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Análisis Funcional
Álvaro Rovella
Andrés Sambarino
31 de agosto de 2005
Índice general
1. Espacios vectoriales topológicos
1.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Topologías lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
7
10
2. Topologías débiles
2.1. Construcción de topologías localmente convexas
2.2. Topologías débil y débil estrella . . . . . . . . .
2.3. Convexos compactos . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . .
14
14
16
20
22
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3. Espacios de Hilbert
24
3.1. Teoría Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Operadores
31
4.1. Acotación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Aplicación abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Gráfico cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Fredholm y operadores compactos
37
5.1. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2. Perturbados compactos de la identidad . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3. El álgebra de Calkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6. Teorema Espectral
44
6.1. Operadores normales y autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2. Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. Teorema de Lomonosov
49
7.1. Teorema de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2. Subespacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A. Teorema de von-Neumann
53
1
Capítulo 1
Espacios vectoriales
topológicos
1.1.
Espacios vectoriales
Un espacio vectorial es un grupo abeliano sobre el cual actúa un cuerpo.
Básicamente tenemos un conjunto X, un cuerpo K y dos operaciones, suma,
+ : X × X −→ X, y producto por escalares, · : K × X −→ X que verifican
ciertas propiedades.
Si tenemos un subconjunto, {xi }i∈ I , de un espacio vectorial X el espacio
generado por él es



X
h{xi }i∈I i =
aj xj : aj ∈ K y J ⊂ I finito


j∈J
En pocas palabras, el espacio generado por {xi } es el conjunto de todas las
combinaciones lineales finitas de elementos de {xi } con escalares en K. Una base
algebraica, o de Hamel, de un espacio vectorial es un subconjunto linealmente
independiente, que genera todo el espacio. El siguiente teorema se prueba a
partir del lema de Zorn.
Teorema 1.1. Todo espacio vectorial tiene una base y dado cualquier subconjunto L.i. hay una base que lo contiene.
Definición 1.1. Sea X un espacio vectorial, la dimensión de X es el número
de elementos de una base y la notamos dim X.
A partir de ahora siempre nos referiremos a K como R o C, y a X como
un espacio vectorial, o sea, siempre estaremos asumiendo que X es un espacio
vectorial sobre el cuerpo de los reales o de los complejos.
2
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
3
Definición 1.2. Sea X un espacio vectorial. X 0 , el dual algebraico, es el conjunto de todas las funcionales lineales en X, o sea
X 0 = {ϕ : X −→ K lineal }
Obviamente es también un espacio vectorial de modo que podemos llamar
X 00 , el bidual algebraico de X, al dual algebraico de X 0 .
Ejercicio. Sea J : X −→ X 00 dada por J(x)(ϕ) = ϕ(x), probar que J es lineal
e inyectiva y es sobreyectiva si y solo si X tiene dimension finita.
Dada una base algebraica {xα }α∈I de un espacio vectorial X, y dado un
conjunto {bα }α∈I ⊂ K existe una única funcional lineal tal que ϕ(xα ) = bα ∀α ∈
I. El conjunto dual de una base {xα }α∈I es {ϕα }α∈I tal que
1 si α = β
ϕα (xβ ) = δαβ =
0 en otro caso
{ϕα } es claramente L.i. pero si X tiene dimensión infinita no genera X 0 .
Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial dotado de una topología
T1 de forma que las operaciones suma y producto por escalares sean funciones
continuas. Por ejemplo, si tenemos un espacio vectorial X normado, esto es
dotado de una función k k : X −→ R tal que:
1. kxk ≥ 0 ∀x ∈ X
2. kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ X
3. kλxk = |λ|kxk ∀λ ∈ K y ∀x ∈ X
4. kxk = 0 ⇔ x = 0,
tenemos un espacio vectorial topológico ya que la norma induce una distancia
como d(x, y) = kx−yk y esta una topología que obviamente hace continuas a las
operaciones + y · (R ó C con la topología usual). Vale observar que la distancia
inducida por una norma es invariante por traslaciones.
Definición 1.3. Decimos que un espacio vectorial normado es de Banach si es
completo con la métrica inducida por la norma.
Supongamos que tenemos dos normas en un mismo espacio vectorial X, k k1
y k k2 . Decimos que son equivalentes si existen constantes c1 y c2 tales que
(1.) kxk1 ≤ c2 kxk2 y (2.) kxk2 ≤ c1 kxk1
La condición (1.) dice que k k2 domina a k k1 , o sea que la topología que define
k k2 es mas fuerte que la que define k k1 , o sea que tiene mas abiertos.
Teorema 1.2. Dos normas son equivalentes si y solo si inducen la misma
topología.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
4
Supongamos que tenemos un operador, i.e. una transformación lineal, entre
espacios normados, A : X −→ Y . Decimos que A está acotado si existe k > 0
tal que kA(x)k ≤ k ∀x tal que kxk ≤ 1.
Proposición 1.3. Un operador entre espacios normados es acotado si y solo si
es continuo si y solo si es uniformemente continuo.
Si X e Y son espacios vectoriales normados notamos B(X, Y ) al espacio de
los operadores acotados de X en Y , este es un espacio vectorial sobre el mismo
cuerpo que Y , si para A ∈ B(X, Y ) definimos
kAk = sup{kAxk : kxk ≤ 1}
tenemos que B(X, Y ) es normado. Se deja como ejercicio probar que si An −→ A
con esta norma entonces An converge uniformemente a A en cualquier bola de
X.
Teorema 1.4. B(X, Y ) es un espacio de Banach si Y lo es.
Definición 1.4. El dual de un espacio normado X, X ∗ , es B(X, K), o sea, el
conjunto de las funcionales lineales y continuas.
Ejemplos. Veamos dos ejemplos de funcionales lineales no continuos.
i) Tomemos X = C([0, 1]) = {f : [0, 1] −→ C continuas } con la norma 1, o
sea,
Z
kf k1 = |f |
El funcional ψ(f ) = f (0) es obviamente lineal pero no acotado. Observemos que ker ϕ = {f ∈ C([0, 1]) : f (0) = 0} es denso en este espacio con
k k1 .
ii) Sea `∞ (N) = {x : N −→ C : acotadas} tomamos X como aquellas sucesiones de `∞ (N) que convergen y ponemos
kxk =
X |xn |
n
2n
Consideramos ahora el funcional ψ(x) = lı́m x y la sucesión de elementos
de X, x(n) = (0, . . . , 0, 1, 1, . . .) donde el primer 1 ocurre en el lugar n,
entonces ψ(x(n) ) = 1 ∀n, pero es claro que x(n) −→ 0, por tanto ψ no es
continuo.
Sea c0 = ker ψ = {x : N −→ C : xn −→ 0}. Este conjunto es denso
en X ya que dada y = (y1 , . . . , yn , . . . ) ∈ X y ε > 0 tomamos x =
(y1 , . . . , yN , 0, 0, . . . ) ∈ c0 y tenemos que
kx − yk =
∞
X
|yn |
N
2n
< ε.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
5
Sea X ∗∗ el bidual de X, o sea, el dual de X ∗ . Hay una forma natural de encajar X en su bidual, consideramos J : X −→ X ∗∗ como J(x)(ϕ) = ϕ(x), o sea,
las evaluaciones. J es lineal y es una isometría (esto se deducirá del teorema de
Hahn-Banach), si es sobreyectiva decimos que X es reflexivo. Notemos que para
que un espacio sea reflexivo pedimos que J, el encaje natural, sea sobreyectivo.
Hay ejemplos de espacios isomorfos a su bidual que no son reflexivos.
Definición 1.5. Sean X e Y espacios normados y A ∈ B(X, Y ), decimos que
A es un isomorfismo si es biyectiva y tiene inversa continua. Dos espacios son
isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos y son isométricamente isomorfos
si existe un isomorfismo que es además una isometría, i.e. un operador que
preserva la norma.
Observemos que si dos espacios son isomorfos y uno de ellos es completo
entonces el otro también lo es, por lo tanto hay espacios vectoriales que no son
isomorfos a un dual ya que éste siempre es un espacio de Banach.
Ejercicios.
1. X es un espacio
de Banach si y solo si dada {xn } ∈ X tal que
P
entonces
xn converge en X.
P
kxn k < ∞
2. Sea T ∈ B(X) con X Banach.
Si kT k < 1 entonces T − I tiene inversa
P
continua, su inversa será n (T − I)n .
3. Sean A, B ∈ B(X) con X Banach. Si B tiene inversa continua y kAk <
1/kB −1 k entonces A + B tiene inversa continua.
S es un subespacio de codimension 1 si existe v ∈ X\S tal que hS, vi = X.
El núcleo o kernel de un operador A es ker A = A−1 ({0}).
Observación. Dado un subespacio de codimension 1, S, existe ϕ ∈ X 0 tal que
ker(ϕ) = S, recíprocamente, dada ϕ ∈ X 0 ker(ϕ) es un subespacio de codimension 1.
Demostración. La primer afirmación es trivial, para la otra supongamos que
ϕ(x0 ) 6= 0, entonces dado x ∈ X escribimos
x=x−
ϕ(x)
ϕ(x)
x0 +
x0
ϕ(x0 )
ϕ(x0 )
y tenemos que
ϕ(x)
ϕ x−
x0
ϕ(x0 )
=0
O sea que X = hker(ϕ), x0 i.
La continuidad de un funcional lineal queda determinada a partir de su
núcleo, por ejemplo, ambos funcionales no continuos que vimos en el ejemplo
anterior tienen núcleo denso.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
6
Teorema 1.5. Sea X un espacio normado y ϕ un funcional lineal no nulo,
entonces ϕ es continua si y solo si su núcleo no es denso si y solo si su núcleo
es cerrado.
Demostración. Es claro que si ϕ es continua su núcleo no es denso ya que es un
cerrado de codimensión 1. Supongamos que ker(ϕ) no es denso, entonces existe
x0 tal que ϕ(x) 6= 0 ∀x tal que kx − x0 k < δ, o sea que ϕ(y) 6= −ϕ(x0 ) ∀y ∈
B(0, δ). Ahora, si z ∈ ϕ(B(0, δ)) entonces todo el segmento [0, z] está contenido
en ϕ(B(0, δ)), además, si |λ| = 1 entonces λz ∈ ϕ(B(0, δ)) ya que si ϕ(x) = z
entonces λx ∈ B(0, δ) y ϕ(λx) = λz. O sea que la imagen de una bola, por
un funcional lineal, es una bola de K. Como −ϕ(x0 ) ∈
/ ϕ(B(0, δ)) tenemos que
C 6= ϕ(B(0, δ)) o sea que existe k > 0 tal que kϕ(x)k ≤ k ∀kxk ≤ δ, o sea, ϕ es
un funcional acotado.
Corolario 1.6. Todo subespacio de codimension 1 en un espacio normado es
cerrado o denso.
Teorema 1.7. Dos espacios normados de dimensión n son isomorfos.
Demostración. Sea ϕ : Kn −→ X tal que
ϕ(a1 , . . . , an ) =
n
X
ai xi
i=1
donde {x1 , . . . , xn } es una base de X. Claramente ϕ es biyectiva lineal y continua. Sea S la esfera en Kn , entonces existe δ tal que B(0, δ) ∩ ϕ(S) = ∅, pero
ϕ−1 (B(0, δ)) es un convexo que contiene al 0 y no intersecta a S, de modo que
ϕ−1 (B(0, δ)) ⊂ B(0, 1), por tanto, ϕ−1 es continua.
Corolario 1.8.
i) En espacios de dimensión finita todas las normas con equivalentes.
ii) Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.
iii) Todo subespacio de dimensión finita es cerrado.
Teorema 1.9. Un espacio normado X es de dimensión finita si y solo si la
clausura de la bola unidad es compacta.
La demonstración se deduce a partir del siguiente lema.
Lema 1.10 (Riesz). Sea X un espacio normado e Y un subespacio cerrado,
entonces dado ε > 0 existe x de norma 1 tal que d(x, Y ) ≥ 1 − ε.
Demostración. Existe x0 tal que d(x0 , Y ) = d > 0, dado d0 > d ∃x0 ∈ Y tal que
kx0 − x0 k < d0 , tomando
x0 − x0
x= 0
kx − x0 k
y eligiendo d0 convenientemente queda concluida la prueba.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
1.2.
7
Convexidad
Decimos que un conjunto K es convexo si para todo par x, y ∈ K el segmento
[x, y] = {ty + (1 − t)x : t ∈ [0, 1]} está totalmente contenido en K. Dados
x1 , . . . , xn ∈ X una combinación lineal convexa es un elemento x ∈ X tal que
x=
n
X
ti xi
i=1
donde 0 ≤ ti ≤ 1 ∀i = 1 . . . n y t1 + . . . + tn = 1. Dado A ⊂ X se define
co A, la envolvente convexa de A, como el conjunto de todas las combinaciones
lineales convexas de elementos de A, equivalentemente co A es la intersección de
todos los convexos que contienen a A. Mas adelante veremos que bajo ciertas
condiciones podremos recuperar un convexo a partir de ciertos puntos, ver el
teorema 2.9.
Definición 1.6. Sea A un subconjunto de un espacio vectorial X. Decimos que
a es un punto algebraicamente interior o que pertenece al interior algebraico de
A si dado x ∈ X ∃ε > 0 tal que {(1 − t)a + tx : t ∈ (0, ε)} está contenido en A.
Al interior algebraico de A lo notamos por ia A.
Los conjuntos algebraicamente abiertos no son necesariamente topológicamente abiertos. Consideremos P = {(x, x2 ) : x > 0}, entonces A = C\P es
algebraicamente abierto, porque 0 pertenece al interior algebraico de A pero no
es abierto.
Un conjunto A se dice absorbente si para cada x ∈ X existe λ > 0 tal que
λ−1 x ∈ A, para que un convexo sea absorbente es necesario y suficiente que el
cero este en su interior algebraico.
Una funcional real q : X −→ R es subaditiva si q(x + y) ≤ q(x) + q(y), q es
una funcional sublineal si además verifica que q(ax) = aq(x) ∀a > 0. La relación
entre convexos y funcionales sublineales viene dada por la siguiente proposición.
Proposición 1.11. Sea K un convexo absorbente entonces
o
n
x
qK (x) = ı́nf t > 0 : ∈ K
t
es una funcional sublineal no negativa tal que qK (x) < 1 ⇔ x ∈ ia K. Recíprocamente, si q es una funcional sublineal no negativa entonces K = {x : q(x) < 1}
es un convexo absorbente algebraicamente abierto y q = qK .
Demostración. Probemos que qK (x + y) ≤ qK (x) + qK (y). Sean a > qK (x) y
b > qK (y) ⇒ x/a e y/b son elementos de K, entonces
ax/a + by/b
a+b
es una combinación convexa de x/a e y/b por tanto pertenece a K, de donde
a + b ≥ qK (x + y), conlcuimos de aqui que qK (x + y) ≤ qK (x) + qK (y).
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
8
Definición 1.7. Una funcional como en la proposición anterior se llama funcional de Minkowski para el convexo K.
Teorema 1.12 (Hahn-Banach). Sea f una funcional lineal real en un subespacio M ⊂ X y q una funcional sublineal tal que f (x) ≤ q(x) ∀x ∈ M , entonces
existe una extensión lineal, f , de f a todo X tal que f (x) ≤ q(x) ∀x ∈ X.
