Download Tema 3. Números Enteros

Tema 3. Números Enteros
Javier Rodríguez Ruiz
Curso 2012-2013
Índice
1. Introducción a los números enteros (Z)
2
2. Sumas y restas de números enteros
5
3. Productos y divisiones de números enteros
8
4. Potencias y raíces de números enteros
11
5. Operaciones combinadas y paréntesis
16
1
1.
Introducción a los números enteros (Z)
¿Qué son los números enteros?
• Hay tres tipos de números enteros: los números enteros negativos, el cero y los
números enteros positivos. Para abreviar, a veces diremos enteros negativos en
vez de números enteros negativos y también enteros positivos en vez de números
enteros positivos.
• Los números enteros positivos son los números naturales salvo el cero. Si queremos, delante de los números enteros positivos podemos poner el signo + o incluso
ponerlos entre paréntesis. Ejemplo: 1, +5, (+3).
• Los números enteros negativos son los números naturales salvo el cero precedidos
de un signo -. Si queremos podemos poner los números enteros negativos entre
paréntesis. Ejemplo: -1, (-7).
• Por tanto, cualquier número natural es un número entero, pero hay números
enteros que no son números naturales.
• Regla. Delante de un número no puede haber dos signos + , - , · , : seguidos
salvo que estén separados por paréntesis.
Ejemplo 1. Identifica los números naturales y los números enteros de la lista:
√
2; π; 153 682; 0; -65 003.
84; 1,5; (-5); +29; 2/3; (+4 000 000);
Resp.
Naturales: 84; 29; 4 000 000; 153 682; 0.
Enteros: 84; -5; 29; 4 000 000; 153 682; 0; -65 003. 2
Ejemplo 2. Identifica los números que no tengan sentido:
9; +13; -24; ++2; +-10; -(+4); - -5; +(-7); +(+86); -+1
Resp.
++2; +-10; - -5; -+1. 2
¿Para qué sirven los números enteros?
• Esto lo entendemos mejor con ejemplos.
Ejemplo 1. La temperatura puede estar por encima de los cero grados, valer cero
grados o estar por debajo de los cero grados. Por ejemplo, si la temperatura es
cinco grados sobre cero, escribiremos 5 ºC o +5 ºC o (+5) ºC. Si la temperatura
es cuatro grados bajo cero, escribiremos -4 ºC o (-4) ºC. 2
2
Ejemplo 2. Puede ser tengas dinero en el banco, que ni tengas ni debas dinero o que
debas dinero al banco. Por ejemplo, si tienes cien euros en el banco, escribiremos
100 euros o +100 euros o (+100) euros. Si debemos tres mil euros al banco,
escribiremos -3000 euros o (-3000) euros. 2
Ejemplo 3. En un edificio puedes estar por encima de la planta baja, en la planta
baja o por debajo de la planta baja. Por ejemplo, si estás en la séptima planta, escribiremos planta 7 o planta +7 o planta (+7). Si estamos en el sótano, escribimos
planta -1 o planta (-1). Si estamos en la planta baja, escribimos planta 0. 2
Ejemplo 4. Cuando hablamos de alturas podemos estar por encima del nivel del
mar, al nivel del mar, o por debajo del nivel del mar. Por ejemplo, si estamos a
doscientos metros sobre el nivel del mar, escribiremos 200 m o +200 m o (+200) m.
Si estamos a cuarenta metros por debajo del nivel del mar, escribiremos -40 m o
(-40) m. 2
• Recuerda. Si un número entero no está precedido de signo, dicho número es
positivo. Por ejemplo, 2 es lo mismo que +2 o que (+2).
¿Cómo se representan los números enteros en una recta?
• Para representar los números enteros en una recta elegimos un punto de la recta
y ponemos el 0. A la derecha del 0 ponemos el 1, luego el 2, etc. A la izquierda
del 0 ponemos el -1, luego el -2, etc. Siempre de forma que entre dos números
consecutivos haya la misma distancia.
¿Qué es el valor absoluto de un número entero?
• El valor absoluto de un número entero es un número natural que da idea de lo
alejado que está dicho número del cero.
• El valor absoluto del cero y de los enteros positivos es dicho número. El valor
absoluto de un entero negativo es dicho número en positivo.
• El valor absoluto de un número se denota con el símbolo | |.
Ejemplo 1. Halla el valor absoluto de los siguientes números:
4; -6; 0; +12; -23; 9.
Resp.
|4| = 4; | − 6| = 6; |0| = 0; | + 12| = 12; | − 23| = 23; |9| = 9. 2
Ejemplo 2. Halla todos los números enteros cuyo valor absoluto sea:
a) 8; b) -6; c) +3; d) 0.
Resp.
a) 8 y -8; b) No existe ninguno; c) 3 y -3; d) 0. 2
3
¿Cómo se comparan los números enteros?
• Dados dos números enteros, si nos los imaginamos en la recta, decimos que el
mayor de los dos números es el que está más a la derecha y que el menor de los
dos números es el que está más a la izquierda.
• Por tanto, un número positivo siempre es mayor que el cero y el cero siempre
es mayor que un número negativo.
• Cuanto más alejado del cero esté un número positivo mayor es dicho número.
• Cuanto más alejado del cero esté un número negativo menor es dicho número.
• Recuerda. El símbolo < se lee “menor que” y que el símbolo > se lee “mayor
que”.
Ejemplo 1. Escribe entre cada par de números el símbolo < o >
a) 8 6; b) 5 -8; c) -4 0; d) -3 -7; e) +2 9; f) -12
Resp.
a) > ; b) > ; c) < ; d) > ; e) < ; f) < . 2
-6.
Ejemplo 2. Escribe todos los números enteros comprendidos entre -4 y 5 incluídos.
Resp.
-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Ejemplo 3. Ordena de forma creciente la siguiente lista:
11; -36; -7; +4; 20; 0; -3.
Resp.
-36; -7; -3; 0; +4; 11; 20. 2
Ejemplo 4. Ordena de forma decreciente la siguiente lista:
-17; 31; -8; -4; -26; 3; +5.
Resp.
31; +5; 3; -4; -8; -17; -26. 2
¿Qué es el opuesto de un número entero?
• El opuesto de un número entero es un número entero de igual valor absoluto
pero de signo contrario.
• El opuesto de 0 es 0.
Ejemplo 1. Halla el opuesto de los siguientes números:
4
a) -17; b) 31; c) -8; d) -4; e) -26; f) 3; g) +5; h) 0.
Resp.
a) 17; b) -31; c) 8; d) 4; e) 26; f) -3; g) -5; h) 0. 2
2.
Sumas y restas de números enteros
¿Cómo se suman y/o restan números enteros usando la recta?
• Suma. Para sumar dos números usando la recta nos imaginamos el primer
número en la recta y nos movemos hacia la derecha tantas posiciones como indique
el segundo número.
• Resta. Para restar dos números enteros usando la recta nos imaginamos el
primer número en la recta y nos movemos hacia la izquierda tantas posiciones
como indique el segundo número.
Ejemplo 1. Ayúdate de la recta para hacer las siguientes operaciones:
a) 5 + 3; b) 5 − 3; c) 3 + 5; d) 3 − 5; e) 0 − 5.
Resp.
.2
Ejemplo 2. Ayúdate de la recta para hacer las siguientes operaciones:
a) −5 + 3; b) −5 − 3; c) −3 + 5; d) −3 − 5; e) 3 + 0.
Resp.
.2
¿Cómo se suman y/o restan dos números enteros sin usar la recta?
• Regla. Para sumar y/o restar números enteros sin paréntesis nos fijamos en el
signo que precede a cada número:
a) Si tienen el mismo signo se pone dicho signo y se suman los valores absolutos.
b) Si tienen distinto signo se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto
y se resta el mayor valor absoluto menos el menor valor absoluto.
• Recuerda. Si el primer número no tiene signo, entonces dicho número es positivo.
Ejemplo 1. Realiza las siguientes operaciones:
a) 5 + 3; b) −5 − 3; c) 3 + 5; d) −3 − 5.
Resp.
5
a) 8; b) −8; c) 8
d) −8. 2
Ejemplo 2. Realiza las siguientes operaciones:
a) 5 − 3; b) −5 + 3; c) 3 − 5; d) −3 + 5.
Resp.
a) 2; b) −2; c) −2; d) 2. 2
Ejemplo 3. Realiza las siguientes operaciones:
a) 5 + 19; b) −8 − 16; c) +32 + 7; d) −7 − 12; e) 0 − 4; f) −6 − 0
Resp.
a) 24; b) −24; c) 39; d) −19; e) −4; f) −6. 2
Ejemplo 4. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7 − 2; b) 9 − 17; c) −12 + 5; d) −8 + 12; e) +4 − 15; f) −11 + 14
Resp.
a) 5; b) −8; c) −7; d) 4; e) −11; f) 3. 2
Ejemplo 5. Realiza las siguientes operaciones:
a) 2 − 9; b) −5 − 12; c) −7 + 13; d) 14 − 6; e) +6 + 18; f) −15 + 9
Resp.
a) −7; b) −17; c) 6; d) 8; e) 24; f) −6. 2
¿Cómo se suman y/o restan números enteros sin usar la recta II?
