Download Electrónica (Taller III) Tema: N°4 SISTEMAS NUMÉRICOS Y

Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Curso: Electrónica (Taller III)
Tema: N°4
SISTEMAS NUMÉRICOS Y PUERTAS LÓGICAS
Grado: XII-A y C Electricidad
Preparado por: Prof. JORGE L, PATIÑO V.
Lic. En tecnología Eléctrica.
Septiembre 2014.
1. SISTEMAS NUMÉRICOS.
1.1 Sistemas decimal, binario, octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL.
El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de
numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética
las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga)
se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5);
seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).
Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las
áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por
ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del
binario o el hexadecimal.
NOTACIÓN DECIMAL
Al ser posicional, se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal es un sistema
de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al
primero corresponde el lugar de la unidades, el dígito se multiplica por 100 (es decir 1) ; el
siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.
HISTORIA
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los
humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.
También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario,
el duodecimal y el vigesimal.
En un sistema de numeración posicional de base racional, como la decimal, podemos
representar números enteros, sin parte decimal, y números fraccionarios, un número
fraccionario que tiene los mismos divisores que la base dará un número finito de cifras
decimales, racional exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores
primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita: la
parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura, números racionales
periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia
mixta, números racionales periódicos mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo
que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la
base.
La escritura única (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos:
§ Desarrollo decimal finito.
§ Desarrollo decimal periódico.
§ Desarrollo ilimitado no-periódico (número irracional).
Esta ley de tricotomía aparece en todo sistema de notación posicional en base entera n, e
incluso se puede generalizar a bases irracionales, como la base áurea.
§ Números arábigos
§ Sistema de numeración
§ Notación posicional
§ Sistema sexagesimal
§ Sistema vigesimal
§ Sistema duodecimal
§ Número decimal
§ Representación decimal
§ Notación científica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que
los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza
en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual
su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
HISTORIA
El antiguo matemático hindú Píngala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema
de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su
descubrimiento del concepto del número cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit
eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de
combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales
africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal
de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo
Chino Shao Yong en el siglo XI.
En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a
secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles
en la fuente de cualquier texto arbitrario.
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo XVII, en su
artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados
por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario
actual.
En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un
después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho
sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual,
particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.
Aplicaciones
En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra
de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia.
Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon
básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.
En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell,
construyó una computadora basada en relés —a la cual apodó "Modelo K" (porque la construyó en
una cocina, en inglés "kitchen")— que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos.
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938,
con Stibitz al mando.
El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual
era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de
la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar
comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea
telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera
remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron
la demostración fueron John von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca
de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.
Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que
suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente excluyentes.
Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico
binario:
El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una
computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes; también pueden
indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado"
no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura
usada.
De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números árabes, los números
binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a
menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son
equivalentes:
§ 100101 binario (declaración explícita de formato)
§ 100101b (un sufijo que indica formato binario)
§ 100101B (un sufijo que indica formato binario)
§ bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
§ 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)
§ 100101 (un prefijo que indica formato binario)
§ 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)
SISTEMA OCTAL
El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.
Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta
llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en
octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado
a la posición de la cifra, y sumar el resultado.
Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios,
así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010,
después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1,
001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.
En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal, y se suele indicar
poniendo 0x delante del número octal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros
símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos,
asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal,
por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos
hexadecimales.
Sistema de numeración octal
El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia
exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o
viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el
mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
Sistema hexadecimal.
El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no
confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su
uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues
los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a
que un byte representa valores posibles, y esto puede representarse como
Que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16, dos
dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de
enteros— a un byte.
En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se
dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto
latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el
siguiente:
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras
minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor
numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos,
quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16.
Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez
por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la
computadora Bendix G-15.
2. COMPUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA BOOLEANA
La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados
en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc.)
FUNCIONES BOOLEANAS DE UNA y DOS VARIABLES
En el caso de funciones de variable real sería imposible tratar de mencionar todas las posibles
funciones de una o más variables, sin embargo, en el caso de funciones booleanas se puede hacer
un listado completo de todas y cada una de las funciones para cierto número de variables. a
continuación se hace una lista de éstas para los casos de 0, 1 y 2 variables independientes:
Funciones de cero variables. Estas son las funciones constantes y sólo
hay dos:
f0=0 Función constante cero
f1=1 Función constante uno
Funciones de una variable. Además de las funciones constantes ahora se pueden definir
otras dos:
f0(A)
f1(A)
f2(A)
f3(A)
=0
=A
=A
=1
Función constante cero
Función identidad
Función complemento, negación
Función constante uno
Funciones de dos variables. En este caso se pueden definir 16 funciones diferentes, las cuales
incluyen las cuatro anteriores y otras doce más.
En la siguiente tabla se muestra un resumen de las dieciséis funciones de dos variables,
incluyendo su nombre, su tabla de verdad, y su expresión lógica (booleana).
A
0
0
1
1
Const. AND
Identidad
Identidad EXOR OR
CERO
0
A
B
A B A+B
AB A B
AB
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
A
0
0
1
1
NOR EQUIVAL NOT
NOT
NAND Const.
ENCIA
UNO
1
B A B A ?B
A A B AB
B A B
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
SÍMBOLOS DE PUERTAS LÓGICAS
Una manera generalizada de representar las funciones lógicas es el uso de símbolos o bloques
lógicos denominados puertas o compuertas lógicas. Estas puertas en general representan
bloques funcionales que reciben un conjunto de entradas (variables independientes) y producen
una salida (variable dependiente) como se muestra en la figura siguiente:
Una de las ventaja de usar éstos símbolos es que por ser una representación entrada / salida
permiten la “interconexión” de puertas (la salida de una con la entrada de otra) para representar
funciones más complejas a partir de funciones sencillas.
Otra ventaja es el hecho de que los bloques sencillos (puertas con pocas entradas) se encuentran
disponibles en circuitos integrados comerciales, de aquí que un diagrama de puertas lógicas
corresponde directamente a un diagrama de alambrado de circuito lógico.
Puerta lógica
Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico con una función booleana.
Suman, multiplican, niegan o afirman, incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas. Se
pueden aplicar a tecnología electrónica, eléctrica, mecánica, hidráulica y neumática. Son
circuitos de conmutación integrados en un chip.
Claude Elwood Shannon experimentaba con relés o interruptores electromagnéticos para conseguir
las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana Y (AND) colocaba
interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de éstos que tuviera la condición «abierto», la
salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una compuerta O
(OR), la conexión de los interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.
La tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración de transistores actuando
como conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito integrado. El chip de la CPU es
una de las máximas expresiones de este avance tecnológico.
En nanotecnología se está desarrollando el uso de una compuerta lógica molecular, que haga
posible la miniaturización de circuitos.
Índice