Demostración. Sea F = {g : H −→ R funcionales lineales extensiones de f
donde H es un subespacio tales que g(x) ≤ q(x) ∀x ∈ H}. En F ponemos el
orden g < h si h es extensión de g, obviamente toda cadena tiene una cota
así que tenemos un elemento maximal f0 : M0 −→ R, tenemos que probar que
M0 = X. Basta probar que si v ∈ X\M0 podemos extender f0 a hM0 , vi pero
eso lo hacemos de la siguiente manera, necesitamos definir f0 (v) de forma que
para todo λ, µ ∈ R+ y x, y ∈ M0 se cumpla que
f0 (x) + λf0 (v) ≤ q(x + λv)
f0 (y) − µf0 (v) ≤ q(y − µv)
o sea que
f0 (v) ≤
1
(q(x + λv) − f0 (x)) ∀λ > 0 x ∈ M0
λ
f0 (v) ≥
1
(f0 (y) − q(y − µv)) ∀µ > 0 y ∈ M0
µ
y
Basta observar que
1
1
sup
(f0 (y) − q(y − µv)) ≤ ı́nf
(q(x + λv) − f0 (x))
x∈M λ>0 λ
y∈M0 µ>0 µ
Corolario 1.13. Sea p una seminorma en X y f una funcional lineal definida
en un subespacio M de X que cumple |f (x)| < p(x) ∀x ∈ M . Entonces existe
una funcional lineal, f , que extiende a f y cumple que |f (x)| ≤ p(x) ∀x ∈ X.
Demostración. Como una seminorma es un funcional sublineal el corolario es
obvio para funcionales reales sustituyendo x por −x. Si X es un espacio vectorial
sobre C entonces alcanza con extender g = Re f a una g tal que g(x) ≤ p(x) y
después tomar f (x) = g(x) − ig(ix) ya que, como existe α ∈ C de módulo 1 tal
que |f (x)| = αf (x) tenemos que
|f (x)| = αf (x) = g(αx) ≤ p(αx) = |α|p(x) = p(x)
Corolario 1.14. Sea X un espacio normado y f una funcional definida en un
subespacio M , lineal y continua. Entonces f tiene una extensión f a X que
verifica kf k = kf k.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
9
Corolario 1.15. Sea X un espacio normado y x0 6= 0, entonces existe f ∈ X ∗
tal que f (x0 ) = kx0 k y kf k = 1.
El corolario anterior podría reformularse de esta manera mas general.
Corolario 1.16. Si q es un funcional sublineal positiva y q(x0 ) 6= 0 entonces
existe una funcional lineal real f tal que f (x0 ) = q(x0 ) y f (x) ≤ q(x) ∀x ∈ X.
Cualquiera de los corolarios anteriores merece el nombre de teorema de HahnBanach. Consideremos el operador J : X −→ X ∗∗ tal que J(x)(ϕ) = ϕ(x), es
consecuencia inmediata del corolario 1.15 que J es una isometría.
Decimos que H es un hiperplano si S = {v 0 − v 00 : v 0 , v 00 ∈ H} es un subespacio de codimensión 1. Cualquier hiperplano podemos escribirlo como S + v
donde S es un subespacio de codimension 1.
Sea H = S +v un hiperplano del espacio vectorial X sobre R, tomamos ϕ tal
que ker ϕ = S entonces H = {ϕ−1 (ϕ(v))}. Definimos H + = {x : ϕ(x) > ϕ(v)}
y por analogía definimos H − . H + y H − son los semiespacios determinados por
H, son algebraicamente abiertos pero no son necesariamente topológicamente
abiertos, para ver esto basta tomar S denso. Se deja como ejercicio probar que
la partición X = H + ∪ H ∪ H − no depende de la ϕ elegida.
La clausura algebraica de H + es ca(H + ) = H + ∪ H. Decimos que H separa
los conjuntos A y B si A ⊂ H + y B ⊂ ca(H − ) o viceversa.
Teorema 1.17 (Hahn-Banach). Sea X un e.v. real, A convexo algebraicamente abierto y B convexo disjunto de A entonces existe un hiperplano H que
separa A y B.
Demostración. Tomamos x0 ∈ A e y0 ∈ B y definimos Z = A − B + z0 donde
z0 = y0 − x0 . Entonces Z es un convexo algebraicamente abierto y 0 ∈ Z,
tomamos q la funcional de Minkowski para Z, entonces, por el corolario 1.16
existe ϕ una funcional lineal tal que ϕ(z0 ) = q(z0 ) ≥ 1 (z0 ∈
/ Z). Para x ∈ A e
y ∈ B tenemos que
ϕ(x) − ϕ(y) + ϕ(z0 ) ≤ q(x − y + z0 ) < 1
entonces ϕ(x) − ϕ(y) < 1 − ϕ(z0 ) ≤ 0 ⇒
α = sup{ϕ(x) : x ∈ A} ≤ ı́nf{ϕ(y) : y ∈ B}
como A es algebraicamente abierto ϕ(x) < α ∀x ∈ A, entonces el hiperplano
H = ϕ−1 (α) separa A y B.
Corolario 1.18. Todo convexo algebraicamente abierto es la intersección de
todos los semiespacios que lo contienen.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
1.3.
10
Topologías lineales
Ya hablamos de espacios vectoriales topológicos al principio del capítulo, vamos ahora a dar una definición formal de topología lineal y estudiar los espacios
vectoriales topológicos.
Definición 1.8. Sea X un espacio vectorial, una topología en X es una topología
vectorial , o lineal, si la aplicación + : X × X −→ X, (x, y) 7→ x + y, es continua,
el mapa · : K×X −→ X, (k, x) 7→ kx es continuo y la topología es T1 . Un espacio
vectorial con una topología lineal es un espacio vectorial topológico (e.v.t.).
Definición 1.9. Si X es un e.v.t. definimos el dual de X, X ∗ , como el conjunto
de todas las funcionales lineales y continuas.
Ejercicio. ¿Es la topología de los algebraicamente abiertos una topología lineal?.
Ejemplos.
1. Cualquier subespacio de un e.v.t. es un e.v.t..
2. Las topología discreta e indiscreta no son lineales ya que una no hace
continuo al producto por escalares y la otra no es T1 .
3. Sea S un conjunto arbitrario y K = R ó C, entonces la topología producto
en KS es lineal y corresponde, como es sabido, a la convergencia puntual.
Consideremos el subespacio (KS )0 = {ϕ : sop ϕ es finito} o sea, aquellas
ϕ que se anulan salvo en una cantidad finita de puntos. (KS )0 hereda una
topología vectorial de KS .
Deducimos de aquí que todo espacio vectorial puede ser dotado de una
topología lineal, basta observar que si β es una base de X entonces X es
isomorfo, como e.v., a (Kβ )0 .
4. Todo espacio vectorial normado es un e.v.t.. Esto no es necesariamente
cierto cuando tenemos una métrica, incluso si es invariante por traslaciones, basta tomar la métrica discreta.
Ejercicios.
1. Toda topología lineal es Hausdorff.
2. Basta conocer una base de entornos de 0 para conocer la topología.
3. Para que una métrica invariante por traslaciones induzca un topología
lineal es suficiente que λn −→ 0 ⇒ λn x −→ 0 ∀x ∈ X λn ∈ K.
Definición 1.10. Un e.v.t. X es metrizable si existe una métrica invariante por
traslaciones que induce su topología.
Si en e.v.t. es metrizable y es completo decimos que es un espacio de Frechet.
Observar que la completitud no depende de la métrica ya que podemos expresarla en términos de la topología vectorial: {xn } es de Cauchy si dado U entorno
de 0 existe n0 tal que si n, m ≥ n0 entonces xn − xm ∈ U además, xn −→ x si
xn − x ∈ U para todo n ≥ n0 .
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
11
Teorema 1.19 (Birkhoff-Kakutani). Un espacio vectorial topológico es metrizable sii satisface el primer axioma de numerabilidad.
Convexidad local
Definición 1.11. Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si el
cero tiene una base de entornos convexos.
Como en un espacio vectorial topológico X el interior de un conjunto está contenido en su interior algebraico, resulta bien definida la funcional de
Minkowski para un entorno convexo del 0. A partir de este hecho comienza
la construcción de funcionales lineales y continuos en espacios localmente convexos. Agregando hipótesis la funcional de Minkowski podría llegar a ser una
seminorma, o una norma. El siguiente ejemplo nos muestra que la convexidad
local es una hipótesis mínima para asegurarnos una cantidad suficiente de funcionales lineales y continuas.
R
Ejemplo. Para p ∈ (0, 1) se define Lp (µ) = {f : |f |p < ∞}. Vamos a tomar µ
como la medida de Lebesgue en el [0, 1]. Se verifica fácilmente que
(a + b)p ≤ ap + bp p ∈ (0, 1)
R
por lo tanto definiendo d(f, g) = |f − g|p obtenemos una métrica en Lp invariante por traslaciones que induce una topología lineal, además, Lp es completo
con esta distancia. Es claro que esta métrica no proviene de una norma ya que
d(λf, 0) = |λ|p d(f, 0), se podría tratar de arreglar este inconveniente elevando
todo a 1/p (como en el caso p ≥ 1) pero como p ∈ (0, 1) perderíamos la desigualdad triangular. Veamos que hay solo dos convexos abiertos: Lp y ∅.
Sea V un convexo abierto y f ∈ Lp , podemos suponer que 0 ∈ V así que
∃B(0, r) ⊂ V . Sea n > 0 tal que
Z
np−1 |f |p < r
Existe una partición del [0, 1] 0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 tales que
R
Z xi
|f |p
p
|f | =
n
xi−1
R
Definimos gi = nX(xi−1 ,xi ] f, cada gi ∈ V porque |gi |p < r, pero como
n
f=
1X
gi
n i=1
deducimos que f ∈ V , por tanto V = Lp .
Sea ϕ : Lp −→ K una funcional lineal y continua, entonces si D denota el
disco unidad en K tenemos que ϕ−1 (D) es un abierto convexo que contiene al
cero, por tanto ϕ−1 (D) = Lp , por tanto ϕ ≡ 0. O sea, (Lp )∗ = {0}.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
12
Definición 1.12. Sea X un e.v.t., A ⊂ X se dice acotado si ∀U entorno del
cero ∃λ0 tal que A ⊂ λU para todo λ ≥ λ0 . Si 0 tiene un entorno acotado se
dice que X es localmente acotado.
Definición 1.13. A ⊂ X se dice equilibrado o balanceado si λA ⊂ A ∀|λ| ≤ 1.
Ejercicios.
1. Si U es un entorno acotado balanceado de 0 entonces {U/n}n∈N es una
base decreciente de entornos de 0.
2. Metrizable no implica localmente acotado.
Lema 1.20. Sea X un e.v.t., entonces 0 tiene una base de entornos equilibrados,
si además X es localmente convexo el cero tiene una base de entornos convexos
y equilibrados.
Demostración. Sea U = {U entornos del 0} y sea U ∈ U . Como la multiplicación por escalares es continua existen ε > 0 y V ∈ U tales que si |λ| < ε y
v ∈ V ⇒ λv ∈ U , o sea, λV ⊂ U . Entonces
[
W =
λV ⊂ U
|λ|<ε
es un entorno equilibrado del cero. Supongamos ahora que U es un entorno
convexo y tomemos W como recién, tomando la envolvente convexa de W ,
co W , obtenemos un entorno convexo y equilibrado de 0 contenido en U.
Proposición 1.21. Sean X, Y un espacios vectoriales topológicos y sea A :
X −→ Y un operador. Si existe un entorno U del origen tal que A(U ) es acotado entonces es continua. El recíproco es cierto agregando la hipótesis de Y
localmente acotado.
Corolario 1.22. Seam X un e.v.t. y ϕ : X −→ K lineal, entonces ϕ es continua
sii su núcleo no es denso sii su núcleo es cerrado sii ϕ está acotada en algún
entorno de 0.
Corolario 1.23. Un funcional no continuo es sobreyectivo en cualquier abierto
de X.
Decimos que una familia de funciones F definidas en algún espacio Y , separa puntos si dados x, y ∈ Y existe f ∈ F tal que f (x) 6= f (y). Si la familia F
consiste de transformaciones lineales entonces es equivalente que separe puntos
a que si x0 6= 0 entonces ∃f ∈ F tal que f (x0 ) 6= 0.
Corolario 1.24. Si X es un e.v.t. localmente convexo entonces X ∗ separa puntos.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS
13
Demostración. Hay que probar que si x0 6= 0 entonces existe ϕ ∈ X ∗ tal que
ϕ(x0 ) 6= 0. Existe un entorno convexo del 0, U , tal que x0 ∈
/ U, como 0 pertenece
al interior algebraico de U la funcional de Minkowski para U , qU , es una funcional
sublineal tal que qU (x) ≥ 1. Por el corolario 1.16 existe ϕ ∈ X 0 tal que ϕ(x) ≤
qU (x) y ϕ(x0 ) = qU (x0 ). Entonces ϕ(x) ≤ 1 en U . Como ϕ no es sobreyectiva
en U tendrá que ser continua.
Teorema 1.25 (Kolmogorov). Un e.v.t. X es normable si y solo si el localmente convexo y localmente acotado.
Demostración. Si X es localmente acotado y localmente convexo existe un
abierto acotado V que contiene al origen. Por el lema 1.20 existe un entorno
U ⊂ V , convexo equilibrado y obviamente acotado, del cero. Sea q la funcional
de Minkowski de U , como 0 es interior a U es interior algebraico de U , por tanto
vale que: q(x + y) ≤ q(x) + q(y) ∀x, y ∈ X y q(tx) = tq(x) si t > 0. Veamos que
q(αx) = |α|q(x) ∀x ∈ X y α ∈ K\{0}.
o
n
|α|
|α|
αx
∈ U = ı́nf t > 0 :
x∈
U
q(αx) = ı́nf t > 0 :
t
t
α
Ahora, como |α|/αU = U porque U es equilibrado tenemos que q(αx) =
q(|α|x) = |α|q(x). Esto prueba que q es una seminorma en X, y por tanto induce
una topología τ 0 . Una base de entornos del origen es Un = {x : q(x) < 1/n}.
Veamos que al topología τ 0 es la topología τ del espacio.
x ∈ Un ⇔ q(x) < 1/n ⇔ q(nx) < 1 ⇔ nx ∈ U ⇔ x ∈ 1/nU , y como U
es acotado y balanceado 1/nU es una base de entornos decrecientes. Probamos
entonces que hay un único punto donde q se anula. Por tanto es una norma y
su topología inducida queda determniada por la base de entornos decrecientes
encontrada.
Teorema 1.26. Si X es un espacio vectorial topológico de dimensión finita
sobre K entonces X es isomorfo a Kn .
La prueba de este teorema es muy similar a la vista en espacios normados,
por lo que será omitida.
Corolario 1.27. En Kn hay una única topología vectorial.
Capítulo 2
Topologías débiles
Informalmente, si tenemos un espacio vectorial topológico X, y notamos X ∗
por su dual, vamos a definir la topología débil en X como la topología más
débil en X que nos da el mismo dual, o sea, si notamos por τω a la topología
débil entonces tenemos que (X, τω )∗ = X ∗ . La topología débil siempre va a ser
localmente convexa, esto nos va a permitir usar muchos resultados del capítulo
anterior. Lo interesante es que el estudio de ésta topología nos va dar resultados
sobre la topología original.
2.1.
Construcción de topologías localmente convexas
Sea X un espacio vectorial y P una familia de seminormas que separa
puntos, i.e. dado x 6= 0 ∃p ∈ P tal que p(x) 6= 0. Para p ∈ P y n ∈ N
definimos
1
U (p, n) = x ∈ X : p(x) <
n
Sea β la familia de intersecciones finitas de conjuntos U (p, n).
Proposición 2.1. β es base de una topología τ en X lineal y localmente convexa, además τ es la mínima topología que hace continuos a todos los elementos
de P. Si P = {pn } es numerable entonces τ es metrizable y viene dada por la
métrica
X 1 pn (x − y)
d(x, y) =
2n 1 + pn (x − y)
n
Demostración. Un conjunto A es abierto según τ si para todo x0 ∈ A existen
p1 , . . . , pk ∈ P y n1 , . . . , nk ∈ N tales que
\
x0 + U (pj , nj ) ⊂ A
j
14
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
15
Observemos que
x0 +
\
U (pj , nj ) = {x : pj (x − x0 ) < 1/nj ∀j = 1 . . . k}
j
Se deja como ejercicio probar que las operaciones son continuas. Que la topología
es T1 se deduce inmediatamente del hecho de que P separa puntos, si p(x) 6= 0
entonces U (p, p(x)/2) es un entorno del origen que no contiene a x.
Como P es una familia de seminormas U (p, n) es convexo y la intersección
de convexos es convexa, así que τ es localmente convexa. Obviamente cada
p ∈ P es continua, sea τ 0 otra topología que verifica esta misma condición,
para cada p ∈ P y n ∈ N existe un entorno del origen V según τ 0 tal que
x ∈ V ⇒ p(x) < 1/n ⇒ V ⊂ U (p, n), por lo tanto, τ ⊂ τ 0 .
Vale un recíproco de la proposición anterior, si tenemos una topología vectorial localmente convexa, tomamos β una base de entornos convexos y equilibrados del origen y formamos la familia de seminormas P = {pU : U ∈ β} donde
pU es la funcional de Minkowski para U, entonces P separa puntos y si notamos
por τP la topología inducida por P entonces τP es la topología original.
Observación. Un conjunto es acotado con la topología inducida por una familia
de seminormas si y solo si toda seminorma de la familia está acotada en ese
conjunto:
Si toda p está acotada en A entonces dado V entorno del origen existen ni y pi
tales que {x : pi (x) < 1/ni } ⊂ V , si pi (A) ≤ Mi tomando M > Mi ni i = 1 . . . n
se tendrá que A ⊂ M V.
Veamos dos ejemplos. Sea Ω un abierto de Rn y C(Ω) = {f : Ω −→
C continuas} y sea Kn una sucesión de compactos crecientes a Ω. Sea pn (f ) =
sup{|f (x)| : x ∈ Kn }. Ésta es una familia de seminormas que separa puntos y
por tanto genera una topología localmente convexa y metrizable que viene dada
por
X 1 pn (f − g)
d(f, g) =
2n 1 + pn (f − g)
n
(C(Ω), d) es completo porque cada C(Kn ) lo es, además no es localmente acotado:
Sea U un entorno del cero, U= {f : pn (f ) < ε}, si x0 ∈ Ω\Kn existe
fM ∈ C(Ω) tal que fM (x0 ) = M y fM |Kn = 0. Si x0 ∈ Kj y V = {f : pj (f ) <
δ} entonces como fM ∈ U para todo M > 0 podemos tomar M para que
fM (x0 )/t = M/t ≥ δ o sea fM /t ∈
/ V , por tanto U no está acotado. Concluimos
que metrizable no implica localmente acotado y aplicando el teorema de Kolmogorov tenemos que C(Ω) no es normable. Observar que la topología inducida
es la topología de convergencia uniforme sobre compactos.
Supongamos ahora Ω un abierto de R2 y consideremos H(Ω) las funciones
holomorfas definidas en Ω, con la topología relativa a C(Ω). Sea A ⊂ H(Ω)
acotado, esto significa que dado n existe Mn tal que pn (f ) ≤ Mn ∀f ∈ A, o sea
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
16
que |f (z)| ≤ Mn ∀z y para toda f ∈ A, o sea que A es una familia uniformemente
acotada sobre compactos, aplicando el teorema de Montel tenemos que toda
sucesión tiene una subsucesión convergente, o sea, A es compacto. Por lo tanto
H(Ω) no es localmente acotado, si lo fuera H(Ω) sería localmente compacto y
por tanto de dimensión finita.
2.2.
Topologías débil y débil estrella
Lema 2.2. Sean ϕ1 , . . . , ϕn , ψ funcionales lineales en un espacio vectorial X,
entonces son equivalentes
1. Dado ε > 0 existen constantes k1 , . . . , kn tales que |ϕi (x)| < ki implica
|ψ(x)| < ε,
2. ψ es combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn ,
T
3. ker ψ ⊃ ker ϕi .
Demostración. Es claro que 1) implica 3) y que 2) implica 1). Probemos entonces que 3) implica 2).
T
T Podemos suponer que para todo j ∈ {1 . . . n} se tiene que k6=j ker ϕk
k ker ϕk , aquella ϕj que no lo verifica tendrá coeficiente 0 en la combinación
lineal que encontremos. Tenemos entonces que para cada j existe xj tal que
ϕk (xj ) = 0 si k 6= j y ϕj (xj ) = 1. Dado x ∈ X escribimos
y =x−
n
X
ϕj (x)xj
j=1
entonces ϕj (y) = 0 ∀j = 1 . . . n por tanto y ∈
0 = ψ(x) −
n
X
T
k
ker ϕk ⇒ y ∈ ker ψ entonces
ψ(xj )ϕj (x)
j=1
de donde ψ es combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn .
Proposición 2.3. Sea X un espacio vectorial y φ un subespacio de X 0 , el
dual algebraico de X, que separa puntos. La mínima topología lineal que hace
continuos a todos los elementos de φ es una topología localmente convexa y su
dual es φ.
Demostración. Consideremos la siguiente familia de seminormas
P = {|ϕ| : ϕ ∈ φ}
Ésta familia separa puntos de X, por la proposición 2.1 P induce una topología
lineal localmente convexa, resta ver que φ es su dual. Obviamente cualquier
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
17
elemento de φ va a ser un operador continuo, sea ahora ψ ∈ X 0 continuo, o sea
que dado ε > 0 existen k1 , . . . , kn ∈ K y ϕ1 , . . . , ϕn tales que |ϕi (x)| < 1/ki
implica |ψ(x)| < ε, entonces ψ es una combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn y por
tanto un elemento de φ.
Definición 2.1. Sea (X, τ ) un e.v.t. tal que X ∗ separa puntos, la topología de
la proposición anterior para X ∗ se llama topología débil de (X, τ ) y la denotamos
por τω o simplemente ω.
Si (X, τ ) es de dimensión finita entonces τ = τω porque hay una única
topología vectorial. Éste es raramente el caso, si X es normable y de dimensión
infinita siempre la topología débil es estrictamente mas débil que la topología
original. Un conjunto A es ω-acotado si ϕ(A) está acotado para toda ϕ ∈ X ∗ .
Si U es un entorno de 0 entonces U contiene un conjunto de la forma
\
V = {x : |ϕi (x)| < εi }
donde ϕi ∈ X ∗ y εi > 0, si toda ϕ ∈ X ∗ está acotada en V entonces toda ϕ
es combinación lineal de ϕ1 , . . . , ϕn o sea que X ∗ es de dimensión finita. Concluimos que (X, τω ) no es localmente T
acotado, mas aún, el conjunto V contiene
un subespacio de codimension finita, ker ϕi .
P
P
Ejemplo. Sea `1 = {x : N −→ C :
|xn | < ∞} con la norma kxk =
|xn |.
Entonces un sucesión converge débilmente si y solo si lo hace con la norma, por
tanto (`1 , τω ) no es primer axioma y por tanto no es metrizable.
Consideremos J : X −→ (X ∗ )0 dada por J(x)(ϕ) = ϕ(x) donde ϕ ∈ X ∗ .
J(X) es un subespacio de (X ∗ )0 que separa puntos, aplicando la proposición
2.3 obtenemos una topología lineal localmente convexa en X ∗ .
Definición 2.2. La topología inducida por J(X) en X ∗ es llamada topología
débil estrella y denotada ω ∗ .
ω ∗ es la mínima topología vectorial que hace continuas a todas las evaluaciones, además se deduce que el dual es J(X). Observemos que X ∗ es un
subconjunto de KX y que la topología ω ∗ es la topología relativa del producto
ya que un ω ∗ -entorno del origen es de la forma
{ϕ ∈ X ∗ : |ϕ(xi )| < εi i = 1 . . . n}
donde x1 , . . . , xn ∈ X. O sea, la topología débil estrella es la de la convergencia
puntual.
Teorema 2.4 (Banach-Alaoglu). Sea X un espacio vectorial topológico, U
entorno del 0 entonces
C = {ϕ ∈ X ∗ : |ϕ(x)| ≤ 1 ∀x ∈ U }
es débil ∗-compacto
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
18
Demostración. Por ser U entorno del cero existe α(x) tal que x ∈ α(x)U o sea
que |ϕ(x)| ≤ α(x) si ϕ ∈ C por tanto
Y
C ⊂ {ϕ ∈ KX : |ϕ(x)| ≤ α(x) ∀x ∈ X} =
D(0, α(x))
x∈X
que es compacto, donde D(0, α(x)) es el disco de centro 0 y radio α(x) en K.
Falta probar que C es cerrado. Sea ϕ0 en la clausura de C, con la topología
producto, x, y ∈ X, α ∈ K y ε > 0, un entorno de ϕ0 es
{ϕ : |(ϕ − ϕ0 )(x)| < ε, |(ϕ − ϕ0 )(y)| < ε y |(ϕ − ϕ0 )(x + αy)| < ε}
Tomamos ϕ en ese entorno y en C, como ϕ es lineal tenemos que |ϕ0 (x + αy) −
ϕ0 (x)−αϕ0 (y)| = |(ϕ0 −ϕ)(x+αy)−(ϕ0 −ϕ)(x)−α(ϕ0 −ϕ)(y)| ≤ ε+ε+|α|ε =
(2 + |α|)ε, por tanto ϕ0 es lineal. Sea x ∈ U y ε > 0, un entorno de ϕ0 es
{ϕ : |ϕ(x) − ϕ0 (x)| < ε}
si ∃ϕ ∈ C es ese entorno entonces |ϕ0 (x)| ≤ |ϕ(x)| + ε ≤ 1 + ε, por tanto
|ϕ0 (x)| ≤ 1. Concluimos que C = C, como la topología débil estrella en C es la
relativa de la producto tenemos que C es ω ∗ -compacto.
Lema 2.5. Sean τ 0 y τ 00 dos topologías en un conjunto Z, si τ 0 ⊂ τ 00 , (Z, τ 0 ) es
Hausdorff y (Z, τ 00 ) es compacto entonces τ 0 = τ 00 .
Corolario 2.6. Sea X es un e.v.t. separable entonces todo subconjunto de X ∗
ω ∗ -compacto es metrizable.
Demostración. La prueba se deduce inmediatamente del hecho que si la familia
de seminormas es numerable entonces la topología que inducen es metrizable, y
del lema anterior.
Por ejemplo, si X es normado entonces B ∗ = {ϕ ∈ X ∗ : kϕk ≤ 1} es
ω -compacto, por tanto no es un entorno débil ∗ del origen, salvo en dimensión finita. Si además X es separable entonces B ∗ es metrizable, sin embargo
(X ∗ , ω ∗ ) no tiene que ser metrizable para esto.
∗
Medidas invariantes
Sea S un espacio topológico localmente compacto y Hausdorff, denotamos
por C0 (S) a aquellas funciones continuas de S −→ C cuyo módulo es pequeño
fuera de un compacto.
Teorema 2.7 (Riesz). Si dotamos a C0 (S) con la norma del supremo entonces
C0 (S)∗ es isométricamente isomorfo a
M = {medidas complejas regulares de Borel}
con la norma kµk = |µ|(S) donde |µ| denota la variación total de µ. Si S es
compacto y ϕ ∈ C0 (S)∗ = C(S)∗ es tal que ϕ(f ) ≥ 0 si f ≥ 0 y ϕ(1) = 1
entonces la medida asociada es una medida de probabilidad.
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
19
El isomorfismo del teorema de Riesz viene dado por ϕ 7→ µ donde ϕ(f ) =
f dµ.
Al identificar C0 (S)∗R con M tenemos
una topología débil estrella en M , a
R
saber, µn −→ µ en ω ∗ si f dµn −→ f dµ ∀f ∈ C0 (S). Aplicando el teorema de
Banach-Alaoglu tenemos que B ∗ = {µ ∈ M : kµk ≤ 1} es ω ∗ -compacto. Además
las medida de probabilidad son un ω ∗ -cerrado de B ∗ , de donde concluimos que
R
MP = {µ ∈ M : µ ≥ 0 y µ(S) = 1}
es ω ∗ -compacto.
Supondremos de ahora en más que S es un espacio compacto y Hausdorff.
Definición 2.3. Sea F : S −→ S una función continua, decimos que una
medida de probabilidad µ es invariante para F si µ(A) = µ(F −1 (A)) para todo
A Boreliano.
Una medida µ es invariante para F si y solo si
Z
Z
hdµ = h ◦ F dµ
para toda h ∈ C(S). El conjunto de las medidas invariantes para F es un convexo ω ∗ -compacto, vamos a mostrar que es no vacío.
Para x ∈ S definimos
µn =
n−1
1X
δ i
n i=0 F (x)
donde δx (A) = 0 si x ∈
/ A y δx (A) = 1 si x ∈ A. Como cada µn es de probabilidad
tenemos una subsucesión convergente en ω ∗ , µnk −→ µ. Sea f ∈ C(S), entonces
Z
f dµnk
Z
nk −1
nk −1
1 X
1 X
i
=
f (F (x)) y
f ◦ F dµnk =
f (F i+1 (x))
nk i=0
nk i=0
entonces
Z
Z
1
(f (x) − f (F nk (x))) −→ 0
nk
R
R
porque f está acotada, por lo tanto f dµ = f ◦ F dµ.
f dµnk −
f ◦ F dµnk =
Concluimos que si F : S −→ S es continua entonces el conjunto de las
medidas de probabilidad invariantes sobre F es un compacto convexo no vacío.
A continuación estudiamos convexos compactos.
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
2.3.
20
Convexos compactos
En esta sección probaremos el teorema de Krein-Milman que enuncia que
podemos recuperar cualquier compacto convexo como la clausura de la envolvente de sus puntos extremales.
Teorema 2.8. Sean A y B convexos disjuntos no vacíos de un espacio vectorial
topológico X.
i) Si A abierto entonces existe ψ ∈ X ∗ y α ∈ R tal que
Re ψ(x) < α ≤ Re ψ(y) ∀x ∈ A y ∈ B
ii) Si A es compacto, B es cerrado y X es localmente convexo entonces existen
ψ ∈ X ∗ α1 y α2 ∈ R tales que
Re ψ(x) ≤ α1 < α2 ≤ Re ψ(y) ∀x ∈ A y ∈ B
iii) Si X ∗ separa puntos, A y B son convexos compactos entonces existe ψ ∈
X ∗ tal que
sup Re ψ(x) < ı́nf Re ψ(y)
x∈A
y∈B
Demostración. La primer parte es un leve refinamiento del teorema de HahnBanach ( 1.17). Para la segunda parte usamos el siguiente hecho, válido en
cualquier e.v.t.: Si A es un compacto y B es cerrado entonces existe V entorno de
0 tal que (A+V )∩B = ∅, si X es localmente convexo podemos tomar V convexo
y por tanto A + V es convexo. Aplicando la parte i) y usando el hecho de que A
es compacto obtenemos el resultado. Para la última parte tomamos la topología
débil en X, ésta es localmente convexa, aplicando la parte ii) obtenemos una
ψ ∈ (X, ω)∗ que satisface la tesis, como la topología débil no aumenta el dual
tenemos que ψ ∈ X ∗ .
Definición 2.4. Sea K un subconjunto de X, un punto x ∈ K es extremal si
cada vez que escribimos x = ty0 + (1 − t)y1 con y0 6= y1 ∈ K y t ∈ [0, 1] entonces
t = 0 o t = 1.
Un punto x es extremal de K si cada vez que hay un segmento contenido en
K que lo contiene, él es extremo del segmento. Si K es convexo es equivalente
decir que x es extremal a decir que K\{x} continua siendo convexo. Notamos
por ext(K) al conjunto de los puntos extremales de K.
Ejemplos.
1. El conjunto de los puntos extremales no es necesariamente cerrado, mismo
en dimensión finita, basta tomar un círculo en el plano z = 0 y un segmento
vertical en R3 que intersecta al círculo en un punto. Éste punto no es
extremal.
2. En C([0, 1], R) la bola unidad B = {kf k∞ ≤ 1} tiene solo dos puntos
extremales f = 1 y f = −1.
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
21
3. La envolvente convexa de un cerrado puede no ser cerrada, tomar {(x, x2 ) :
x ≥ 0}.
4. Existen ejemplos de compactos convexos en espacios vectoriales topológicos que no tienen puntos extremales.
Una variedad afín A es un subespacio corrido del origen. Es decir, para todo
v ∈ A se tiene que A − v es un subespacio de X. Si A es una variedad afín
entonces S = {v 0 − v 00 : v 0 , v 00 ∈ A} es un subespacio de X. Una variedad se dice
extremal respecto de K ⊂ X si A ∩ K 6= ∅ y siempre que un segmento de K
tiene un punto interior en A el segmento está totalmente contenido en A.
Observación. La intersección decreciente de variedades afines extremales cerradas respecto de un compacto K es no vacía, ya que, como cada una intersecta
a K tenemos una sucesión decreciente de compactos contenidos en K y la intersección de compactos decrecientes es no vacía.
Teorema 2.9 (Krein-Milman). Sea X un espacio vectorial topológico tal que
X ∗ separa puntos y K ⊂ X un compacto convexo, entonces K es la clausura de
la envolvente convexa de sus puntos extremales, o sea,
K = co(ext K)
Demostración. Sea C = co(ext K). Es obvio que C ⊂ K, supongamos que
hay un punto z ∈ K\C. Por el teorema 2.8 existe una funcional lineal real
y continua tal que ϕ(z) > ϕ(x) ∀x ∈ C. Sea β = máx{ϕ(y) : y ∈ K} y
H = ϕ−1 (β), obviamente este hiperplano no contiene puntos de C, y por tanto
no tiene puntos extremales de K. Ahora, H es una variedad afín extremal ya
que si un segmento s ⊂ K tiene un punto interior en H entonces restringimos
ϕ a s y tenemos una función lineal afín de [0, 1] −→ R que toma su máximo en
su interior, por lo tanto es contante, o sea s ⊂ H.
Por el lema de Zorn tenemos una variedad extremal afín minimal M ⊂ H.
Ésta M es no vacía por la observación anterior y no podrá contener a más de
un punto, de no ser así habrá una ψ ∈ X ∗ real no constante en M porque X ∗
separa puntos. Luego si γ = máx{ψ(y) : y ∈ K ∩ M } entonces ψ −1 (γ) es una
variedad afín extremal estrictamente contenida en M.
Como M = {x0 } éste deberá ser un punto extremal de K, esto contradice el
hecho de que en H no había puntos extremales de K, por tanto K ⊂ C entonces
K = C.
Corolario 2.10. Si X es localmente convexo y K ⊂ X es compacto entonces
K ⊂ co(ext K).
Para probar este corolario hay que observar que en la prueba del teorema
anterior el único momento donde usamos la convexidad de K era en el hecho
de que co(ext K) ⊂ K. Ahora esto no es necesariamente cierto ya que K no
es convexo. Pero la demostración sigue así: si x ∈ K\C tenemos que C es un
convexo cerrado y {x} es convexo compacto, la hipótesis de convexidad local
nos permite usar el item ii) del teorema 2.8. A partir de aquí la prueba sigue
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
22
igual.
Sea F : S −→ S una función continua de un espacio topológico Hausdorff y
compacto. Ya vimos que el conjunto de las medidas invariantes sobre F es un
convexo compacto no vacío. Veamos ahora que los puntos extremales de este
conjunto son medidas ergódicas.
Definición 2.5. Una medida µ invariante sobre F es ergódica si cada vez que
F −1 (A) = A tenemos que µ(A) = 0 ó µ(A) = 1. La ergodicidad de una medida
mide cuan bien distribuye F los puntos de S.
Supongamos que µ es un punto extremal de las medida invariantes sobre F ,
si µ no es ergódica entonces existe A invariante por F tal que µ(A) ∈ (0, 1),
tomamos
µ(E ∩ Ac )
µ(E ∩ A)
y µ1 (E) =
µ0 (E) =
µ(A)
µ(Ac )
entonces µ = µ(A)µ0 + µ(Ac )µ1 , ésta es una combinación lineal convexa de µ,
por tanto µ no es extremal.
2.4.
Teorema de Stone-Weierstrass
Culminamos el capítulo con la prueba del teorema de Stone-Weierstrass.
Weierstrass probó algunos casos particulares y Stone probó finalmente la versión
general. Vamos con algunos preliminares.
Sea X un espacio vectorial topológico y A ⊂ X un subespacio. Definimos el
anulador de A como
A⊥ = {ϕ ∈ X ∗ : ϕ|A ≡ 0}
Por el teorema de Hahn-Banach tenemos que si A⊥ = {0} entonces A es denso
en X.
Definición 2.6. Un álgebra es un espacio vectorial X dotado de un producto
· : X × X −→ X asociativo y distributivo respecto de la suma. Obviamente una
subalgebra es un subespacio que continua siendo un álgebra.
Un álgebra es normada si X es un espacio normado y kxyk ≤ kxkkyk. Sea
X un espacio de Banach, si es además un álgebra normada decimos que X es
un álgebra de Banach.
Si S es compacto y Hausdorff entonces C0 (S) = C(S) es un álgebra de
Banach con el producto punto a punto. Abusaremos notación y escribiremos
C(S)∗ = M según el teorema de Riesz ( 2.7).
Definición 2.7. Sea µ una medida. El soporte de µ es el complemento de
aquellos puntos que tienen un entorno que mide 0 según |µ|. O sea
sop µ = {x : ∃U entorno de x /|µ|(U ) = 0}{
Obviamente sop µ es cerrado.
CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES
23
Lema 2.11. Sea A una subalgebra cerrada de C(S) y µ un punto extremal de
K = {ν ∈ A⊥ : kνk ≤ 1}. Si f ∈ A verifica que 0 ≤ f ≤ 1 entonces f es
constante en el soporte de µ.
Demostración. Sean las medidas
Z
Z
ν(E) =
f dµ y σ(E) =
(1 − f )dµ
E
E
Vamos a probar que µ = ν/kνk ó µ = σ/kσk. Como µ es extremal de K tenemos
que kµk = 1. Ahora, ν/kνk ∈ K ya que si g ∈ A entonces
Z
Z
gdν =
gf dµ = 0
S
S
porque gf ∈ A, de la misma forma σ/kσk ∈ K. Escribimos µ = kνkν/kνk +
kσkσ/kσk ésta es una combinación convexa porque kνk+kσk = kµk = 1, como µ
es extremal tenemos que µ = ν/kνk ó µ = σ/kσk. Supongamos que µ = ν/kνk,
la otra opción es totalmente análoga, y tomemos un Boreliano E, entonces
Z
Z
f dµ = ν(E) = kνkµ(E) =
kνkdµ
E
E
por lo tanto f = kνk c.t.p., como f es continua tendrá que coincidir con kνk en
todo punto de sop µ.
Teorema 2.12 (Stone-Weierstrass). Sea A una subálgebra cerrada de C(S)
que contiene a las constantes y es cerrada por conjugaciones. Si A separa puntos
de S entonces A = C(S)
Demostración. Sea K = {ν ∈ A⊥ : kνk ≤ 1}. K es un convexo ω ∗ -cerrado, por
Banach-Alaoglu es ω ∗ -compacto y no vacío (0 ∈ K). Aplicamos Krein-Milman
y obtenemos un punto extremal de K, µ. Sea t0 ∈ sop µ, entonces dado s ∈ S
tomamos f ∈ A tal que 0 ≤ f ≤ 1 y f (s) 6= f (t0 ) (para esto usamos todas
las propiedades de A), aplicando el lema tenemos que s ∈
/ sop µ, por tanto
sop µ = {t0 } entonces µ = αδt0 con α ∈ C y |α| = 1. Como µ ∈ A⊥ tenemos
que
Z
α = 1dµ = 0
por tanto µ = 0. Concluimos que {0} es el único punto extremal de K, así
A⊥ = {0} y por tanto A es denso en C(S), como A es cerrado tenemos que
A = C(S).
Capítulo 3
Espacios de Hilbert
3.1.
Teoría Básica
Un producto interno (p.i.) en un espacio vectorial H es un mapa h, i ; H ×
H −→ C que verifica:
1. hαx + βy, zi = α hx, zi + β hy, zi ∀x, y, z ∈ H y α, β ∈ C.
2. hx, yi = hy, xi ∀x, y ∈ H y α ∈ C.
3. hx, xi ≥ 0 y es nulo sii x = 0.
Si H es un espacio vectorial dotado de un producto interno decimos que es
un espacio pre-Hilbertiano.
Todo producto interno induce una norma en H de la
p
forma kxk = hx, xi. Si (H, k k) es un espacio de Banach decimos que (H, h, i)
es un espacio de Hilbert .
Observación.
1. En un espacio pre-Hilbertiano se verifica la desigualdad de Schwartz i.e.:
| hx, yi | ≤ kxkkyk y | hx, yi | = kxkkyk implica x = λy.
Demostración.
0 ≤ hx + λy, x + λyi = kxk2 + |λ|2 kyk2 + 2 Re hλy, xi
Elegimos λ = − hx, yi /kyk2 entonces
0 ≤ kxk2 +
| hx, yi |2
| hx, yi |2
−2
2
kyk
kyk2
2. Hay una condición necesaria y suficiente para que una norma sea proveniente de un producto interno: La ley del paralelogramo:
kx − yk2
kx + yk2
+
= kxk2 + kyk2
2
2
24
CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT
25
Definición 3.1. Dados x e y en un espacio pre-Hilbertiano decimos que x es
ortogonal a y si hx, yi = 0 y lo notamos x ⊥ y. Un conjunto es ortogonal si
todos sus elementos son ortogonales dos a dos, y es ortonormal si además todos
tienen norma 1.
Observación. (Teorema de Pitágoras) Si x ⊥ y entonces kx − yk2 = kxk2 + kyk2 .
Teorema 3.1 (Gram-Schmidt). Si {x1 , . . . , xn } es linealmente independiente
entonces existe {e1 , . . . , en } ortonormal tal que h{ei }i=1...k i = h{xi }i=1...k i ∀k =
1 . . . n.
Proposición 3.2. Sea H un espacio pre-Hilbertiano y sea {e1 , . . . , en } un conjunto ortonormal. Escribimos V = h{ei }ni=1 i, entonces dado x ∈ H existe
un único PV (x) ∈ V que verifica kx − PV (x)k ≤ kx − yk ∀y ∈ V. Además
kxk2 ≥ kPV (x)k2 .
Demostración. Tal PV (x) tendrá que escribirse de la forma λ1 e1 + · · · + λn en y
x − PV (x) será ortonormal a todos los ei entonces
+
*
n
X
λi ei , ej = hx, ej i − λj hej , ej i
0= x−
i
Así obtenemos nuestro candidato, PV (x) =
Pitágoras tenemos que
Pn
i=1
hx, ei i ei . Sea y ∈ V , por
kx − PV (x)k2 + kPV (x) − yk2 = kx − yk2
Por tanto kx − PV (x)k ≤ kx − yk y la igualdad es válida solamente cuando
PV (x) = y. Es claro que x − PV (x) ⊥ PV (x), así, nuevamente por Pitágoras,
kxk2 = kPV (x)k2 − kx − PV (x)k2 .
Como corolario obtenemos la desigualdad de Bessel.
Corolario 3.3 (Desigualdad de Bessel). Sea {eα }α∈I un conjunto ortonormal, entonces
X
sup
| hx, ei i |2 ≤ kxk2
F ⊂I finito
i∈F
Sean I un conjunto arbitrario y {xi }i∈I ∈ X espacio vectorial topológico.
Definimos el conjunto dirigido D = {F ⊂ I : F finito} ordenado con la inclusión.
Si la red S : D −→ X definida por
X
S(F ) =
xi
i∈F
es convergente denotamos su limite como
X
i∈I
Ejemplos.
xi
CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT
26
Si X = R y xi no negativos entonces S converge si y solo si
X
sup
xi < ∞
F ⊂I:F finito
i∈F
y el límite es el mismo.
X = R y xi cualesquiera entonces S converge ⇔ los xi son nulos salvo
una cantidad numerable y la serie de los xi ’s converge absolutamente.
En el caso XP
= C o RR podemos pensar que en I consideramos la medida
del conteo y I xi = I x donde x : I −→ X está definido por x(i) = xi .
Hechas estas consideraciones observemos lo siguiente. Supongamos que tenemos un conjunto ortonormal {ei }i∈I y para cada x consideramos el mapa
x̂ : I −→ C definido por x̂(i) = hx, ei i. Si dotamos I con la medida del conteo
la desigualdad de Bessel dice que
Z
X
X
|x̂|2 =
|x̂(i)|2 =
| hx, ei i |2 ≤ kxk2 < ∞
I
I
I
2
Así tenemos que x̂ ∈ L (I, conteo). La pregunta es que condiciones hay que
pedirle al conjunto ortonormal {ei } y al espacio H para que la aplicación x 7→ x̂
sea un isomorfismo lineal.
ProposiciónP3.4. Sea {ei }i∈I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert
H, entonces
hx, ei i ei converge en H.
Demostración. Por la desigualdad de Bessel, solo una cantidad numerables de
hx, ei i son no nulos, por ejemplo hx, en i n ∈ N. Solo resta ver que SN =
PN
n=1 hx, en i en es de Cauchy. Ahora
kSN − SM k2 =
N
X
| hx, en i |2 −→ 0
n=M +1
por la desigualdad de Bessel.
El siguiente teorema clasifica los espacios de Hilbert.
Teorema 3.5. Sea H un espacio de Hilbert y {ei } un conjunto ortonormal, las
siguientes afirmaciones son equivalentes.
1. h{ei }i∈I i = H.
2. {ei }i∈I es ortonormal maximal.
P
3. ∀x ∈ H se tiene que x = hx, ei i ei .
P
4. kxk2 = | hx, ei i |2 .
5. H es isomorfo a L2 (I), I con la medida del conteo.
CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT
27
Demostración. 1) implica 2). Sea x ∈ H ortogonal a todos los ei ’s, sabemos que
Pk
dado ε > 0 existe k ∈ N tal que kx − 1 αn en k < ε. Entonces
2
D
kxk = | x, x −
X
E
αn en | ≤ kxkkx −
k
X
αn en k
1
Así kxk < ε ∀ε. Concluimos entonces que x = 0 y por tanto {ei } es ortonormal
maximal.
2) implica 3).
P Sabemos que dicha suma converge por la proposición 3.4,
pongamos y =
hx, ei i ei , es una simple cuenta verificar que x − y ⊥ ei para
todo i ∈ I. 2) implica que x − y = 0 y por tanto 3).
3) implica 4). Fácil.
4) implica 5). Para x ∈ H definimos x̂ : I −→ C dado por x̂(i) = hx, ei i
entonces x̂ ∈ L2 (I) y kxk = kx̂k. Tenemos que ϕ : H −→ L2 (I) donde ϕ(x) = x̂
2
es
la suma
P una isometría lineal, resta ver al sobreyectividad. Sea y ∈ L (I), P
y(i)ei es convergente en H, es claro entonces que si definimos x =
y(i)ei
tenemos ϕ(x) = y.
5) implica 1). Basta probar que el espacio generado por los elementos {êi }
es denso en L2 (I). Observemos que êi (j) = δij . Tomemos x ∈ L2 (I) entonces
x(i) = 0 salvo para una cantidad numerable de i0 s pongamos i1 , . . . , in , . . .
entonces
n
∞
X
X
kx −
x(iJ )êij k =
kx(ij )k2 −→ 0
j=1
j=n
Tenemos entonces un todo espacio de Hilbert podemos recuperarlo a partir
de un conjunto ortonormal maximal, por esto decimos que un conjunto ortonormal maximal es una base de Hilbert.
Teorema 3.6. Dos bases de Hilbert tienen el mismo cardinal.
Demostración. Sean A y B dos bases de Hilbert de H, ambas de cardinal infinito. Para cada b ∈ B definimos
Ab = {a ∈ A : ha, bi =
6 0}
este conjunto es numerable ya que son
S los coeficientes de b en la base A. Ahora,
como B es base tenemos que A = b Ab , luego #(A) ≤ #(B). repitiendo el
razonamiento para B obtenemos que #(B) ≤ #(A).
Teorema 3.7. La completación de un espacio pre-Hilbertiano es un espacio de
Hilbert.
CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT
28
Teorema 3.8. H es un espacio de Hilbert separable ⇔ H tiene una base de
Hilbert numerable.
Demostración. Si {en }n∈N es una base de Hilbert entonces el conjunto de las
combinaciones finitas de coeficientes racionales de {en } es un subconjunto denso
numerable.
Si no tuviéramos una base de Hilbert numerable consideremos la siguiente
base, eα (β) = δαβ . eα : I −→ C y keα − eβ k2 = keα k2 + keβ k2 = 2 entonces
{B(eα , √12 )}α∈I es una familia no numerable de abiertos disjuntos.
Sea H un espacio de Hilbert e y ∈ H. Definimos ϕy (x) = hx, yi, es claro
que ϕy es lineal y la continuidad se deduce inmediatamente de la desigualdad
de Schwartz, además |ϕy (y/kyk)| = kyk así kϕy k = kyk. El siguiente teorema
nos dice que todo funcional en un espacio de Hilbert es de esta forma.
Teorema 3.9 (De representación de Riesz). El mapa Θ : H −→ H ∗
definido por Θ(y) = ϕy es una isometría sobreyectiva.
Demostración. Sea ψ ∈ H ∗ \{0}, ker ψ es un hiperplano cerrado por tanto existe
y0 ∈ H ortogonal a ker ψ. Buscamos λ ∈ C para que ψ(x) = hx, λy0 i, si la
igualdad fuera cierta entonces ψ(y0 ) = λky0 k2 , escribimos entonces
λ=
ψ(y0 )
ky0 k2
Para verificar la igualdad en todos los puntos basta escribir x = m + ay0 con
m ∈ ker ψ. Esto prueba la existencia de algún y tal que ψ(x) = hx, yi. Para la
unicidad tenemos que si hx, yi = hx, y 0 i ∀x entonces hx, y − y 0 i = 0 ∀x y por
tanto y − y 0 = 0.
Observemos que el mapa Θ no es una isomorfismo porque no es lineal,
Θ(αy) = αΘ(y). De todos modos, si dotamos a H ∗ del siguiente producto
interno: hϕy , ϕz i = hz, yi, tenemos que todo espacio de Hilbert es isomorfo a su
dual ya que si {ei } es una base de Hilbert de H entonces {ϕei } es una base de
Hilbert de H ∗ .
Tenemos también que todo espacio de Hilbert es reflexivo, aunque esto no
es consecuencia de lo dicho en el párrafo anterior.
El teorema 3.5 nos dice quienes son todos los espacios de Hilbert, aunque esto
puede resultar en cierta perdida de información. Consideremos L2 (S 1 ,Rm), donde
m denota la medida de Lebesgue, con el producto interno hf, gi = S 1 f gd m.
Este es un espacio de Hilbert y el teorema de Fejer acierta que {z n : n ∈ Z}
es una base de Hilbert de L2 (S 1 ) (también podemos observar esto a partir del
teorema de Stone-Weierstrass). Por tanto tenemos un isomorfismo L2 (S 1 ) ∼
=
`2 (N). De aquí nace la teoría de las series de Fourier.
CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT
3.2.
29
El operador adjunto
Sean H y G dos espacios de Hilbert y T ∈ B(H, G). Fijado y ∈ G consideramos el operador x 7→ hT x, yi, este es un operador acotado ya que | hT x, yi | ≤
kT kkxkkyk. Tenemos que fijado y ∈ G, hT x, yi ∈ H ∗ o sea que existe un único
z ∈ H tal que hT x, yi = hx, zi (teorema 3.9).
Definimos entonces el operador adjunto de T , T ∗ : G −→ H, de forma que
∗
T (y) = z. En particular se verifica la siguiente relación para cualesquiera x ∈ H
ey∈G:
hT x, yi = hx, T ∗ yi
(3.1)
Proposición 3.10. T ∗ : G −→ H es lineal y continua. Además se verifica:
1. (T + S)∗ = T ∗ + S ∗ .
2. (αT )∗ = αT ∗ .
3. (T S)∗ = S ∗ T ∗ .
4. (T ∗ )∗ = T .
5. kT k = kT ∗ k.
Demostración. Toda la prueba se basa en la ecuación 3.1. Probemos algunas
de las propiedades enunciadas anteriormente, por ejemplo, (T ∗ )∗ = T .
hx, (T ∗ )∗ yi = hT ∗ x, yi = hy, T ∗ xi = hT y, xi = hx, T yi
como la anterior se verifica para todos x, y tenemos que T = (T ∗ )∗ . Probemos
ahora que kT ∗ k = kT k.
kT ∗ yk2 = | hT ∗ y, T y i | = | hT T ∗ y, yi | ≤ kT kkT ∗ ykkyk
Entonces kT ∗ k ≤ kT k, por tanto T ∗ es continua, como además T ∗∗ = T tenemos
que kT k ≤ kT ∗ k.
Observación. Puede definirse algo similar al operador adjunto entre espacios
normados. Dado T ∈ B(X, Y ) con X e Y normados el conjugado de T es
T 0 ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) dado por T 0 (ϕ)(x) = ϕ◦T (x). Valen muchas de las propiedades
enunciadas para el operador adjunto, en particular, como consecuencia de HahnBanach vale que kT k = kT 0 k. En espacios de Hilbert la única relación entre el
operador conjugado y el operador adjunto es la conmutatividad del siguiente
diagrama:
T
H ∗
Θ
G
Θ
?
H∗ T0
?
G∗
donde Θ denota la isometría natural entre un espacio de Hilbert y su dual.
CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT
30
Ejemplo. En Cn notamos por {e1 , . . . , en } la base canónica de Cn y {f1 , . . . , fn }
su base dual. Si T es un operador de Cn en si mismo y A es su matriz asociada a
la base canónica entonces su traspuesta es la matriz asociada a T 0 en {f1 , . . . , fn }
y A traspuesta conjugada es la matriz asociada a T ∗ en {e1 , . . . , en }.
Definición 3.2. Un operador entre espacios normados es una isometría si
preserva la norma.
En espacios de Hilbert las isometrías preservan el producto interno ya que
kxk2 + kyk2 + 2 Re hx, yi = kx + yk2 = hT (x + y), T (x + y)i =
= kT xk2 + kT yk2 + 2 Re hT x, T yi = kxk2 + kyk2 + 2 Re hT x, T yi
Para la parte imaginaria hacemos la cuenta con y 0 = iy.
Observación. T ∈ B(H, G) es una isometría sii T ∗ T = Id .
Una isometría no es necesariamente sobreyectiva, basta considerar el shift
en `2 (N), s(x1 , . . . , xn , . . . ) = (0, x1 , . . . , xn , . . . ), igual se verifica que s∗ s = Id .
Definición 3.3. Un operador es unitario si es una isometría sobreyectiva.
Proposición 3.11. T ∈ B(H, G) es unitario sii T es invertible y T −1 = T ∗ .
Capítulo 4
Operadores
4.1.
Acotación uniforme
Teorema 4.1 (De acotación uniforme). Sea X un espacio de Frechet y
{pα : α ∈ I} una familia de seminormas continuas tales que
p(x) = sup pα (x) < ∞
α∈I
Entonces p es una seminorma continua.
Observación. Si tenemos una familia de funciones continuas fα : Y −→ R donde
Y es una espacio topológico, entonces el mapa f : Y −→ R ∪ {∞} definido por
f (x) = sup fα (x) se semicontinuo inferiormente, i.e. {x : f (x) > a} es abierto
para todo a ∈ R. La demostración es inmediata.
Demostración. Sea An = {x : pα (x)
S ≤ n ∀α ∈ I}, es claro que An es cerrado ya
que cada pα es continua. Además An = X, por el teorema de Baire obtenemos
que algún An tiene interior no vacío, por tanto p está acotada en algún abierto
no vacío, entonces p es continua.
Veamos dos enunciados que son consecuencia del teorema anterior.La prueba
del primero es simple.
Teorema 4.2. Sean X de Banach e Y normado y Aα ∈ B(X, Y ) con α ∈ I.
Si supα kAα xk < ∞ ∀x ∈ X entonces supα kAα k < ∞.
Teorema 4.3. Sean X Banach e Y normado y Aα ∈ B(X, Y ), entonces o bien
1. supα kAα xk = ∞ en un residual de X ó
2. supα kAα k < ∞.
Demostración. Sea Vn = {x : supα kAα xk > n}, este conjunto es abierto por
una observación hecha anteriormente. Si algún Vn no fuera denso entonces existe
31
CAPÍTULO 4. OPERADORES
32
algún abierto U tal que U ∩ Vn = ∅ por tanto kAα xk ≤ n en U , de aquí
concluimos (2). Si todo Vn es denso la intersección es el residual que buscamos
y concluimos (1).
Ejemplos.
ω
1 Sea X un espacio normado y xn −→ x, queremos probar que {xn } está
acotada en norma. Consideremos Jxn : X ∗ −→ C, como xn tiende débilmente a x tenemos que Jxn (ϕ) −→ Jx(ϕ) para toda ϕ ∈ X ∗ , por tanto
supn |JxN (ϕ)| < ∞ ∀ϕ. Por el teorema de acotación uniforme concluimos
que supn kJxn k < ∞ pero kJxn k = kxn k.
Corolario 4.4. Sea hN i denso en X ∗ donde X es un espacio de Banach.
ω
Entonces xn −→ x ⇔ xn está acotada en norma y ϕxn −→ ϕx ∀ϕ ∈ N.
2 Sea x : N −→ C una sucesión P
de complejos que verifica lo siguiente: para
toda y ∈ `p (1 ≤ p < ∞)
xn yn converge. Entonces x ∈ `q donde
1/p + 1/q = 1.
Demostración. Observemos primero que la hipótesis implica que
∞ para toda y ∈ `p ya que si y ∈ `p definimos
(
0 si xn yn = 0
y 0 (n) =
|xn yn |
xn yn yn en otro caso
P
|xn yn | <
P
P
Como y 0 ∈ `p tenemos que
|xn yn | = xn yn0 < ∞.
PN
Sea ϕN (y) =
claro que cada ϕN es un operador lineal y
1 xn yn , es P
continuo. Ahora, |ϕN (y)| ≤
|xn yn | < ∞ ∀y, entonces supN |ϕN (y)| <
PN
∞, por tanto supN kϕN k < ∞, como kϕN kq = 1 |xn |q obtenemos que
x ∈ `q .
Nuestro objetivo en lo que sigue es probar el siguiente teorema.
Teorema 4.5. Existe un residual G ⊂ C(S 1 ) tal que para toda f ∈ G existe un
residual Rf ⊂ S 1 tal que S(n, x) 9 f (x) para todo x ∈ Rf .
Informalmente, para casi toda f ∈ C(S 1 ) su serie de Fourier no converge en
casi todo punto. Aquí “casi todo” es en un sentido topológico, “casi todo” en el
sentido de medida y en el sentido topológico no son equivalentes, hay residuales
en el [0, 1] de medida nula.
Sea S 1 = {eit : t ∈ [−π, π]}. Ya observamos que {eint : n ∈ Z} es una
base de Hilbert de L2 (S 1 , m) donde m denota la media de Lebesgue en [−π, π]
normalizada. Dada f ∈ L2 (S 1 ) definimos la reducida n-esima de la serie de
Fourier como la proyección de f sobre el espacio generado por {e−n , . . . , en }, o
sea,
n
X
int int
Sn (f, x) =
f, e
e
−n
CAPÍTULO 4. OPERADORES
33
Siempre hay convergencia en L2 de la serie, Carlesson probó además que hay
convergencia c.t.p., esto no contradice lo que queremos demostrar.
Sale de la definición que Sn (f, x) = f ∗ Dn (x) donde Dn denota el n−ésimo
núcleo de Dirichlet definido por
Dn (t) =
n
X
eint
−n
Para facilitar las siguientes cuentas fijamos x = 0, el resultado no va a depender
de esta elección.
Z π
Z π
1
1
f (t)Dn (−t)dt =
f (t)Dn (t)dt
Sn (f, 0) =
2π −π
2π −π
Consideramos el operador An : C(S 1 ) −→ C definido por An (f ) = Sn (f, 0),
por la cuenta de arriba kAn (f )k ≤ kf k∞ kDn k1 , por tanto An es un operador
acotado. Se deja como ejercicio verificar que kAn k = kDn k1 −→ ∞. Por una de
las versiones del teorema de acotación uniforme tenemos que existe un residual
G0 ⊂ C(S 1 ) tal que supn kAn (f )k = ∞ ∀f ∈ G0 . Obtuvimos entonces que para
cada punto x ∈ S 1 existe un residual Gx ⊂ C(S 1 ) tal que supn |Sn (f, x)| =
∞ ∀f ∈ Gx .
{xn }n∈N en el círculo y el conjunto G =
T Consideremos un conjunto denso
1
G
,
este
es
un
residual
de
C(S
).
Sea f ∈ G, entonces
n xn
\
{x : sup |Sn (f, x)| = ∞} = {x : Sn (f, x) ≥ k}
n
k
Ahora, cada conjunto {x : Sn (f, x) ≥ n} es abierto y es denso porque contiene
a {xn }, por tanto para cada f ∈ G hay un residual del círculo Rf tal que
supn |Sn (f, x)| = ∞ ∀x ∈ Rf .
4.2.
Aplicación abierta
Decimos que un subconjunto de un espacio topológico es de primera categoría
si se puede escribir como union numerable de conjuntos cuyas clausuras tienen
interior vacío. Un conjunto es de segunda categoría si no es de primera categoría.
Por ejemplo, en un espacio de Banach cualquier subespacio de dimensión de
Hamel numerable será de primera categoría ya que los subespacios de dimensión
finita son cerrados con interior vacío.