• Regla. Para sumar y/o restar números enteros con paréntesis hay que distinguir
dos casos:
a) Cuando delante del paréntesis del número haya un + podemos quitar dicho
+ y dicho paréntesis y poner el número con su signo.
b) Cuando delante del paréntesis del número haya un - podemos quitar dicho
- y dicho paréntesis y poner el número cambiando su signo.
• Recuerda. Si delante del primer parentesis no hay signo, entonces supondremos
que delante tiene signo positivo.
• Propiedad. Como puedes comprobar la suma de números enteros tiene la propiedad conmutativa.
• Recuerda. La resta no tiene la propiedad conmutativa.
Ejemplo 1. Realiza las siguientes operaciones:
6
a) (+4) + (+18); b) (+27) + (−7);
c) (+14) + (−19); d) (−8) + (−5).
Resp.
a) (+4) + (+18) = 4 + 18 = 22 = (+22).
b) (+27) + (−7) = 27 − 7 = 20 = (+20).
c) (+14) + (−19) = 14 − 19 = −5 = (−5).
d) (−8) + (−5) = −8 − 5 = −13 = (−13). 2
Ejemplo 2. Realiza las siguientes operaciones:
a) (−3) + (+16); b) (−15) + (+9);
c) −11 + (−14); d) (−8) + 7.
Resp.
a) (−3) + (+16) = −3 + 16 = 13 = (+13).
b) (−15) + (+9) = −15 + 9 = −6 = (−6).
c) −11 + (−14) = −11 − 14 = −25 = (−25).
d) (−8) + 7 = −8 + 7 = −1 = (−1). 2
Ejemplo 3. Realiza las siguientes operaciones:
a) (+8) − (+5); b) (−7) − (+19);
c) (+10) − (−13); d) (−4) − (−12).
Resp.
a) (+8) − (+5) = 8 − 5 = 3 = (+3).
b) (−7) − (+19) = −7 − 19 = −26 = (−26).
c) (+10) − (−13) = 10 + 13 = 23 = (+23).
d) (−4) − (−12) = −4 + 12 = 8 = (+8). 2
Ejemplo 4. Realiza las siguientes operaciones:
a) (+3) − (+8); b) (+19) − (−6);
c) (−11) − (+5); d) (−27) − (−4).
Resp.
a) (+3) − (+8) = 3 − 8 = −5 = (−5).
b) (+19) − (−6) = 19 + 6 = 25 = (+25).
c) (−11) − (+5) = −11 − 5 = −16 = (−16).
d) (−27) − (−4) = −27 + 4 = −23 = (−23). 2
Ejemplo 5. ¿Es (+8) + (+13) igual a (+13) + (+8)? Compruébalo.
7
Resp. Sí es igual porque la suma tiene la propiedad conmutativa.
a) (+8) + (+13) = 8 + 13 = 21 = (+21).
b) (+13) + (+8) = 13 + 8 = 21 = (+21). 2
Ejemplo 6. ¿Es (+3) + (−10) igual a (−10) + (+3)? Compruébalo.
Resp. Sí es igual porque la suma tiene la propiedad conmutativa.
a) (+3) + (−10) = 3 − 10 = −7 = (−7).
b) (−10) + (+3) = −10 + 3 = −7 = (−7). 2
Ejemplo 7. ¿Es (−4) + (+12) igual a (+12) + (−4)? Compruébalo.
Resp. Sí es igual porque la suma tiene la propiedad conmutativa.
a) (−4) + (+12) = −4 + 12 = 8 = (+8).
b) (+12) + (−4) = 12 − 4 = 8 = (+8). 2
Ejemplo 8. ¿Es (−6) + (−7) igual a (−7) + (−6)? Compruébalo.
Resp. Sí es igual porque la suma tiene la propiedad conmutativa
a) (−6) + (−7) = −6 − 7 = −13 = (−13).
b) (−7) + (−6) = −7 − 6 = −13 = (−13). 2
Ejemplo 9. Comprueba que la resta no tiene la propiedad conmutativa comparando
el resultado de (+6) − (−10) con (−10) − (+6).
Resp.
a) (+6) − (−10) = 6 + 10 = 16 = (+16).
b) (−10) − (+6) = −10 − 6 = −16 = (−16). 2
3.