1 Lógica directa
o 1.1 Puerta SÍ o Buffer
o 1.2 Puerta AND
o 1.3 Puerta OR
o 1.4 Puerta OR-exclusiva (XOR)
2 Lógica negada
o 2.1 Puerta NO (NOT)
o 2.2 Puerta NO-Y (NAND)
o 2.3 Puerta NO-O (NOR)
o 2.4 Puerta equivalencia (XNOR)
3 Conjunto de puertas lógicas completo
o 3.1 Equivalencias de un conjunto completo
4 Véase también
5 Enlaces externos
Lógica directa
Puerta SÍ o Buffer
Símbolo de la función lógica SÍ: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como
amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (buffer en
inglés).
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SÍ es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta SI
Entrada
Salida
0
0
1
1
Puerta AND
Artículo principal: Puerta AND
Símbolo de la función lógica Y: a) Contactos, b) Normalizado
y c) No normalizado
La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND (
), realiza la función
booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto
lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta AND
Entrada
Entrada
Salida
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Así, desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la compuerta AND implementa el producto
módulo 2.
Puerta OR
Artículo principal: Puerta OR
Símbolo de la función lógica O: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR (
), realiza la operación de
suma lógica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta OR
Entrada
Entrada
Salida
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si al menos una
de sus entradas está a 1.
Puerta OR-exclusiva (XOR)
Artículo principal: Puerta XOR
Símbolo de la función lógica O-exclusiva: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica OR-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función
booleana A'B+AB'. Su símbolo es (signo más "+" inscrito en un círculo). En la figura de la derecha
pueden observarse sus símbolos en electrónica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta XOR
Entrada
Entrada
Salida
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las
entradas son distintos. ej.: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). Se obtiene cuando
ambas entradas tienen distinto valor.
Si la puerta tuviese tres o más entradas, la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el
número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número
de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa, para tres entradas
escribiríamos: a (b c) o bien (a b) c. Su tabla de verdad sería:
XOR de tres entradas
Entrada
Entrada
Entrada
Salida
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la puerta XOR implementa la suma módulo 2,
pero mucho más simple de ver, la salida tendrá un 1 siempre que el número de entradas a 1 sea
impar.
Lógica negada
Puerta NO (NOT)
Artículo principal: Puerta NOT
Símbolo de la función lógica NO: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizada
La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión o negación de una
variable lógica. Una variable lógica A a la cual se le aplica la negación se pronuncia como "no A" o
"A negada".
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta NOT
Entrada
Salida
0
1
1
0
Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en su entrada.
Puerta NO-Y (NAND)
Artículo principal: Puerta NAND
Símbolo de la función lógica NO-Y: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica NO-Y, más conocida por su nombre en inglés NAND, realiza la operación de
producto lógico negado. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NAND es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta NAND
Entrada
Entrada
Salida
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Podemos definir la puerta NO-Y como aquella que proporciona a su salida un 0 lógico únicamente
cuando todas sus entradas están a 1.
Puerta NO-O (NOR)
Artículo principal: Puerta NOR
Símbolo de la función lógica NO-O: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica NO-O, más conocida por su nombre en inglés NOR, realiza la operación de suma
lógica negada. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOR es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta NOR
Entrada
Entrada
Salida
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Podemos definir la puerta NO-O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico sólo cuando
todas sus entradas están a 0. La puerta lógica NOR constituye un conjunto completo de
operadores.
Puerta equivalencia (XNOR)
Artículo principal: Puerta XNOR
Símbolo de la función lógica equivalencia: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica equivalencia, realiza la función booleana AB+~A~B. Su símbolo es un punto (·)
inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XNOR es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta XNOR
Entrada
Entrada
Salida
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Se puede definir esta puerta como aquella que proporciona un 1 lógico, sólo si las dos entradas
son iguales, esto es, 0 y 0 ó 1 y 1 (2 encendidos o 2 apagados). Sólo es verdadero si ambos
componentes tiene el mismo valor lógico
Conjunto de puertas lógicas completo
Un conjunto de puertas lógicas completo es aquel con el que se puede implementar cualquier
función lógica. A continuación se muestran distintos conjuntos completos (uno por línea):
Puertas AND, OR y NOT.
Puertas AND y NOT.
Puertas OR y NOT.
Puertas NAND.
Puertas NOR.





Además, un conjunto de puertas lógicas es completo si puede implementar todas las puertas de
otro conjunto completo conocido. A continuación se muestran las equivalencias al conjunto de
puertas lógicas completas con las funciones NAND y NOR.
Conjunto de puertas lógicas completo :
Salida función
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
Salida función
0
0
0
1
Equivalencias de un conjunto completo
Equivalencias del conjunto completo anterior con sólo puertas

:



Equivalencias del conjunto completo anterior con sólo puertas

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
: