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TEMA 3. MOVIMIENTO
VIBRATORIO ARMÓNICO
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS SE PRODUCEN
CUANDO LOS PUNTOS QUE COMPONEN UN CUERPO
SE DESPLAZAN ALREDEDOR DE SU POSICIÓN DE
EQUILIBRIO
EJEMPLOS: Membrana de un tambor, cuerda de una
guitarra, cuerpo suspendido de un muelle, péndulo de un
reloj, columpio, salto en una cama elástica
DENTRO DE LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS
PERIÓDICOS, EL MÁS SENCILLO ES EL MOVIMIENTO
ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE
Al colgar una masa, el muelle se deforma hasta alcanzar
el equilibrio (el peso del cuerpo tira hacia abajo y la
fuerza elástica del muelle hacia arriba)
  
En equilibrio: F  Fe  P  k·x0  m·g  0  k·x0  m·g
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS


CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE
Si ahora tiro del cuerpo hacia abajo y lo desplazo una
distancia x = l –l0  el cuerpo deja de estar en equilibrio
porque las fuerzas ya no se contrarrestan: La fuerza
elástica obliga al cuerpo a volver al equilibrio, tirando de
él hacia arriba o hacia abajo
  


 


F  Fe  P  0  F  k·( x0  x )  m·g  F  k·x
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE
2ª Ppio. de la
Dinámica



 k 
F   k·x  m·a  a 
x
m
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
PÉNDULO SIMPLE
 HILO
VERTICAL:
CUERPO
EN
EQUILIBRIO
(P
CONTRARRESTADO POR T DEL HILO)
 CUERPO DESPLAZADO DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO:
LA TENSIÓN SÓLO CONTRARRESTA
LA COMPONENTE NORMAL DEL PESO
LA FUERZA RESULTANTE ES LA
COMPONENTE TANGENCIAL

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



PÉNDULO SIMPLE
 
 
EN EL EQUILIBRIO: T  Pn  0  F  Pt  m·g·sena
Al soltar el péndulo, éste oscila alrededor de la posición
de equilibrio. Para oscilaciones de poca amplitud:
a≈a
 Trayectoria curva = trayectoria de la cuerda
s=x
 Sen
s
x
F  m·g·sena   m·g·a   m·g·   m·g·  m·a
l
l
g
a
x
 Velocidad del cuerpo:
l
 Nula en los extremos
 Máxima en el equilibrio
2ª Ley de la Dinámica
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS


PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO
PERMITE ESTUDIAR LA CINEMÁTICA DEL M.A.S.
PROYECTAMOS LAS POSICIONES DE UN M.C.U. SOBRE
UNO DE SUS DIÁMETROS:
 AL
PROYECTAR SOBRE EL EJE X OBTENEMOS LOS PUNTOS
a1, a2, … entre +A y -A
 AL PROYECTAR SOBRE EL EJE Y OBTENEMOS LOS PUNTOS
b1, b2, … entre +B y -B
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO
 Posición
a coincide con componente x del vector posición
 Posición b coincide con componente y del vector posición
x  R·cos 
y  R·sen
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO
 M.C.U.
con movimiento antihorario, velocidad angular w y
ángulo inicial con el eje x 0:  = 0+wt
 Vector posición:



r  R cos  i  Rsen  j



r  R cos( wt  0 ) i  Rsen ( wt  0 ) j
a
x  R·cos 
y  R·sen
y b se mueven alrededor del punto O, tardando el mismo
tiempo en dar una vuelta completa (PERÍODO):
T
2
w
f
1
w

T 2
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.
 ES
PERIÓDICO: CADA CIERTO TIEMPO (PERÍODO) EL
CUERPO VUELVE A TENER LAS MISMAS MAGNITUDES
CINEMÁTICAS Y DINÁMICAS
 ES OSCILATORIO (O VIBRATORIO), PUESTO QUE EL
CUERPO OSCILA ALREDEDOR DE LA POSICIÓN DE
EQUILIBRIO
 LA AMPLITUD ES EL VALOR MÁXIMO DE ELONGACIÓN
 SE DESCRIBE MEDIANTE LA FUNCIÓN ARMÓNICA SENO O
COSENO x  A·sen( w·t   )
0
x  A·cos( w·t   '0 )
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.
(x)  Separación del cuerpo de la posición
de equilibrio (en metros)
 AMPLITUD (A)  Máxima elongación experimentada (en
metros)
 PERÍODO (T)  Tiempo en realizar una oscilación completa
(en segundos)
 FRECUENCIA (f)  N· de oscilaciones por segundo (en
herzios )[1 Hz = 1 s-1]
 FRECUENCIA ANGULAR (w)  Número de períodos
comprendidos entre 2 segundos (en rad/s)
 FASE ()  Ángulo que determina el estado de vibración
del cuerpo (en el instante t = 0), la fase inicial es 0 (en rad)
 ELONGACIÓN
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.

