comprar yogures
para los 152 alumnos que se quedan a comer. Los yogures se venden en cajas de 6 paquetes y cada paquete
contiene 4 yogures:
a) ¿Cuántas cajas se deberían comprar?
b) ¿Cuántos paquetes sobrarán?
92.a Si queremos cambiar 47,45 ∑ en monedas, ¿cuál
será la menor cantidad de monedas que nos darán?
93.s Necesitamos 60 g de pasta para preparar un plato
de sopa. ¿Cuántos paquetes de pasta de medio kilo hacen falta para cocinar una sopa para 240 personas?
94.s Queremos celebrar una fiesta para 53 invitados y
debemos calcular la cantidad mínima de refrescos que
necesitaremos:
32
mero de butacas que hay en cada fila. Si el aforo es de
576 butacas, ¿cuántas filas hay en el teatro?
—En otro teatro, el número de filas coincide con el
número de butacas que hay a cada lado del pasillo
central. Si 288 butacas componen el aforo, ¿cuál es
el número de filas del teatro?
100.s Observa cómo se calcula el lado de un cuadrado
sabiendo que su área es de 196 m2:
a2 = 196
a=
196 = 14 m
Calcula las longitudes de los lados de estos cuadrados
cuyas áreas son:
a) A = 144 m2
d) A = 324 m2
b) A = 225 m2
e) A = 484 m2
c) A = 289 m2
f ) A = 625 m2
a) Si decidimos repartir, como mínimo, una lata de
refresco por invitado, y estos van en paquetes de 6,
¿cuántos paquetes deberemos comprar?
101.d Juan tiene un cubo de 8 cm3 de volumen. ¿Cuán-
b) S i en lugar de latas decidimos repartir a cada
invitado un vaso de 250 mL, ¿cuántas botellas de
2 000 mL deberemos comprar, como mínimo, para que
cada invitado pueda tomar un vaso de refresco?
102.d ¿Cuántos metros de cerca se necesitan para po-
Unidad 1
to mide el lado de este cubo? Si Juan quiere construir un cubo cuyo volumen sea el doble del anterior,
¿cuánto medirá ahora su lado?
der rodear un terreno cuadrado de 289 m2?
103.
d El día de la raíz cuadrada es una fecha que solo
se celebra nueve veces en un siglo. Volverá a tener lugar el 4 de abril de 2016. Escribe todas las fechas del
siglo xxi que son día de la raíz cuadrada.
— Accede a la página http://links.
edebe.com/7hezas y explica el
origen del símbolo de la raíz, indicando quién fue el matemático
que lo propuso y en qué año lo
hizo.
104.
d En la leyenda de Sisa (http://links.edebe.com/
bez5fd), se analiza la relación existente entre una
suma de potencias de base 2 y la siguiente potencia
de base 2.
a) Comprueba que 1 + 2 + 22 + 23 = 24 − 1
b) Comprueba que 1 + 2 + 22 + 23 + 24 = 25 − 1
c) Generalízalo con potencias de base 2. Redacta tu
conjetura y compruébala en algunos casos.
d) Comprueba si se verifica una igualdad análoga
para potencias de otra base.
PBL
LA TECNOLOGÍA EN EL AULA
Tu centro educativo quiere cambiar los ordenadores actuales por unos nuevos que soporten todo tipo de material en formato digital: paquetes ofimáticos, software
matemático interactivo, applets, etc. Sabiendo que para
elegir el ordenador son importantes cuatro variables:
medidas de la pantalla, memoria RAM, velocidad del
procesador y precio (cada ordenador no puede superar
los 550 ∑), desde el departamento de informática se os
pide:
— Investigad en grupo los diferentes ordenadores del
mercado comparando, entre los que hayáis seleccionado, las cuatro variables. Presentad los resultados
en una ficha para cada uno de los ordenadores estudiados en la que se explique sus ventajas y sus inconvenientes teniendo en cuenta el uso que se le va a dar
y el número de ordenadores mecesarios
Para conseguir información, podéis consultar:
• Webs de tiendas de venta de ordenadores.
