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Los Números Enteros (Z) • Los números enteros: representación gráfica, orden, modulo o valor absoluto. • Operaciones en Z , procedimientos y propiedades de estas. • Prioridades de operaciones y paréntesis. • Problemas que involucran operatoria con enteros. Los Números enteros: Son los elementos del conjunto Z ; donde: Z = {..........,-3,-2,-1,0,1,2,3,...........} ; definiéndose: Z+ = {1,2,3,4,5,.................} enteros positivos Z- = {-1,-2,-3,-4,-5,...........} enteros negativos Donde el cero es solo entero, no siendo positivo como tampoco negativo; luego Z = Z- ∪ {0} ∪ Z+ . Representación Gráfica: A todo número entero le corresponde un punto sobre la recta numérica; así: -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 2 Notar que no todo punto de la recta representa a un número entero; por ejemplo 1/2 es un punto de la recta; 1/2 ∉Z. 0 4 5 1 2 6 1 En base a la definición de IN , INo , Z se cumple que IN ⊆ INo ⊆ Z. Orden en Z: Las definiciones de > , < , ≥ , ≤ son las mismas ya definidas en IN; así al comparar: a) 7 > 3 d) 0 > b) 5 < 9 e) -9 < 15 c) -3 < 0 f) 12 > -23 g) -7 < -3 j) -47 ≥ -54 h) -8 k) -75 ≤ -67 l) -18 ≥ -18 > -12 i) -32 < -19 -8 De acuerdo a los ejemplos anteriores y con la ayuda de una recta numérica se puede concluir que todo número de esta es menor que los que se encuentran a su derecha y mayor que los que se encuentran a su izquierda. Ejercicios: a) Ordene en forma creciente: (de menor a mayor) -12 , 0 , 7 , -3 , -16 , 9 , 18 , -7 , -10 , 11 , -1 , 12. -16 , -12 , -10 , -7 , -3 , -1 , 0 , 7 , 9 , 11 , 12 , 18 b) Ordene en forma decreciente: (de mayor a menor) -9 , 17 , 2 ,-3 , 8 , -12 ,-7 , 0 , 6 , 15 ,-18 ,-23 , 10. 17 , 15 , 10 , 8 , 6 , 2 , 0 , -3 , -7 , -9 , -12 , -18 , -23 Modulo o Valor Absoluto en Z: A todo a∈ Z se le asocia un entero no negativo llamado Modúlo o Valor Absoluto, el que se denota por a ; definiéndose: i) Si a > 0 ⇒ a = a ii) Si a = 0 ⇒ a = 0 iii) Si a < 0 ⇒ a = -a (opuesto de a) Ejemplos: a) 3 = 3 c) -7 = 7 e) 34 = 34 b) 0 = 0 d) -25 = 25 f) -45 = 45 g) -32 - -17 = = 32 - 17 15 = 15 h) -25 - 25 = = =0 25 - 25 0 Operaciones en Z: (1) Adición: Se distinguen dos casos: i) De enteros de igual signo: Se suman sus valores absolutos y se conserva el signo común. Ejemplos: = -29 (a) 12 + 9 = 21 (c) -6 + -9 + -14 (b) -8 + -15 = -23 (d) -4 + -13 + -5 + -1 = -23 ii) De enteros de distinto signo: Se restan sus valores absolutos (mayor menos menor) y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplos: (a) 17 + -23 = -6 (c) 23 + -14 = 9 (b)-15 + 36 = 21 (d) 43 + -56 = -13 Propiedades: La adición en Z ; cumple con la clausura es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (es el 0 ya que ∀ a ∈ Z ; se tiene que a + 0 = a = 0 + a) y cada entero "a" posee como inverso aditivo u opuesto al entero -a ; teniéndose que : a + -a = 0 = -a + a Notar que al operar un elemento con su inverso, se tiene que obtener como resultado el neutro de la operación; en este caso cero. Ejemplo: El inverso aditivo u opuesto de 7 es -7 y viceversa ya que: 7 + -7 = 0 = -7 + 7 Ejercicio: Resolver las siguientes adiciones entre enteros de igual o distinto signo: Número + Número = Suma 9 + 7 = 16 -5 + -2 = -7 -6 + 8 = 2 4 + -9 = -5 -3 + -8 = -11 -8 + 2 = -6 Número + Número = Suma -8 + -5 = -13 7 + 9 = 16 10 + -15 = -5 8 + -8 = 0 -9 + 12 = 3 -10 + -20 = -30 Número + Número = Suma -18 + 6 = -12 -7 + -12 = -19 -21 + 15 = -6 17 + -28 = -11 25 + 15 = 40 -32 + 12 = -20 (2) Sustracción: Se define a - b = a + -b ; es decir la sustracción se transforma en adición, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplos: a) 9 - 5 = 9 + -5 = 4 c) –12 – 7 = -12 + -7 = -19 b) 7 - -15 = 7 + 15 = 22 d)-19 - -25 = -19 + 25 = 6 Propiedad: La sustracción en Z; cumple sólo con la propiedad de clausura o ley de composición interna, es decir la resta de dos enteros es siempre un nuevo entero. Ejercicio: 1) Resolver las sustracciones pedidas en el cuadro: Número - Número = 10 6 = 5 9 = 6 -3 = -4 - -7 = -5 4 = Resta 4 -4 9 3 -9 Número - Número = Resta 5 8 = -3 2 -9 = 11 -6 - -12 = 6 8 -8 = 16 -9 -3 = -6 Número - Número = Resta -10 - -18 = 8 -17 22 = -39 21 15 = 6 -18 12 = -30 -25 - -15 = -10 2) Reducir las expresiones: a) –3 + -2 - - 5 – 3 – 10 = -5 + 5 + -3 + -10 = -13 b) 10 - -12 + -3 - -10 + 20 = 10 + 12 + -3 + 10 + 20 = 52 + -3 = 49 c) –12 + -15 – 23 + 18 - -9 + -15 = -27 + -23 + 18 + 9 + -15 = -65 + 27 = -38 d) 7 – 16 + -5 - -12 + -8 – 15 – 3 = 7 + -16 + -5 + 12 + -8 + -15 + -3 = 19 + -47 = -28 3) Multiplicación: Para multiplicar dos enteros es necesario tener presente que el producto de dos enteros de igual signo es siempre positivo y que el producto de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. Ejemplos: a) 12 ⋅ 7 = 84 b) –15 ⋅ 12 = -180 c) 15 ⋅ -6 = -90 d) -17⋅ -30 = 510 Propiedades: La multiplicación en Z cumple con la propiedad de clausura, es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (el 1) y es distributiva sobre la adición. Ejercicio: Resolver las siguientes multiplicaciones: a · b Producto a · b 2 · 9 18 8 · -3 -24 48 -7 35 -35 9 · · -5 -5 · -8 · 7 -4 -36 10 · 3 30 -5 · -9 45 -9 · 6 -54 -12 · 5 -60 -6 Producto (4) División: La división en Z no siempre tiene solución; sin embargo, para dividir dos enteros es necesario tener presente que el cuociente de dos enteros de igual signo es siempre positivo y que el cuociente de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. Ejemplo: a) 18 : 9 = 2 c) 54 : -27 = -2 b) –75 : 15 = -5 d) –108 : -12 = 9 e) 35 : -8 = No tiene solución en Z Propiedades: La división en Z no cumple con la propiedad de clausura ni con ninguna de las propiedades de la adición y multiplicación de enteros. Ejercicios: 1) Resolver las siguientes divisiones: a : b Cuociente a : 32 : 8 4 21 : -7 -3 4 -60 -8 72 : -4 : -12 15 16 : -5 : -2 -6 -80 : 16 -5 -40 : -8 5 -54 : 6 -75 : 15 -5 -20 -9 b Cuociente 2) Resolver las siguientes operaciones combinadas sin paréntesis, recordando que todo cálculo aritmético se resuelve de izquierda a derecha respetando las siguientes prioridades: a) –3 ⋅ 4 – 6 : -3 - -4 = -12 + 2 + 4 = -10 + 4= -6 b) -72 : 8 + -6 ⋅ -3 - -8 : -2 = -9 + 9 18 - 4 + -4 = = 5 c) –16 : -8 + -2 ⋅ -6 - -4 ⋅ 5 = 2 + 12 - -20 = 14 + 20 = 34 d) –100 : -4 ⋅ 2 - -2 ⋅ -3 + -4 ⋅ 2 : -2 = 25 · 2 - 6 50 6 44 + -8 : -2 = + 4 = + 4 = 48 3) Resolver las siguientes operaciones combinadas con paréntesis, teniendo presente que se eliminan primero los paréntesis más interiores; es decir de a dentro hacia fuera respetando en su interior la prioridad de las operaciones: a) 15 − [6 ⋅ (2 − −1) − 7 ⋅ (3 − −2)] 15 - [6 · 3 - 7 · 5] 15 - [ 18 - 15 15 + = 32 -17 17 35 ] b) 4 ⋅ [(2 − −3 + 6) − (−6 + 2 − −4)] 4·[(2 + 3 + 6)- (-6 + 2 + 4)] 4 ·[ 4 11 · = 44 11 0 ] c) − [− (−2 − −8 + 3)] : [− (−7 + −5 − −9)] = -[-(-2 + 8 + 3 ) ] : [ -( -12 + 9) ] -[ - ( 6 + 3 )] : -[ - ( 9 ) ] 9 : : =3 [ - ( -3 ) ] 3 3 d) 9 ⋅ {5 − (4 − −3)} : 3 ⋅ {1 − (−2 + 6)} = [9·{ 5 - (4 + 3)}] : [ 3·{ 1 - 4} ] [9·{ 5 - 7 } ] : [ 3·{1 + -4} ] [9·{5 + -7 } ] : [3 · -3 ] [9 · -2 ] : [ -9 ] -18 : -9 = 2 4) Las temperaturas mínimas de 5 ciudades son –36º ; -23º ; 11º ; -19º y 7º. ¿Cuál es la temperatura mínima promedio de tales ciudades? Suma datos: -36 + -23 + 11 + -19 + 7 = -60 -60 Temperatura Promedio = = -12º 5 Ejercicios Complementarios: 1) Si a = –3 ; b = -5 ; c = -9 ; luego el valor de la expresión ab – ac + bc = ? A) –87 B) –57 C) –3 ab – ac + bc = a·b – a·c + b·c -3·-5 - -3·-9 + -5·-9 15 - 27 + 45 D) 3 E) 33 -12 + 33 45 2) Si x = [–8 – {-2(-9+3)}]:[1 - -3] ; luego se tiene que –x = ? A) –10 x = [–8 – {-2(-9+3)}] : [1 - -3] x = [–8 – {-2 · -6 }] : [1 + 3] B) –5 C) 1 x = [–8 – x=[ –20 D) 5 E) 10 12 ]:[ 4 ] ]:[ 4 ] x = -5 ⇒ -x = 5 /·-1 3) Al reducir la expresión: -8 · -6 : -3 – 18 : -6 · -3 = 48 : -3 + 3 · -3 A) –25 B) –17 C) –15 D) –7 E) –5 -16 + -25 -9 A = {x/x=3n – 1 con n ∈IN ∧ 5 < n ≤ 8} B = {z/z=5m – 3 con m ∈IN ∧ 4 ≤ m < 7} La diferencia entre el mayor valor de “x” y el menor valor de “z” es: 4) A) 1 A = {x/x=3n – 1 con n ∈IN ∧ 5 < n ≤ 8} El mayor valor de x se obtiene para el mayor valor de “n” B) 2 Si n = 8 ⇒ x = 3·8 - 1 = 24 - 1 ⇒ x = 23 C) 5 B = {z/z=5m – 3 con m ∈IN ∧ 4 ≤ m < 7} D) 6 E) 10 El menor valor de z se obtiene para el menor valor de “m” Si m = 4 ⇒ z = 5·4 - 3 = 20 - 3 ⇒ z = 17 mayor valor “x” menos menor valor “z” es: 23 - 17 = 6 5) Si: a = (15 – 7)·(3 – 5) b = (-3 + 1)·(2 – -7) c = (-3 – 1)·(13 – 8) La relación correcta entre a, b y c es: A) a > b > c a = (15 – 7)·(3 – 5) b = (-3 + 1)·(2 – -7) B) a > c > b a= b= C) b > a > c 8 a= · -2 b= -16 c = (-3 – 1)·(13 – 8) D) b > c > a c= E) c > a > b -4 · c= 5 -20 Luego: -16 > -18 > -20 ⇒ a > b > c -2 · -18 9 6) Si al producto de dos números impares positivos consecutivos se le suma 1; el resultado es siempre: l) Un número par. ü ll) Un múltiplo de 4.ü lll) Un cuadrado perfecto. ü A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y lll E) l , ll y lll Ejemplos: 5 · 7 + 1 = 35 + 1 = 36 = 62 11 · 13 + 1 = 143 + 1 = 144 = 122 27 · 29 + 1 = 783 + 1 = 784 = 282 7) A las 8 horas había una temperatura de -28º. Si cada media hora la temperatura subió 3 grados. ¿A qué hora llego a los 14º ? A) A las 7 horas B) A las 14 horas C) A las 15 horas D) A las 19 horas E) A las 22 horas Si cada media hora la temperatura sube 3º ; en una hora sube 6º. De -28º a 14º la temperatura debe de subir 42º ; luego: 42º : 6 = 7 horas 8 + 7 = 15 horas. 8) Un comerciante compró 30 lápices a $20 c/u; luego vendió 20 lápices a $18 c/u. ¿A cómo tiene que vender c/u de los restantes para no perder? A) $22 Invierte: 30 · 20 = $600 B) $24 Recibe : 20 · 18 = $360 C) $36 Falta recuperar: - $240 D) $42 Nº lápices que queda: 30 - 20 = 10 E) $44 Nuevo valor 1 lápiz : 240 : 10 = $24 9) Si a = -5 y b = 4 ; entonces el valor de la expresión 4· a - - b - a·b + a = ? 4· a - - b - a·b + a = A) –9 4· -5 - -4 - -5·4 + -5 B) -5 4· -5 - -4 - -20 + -5 C) 4 D) 9 E) 31 4· 5 - 4 - 20 + -5 20 - 4 - 20 + -5 16 -4 20 + -5 + -9 -5 10) Se tiene que a – b = 3; donde -1 y 1 ; entonces “a” varía entre: “b” varía entre b varía entre -1 y 1 A) B) 3y 2 2y 4 C) –4 y 2 D) –2 y 4 E) –2 y -4 a–b=3 Si b =-1 ⇒ a – -1 = 3 a+ 1=3 a=3-1 a=2 Si b = 1 ⇒ a – 1 = 3 a=3+1 a=4 ⇒ a varía entre 2 y 4 11) Si a b=b–a y a b = a – b . ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones dan el mismo resultado de (5 – 3)+(-6 + 3)? 2 + -3 -1 l) (5 2 3) -1 (6 3 3) ü ll) (3 3 6) -1 (3 2 lll) (6 3 3) -1 (5 2 5) ü 3) ü A) Sólo l B) Sólo l y ll C) Sólo ll y lll D) Todas E) Ninguna. Ejemplo: Si Si a b=a–b 5 3=5-3=2 a b=b–a 3 6=6-3=3 12) Sean a,b,c,d números enteros tales que a + b = 18 y a + c = 12. Se puede determinar el valor de b + d si: a + b = 18 con a = 8 ⇒ b = 10 ü (1) a = 8 y d = 6c a + c = 12 con a = 8 ⇒ c = 4 d = 6c ⇒ d = 6·4 ⇒ d = 24 ⇒ b + d = 10 + 24 = 34 a + c = 12 con c = 4 ⇒ a = 8 ü(2) c = 4 y d = 3a a + b = 18 con a = 8 ⇒ b = 10 d = 3a ⇒ d = 3·8 ⇒ d = 24 ⇒ b + d = 10 + 24 = 34 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional. Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-03 1) B 6) A 11) E 16) E 2) E 7) E 12) C 17) C 3) C 8) B 13) A 18) D 4) A 9) B 14) A 19) A 5) B 10) A 15) E 20) A