Download licenciatura en economía contador

UNIVERSIDAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y SOCIALES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
CARRERAS:
LICENCIATURA EN ECONOMÍA
CONTADOR PÚBLICO
ASIGNATURA:
ÁLGEBRA
CURSO:
1º AÑO
AÑO LECTIVO:
2017
CARGA HORARIA SEMANAL:
4 HORAS
DURACIÓN:
CUATRIMESTRAL
DOCENTES A CARGO:
PROFESORAS ADJUNTAS: PERLA GABIZÓN
ALEJANDRA ZAIA
1
1. FINALIDAD DE LA ASIGNATURA:
Esta materia se encuentra ubicada en el primer cuatrimestre del primer año de la carrera,
pues su finalidad es brindar las herramientas matemáticas necesarias para efectuar
correctamente análisis de diversos problemas, teniendo en cuenta todas las variables que
estos puedan presentar, para llegar a obtener en forma óptima su resolución matemática y
la posterior toma de decisiones adaptándola a los hechos económicos.
Con este objetivo se ha elaborado un programa en el cual las unidades temáticas abordan
los distintos ejes conceptuales que permitirán que los alumnos puedan ser capaces de
estudiar situaciones usando modelos matemáticos y adquieran experiencia en el abordaje
individual y grupal de problemas matemáticos transfiriendo saberes como estrategia para la
resolución de problemas
económicos y/o financieros;
construyendo hipótesis en
investigaciones (con información extraída de tablas y gráficos) como premisa para la
construcción de razonamientos válidos, utilizando lenguaje matemático en la comunicación
y/o discusión de producciones del área, justificándolas mediante razonamientos deductivos.
Además, que puedan seleccionar y utilizar los recursos tecnológicos adecuados disponibles
en actividades vinculadas con el quehacer matemático-económico.
El presente diseño será organizado en ejes que responden a campos de conocimiento
dentro del Álgebra en los cuales se incluyen núcleos sintéticos de contenidos que agrupan
conjuntos de conocimientos que están vinculados entre sí en forma específica.
Está previsto que el orden de presentación de los ejes no implica necesariamente su
tratamiento secuencial; pues desde este enfoque, cuando se trabaja mediante la resolución
de problemas y la reflexión sobre lo realizado se involucran contenidos de diversos ejes,
cada uno con determinado nivel de profundidad. El tratamiento de los contenidos de un eje
provoca la aparición de un nodo en el que se encuentran contenidos de otros. El trabajo en
el ámbito de cierto eje puede plantear la posibilidad de transferir conocimientos y advertir la
necesidad de acercarse a un saber que aún no se maneja adecuadamente, con el que
posteriormente se podrá trabajar de manera central.
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2. OBJETIVOS
2.1 OBJETIVOS GENERALES:
Reconocer diversas variables que se presentan en un problema para su posterior planteo.
Lograr sistematizar y fundamentar con conceptos básicos de álgebra y álgebra lineal, como
así también analizar situaciones de equilibrio estático y desarrollar técnicas numéricas y
analíticas que permitan abordar e interpretar la teoría económica formulada en lenguaje
matemático.
Analizar situaciones basándose en modelos matemáticos, volcando finalmente estas
estrategias a la resolución de problemas económicos y/o financieros.
Diferenciar entre un planteo de recursos exhaustivos y uno donde la optimización no
necesariamente se encuentre en la utilización total de los insumos.
Seleccionar y aplicar los recursos tecnológicos adecuados en el intento de resolución de
situaciones matemático-económicas.
Reflexionar sobre la posibilidad de transferir conocimientos, acercándose en forma
paulatina, cada vez más, a los saberes nuevos, que serán la herramienta natural futura en la
resolución de problemas.
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Reconocer una a matriz;

Diferenciar distintas matrices especiales;

Conocer las operaciones con matrices;

Calcular determinantes;

Reconocer si una matriz es inversible, y calcular su inversa de serlo;

Reconocer la cantidad de incógnitas de un sistema de ecuaciones y la cantidad de
restricciones que éste tiene;

Decidir si un sistema tiene solución y cuántas, de tenerlas;

Reconocer el método más conveniente para resolver un sistema;

Conocer los teoremas asociados a los métodos de resolución;

Relacionar matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones de acuerdo con el
tamaño del sistema y la cantidad de soluciones que tenga;

Identificar el modelo de equilibrio general de mercado de n bienes de Leontieff;

Analizar un modelo de equilibrio general de mercado para dos o tres bienes;

Identificar las distintas estructuras algebraicas y sus propiedades;

Identificar un conjunto como espacio vectorial y reconocer subespacios;
3

Utilizar sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes como herramientas para
decidir dependencia e independencia lineal de generadores, hallar bases y analizar
dimensiones;

Analizar ecuaciones presupuestarias;

Cambiar base de un subespacio;

Discriminar correctamente sobre la decisión de trabajar con una base u otra;

Analizar ortogonalidad y ortonormalidad de un conjunto de vectores para una
buena elección de bases;

Reconocer una transformación lineal en un conjunto de funciones;

Calcular adecuadamente núcleo e imagen de una transformación lineal;

Saber hallar la matriz de una transformación lineal;

Reconocer transformaciones lineales ortogonales;

Saber encontrar y utilizar matrices de cambio de bases;

Diferenciar entre matrices semejantes y equivalentes;

Calcular autovectores y autovalores de una matriz o de una transformación lineal;

Conocer los fundamentos y las aplicaciones del teorema de Cayley- Hamilton;

Saber diagonalizar matrices comunes y matrices simétricas;

Reconocer un problema de programación lineal de dos variables estructurales y
resolverlo gráficamente;

Reconocer un problema de programación lineal de dos o más variables
estructurales y resolverlo por simplex de maximización o minimización;

Saber agregar adecuadamente variables de holgura y reconocer finalmente
excedentes de insumos;

Optimizar situaciones problemáticas de dos o más variables en forma directa o
mediante su equivalente dual.
3. CONTENIDOS
3.1 CONTENIDOS MINIMOS
Matrices. Determinantes. Inversión de matrices. Sistemas de ecuaciones lineales. Modelo
estático de Leontieff. Espacios vectoriales. Subespacios. Dependencia e independencia
lineal de vectores.
vectorial.
Base y dimensión de un espacio. Cambio de base en un espacio
Transformaciones
lineales.
Núcleo
e
imagen.
Matriz
asociada
a
una
transformación lineal. Transformaciones lineales de cambio de base. Matrices equivalentes.
Matrices semejantes. Vectores y valores propios de una matriz cuadrada. Diagonalización
de matrices. Potencia de una matriz diagonalizable o no diagonalizable. Programación lineal.
Resolución gráfica. Método simplex. Maximización. Variables de holgura. Variables de
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holgura excedente. Variables artificiales. Precios sombra. Minimización. Casos de
degeneración: solución no acotada, soluciones múltiples y región factible vacía. El problema
dual. Minimización por resolución del problema dual.
3.2 CONTENIDOS DE LAS UNIDADES TEMATICAS
UNIDAD TEMÁTICA Nº 1: MATRICES: GENERALIDADES Y APLICACIONES
Matrices: Matrices especiales. Operaciones elementales. Método de reducción de GaussJordan. Rango de una matriz. Determinantes: Matrices singulares y no singulares. Inversión
de matrices. Sistemas de ecuaciones lineales: sistemas homogéneos y no homogéneos.
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché- Frobenius. Diversos
métodos de resolución: matricial, Cramer, Gauss; Gauss-Jordan. El equilibrio en los
modelos económicos: El equilibrio general de mercado con n bienes. Equilibrio en el análisis
de la renta nacional. Modelo estático de Leontieff. Matriz de insumo-producto.
TIEMPO ESTIMADO:
4 clases
BIBLIOGRAFÍA OBLIGATORIA:

Font de Malugani, E. y Lazzari, L.L. (1999). Algebra con aplicaciones a las Ciencias
Económicas. Buenos Aires: Ediciones Macchi (Cap.2, pp.65-211 y Cap.3, pp.213-360)

Anton, H. (1986). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa (Cap.1, pp. 19-76 y
Cap. 2, pp. 77-111)

Chiang, A. C. (1993). Métodos Fundamentales de Economía Matemática, México: Mc.
Graw-Hill (Cap: 3, pp. 37-56; Cap. 4, pp. 57-90 y Cap. 5, pp.92-131)

Grossman, S. I. (1988). Aplicaciones de Álgebra lineal. México: Grupo Editorial
Iberoamérica (Cap. 8, pp. 133- 145)

Haeussler, E. F. (1992). Matemáticas para Administración y Economía. México, Grupo
Editorial Iberoamérica, (Cap. 5 y 8)
BIBLIOGRAFÍA DE AMPLIACIÓN:

Alcaide, A. (1973). Matemática Moderna para Economistas Algebra lineal. Madrid:
Aguilar (Cap. 10 y 11)

Allen, R. & D. (1967). Economía matemática. Madrid: Aguilar (Cap. 10 al 13)

Rivaud,J. (1968). Ejercicios de Álgebra. Madrid: Aguilar (Cap. 9 al 15)

Weber,J. E. (1984). Matemáticas para administración y economía. México: Haría (Cap.
7 y 8)