• Webs que expliquen de forma detallada las características de los componentes de un ordenador.
Cre@ctividad: Creación de una calculadora simultánea
Las hojas de cálculo del LibreOffice permiten efectuar
cálculos a partir de fórmulas o funciones que el propio
programa Calc tiene predefinidas.
Veamos dos de sus funciones que te permitirán programar una calculadora que, además de incluir las
operaciones básicas (sumas, restas, multiplicaciones
y divisiones), trabaje con potencias y raíces.
— Escribe el radicando de una raíz en la celda B3. Observa que el resultado que se obtiene en la celda
B4 al escribir «raíz»: =RAIZ(B3) es la raíz cuadrada
del valor de la celda B3.
=RAIZ(B3)
B5
CRE@CTiViDAD
— Escribe la base de una potencia en la celda B3 y
su exponente en la celda B4 (por ejemplo, 2 y 4).
Observa que el resultado que se obtiene en la celda B5 al escribir «potencia»: =POTENCIA(B3;B4)
es el resultado de multiplicar el valor de la celda
B3 el número de veces que nos indique el valor de
la celda B4.
=POTENCIA(B3;B4)
B5
CRE@CTiViDAD
Base
2
Celda B3 (columna B, fila3)
Exponente
4
Celda B4 (columna B, fila4)
16
Celda B5 (columna B, fila5)
Radicando
16
Celda B3 (columna B, fila3)
4
Celda B4 (columna B, fila4)
Atrévete
a) ¿Qué valores debes cambiar en la función «potencia» para obtener 5 elevado al cubo? Compruébalo.
b) ¿Qué valor debes cambiar en la función «raíz» para
obtener la raíz cuadrada de 36?
— Ahora ya puedes crear tu propia calculadora
simultánea. Esta deberá calcular simultáneamente (mediante tres celdas distintas) el cuadrado, el
cubo y la raíz cuadrada del valor de la celda B3.
— ¿Te atreves a ampliar el número de operaciones simultáneas de tu calculadora?
Números naturales
33
Pon a prueba tus competencias
1.
En la tienda de recuerdos de un museo, un turista compra los artículos que
se muestran en la ilustración:
a) ¿Cuál es el importe total en euros de la compra?
b) ¿Cuál es la combinación más simple de billetes y monedas que el turista
gastará a la hora de pagar suponiendo que lleva en el bolsillo un billete de
200 ∑, dos billetes de 100 ∑, cuatro billetes de 20 ∑, ocho billetes de 10 ∑,
siete billetes de 5 ∑ y una moneda de 1 ∑?
c) ¿Cuál es la combinación de billetes y monedas más sencilla que el turista
puede conseguir para que no gaste ninguno de los billetes de 5 ∑ que lleva?
d) ¿Qué cambio le devolverá el vendedor en este segundo caso?
e) ¿Cuánto dinero le queda en total al turista en su bolsillo tras la compra?
2.
Lee el siguiente artículo sobre los componentes sanguíneos:
La sangre es un líquido que recorre el organismo, a través de los
vasos sanguíneos, transportando células y todos los elementos necesarios para realizar sus funciones vitales (respirar, formar sustancias, defenderse de agresiones). La cantidad de sangre de una persona es de unos 5 L o dm3 y representa el 7 % de su peso corporal.
La sangre está formada por el plasma y los elementos celulares. El
plasma es un líquido compuesto por agua y distintas sustancias
(proteínas, lípidos...) y en su interior se encuentran sumergidos los
elementos celulares: los glóbulos rojos, los glóbulos blancos y las
plaquetas.