MODELO: Cuerpo unido a un muelle que se desliza por el plano
horizontal  aceleración opuesta al desplazamiento y proporcional
a éste
 Dada por la coordenada x (coincide con
elongación): x  A·sen( wt  0 )
x  A·cos( wt   '0 )
Se mide en m y oscila entre –A y A
 VELOCIDAD  Es la variación instantánea de la posición
respecto del tiempo
dx
 POSICIÓN
v
 A·w·cos( wt   0 )
dt
dx
v
  A·w·sen ( wt   '0 )
dt
Se mide en m/s y oscila entre A·w y –A·w
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
 ACELERACIÓN
respecto del tiempo
Mide la variación de la velocidad
dv
  A·w2 ·sen ( wt   0 )
dt
dv
a
  A·w2 ·cos( wt   '0 )
dt
a
Se mide en m/s2 y varía entre –A·w2 y A·w2
’0 = 0 –/2
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
 RELACIÓN
v-x Se puede obtener eliminando la fase con la
relación trigonométrica: sen2  + cos2  = 1
Elevamos al cuadrado cada una de las ecuaciones (la de x y la de v) y las sumamos:
2
x
x  A·sen( wt  0 ) 
 sen 2 ( wt  0 )
A2
2
2
v
v  A·w·cos( wt  0 ) 

cos
( wt  0 )
2 2
Aw
Sacamos el mínimo común múltiplo y despejamos v en función de w, A y x:
x2
v2
2
2
2
2
2
2


1

v

w
(
A

x
)

v


w
A

x
A2 A2 w 2
A
cada posición le corresponden 2 velocidades: ida y vuelta
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
 RELACIÓN
v-a
 Si
v y a tienen el mismo signo: movimiento acelerado (↑ rapidez)
 Si v y a tienen signo contrario: movimiento decelerado (↓ rapidez)
 RELACIÓN
a-x . La relación entre a y x es proporcional y de
sentido contrario
x  A·sen( wt   0 )
a   A·w2 ·sen( wt   0 )
a
  w2
x
Dividimos la expresión de
“a” entre la expresión de “x”
GRÁFICAS DEL M.A.S.
Tomando w=2/T y 0 = 0:
 2 
x  A·sen
t
 T 
 2 
v  A·w·cos
t
 T 
 2 
a   A·w ·sen
t
 T 
2
GRÁFICAS DEL M.A.S.

CONCLUSIONES:
 x,
v y a varían periódicamente (vuelven a tomar un
mismo valor transcurrido un período)
 x, v y a están desfasadas entre sí (ni se anulan ni
alcanzan el valor máximo a la vez)
 v está adelantada en un cuarto de período (/4)
respecto a la elongación, y la aceleración está
desfasada medio período (/2) respecto a la
elongación
CONDICIONES INICIALES DE MOVIMIENTO


PODEMOS ELEGIR CUALQUIER INSTANTE PARA
COMENZAR EL ESTUDIO PUESTO QUE EL CUERPO
REPITE EL MOVIMIENTO CONTINUAMENTE
CONOCIDAS x0, v0 Y w  CALCULAMOS 0 Y A
x  A·sen ( wt   0 )  si t  0  x 0  A·sen  0 ; v 0  A·w·cos  0
x0  A2 ·sen 2 0;
2
2
x0 
2
v0  A2 ·w2 ·cos 2  0
2
2
v0
v0
2
2

A

A

x

0
w2
w2
Elevamos al cuadrado las
expresiones de x0 y v0 y las
sumamos, despejando A
x0 ·w
Dividiendo x 0 entre v 0 obtenemos  0  arctg
v0
3. DINÁMICA DE UN M.A.S.

EL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN M.A.S. SE
OBTIENE SUSTITUYENDO LA CONDICIÓN DE
ACELERACIÓN (a = -w2·x) EN LA ECUACIÓN
FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA:



2 
2 
F  m·a  m·(  w ·x )  m·w ·x  k·x


La fuerza necesaria para producir un M.A.S. es
directamente proporcional al desplazamiento del
cuerpo, pero de sentido contrario
k es la constante de proporcionalidad y, para un
muelle, coincide con la constante elástica (ke)
3. DINÁMICA DE UN M.A.S.

Cada oscilador está caracterizado por una constante
k y una masa m que determinan w, f y T:
k  m·w2
k
 pulsación o frecuencia angular
w
m
m
2
 período
 2
T
k
w
1
w

f
2 2
k
 frecuencia
m
3. DINÁMICA DE UN M.A.S.




ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE: La fuerza resultante
- m·g
es la tangencial del peso (Pt).
F  Pt  Px 
x
l
Si las oscilaciones son de poca
Como F  k·x
amplitud, aproximamos a
m·g
Así, k 
movimiento lineal
l
w y T independientes de m y A Como k  m·w 2
Con un péndulo de l conocida
g
w
l
podemos calcular g midiendo
2
l
el período de oscilación
T
 2
w
g
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO


UN OSCILADOR ARMÓNICO TIENE ENERGÍA CINÉTICA
PORQUE ESTÁ EN MOVIMIENTO Y ENERGÍA
POTENCIAL PORQUE LA FUERZA RECUPERADORA
(F = -k·x), LE OBLIGA A OSCILAR
LA FUERZA RECUPERADORA ES
CONSERVATIVA, LO QUE SUPONE:
UNA
FUERZA
El trabajo realizado sobre un cuerpo depende
sólo de las posiciones final e inicial
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

ENERGÍA CINÉTICA: La energía cinética varía de forma
periódica y depende de la elongación (su valor en los
extremos es nulo [v = 0] y en el equilibrio es máximo)
v  A·w·cos( wt  0 )
k
k  m·w  m  2
w
2
1
1 k 2 2
2
2
Ec  m·v 
·A ·w ·cos ( wt   0 )
2
2
2w
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

ENERGÍA CINÉTICA:
1
1
2
Ec  m·v  k·A2 ·cos 2 ( wt   0 )
2
2

Utilizando la expresión
v   w· A  x
2
2
1
1
1
2
2
2 2
Ec  m·v  m·(  w· A  x )  k ( A2  x 2 )
2
2
2
k  m·w2
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

ENERGÍA POTENCIAL:
1 2 1
Ep  k·x  k·A2 ·sen 2 ( wt   0 )
2
2



La energía potencial es proporcional al cuadrado de la
elongación
Se anula en el equilibrio (x = 0) y alcanza su valor
máximo en los extremos (x =± A)
El trabajo realizado por la fuerza recuperadora:
F = k·x, entre dos posiciones A y B, depende sólo de las
posiciones inicial y final, por lo que W AB=-(EPB-EPA)
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

TRABAJO DE LA FUERZA RECUPERADORA:
W A B


xB
  xB
1 2 
1 2 1
2
  F·dr    k·x dx  - k·x    k·xB  k·x A 
2
2
 xA
2

A
xA
B
La fuerza recuperadora F = -k·x es conservativa, por lo
que se cumple que WAB  ( EPB  EPA )
Si comparamos ambas expresiones:
E PA
E PB
1 2
 k·x A
2
1 2
 k·xB
2
Por tanto:
1 2 1
EP  k·x  k·A2 ·sen 2 ( wt  0 )
2
2
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
1 2 1
EP  k·x  k·A2 ·sen 2 ( wt  0 )
2
2

Ep SE ANULA EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO (x = 0)
Y TIENE SU VALOR MÁXIMO EN LOS EXTREMOS
(x =± A)
Al estirar el resorte una distancia x, la
energía potencial almacenada coincide
con el trabajo de la fuerza externa
necesaria para deformarlo, pero de
sentido contrario:
Ep=Wext=0,5·k·x2
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

ENERGÍA MECÁNICA: Em = Ec + Ep
1
1
2
Em  m·v  k·x 2
2
2

Sustituyendo
por
anteriormente:
las
expresiones
obtenidas
Sabiendo que sen2 a + cos2 a = 1
1
1
1
2
2
2
2
Em  k·A ·cos ( wt   0 )  k·A ·sen ( wt   0 )  k·A2
2
2
2

LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN
ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE
OSCILADOR
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR
ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec
Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE
FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte
k= m·w2
1
1
1
2
2
2
Em  k·A  m·w ·A  m·4· 2 · f 2 ·A2
2
2
2
w=2·/T=2··f
Em = constante en cualquier instante ya que la fuerza resultante
que actúa sobre el cuerpo es la fuerza recuperadora (una fuerza
conservativa)
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR
ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec
Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE
FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

LAS ENERGÍAS CINÉTICA Y POTENCIAL DE UN
OSCILADOR VARÍAN EN FUNCIÓN DE LA POSICIÓN
(x). LA ENERGÍA MECÁNICA ES LA SUMA DE AMBAS
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
DIAGRAMA ENERGÉTICO
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
VALORES DE LAS ENERGÍAS EN POSICIONES SUCESIVAS DE UN M.A.S
Para x = 0
Ec máx
Ep = 0
Para x = xmáx = A
Ec = 0
Ep máx
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO



CUANDO EL CUERPO SE ALEJA DE LA POSICIÓN
DE EQUILIBRIO (x = 0), SU ENERGÍA POTENCIAL
AUMENTA Y SU ENERGÍA CINÉTICA DISMINUYE
CUANDO EL CUERPO SE ACERCA A LA POSICIÓN
DE EQUILIBRIO, SU ENERGÍA CINÉTICA AUMENTA
HASTA ALCANZAR SU VALOR MÁXIMO Y SU
ENERGÍA POTENCIAL DISMINUYE
EN CUALQUIER POSICIÓN, Ec Y Ep SON POSITIVAS
Y SU SUMA ES LA Em, QUE PERMACE CONSTANTE
EN TODO MOMENTO