Teorema 4.6 (Aplicación abierta). Sea T ∈ B(X, Y ), X de Banach e Y
normado. Si T (X) es de segunda categoría en Y entonces T es abierta, sobreyectiva e Y es de Banach.
Observación. Si T (B(0, 1)) contiene un abierto, T es abierta.
CAPÍTULO 4. OPERADORES
34
Demostración. Probamos primero que T (B(0, 1)) contiene un entorno del origen. Supongamos que T (B(0, 1)) ⊃ U abierto de Y entonces existe una bola
B(T x0 , δ) ⊂ T (B(0, 1)) entonces T (B(−x0 , 1)) ⊃ B(0, δ) ⇒ T (B(0, 1+kx0 k)) ⊃
B(0, δ) entonces T (B(0, 1)) ⊃ B(0, δ/(1 + kx0 k)).
Ahora, dado A abierto tomamos B(x0 , r) ⊂ A entonces, como T (B(0, 1)) ⊃
B(0, δ), T (B(0, r)) ⊃ B(0, rδ) ⇒ T (B(x0 , r)) ⊃ B(T x0 , rδ), por tanto T (A) es
abierto.
Demostración del teorema. Por la observación anterior resta probar que la imagen por T de
S alguna bola contiene un abierto.
T (X) = T (B(0, n)). Como T (X) es de segunda categoría en Y , T (B(0, n))
tiene interior para algún n o, lo que es lo mismo, T (B(0, 1)) ⊃ B(0, δ). Esto implica que T (B(0, 1/2n )) ⊃ B(0, δ/2n ), llamemos a esta propiedad [Pn ].
Afirmamos que T (B(0, 1)) ⊃ B(0, δ/2).
Sea y ∈ B(0, δ/2). Por [P1 ] existe x1 con kx1 k < 1/2 tal que ky−T x1 k < δ/4.
Por [P2 ] existe kx2 k < 1/4 tal que ky − T x1 − T x2 k < δ/8. Por inducción
construimos {xn } tal que kxn k < 1/2n y
ky − T x1 − · · · − T xn k < δ/2n+1
P
P
Como X es Banach
kx
xn ∈ X y kxk < 1.
P y
Pn k < 1 tenemos que x =
Además T x = T ( xn ) = T xn = y porque T es continua.
Corolario 4.7. T ∈ B(X, Y ) con X e Y Banach.
1. Si T es sobre entonces T es abierta.
2. Si T es biyectiva entonces T −1 es continua. Esto implica que existen constantes c1 y c2 tales que c1 kxk ≤ kT xk ≤ c2 kxk.
Un enunciado levemente mas general del teorema de la aplicación abierta
es intercambiar X de Banach por X de Frechet e Y por un espacio vectorial
topológico.
4.3.
Gráfico cerrado
Sean X e Y espacios normados si dotamos a X × Y de las operaciones obvias
y de la norma k(x, y)k = kxk + kyk obtenemos que el producto de espacios
normados es normado y es de Banach si y solo si X e Y son de Banach.
Definición 4.1. Dado un operador T : X −→ Y definimos el gráfico de T como
GT = {(x, T x) : x ∈ X} ⊂ X × Y
Es claro que si f : X −→ Y es una función continua entre espacios topológicos Hausdorff entonces su gráfico es cerrado. Para operadores entre espacios de
Banach el recíproco es valido.
CAPÍTULO 4. OPERADORES
35
Teorema 4.8 (Gráfico cerrado). Sea T un operador entre espacios de Banach. Entonces T ∈ B(X, Y ) ⇔ GT es cerrado.
Demostración. Sean π1 y π2 las proyecciones de X × Y sobre X e Y respectivamente. Como GT es un subespacio cerrado de X × Y , es un espacio de Banach.
Ahora, π1 : GT −→ X es un operador continuo y biyectivo, por el teorema de
la aplicación abierta el operador x 7→ (x, T x) es continuo, como T = π2 (x, T x)
concluimos que T es continuo.
Si eliminamos la hipótesis de X Banach hay un contraejemplo para el teorema. Consideremos X = C 1 ([0, 1]) e Y = C([0, 1]) ambos con la norma del supremo. Sea T : X −→ Y el operador derivada, T f = f 0 , y sea (fn , fn0 ) −→ (f, g).
Como fn converge uniformemente a f converge en un punto, como además
fn0 −→ g tenemos que f 0 = g, por tanto GT es cerrado pero T no es acotado, basta observar que T (sen(nx)) = n cos(nx) ⇒ 1 = k sen(nx)k∞ pero
kT (sen(nx))k∞ = n.
Observación. El teorema del gráfico cerrado nos dice que al tratar de probar la
continuidad de cierto operador alcanza con ver que si xn −→ x y T xn −→ y
entonces T x = y.
Ejemplo. Ya se vio en el practico que si dotamos a c = {x : N −→ C convergentes}
con la topología de `∞ , podemos ver a toda funcional ϕ : c −→ C como un producto de vectores infinitos. O sea, existe un único a ∈ `1 (N) tal que


x1
 . 
∞
X
 .. 

ϕ(x) =
an xn = a1 . . . an . . . 
 xn 


n=1
..
.
Además kϕk = kak1 . En (`∞ )∗ hay funcionales que no son multiplicar por un
vector infinito, por esto (`∞ )∗ 6= `1 .
que para todo x ∈ c,
P∞Sea (αij ) una matriz infinita (i, j ∈ N). Supongamos
∞
α
x
converge
a
y
∀i
≥
0
y
que
y
=
{y
}
∈
`
.
Vamos a probar dos
i
i
j=1 ij j
cosas:
1. sup
i
∞
X
|αij | < ∞
j=1
2. El operador A : c −→ `∞ dado por A(x) = y es lineal y continuo.
P∞
Sabemos que ∀x ∈ X, j=1 αij xj converge, de donde deducimos que {αij }j∈N ∈
P∞
`1 , además, por lo dicho anteriormente el funcional ϕi (x) = j=1 αij xj es acotado y kϕi k = k{αij }j∈N k1 . O sea que para todo i ∈ N ∃ki tal que
∞
X
j=1
|αij | < ki
CAPÍTULO 4. OPERADORES
36
Para todo x ∈ c |ϕi (x)| ≤ supi |yi | porque y ∈ `∞ , por acotación uniforme
deducimos que supi kϕi k < ∞. Esto es lo que queríamos probar. Resta ver la
continuidad de A. Para esto usamos el gráfico cerrado (ejercicio).
Ejercicio. Sean X, Y espacios de Banach entonces T ∈ B(X, Y ) ⇔ ϕ ◦ T ∈
X ∗ ∀ϕ ∈ Y ∗ ⇔ T : (X, ω) −→ (Y, ω) es continua.
Capítulo 5
Fredholm y operadores
compactos
Decimos que un operador A : X −→ Y entre espacios vectoriales es de
Fredholm si la dimensión del kernel y la dimensión de cokernel son finitas. El
cokernel de un operador A se define como el cociente entre Y y el rango de A,
coker(A) = Y /Ran(A) . El índice de un operador de Fredholm es
ind A = dim ker A − dim coker A.
Se verifica que ind AB = ind A + ind B. El objetivo de este capítulo es probar
que los operadores de Fredholm de rango cerrado son los elementos invertibles
del álgebra de Calkin.
Durante todo el capítulo utilizaremos la letra H para denotar un espacio de
Hilbert y X e Y denotan espacios de Banach.
5.1.
Operadores compactos
Definición 5.1. Sea T un operador acotado de X a Y . Decimos que T es
compacto si T (B) es compacto, donde B denota la bola unidad de X.
Cualquier operador acotado de rango finito es obviamente compacto, el
recíproco no es necesariamente cierto. Sea α ∈ c0 = {x : N −→ C / xn −→ 0},
consideramos el shift con pesos, s : `2 (N) −→ `2 (N) dado por
s(x1 , . . . , xn , . . . ) = (0, α1 x1 , . . . , αn xn , . . . )
Este es un operador compacto de rango no finito, esto se podrá probar mas
adelante.
Proposición 5.1. Sea T ∈ B(X, Y ). Las siguientes afirmaciones son todas
equivalentes.
37
CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS
38
1. T es compacto.
2. T (A) es compacto para todo A acotado de X.
3. Si {xn } es una sucesión acotada en X entonces {T xn } tiene una subsucesión convergente.
4. T lleva acotados en totalmente acotados.
La prueba de esta proposición es simple por lo que será omitida. Las propiedades
siguientes de los compactos se deducen inmediatamente de 5.1.
Propiedades 1.
a) T, S compactos, λ ∈ C entonces T + λS es compacto.
b) T es compacto y S acotado entonces T S y ST son compactos.
c) Si Tn son compactos y Tn −→ T entonces T es compacto.
d) Si T ∈ B(H) entonces T es compacto si y solo si es límite de operadores
de rango finito.
Demostración. Probemos c) y d). Sea {xn } una sucesión acotada. Por un proceso diagonal obtenemos una subsucesión {x0n } tal que Tk (x0n ) es convergente
para todo k. Ahora,
kT x0n − T x0m k ≤ k(T − Tk )(x0n )k + kTk (x0n − x0m )k + k(T − Tk )x0m k
Como {x0n } está acotada podemos hacer todos los términos arbitrariamente
pequeños y obtenemos así que {T x0n } es de Cauchy y por tanto convergente.
Para probar d), sea {ei }i∈I una base
P de ortonormal. Para cada subconjunto
finito F ⊂ I consideramos PF (x) = i∈F hx, ei i ei , obviamente PF tiene rango
finito. El conjunto D de todos los subconjuntos finitos de I es un conjunto
dirigido con el orden F1 ≤ F2 si F1 ⊂ F2 .
Para cada x ∈ H la red {PF x} converge puntualmente a x. Supongamos que
kPF T − T k no tiende a 0, entonces existe ε > 0 y D 0 ⊂ D tal que para todo
F ∈ D 0 existe kxF k = 1 tal que kPF T xF − T xF k ≥ ε. Como T es compacto
y kxF k = 1 tenemos que {T xF } tiene una subred convergente, abusando de
notación escribimos T xF −→ y. Escribimos entonces
ε ≤ kPF T xF − T xF k ≤ kPF T xF − PF yk + kPF y − yk − kT xF − yk −→ 0
Teorema 5.2. T ∈ B(H) es compacto si y solo si T ∗ es compacto.
Demostración. Basta probar que si T es de rango finito entonces T ∗ también
ya que el mapa ∗ : B(H) −→ B(H) P
es continuo. Sea v1 , . . . , vn una base
ortonormal del rango de T , o sea, T x = i hT x, vi i vi . Ahora
* n
+
n
X
X
hT x, yi =
hT x, vi i vi , y =
hT x, vi i hvi , yi =
i
i
CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS
n
X
*
∗
hx, hy, vi i T vi i =
x,
i
n
X
39
+
∗
hy, vi i T vi
i
Pn
∗
∗∗
Por tanto T ∗ y =
= T
i hy, vi i T vi , o sea, de rango finito. Como T
tenemos probado el recíproco.
Teorema 5.3. T es un operador compacto si y solo si T : (B, ω) −→ (H, k k)
es continuo, donde B denota la bola unidad en un espacio de Hilbert H.
Queda como ejercicio la demostración.
5.2.
Perturbados compactos de la identidad
Cualquier operador invertible es un operador de Fredholm, esto es claro ya
que dim ker A = dim coker A = 0. Además si A es invertible y kT k < 1/kA−1 k
entonces A − T es invertible. O sea que perturbados suficientemente pequeños
de invertibles son invertibles. La pregunta es cuanto podemos perturbar un operador invertible y que continue siendo de Fredholm.
De aquí en mas notaremos por B0 (X) a todos los operadores compactos de
X en si mísmo e I denota el operador identidad.
Teorema 5.4. Sea T ∈ B0 (X), entonces
1. dim ker(T − I) < ∞.
2. Ran(T − I) es cerrado.
Demostración. Sea X 0 = ker(T −I), entonces T |X 0 = Id |X 0 . Como X 0 es cerrado
es de Banach y, por ser T compacto en B(X), T es compacto en B(X 0 ). Ahora,
como T |X 0 = Id |X 0 , Id |X 0 es compacto y por tanto X 0 es de dimensión finita.
Como ker(T − I) es de dimensión finita, tenemos un subespacio cerrado M
tal que X = ker(T − I) ⊕ M, llamemosle S = (T − I)|M . Así S : M −→ X
es continuo e inyectivo, si probamos que la inversa es continua obtenemos que
Ran(T − I) = S(M ) es cerrado. Para esto basta ver que existe δ > 0 tal que
kSxk ≥ δkxk ∀x ∈ M , si esto no fuera cierto existiría una sucesión {xn } tal que
Sxn −→ 0 y kxn k = 1. Como T es compacto T xn es convergente, tomando una
subsucesión si es necesario, pongamos T xn −→ y. Ahora, xn = T xn −Sxn −→ y,
pero como S es continua Sxn −→ Sy entonces Sy = 0, por tanto y = 0 lo que
contradice el hecho de que kxn k = 1.
Proposición 5.5. Sea T un operador acotado de H en si mismo, entonces se
cumple que:
a) (ker T )⊥ = Ran T ∗ .
b) (Ran T )⊥ = ker T ∗ .
CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS
40
Demostración. Empecemos por b). y ∈ (Ran T )⊥ ⇔ hT x, yi = 0 ∀x ∈ H ⇔
hx, T ∗ yi = 0 ∀x ∈ H ⇔ T ∗ y = 0 ⇔ y ∈ ker T ∗ . Aplicando b) a T ∗ tenemos que
(Ran T ∗ )⊥ = ker T ⇒ Ran T ∗ = (ker T )⊥ .
Definición 5.2. Decimos que la sucesión de subespacios de H, {Hn }, se estabiliza si existe n ∈ N tal que Hn = Hn+1 .
Observación. Sea A ∈ B(H). Si ker An = ker An+1 entonces
1. ker Am = ker An ∀m ≥ n.
2. A|Ran An es inyectiva.
3. ker An ∩ Ran An = {0}
Teorema 5.6. Si T ∈ B0 (X), con X Banach, entonces ker(T −I)n se estabiliza.
Demostración. Escribamos A = T − I, supongamos que no se estabiliza, o sea,
ker A0
ker A1
···
ker An
··· .
Tomamos, por el lema de Riesz ( 1.10), una sucesión xn+1 ∈ ker An+1 tal que
kxn k ≤ 2 y kxn+1 −xk ≥ 1 ∀x ∈ ker An (Si X es de Hilbert se toma simplemente
xn+1 ∈ ker An+1 de norma 1 ortogonal a ker An ). Queremos ver que {T xn } no
tiene subsucesiones convergentes. Tomamos m < n y calculamos kT xn − T xm k.
T xn − T xm = Axn + xn − Axm − xm
Como xn ∈ ker An , Axn ∈ ker An−1 . A su vez, xm ∈ ker Am ⇒ Axm ∈
ker Am−1
ker An−1 porque m < n. Además xm ∈ ker Am
ker An−1 . Enn−1
tonces T xn − T xm = xn + y con y ∈ ker A
por tanto kT xn − T xm k ≥ 1 de
donde T no es compacto.
Corolario 5.7. Si T ∈ B0 (H) y Ran(T − I) = H entonces ker(T − I) = {0}.
Demostración. Si Ran(T − I) = H entonces Ran(T − I)n = H para cualquier
n ∈ N, en particular aquel n para el cual ker(T − I)n se estabiliza. Entonces
T − I|Ran(T −I)n es inyectiva, pero Ran(T − I)n = H, de aquí obtenemos el
resultado.
Corolario 5.8. Si T ∈ B0 (H) y ker T − I = {0} entonces Ran(T − I) = H.
Demostración. Si ker(T − I) = {0} entonces Ran(T − I)∗ = (ker(T − I))⊥ = H.
Como T ∗ es compacto T ∗ − I tiene rango cerrado así que Ran(T ∗ − I) = H,
por el corolario anterior {0} = ker(T ∗ − I) = Ran(T − I)⊥ .
Corolario 5.9. Si T ∈ B0 (H) entonces {Ran(T − I)m } se estabiliza en el
mismo n donde se estabiliza {ker(T − I)m }.
CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS
41
Demostración. Como T es compacto (T − I)n es también un perturbado compacto de la identidad lo cual implica que (T − I)n tiene rango cerrado y por
tanto completo. Además T − I|Ran(T −I)n es inyectiva. Como
T − I : Ran(T − I)n −→ Ran(T − I)n+1
es inyectiva tenemos que, por el corolario anterior, Ran(T − I|Ran(T −I)n ) =
Ran(T −I)n de donde Ran(T −I)n+1 = (T −I)(Ran(T −I)n ) = Ran(T −I)n
Corolario 5.10. Sea T ∈ B0 (H) entonces
H = Ran(T − I)n ⊕ ker(T − I)n
donde n estabiliza ker(T − I)m .
Demostración. Escribamos A = T −I para aliviar notación. Por una observación
hecha anteriormente resta ver que para todo x ∈ H existen y ∈ Ran An tal que
x−y ∈ ker An . Como Ran An se estabiliza en n tenemos que Ran An = Ran A2n ,
o sea que para todo x ∈ H An x ∈ Ran A2n , esto implica que existe z ∈ H tal
que An x = A2n z de donde An (x − An z) = 0 o sea que x − An z ∈ ker An .
El siguiente teorema es principal en el desarrollo de la siguiente sección.
Teorema 5.11. Sea T un operador compacto de un espacio de Hilbert H en si
mismo. Entonces T − I es un operador de Fredholm de rango cerrado e índice
0.
Observación. Si H = M ⊕ M ⊥ y A ∈ B(H) es un operador de Fredholm que
deja invariantes M y M ⊥ entonces ind A = ind A|M + ind A|M ⊥ .
Demostración. Pongamos A = T − I. Se deduce inmediatamente del teorema
5.4 y de la proposición 5.5 que A es de Fredholm.
Para calcular el índice descomponemos H en al forma Ran An ⊕ ker An .
Sabemos que A|Ran An es biyectiva. Resta ver que ind A|ker An = 0. Para esto
razonamos de la siguiente forma. Como A es Fredholm An es Fredholm porque
(T − I)n = T 0 − I con T 0 ∈ B0 (H). Luego, ker An tiene dimensión finita y por
tanto A|ker An tiene índice 0.
5.3.
El álgebra de Calkin
Sea H un espacio de Hilbert. Consideremos en B(H) la estructura de álgebra de Banach con el producto como composición. Por propiedades enunciadas
anteriormente sabemos que B0 (H) es un ideal cerrado de B(H). El cociente
B(H)/B0 (H)
es también un álgebra de Banach llamada álgebra de Calkin. Denotamos por G
al grupo de los invertibles del álgebra de Calkin, y dado A ∈ B(H) notamos
[A] = {A + T : T ∈ B0 (H)} su clase de equivalencia en B(H)/B0 (H).
CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS
42
Lema 5.12. Sean X Banach, Y subespacio cerrado y Z subespacio de dimensión
finita. Entonces Y + Z es cerrado.
Demostración. Basta considerar π : X −→ X/Y ya que π −1 (π(Z)) = Y +Z.
Teorema 5.13. A es un operador de Fredholm de rango cerrado si y solo si
[A] ∈ G .
Demostración. Si [A] ∈ G entonces existe B ∈ B(H) tal que BA = I + T1 y
AB = I + T2 con T1 , T2 ∈ B0 (H). Tenemos que probar que dim ker A < ∞,
dim coker A < ∞ y que A(H) es cerrado.
Ran A = A(H) ⊇ A(B(H)) = Ran AB = Ran(I + T2 ). Como I + T2 es
Fredholm su rango tiene codimension finita, por tanto la codimension de Ran A
es finita de donde dim coker A < ∞. ker A ⊆ ker BA = ker(I + T1 ) que tiene
dimensión finita. Tenemos probado que A, y análogamente B, es de Fredholm,
hay que probar que su rango es cerrado. Afirmamos que AB(H) = A(B(H)):
Sea y ∈ A(B(H)), luego existe z ∈ B(H) tal que Az = y. Como z ∈ B(H)
tomamos xn ∈ B(H) tal que kBxn − zk < 1/n.
kABxn − yk ≤ kAkkBxn − zk −→ 0
Como AB es un perturbado compacto de la identidad tenemos que Ran AB
es cerrado, por tanto y ∈ Ran AB. Como AB(H) ⊂ A(B(H)) tenemos que
AB(H) = A(B(H)).
Para ver que A(H) es cerrado escribimos H = B(H) ⊕ B(H)⊥ entonces
A(H) = A(B(H)) + A(B(H)⊥ ), por la afirmado A(B(H)) es cerrado y, como
B es Fredholm, A(B(H)⊥ ) tiene dimensión finita, por el lema anterior A(H) es
cerrado.
Veamos ahora la prueba del directo. Sea A un operador de Fredholm de rango
cerrado. A|ker A⊥ : ker A⊥ −→ Ran A es biyectivo, como Ran A es cerrado, S, la
inversa de A|ker A⊥ , es continua. Tomamos el siguiente operador acotado
Sx si x ∈ Ran A
Bx =
0 si x ∈ (Ran A)⊥
Escribimos H = ker A ⊕ (ker A)⊥ entonces dado z escribimos z = x + y
donde x ∈ ker A e y ∈ (ker A)⊥ , entonces BAz = BAx + BAy = y o sea que
BA = P(ker A)⊥ . Análogamente, escribiendo H = Ran A ⊕ Ran A⊥ tenemos que
AB = PRan A .
Concluimos entonces que BA = I − Pker A y que AB = I − P(Ran A)⊥ . O sea
que [AB] = [I] = [BA] ya que Pker A y PRan A⊥ son compactos por tener rango
finito. Probamos entonces que [A] ∈ G, lo que culmina la prueba.
CAPÍTULO 5. FREDHOLM Y OPERADORES COMPACTOS
43
Teorema 5.14. Sea A un operador de Fredholm de rango cerrado e índice n y
T un operador compacto. Entonces A + T es un Fredholm de índice n. En otras
palabras, el índice es constante en clases de equivalencia.
Demostración. Sabemos que [A] = [A + T ] ∈ G. Tomamos entonces B ∈ B(H)
tal que [A][B] = [I] ⇒ BA = I + T1 con T1 ∈ B0 (H), como ind(I + T1 ) = 0
tenemos que ind B + ind A = 0, pero [B][A + T ] = [I] de donde ind B + ind(A +
T ) = 0.
Teorema 5.15. El mapa ind es continuo, es decir, si A es un Fredholm de
índice n entonces existe ε > 0 tal que si kA0 k < ε entonces A + A0 tiene índice
n.
Demostración. Sea B ∈ B(H) tal que BA = I + T con T ∈ B0 (H). Ahora,
B(A + A0 ) = BA + BA0 = (I + BA0 ) + T . Tomando ε < 1/kBk y A0 tal que
kA0 k < ε tenemos que
kI − (I + BA0 )k ≤ kBkkA0 k < 1
por tanto I +BA0 es invertible por tanto 0 = ind(I +BA0 +T ) = ind B +ind(A+
A0 ). Pero también tenemos que 0 = ind B + ind A porque [A][B] = [I].
Como corolario tenemos que el mapa ind : G −→ Z es un homomorfismo
de grupos continuo y sobreyectivo, para ver la sobreyectividad basta tomar una
base de Hilbert y considerar e shift en un subconjunto numerable de esa base
dejando el resto de as coordenadas fijas. Notemos por G0 a la componente
conexa de [I]. Asumiendo que GL(H) = { invertibles de B(H)} es conexo se
puede probar que ker ind = G0 de donde se deduce que
G / G0 ∼
=Z
Capítulo 6
Teorema Espectral
Si H es un espacio de Hilbert sobre C vale el siguiente teorema que es falso
en espacios sore R.
Teorema 6.1. Sea T ∈ B(H), H sobre C. Entonces hT x, xi = 0 ∀x ∈ H ⇔
T = 0.
Demostración. hT (x + y), x + yi = hT x, yi+hT y, xi = 0 para cualquier elección
de x, y ∈ H, en particular vale para iy, o sea, −i hT x, yi+i hT y, xi = 0, entonces
−2i hT x, yi = −i(hT x, yi + hT y, xi) − i hT x, yi + i hT y, xi = 0 ∀x, y ∈ H
de donde T = 0.
6.1.
Operadores normales y autoadjuntos
Definición 6.1. Un operador T ∈ B(H) se dice normal si conmuta con su
adjunta, o sea, T ∗ T = T T ∗ . Un operador acotado se dice autoadjunto si T = T ∗ .
Consideremos, para T ∈ B(H), el conjunto
σ(T ) = {λ ∈ C : T − λI no es invertible}
Este conjunto se llama el espectro de T . Que un operador sea no invertible no
implica que este no sea inyectivo, consideramos entonces el siguiente conjunto
σp (T ) = {λ ∈ C : ker(T − λI) 6= {0}}
éste se denomina espectro puntual de T. Obviamente σp (T ) ⊂ σ(T ). Si λ ∈ σp (T )
decimos que λ es un autovalor de T y si x 6= 0 es tal que x ∈ ker(T −λI) decimos
que x es un autovector asociado a λ.
Observación. Sea T un operador compacto. Si λ 6= 0 entonces T − λI es un
operador de Fredholm porque escribimos λ(T /λ−I). O sea que si λ 6= 0 entonces
dim ker T − λI < ∞.
44
CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL
45
Veremos mas adelante que el shift en `2 (Z), s(en ) = en+1 , no pose espectro
puntual, pero σ(s) = S 1 . Sin embargo, los operadores compactos se comportan
de forma mas agradable con su espectro. Si T ∈ B0 (H) entonces σ(T ) ⊂ σp (T )∪
{0} ya que si 0 6= λ ∈ σ(T ) − σp (T ) tenemos que T − λI es un operador de
Fredholm de rango cerrado e índice 0. Como λ ∈
/ σp (T ) tenemos que dim ker T −
λI = 0 de donde dim coker T − λI = 0. Por tanto T − λI es sobreyectiva, esto
contradice el hecho de que λ ∈ σ(T ).
Proposición 6.2. Sea T un operador acotado.
1. T es normal entonces kT xk = kT ∗ xk ∀x ∈ H. El recíproco es cierto si H
es sobre C.
2. Si T es normal y λ ∈ σp (T ) entonces λ ∈ σp (T ∗ ).
3. Si T es normal, λ, µ ∈ σp (T ), λ 6= µ, entonces ker(T − λ) ⊥ ker(T − µI).
Demostración. Si kT xk = kT ∗ xk para todo x ∈ H entonces hT x, T xi = hx, T ∗ T xi.
Ahora, hT ∗ x, T ∗ xi = hx, T T ∗ xi, de donde
hx, T ∗ T xi = hx, T T ∗ xi ∀x ∈ H
Por el teorema 6.1 tenemos que T T ∗ = T ∗ T. Probemos 3). Sean x ∈ ker T − λI
e y ∈ ker T − µI.
λ hx, yi = hλx, yi = hT x, yi = hx, T ∗ yi = hx, µyi = µ hx, yi
Como λ 6= µ, hx, yi = 0.
Observación. A ∈ B(H) es autoadjunta entonces hAx, xi ∈ R ∀x ∈ H. El
recíproco vale si H es sobre C.
Demostración. El directo es claro ya que hAx, xi = hx, Axi. Para el recíproco
utilizamos el teorema 6.1.
Proposición 6.3. Sea A un operador autoadjunto.
1. Si ∀x ∈ H vale que | hAx, xi | ≤ kxk2 entonces kAk ≤ 1.
2. supkxk=1 | hAx, xi | = kAk.
Demostración. Consideramos kxk = kyk = 1.
hA(x + y), x + yi ≤ kx + yk2
− hA(x − y), x − yi ≤ kx − yk2
Sumando y aplicando la ley del paralelogramo obtenemos que
4 Re hAx, yi ≤ kx + yk2 + kx − yk2 ≤ 2(kxk2 + kyk2 ) = 4
CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL
46
O sea que Re hAx, yi ≤ 1. Como esto vale para cualquier par kxk = kyk = 1
tenemos que | hAx, yi | ≤ 1 ∀x, y de norma 1, de donde kAk ≤ 1.
Escribimos α = supkxk=1 | hAx, xi |. Para cualquier x ∈ H consideramos
A x , x ≤ α ⇒ |h(A/α)x, xi| ≤ kxk2 .
kxk kxk Aplicando la parte anterior tenemos que kA/αk ≤ 1 de donde kAk ≤ α.
Proposición 6.4. Sea A un operador compacto y autoadjunto. Entonces existe
λ ∈ σp (T ) tal que |λ| = kAk.
Demostración. Como A es compacto tenemos que A : (B, ω) −→ (H, k k) es
continuo, donde B denota la bola unitaria de H. El mapa x 7→ hAx, xi ∈ R
de la bola con la topología débil a R es continuo. Por Banach-Alaoglu B es
ω-compacto de donde existe x0 ∈ B tal que
kAk = | hAx0 , x0 i | ≤ kAkkx0 k2 ≤ kAk
Entonces la desigualdad de Schwartz para | hAx0 , x0 i | es una igualdad, por tanto
Ax0 = λx0 . Es inmediato, a partir de ahora, que |λ| = kAk.
Observación. La proposición anterior es válida para operadores compactos y
normales admitiendo que H sea un C-espacio vectorial.
Lema 6.5. Sean ε > 0 y T un operador compacto. Entonces {λ ∈ C : |λ| >
ε} ∩ σp (T ) es finito.
Demostración. De no ser así consideramos un conjunto ortonormal {en } de autovectores asociados a autovalores diferentes de módulo mayor que ε. La sucesión
{T en } = {λn en } no tiene subsucesiones convergentes ya que, por el teorema de
Pitágoras kT en − T em k2 = kλn en − λm em k2 = |λn |2 + |λm |2 ≥ 2ε.
Un corolario inmediato de este lema es que si T es un operador compacto
entonces σp (T ) es numerable, y, si es infinito, acumula en 0.
6.2.
Teorema Espectral
Definición 6.2. Sea Hn una sucesión de subespacios cerrados en H ortogonales
2 a 2. Definimos la suma directa como
D[
E
M
Hn =
Hn
n∈N
P
P
Lema 6.6.
Hn = {x ∈ H : x =
xn con xn ∈ Hn y
kxn k2 < ∞}.
P
Además
PHn converge puntualmente a P⊕Hn .
L
CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL
47
Observación. Sea T un operador normal y compacto y sea
M
H0 =
ker(T − λn I)
λn ∈σp (T )−{0}
entonces T H 0 ⊂ H 0 y T ∗ H 0 ⊂ H 0 .
Demostración. ker T − λI es T −invariante si λ ∈ σp (T ). Además ker T − λI =
ker T ∗ − λI que es T ∗ invariante.
Teorema 6.7 (Espectral). Sea T un operador compacto y autoadjunto de un
espacio de Hilbert H en si mismo. Sea
M
H0 =
ker(T − λn I)
λn ∈σp (T )−{0}
Entonces H = ker T ⊕ H 0 y
X
T =
λn Pn
λn ∈σp (T )
donde Pn es la proyección ortogonal sobre ker(T − λn I), la suma denota convergencia en norma.