Los glóbulos rojos se encargan de transportar el oxígeno; la cantidad de glóbulos rojos en sangre es de 5 millones
por cada mm3. Los glóbulos blancos, también denominados leucocitos, son una pieza clave del sistema de defensa del cuerpo contra las infecciones; la cantidad de glóbulos blancos es de unos 6 000 por mm3. Las plaquetas,
también denominadas trombocitos, son células diminutas de forma ovalada que se fabrican en la médula ósea y
participan en los procesos de coagulación. Su número en sangre es de unos 200 000 por mm3.
a) Escribe en forma de potencia de 10 los números de las distintas células que se encuentran en la sangre.
b) ¿Cuántas veces es mayor el número de glóbulos rojos que el de glóbulos blancos? ¿Y el número de plaquetas respecto
al de glóbulos blancos?
c) ¿Qué cantidad de sangre hay en el cuerpo humano? ¿Cuántos milímetros cúbicos representan?
d) Halla el total de glóbulos blancos, glóbulos rojos y plaquetas que se encuentran en la sangre.
3.
En un laboratorio se estudian dos muestras diferentes de bacterias. Las bacterias de la muestra 1 se duplican cada
hora y las bacterias de la muestra 2 se cuadruplican cada 3 horas.
El experimento con la muestra 1 se inició con 3 bacterias y el de la muestra 2, con 2.
a) Transcurridas 6 horas ¿cuántas bacterias habrá en cada muestra? ¿Dónde habrá más?
b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 24 h en cada muestra? ¿Y al cabo de 2 días?
c) ¿Qué relación se establecerá entre las bacterias de las muestras 1 y 2 transcurrida
una semana?
34
Unidad 1
4.
Pablo ha modelado un bloque de plastilina para crear un rectángulo de 20 cm × 15 cm
y cuyo grosor es de 1 cm.
— ¿Podrá volver a modelar la plastilina para formar un cuadrado del mismo grosor?
— Si la respuesta del apartado anterior es afirmativa, ¿cuánto medirá el lado de este cuadrado?
Visión 360º
Todos los productos poseen un código de barras cuya finalidad principal es identificar cada producto de forma única.
Los productos europeos usan el código de barras EAN-13 (European Article Number) con 13 dígitos: doce de ellos identifican el producto y el último, el dígito de control, resulta de efectuar una serie de operaciones con los doce primeros.
Al pasar un producto por el lector de la caja registradora, esta realiza una operación combinada con los doce primeros dígitos del código de barras cuyo resultado tiene que coincidir con el dígito de control. Cuando el resultado no
coincide con el dígito de control, no lee el producto correctamente y es necesario volver a pasarlo.
Verifica las operaciones realizadas por una caja registradora a partir del código de barras de la imagen:
1) Numera los dígitos de izquierda a derecha comenzando por la posición 12 hasta la posición 1 tal y como
se indica en la siguiente tabla:
CÓDIGO
8
4
1
4
7
0
0
0
1
1
0
1
?
POSICIÓN
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2) Suma todos los dígitos de las posiciones impares y multiplica el resultado obtenido por 3:
3 × (1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 4) = 3 × 10 = 30
3) Suma todos los dígitos de las posiciones pares:
0 + 1 + 0 + 7 + 1 + 8 = 17
4) Suma ambos resultados:
30 + 17 = 47
5) ¿Qué número tienes que añadir a este resultado para obtener un múltiplo de 10?
47 + 3 = 50. El 3 es el dígito de control.
8
414700
011013
— Valida el dígito de control de diferentes productos.
Reflexiona
Diario de aprendizaje
— ¿Consideras que el texto de la página 12 sobre los números naturales tiene relación con los
conceptos tratados en la unidad? ¿Con cuáles?
— Los contenidos estudiados en la unidad, ¿te han servido para ampliar tus conocimientos de los
números?
— ¿Crees que algunos conceptos aprendidos en esta unidad pueden ser aplicables en tu vida cotidiana? ¿Cuáles? ¿Cómo?
Números naturales
35