Yamane,T. (1981). Matemática para Economistas. Barcelona: Ariel, (Cap. 10)
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UNIDAD TEMÁTICA Nº 2: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Y ESPACIOS VECTORIALES
Estructuras algebraicas: Concepto de grupo, anillo y cuerpo. Propiedades. Espacios
vectoriales: Subespacios. Dependencia e independencia lineal de vectores. Relación entre
dependencia, independencia y lineal, sistemas de ecuaciones y rango de la matriz asociada.
Sistema de generadores de un espacio. Base y dimensión de un espacio y de uno
subespacio. Cambio de base en un espacio vectorial. Cambio de base en un subespacio.
Matrices ortogonales. Ortogonalización por el método de Gram-Schmidt.
TIEMPO ESTIMADO:
4 clases
BIBLIOGRAFÍA OBLIGATORIA:

Font de Malugani, E. y Lazzari, L.L. (1999). Algebra con aplicaciones a las Ciencias
Económicas. Buenos Aires: Ediciones Macchi (Cap.1, pp.2-63 y Cap.4, pp.361-470)

Anton, H. (1986). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa (Cap.4, pp. 151-222)
BIBLIOGRAFÍA DE AMPLIACIÓN:

Alcaide, A. (1973). Matemática Moderna para Economistas Algebra lineal. Madrid:
Aguilar (Cap. 3 al 9)

Allen, R. & D. (1967). Economía matemática. Madrid: Aguilar (Apénd. B)

Rivaud,J. (1968). Ejercicios de Álgebra. Madrid: Aguilar (Cap. 9 al 15)

Yamane,T. (1981). Matemática para Economistas. Barcelona: Ariel, (Cap. 10)
UNIDAD TEMÁTICA Nº 3: TRANSFORMACIONES LINEALES
Transformaciones lineales: Definición. Propiedades. Núcleo e imagen. Matriz asociada a una
transformación lineal. Clasificación de las transformaciones lineales. Relación entre sistemas
de ecuaciones lineales y transformaciones lineales. Transformaciones lineales y GaussJordan. Transformaciones lineales de cambio de base. Espacio vectorial de las
transformaciones lineales. Transformaciones lineales ortogonales. Bases ortonormales y
transformaciones lineales de cambio de base ortogonales
TIEMPO ESTIMADO:
2 clases
BIBLIOGRAFÍA OBLIGATORIA:

Anton, H. (1986). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa (Cap.5, pp. 247-300)

Rivaud,J. (1968). Ejercicios de Álgebra. Madrid: Aguilar (Cap. 9 al 15)
BIBLIOGRAFÍA DE AMPLIACIÓN:
6

Allen, R. & D. (1967). Economía matemática. Madrid: Aguilar (Cap. 14)

Yamane,T. (1981). Matemática para Economistas. Barcelona: Ariel, (Cap. 11)
UNIDAD TEMÁTICA Nº 4: DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
Matrices equivalentes. Propiedades. Matrices semejantes. Propiedades. Transformaciones
lineales de cambio de base y su relación con la equivalencia y semejanza. Vectores y
valores propios de una matriz cuadrada. Teorema de Cayley-Hamilton. Diagonalización de
matrices en general. Diagonalización de matrices simétricas. Autovalores simples y
autovalores múltiples. Potencia de una matriz diagonalizable o no diagonalizable.
TIEMPO ESTIMADO:
2 clases
BIBLIOGRAFÍA OBLIGATORIA:

Anton, H. (1986). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa (Cap.6, pp. 301-355)

Aiub, A. (1985). Ecuaciones en diferencias finitas. Buenos Aires: El Coloquio (Cap. 10)
BIBLIOGRAFÍA DE AMPLIACIÓN:

Alcaide, A. (1973). Matemática Moderna para Economistas Algebra lineal. Madrid:
Aguilar (Cap. 13)

Rivaud,J. (1968). Ejercicios de Álgebra. Madrid: Aguilar (Cap. 9 al 15)

Yamane,T. (1981). Matemática para Economistas. Barcelona: Ariel, (Cap. 11)
UNIDAD TEMÁTICA Nº 5: PROGRAMACIÓN LINEAL
Programación lineal: Resolución gráfica de problemas con dos variables estructurales.
Región de factibilidad. Función objetivo. Optimización.
Método simplex: Maximización.
Variables de holgura. Variables de holgura excedente. Variables artificiales. Precios sombra.
Minimización.
Casos de degeneración: solución no acotada, soluciones múltiples y región factible vacía.
Dualidad: problemas de minimización por resolución del problema dual de maximización.
Problemas económicos en todos los temas.
TIEMPO ESTIMADO: 2 clases
BIBLIOGRAFÍA OBLIGATORIA:

Font de Malugani, E. y Lazzari, L.L. (1999). Algebra con aplicaciones a las Ciencias
Económicas. Buenos Aires: Ediciones Macchi (Cap.5, pp.471-552)

Chiang, A. C. (1993). Métodos Fundamentales de Economía Matemática, México: Mc.
Graw-Hill (Cap: 19, pp. 665-702; Cap. 20, pp. 704-726)
7

Grossman, S. I. (1988). Aplicaciones de Álgebra lineal. México: Grupo Editorial
Iberoamérica (Cap.1, pp. 1-63)

Haeussler, E. F. (1992). Matemáticas para Administración y Economía. México, Grupo
Editorial Iberoamérica, (Cap. 9)

Gass, S. I. (1985). Programación lineal, Métodos y Aplicaciones. México: Compañía
Editorial Continental
BIBLIOGRAFÍA DE AMPLIACIÓN:

Alcaide, A. (1973). Matemática Moderna para Economistas Algebra lineal. Madrid:
Aguilar (Cap. 14)

Allen, R. & D. (1967). Economía matemática. Madrid: Aguilar (Cap. 16 a 19)

Weber,J. E. (1984) Matemáticas para administración y economía, México: Harla Cap:
8.4
4. MODALIDAD DE TRABAJO:
Para que los alumnos logren aprender los contenidos, en principio se hará una pequeña
exposición magistral sobre definiciones, clasificaciones, propiedades, ejemplos, etc. de
matrices, sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales... permitiendo al final de la
exposición que los alumnos planteen preguntas y puedan comparar y relacionar los distintos
conceptos previamente presentados y sus propiedades, además de relacionarlos con los
temas de las clases anteriores. Luego, se hará una exposición dialogada, donde los aportes
de los alumnos dirigirán el orden de la exposición en el pizarrón, aprovechando los
conceptos previos y su relación con los actuales y exponiendo los temas en una clase
teórico práctica. Después, para permitir la fijación de los conceptos, se resolverá una guía
de trabajos prácticos para que los alumnos puedan, en forma grupal primero e individual
después, enfrentarse a las situaciones problemáticas matemáticas y económicas, para
poder modelizar y reflexionar por sí mismos, la diferencia entre el “resultado matemático y el
resultado económico (o de la realidad cotidiana)”
Se complementará el trabajo con el uso de calculadoras profesionales y programables.
En forma continua se motivará al trabajo en grupos, que potencia el aprendizaje y prepara a
los alumnos para el trabajo en equipo como puede suceder en una empresa.
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5. PAUTAS GENERALES DE ACREDITACION Y EVALUACION:
Para la aprobación de esta asignatura el alumno deberá cumplir con:
 Asistencia al 75% de las clases.
 Aprobar dos exámenes parciales.
 Si desaprobara el primer parcial:

Tendrá derecho a recuperarlo en una fecha próxima al mismo:
o
De aprobarlo tendrá derecho a recuperar el segundo parcial de ser
necesario.
o
De desaprobarlo podrá recuperarlo nuevamente en fecha de
recuperatorio, siempre que haya aprobado el segundo parcial.
 Aprobar el examen final.
 Nota de aprobación para todas las evaluaciones (4 cuatro).
Otros aspectos o criterios de evaluación considerados por la cátedra:

Resolver los trabajos prácticos de unidad temática y leer el correspondiente
material bibliográfico;

Participar permanentemente y en forma activa de las clases;

Manejar en forma adecuada los conceptos fundamentales de la materia;

Aplicar dichos conceptos para abordar problemas económicos específicos e
interpretar teoría económica formulada en lenguaje matemático.
Caracterización de los instrumentos de evaluación:
Los exámenes parciales serán presenciales, escritos e individuales. Contarán con cinco
ejercicios a desarrollar, en los cuales se interrelacionarán los distintos contenidos de la
asignatura, especialmente los asociados a las aplicaciones económicas.
El examen final será presencial, escrito e individual. Contará con ejercicios de opción
múltiple y ejercicios a desarrollar. Su finalidad será demostrar que el alumno interiorizó los
conceptos básicos asociados a la asignatura que le permitirán en el futuro desenvolverse
correctamente en otras materias.
Los exámenes finales serán complementados con una evaluación oral si a la mesa
examinadora le parece pertinente.
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ESQUEMA DE LA INTERRELACIÓN DE LOS CONTENIDOS
Matrices
y
determinantes
Espacios
Vectoriales
Sistemas de
ecuaciones
lineales
Matrices
semejantes
Transformaciones
lineales
Programación
lineal
Equilibrio
general
de
mercado
Modelos
económicos
estáticos
10
Optimización
con
restricciones
de
desigualdad