Demostración. Por la observación anterior T H 0 ⊂ H 0 y T ∗ H 0 ⊂ H 0 , entonces
T H 0⊥ ⊂ H 0⊥ y T ∗ H 0⊥ ⊂ H 0⊥ . Además T |H 0⊥ es autoadjunta, si H 0⊥ 6= ker T
entonces existiría una autovalor de T |H 0⊥ de norma no nula, esto es absurdo.
P Sea kxk = 1 entonces x = x0 +
λn xn entonces
kT x −
N
X
n≥N +1
xn con xn ∈ ker T − λn I entonces T x =
λn Pn xk2 = k
n=1
máx {|λn |}
P
∞
X
N +1
∞
X
λn xn k ≤
N +1
kxn k2 ≤ máx {|λn |} −→ 0
n≥N +1
Observación. Si H es sobre C el teorema espectral es válido para operadores
compactos y normales.
Ejemplo. Consideremos en `2 (Z) el shift dado por s(en ) = en+1 , no es compacto
porque es invertible pero es normal, su adjunta es su inversa s∗ (en ) = en−1 .
Supongamos que s x = λx entonces xn = λxn+1 , entonces x0 = λx1 = λn xn
entonces xn = x0 /λn . Si |λ| > 1 entonces xn −→ ∞ si n −→ −∞ por tanto
x∈
/ `2 (Z). Si |λ| < 1P
también concluimos
un absurdo pues xn −→ ∞ si n −→ ∞.
P
Si |λ| = 1 entonces
kxn k2 =
kx0 k2 = ∞ de donde x ∈
/ `2 (Z). Esto prueba
CAPÍTULO 6. TEOREMA ESPECTRAL
48
que σp (s) = ∅.
Vamos a probar ahora que σ(s) = S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Supongamos que
|λ| > 1, entonces k s /λk < 1 entonces s /λ − I es invertible, de donde s −λI es
invertible ⇒ λ 6∈ σ(s). Si |λ| < 1 entonces kλIk < 1 = 1/k s−1 k entonces s −λI
es invertible y por tanto λ 6∈ σ(s). Concluimos que σ(s) ⊂ S 1 .
Sea |λ| = 1. Queremos ver que s −λI no es sobreyectiva. Sea y ∈ Ran(s −λI),
entonces yn = xn−1 − λxn , entonces xn−1 = yn + λxn . O sea, x0 = λx1 + y1 ,
x1 = λx2 + y2 ⇒ x0 = y1 + λy2 + λ2 x2 . En general
xn = λ−n x0 +
n
X
λi−n−1 yi
i=1
Consideremos la sucesión yn = λ1−n /n con y0 = 0, como |λ| = 1{yn } ∈
` (Z). Si {yn } ∈ Ran(s −λI) entonces
2
xn = λ−n x0 + λ−n
n
X
1
i=1
i
−→ ∞
concluimos entonces que {yn } ∈
/ Ran(s −λI), y por lo tanto λ ∈ σ(s).
Podemos usar esto para demostrar que [s] 6= [I] en el álgebra de Calkin.
s −I es un operador normal, porque s lo es. Si [s] = [I] entonces s −I es un
operador compacto. Ahora, s −I − λI = s −(1 + λ)I, deducimos entonces que
λ ∈ σp (s −I) ⇔ λ + 1 ∈ σp (s) = ∅, esto contradice el teorema espectral ya que
supusimos que s −I era compacto.
Capítulo 7
Teorema de Lomonosov
7.1.
Teorema de Schauder
Sea B ⊂ Rn la bola unidad cerrada. El teorema de Brouwer afirma que
cualquier aplicación continua f : B −→ B tiene un punto fijo. La prueba de
este teorema se basa en herramientas de topología diferencial por lo que la
omitiremos. Este teorema tiene una generalización inmediata que es la siguiente.
Corolario 7.1. Sea E ⊂ Rn un conjunto compacto convexo y f : E −→ E una
función continua, entonces f tiene un punto fijo.
Demostración. Sea B una bola cerrada de Rn que contiene a E. Dado x ∈ B
existe y ∈ E tal que d(x, y) = d(x, E), como E es convexo este y es el único
que verifica esta propiedad. Extendemos f a todo B de la siguiente forma: para
x ∈ B tomamos y ∈ E a menor distancia de x y definimos f (x) = f (y). Tenemos
entonces que f : B −→ E ⊂ B es continua, por el teorema de Brouwer hay un
punto fijo x = f (x), pero f (B) ⊂ E por tanto x ∈ E y es un punto fijo de
f : E −→ E.
Schauder generaliza este resultado a espacios de Banach con un leve cambio
en las hipótesis. Necesitamos de un lema que nos permitirá pasar del problema
en dimensión infinita a uno de dimensión finita para aplicar el corolario anterior.
Sea K
ε > 0 fijo
definimos
B(ai , ε) y
por
un subconjunto de un espacio de Banach X.
SnSupongamos que para
existe A = {a1 , . . . , an } ⊂ X tal que K ⊂ 1 B(ai , ε). Para x ∈ X
mai (x) = máx{0, ε − kx − ai k}. Obviamente mai es nula fuera de
si x ∈ K existe j tal que maj (x) 6= 0. Definimos φA : K −→ X dada
P
ma (x)ai
φA (x) = P i
mai (x)
Vale observar que φA (x) es una combinación convexa de {a1 , . . . , an }.
Lema 7.2. φA : K −→ X es una función continua y kφA (x) − xk < ε.
49
CAPÍTULO 7. TEOREMA DE LOMONOSOV
50
La prueba de este el lema es simple y queda como ejercicio.
Teorema 7.3 (Schauder). Sea E un subconjunto convexo cerrado y acotado
de un espacio de Banach X. Sea f : E −→ E una función continua tal que f (E)
es compacto, entonces f tiene un punto fijo.
Demostración.
Sea K = f (E). Para cada n tomamos An ⊂ K finito tal que
S
K ⊂ a∈An B(a, 1/n). Tomamos φAn como en el lema anterior. Como φAn es
una combinación convexa de los elementos de An tenemos que φAn (K) ⊂ E.
Sea fn = φAn ◦ f : E −→ E, del lema deducimos que
kfn (x) − f (x)k < 1/n ∀x ∈ E
(7.1)
Tomamos Xn = hAn i y En = E ∩Xn , entonces En es compacto y convexo y fn :
En −→ En es continua. Como Xn es de dimensión finita, aplicando el corolario
existe xn ∈ En tal que fn (xn ) = xn . Es fácil ver que la sucesión {f (xn )} ⊂ K
tiene una subsucesión convergente a un punto de K por ser compacto, digamos
f (xnk ) −→ x0 , entonces, por la ecuación 7.1 tenemos
kxnk − x0 k ≤ kfnk (xnk ) − f (xnk )k + kf (xnk ) − x0 k −→ 0
Luego, como f es continua f (xnk ) −→ f (x0 ) pero f (xnk ) −→ x0 de donde
f (x0 ) = x0 .
Teorema 7.4 (Markov-Kakutani). Sea X un espacio normado y K ⊂ X
compacto y convexo. Sea {Ai }i∈I una familia de mapas continuos afines de K
en K que conmutan dos a dos. Entonces existe x ∈ K tal que Ai x = x ∀i ∈ I.
La demostración queda como ejercicio.
7.2.
Subespacios invariantes
Sea A un operador acotado no escalar (A 6= λI) de un espacio de Banach
X en si mismo. El problema que discutiremos en esta sección es la existencia
de subespacios cerrados invariantes no triviales para A. La respuesta a esta
pregunta en espacios de Banach es negativa como mostró Read en 1984 con
un contraejemplo. En espacios de Hilbert tomamos x0 tal que Ax0 6= 0, el
subespacio h{An x0 : n ≥ 0}i es cerrado e invariante, si H es no separable esta
es una solución. Para espacios de Hilbert de dimensión numerable el problema
continua abierto. Otras condiciones que implican la existencia de subespacios
cerrados invariantes no triviales son las siguientes:
σp (A) 6= ∅. En efecto, ker A − λI es invariante distinto de H. Si H es de
dimensión finita sobre C entonces σp (A) 6= ∅.
Si Ran A no es denso entonces RanA es invariante no trivial.
CAPÍTULO 7. TEOREMA DE LOMONOSOV
51
El problema se torna mas interesante al notar que aquellos operadores con
espectro puntual distinto del vació forman un conjunto denso en B(H).
Un subespacio cerrado M no trivial es hiperinvariante para A ∈ B(X) si es
invariante para cualquier operador acotado que conmuta con A.
Definición 7.1. Una subálgebra A de B(H) es irreducible si no existe subespacio cerrado invariante no trivial para todo A de A .
Si λ ∈ σp (A) entonces ker(A − λI) es un subespacio invariante para la subálgebra A = {A0 ∈ B(H) : A0 A = AA0 }, o sea, ker(A − λI) es hiperinvariante
para A.
Lema 7.5. Sea A una subálgebra irreducible que contiene un compacto no nulo
T . Entonces existe B ∈ A compacto tal que 1 ∈ σp (B).
Demostración. Podemos suponer que kT k = 1. Sea x0 tal que kx0 k > 1 y
kT x0 k > 1, entonces 0 ∈
/ Q = T (B(x0 , 1)),
Snademás Q es compacto. Afirmamos
que existen A1 , . . . , An ∈ A tal que Q ⊂ 1 A−1
i (B(x0 , 1)).
Para cada y ∈ H Hy = {Ay : A ∈ A } es un subespacio invariante para todo
elemento de A , por ser A una subálgebra. Hy 6= {0} ya que de no ser así el subespacio unidimensional generado por y sería invariante para todo A ∈ A . Esto
no es posible por ser A irreducible. Por el mismo argumento deducimos que Hy
es denso en X. Entonces para todo y ∈ Q existe A ∈ A tal que kAy − x0 k < 1,
o sea, Ay ∈ B(x0 , 1) entoncesSy ∈ A−1 (B(x0 , 1)). Como Q es compacto existen
n
A1 , . . . , An ∈ A tal que Q ⊂ 1 A−1
i (B(x0 , 1)) como habíamos afirmado.
Sean m(t) = máx{0, 1 − t} y
φ(x) =
n
X
m(kAj x − x0 k)
P
Aj x
m(kAj x − x0 k)
j=1
entonces φ(Q) ⊂ B(x0 , 1). Componemos con T , entonces φT : B(x0 , 1) −→
B(x0 , 1), además φT (B(x0 , 1)) es compacto porque T es compacto y φ es continua. Aplicamos el teorema de Schauder y obtenemos un punto fijo z = φT z.
El problema es que φT no es lineal, para esto consideramos
Bx =
n
X
m(kAj T z − x0 k)
P
Aj T x
m(kAj T z − x0 )
j=1
entonces B ∈ A porque es combinación lineal de Aj T y, por la misma razón, B
es compacto. Además Bz = φT z = z, de donde 1 ∈ σp (B).
Teorema 7.6 (Lomonosov). Sea X un espacio de Banach y A ∈ B(X) un
operador no escalar. Si A conmuta con un operador compacto entonces A tiene
un subespacio cerrado hiperinvariante no trivial.
CAPÍTULO 7. TEOREMA DE LOMONOSOV
52
Demostración. Sea A = {A0 ∈ B(X) : AA0 = A0 A} la subálgebra de los
operadores que conmutan con A. Por hipótesis contiene un compacto. Si fuera
irreducible aplicamos el lema y obtenemos que existe B ∈ A compacto tal que
1 ∈ σp (B). ker B − I es A invariante porque BA = AB, como B es compacto
B − I es Fredholm entonces dim ker B − I < ∞, por tanto A| ker(B − I) tiene
un autovalor λ. ker(A − λI) es un subespacio hiperinvariante no trivial.
Apéndice A
Teorema de von-Neumann
Sea G un semigrupo (i.e. hay un producto · : G × G −→ G asociativo)
definimos `∞ (G, R) = {x : G −→ R : |x(g)| acotado}. Básicamente es poner en
G la medida del conteo. Una media invariante a izquierda en G es una funcional
lineal m : `∞ (G, R) −→ R que verifica:
m es no negativa, o sea, m(f ) ≥ 0 si f ≥ 0.
m(ft ) = m(f ) donde ft (s) = f (ts) ∀f ∈ `∞ (G, R) t, s ∈ G.
m(1) = 1 donde 1 es la función constante 1.
Se deduce inmediatamente de las propiedades que m(ı́nf f ) ≤ m(f ) ≤ m(sup f )
de donde m es un funcional acotado y kmk = 1 porque m(1) = 1.
Definición A.1. Si un semigrupo G admite un media invariante a izquierda
decimos que G es promediable.
En un grupo una media invariante a izquierda induce una media invariante
a derecha: basta poner m∗ (f ) = m(f ∗ ) donde f ∗ (s) = f (s−1 ).
Teorema A.1 (von-Neumann). Todo grupo abeliano es promediable.
Demostración. Sea X = `∞ (G, R). El conjunto
B = {ϕ ∈ X ∗ : ϕ(1) = 1, kϕk ≤ 1} = {ϕ ∈ X ∗ : ϕ(1) = 1, ϕ ≥ 0}
es ω ∗ -compacto y convexo. Para cada t ∈ G definimos At (ϕ)(f ) = ϕ(ft ). Claramente At es lineal y ω ∗ -continua. Por ser G abeliano At As = Ast = Ats = As At ,
o sea, las At conmutan. Además At (B) ⊂ B, aplicando el teorema de MarkovKakutani ( 7.4) tenemos que hay un punto fijo m ∈ B para toda At . m es la
media invariante a izquierda que buscamos.
53
Índice alfabético
absorbente, 7
acotado, 12
algebra, 22
de Banach, 22
de Calkin, 41
irreducible, 51
anulador, 22
autovalor, 44
autovector, 44
base
algebraica, 2
de Hamel, 2
de Hilbert, 27
cokernel, 37
convexo, 7
envolvente, 7
local, 11
desigualdad de Bessel, 25
desigualdad de Schwartz, 24
dual, 10
algebraico, 3
equilibrado, 12
espacio
de Banach, 3
de Frechet, 10
Hilbert, 24
vectorial, 2
vectorial normado, 3
vectorial topológico, 10
espectro, 44
espectro puntual, 44
estabiliza, 40
extremal, 20
funcional
de Minkowski, 8
sublineal, 7
hiperinvariante, 51
hiperplano, 9
indice, 37
interior algebraico, 7
isometría, 5, 30
isomorfismo, 5
lema
Riesz, 6
media invariante a izquierda, 53
medida
ergódica, 22
invariante, 19
metrizable, 10
norma, 3
operador, 4
acotado, 4
adjunto, 29
autoadjunto, 44
compacto, 37
conjugado, 29
de Fredholm, 37
normal, 44
ortogonal, 25
ortonormal, 25
primera categoría, 33
producto interno, 24
promediable, 53
54
ÍNDICE ALFABÉTICO
semiespacio, 9
Teorema
acotación uniforme, 31
aplicación abierta, 33
Banach-Alaoglu, 17
Birkhoff-Kakutani, 11
espectral, 47
Hahn-Banach, 8, 9
Kolmogorov, 13
Krein-Milman, 21
Lomonosov, 51
Markov-Kakutani, 50
representación de Riesz, 28
Riesz, 18
Schauder, 50
Stone-Weierstrass, 23
von-Neumann, 53
topología
débil, 17
débil estrella, 17
vectorial, 10
unitario, 30
55