Productos y divisiones de números enteros
¿Cómo se multiplican dos números enteros?
• Las reglas para multiplicar dos números enteros son las siguientes:
Primera. Cualquier número entero por cero es cero y cero por cualquier número
entero también es cero. Ejemplo: 0·(−4) = 0.
Segunda. El producto de dos enteros de igual signo (los dos positivos o los dos
negativos) es un número entero positivo, cuyo valor absoluto es el producto de los
valores absolutos de los factores. Ejemplos: (+3)·(+7) = (+21); (−4)·(−5) =
(+20).
8
Tercera. El producto de dos enteros de distinto signo (uno positivo y el otro
negativo) es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los
valores absolutos de los factores. Ejemplos: (−6)·(+8) = (−48); (+9)·(−2) =
(−18).
• Recuerda. El producto de números enteros tiene la propiedad conmutativa.
Ejemplo 1. Calcula los siguientes productos:
a) (+5)·0; b) (−6)·0; c) 0 · (+4); d) 0·(−7); e) 0·0.
Resp.
a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 0. 2
Ejemplo 2. Calcula los siguientes productos:
a) (+5)·(+8); b) 6·(+7); c) (−12)·(−8); d) (−14)·(−3).
Resp.
a) 40; b) 42; c) 96; d) 42. 2
Ejemplo 3. Calcula los siguientes productos:
a) (−6)·(+7); b) (−5)·2; c) 11·(−9); d) (+4)·(−8).
Resp.
a) −42; b) −10; c) −99; d) −32. 2
Ejemplo 4. Calcula los siguientes productos:
a) (+12)·(+7); b) (−8)·21; c) 0·(−9); d) (−14)·(+5).
Resp.
a) 84 ; b) −168; c) 0; d) −70. 2
Ejemplo 5. Calcula los siguientes productos:
a) (−25)·(−6); b) (+13)·(−5); c) (−7)·8;
Resp.
a) 150; b) −65; c) −56; d) 1. 2
d) (−1)·(−1).
Ejemplo 6. Si cada hora la temperatura sube 5 ºC, ¿cómo será la temperatura
dentro de dos horas respecto la de ahora?
Resp.
(+5)·(+2) = (+10). Luego la temperatura dentro de dos horas será 10 ºC
mayor que ahora. 2
9
Ejemplo 7. Si cada hora la temperatura sube 5 ºC, ¿cómo era la temperatura hace
dos horas respecto la de ahora?
Resp.
(+5)·(−2) = (−10). Luego la temperatura hace dos horas era 10 ºC menor
que ahora. 2
Ejemplo 8. Si cada hora la temperatura baja 5 ºC, ¿cómo será la temperatura
dentro de dos horas respecto la de ahora?
Resp.
(−5)·(+2) = (−10). Luego la temperatura dentro de dos horas será 10 ºC
menor que ahora. 2
Ejemplo 9. Si cada hora la temperatura baja 5 ºC, ¿cómo era la temperatura hace
dos horas respecto la de ahora?
Resp.
(−5)·(−2) = (+10). Luego la temperatura hace dos horas era 10 ºC mayor
que ahora. 2
¿Cómo se dividen dos números enteros?
• Las reglas para dividir dos números enteros son similares a las de multiplicar:
Primera. Cero entre cualquier número entero distinto de cero es cero. Ejemplo:
0:(−4) = 0.
Segunda. No se puede dividir entre cero. Ejemplo: (−7) : 0 no existe.
Tercera. La división de dos enteros de igual signo (los dos positivos o los dos
negativos) es un número positivo, cuyo valor absoluto es la división de los valores
absolutos de dividendo y divisor. Ejemplos: (+30):(+5) = (+6); (−40):(−5) =
(+8).
Cuarta. La división de dos enteros de distinto signo (uno positivo y el otro
negativo) es un número negativo, cuyo valor absoluto es la división de los valores
absolutos de los factores. Ejemplos: (−72)·(+8) = (−7); (+90):(−2) = (−45).
• Recuerda. La división de números enteros NO tiene la propiedad conmutativa.
Ejemplo 1. Calcula las siguientes divisiones:
a) 0:(+3); b) (−6) : 0; c) 0 : (−4); d) (−7) : 0; e) 0:0.
Resp.
a) 0; b) No existe; c) 0; d) No existe; e) No existe. 2
Ejemplo 2. Calcula las siguientes divisiones:
10
a) (+15):(+3); b) 42:(+7); c) (−12):(−4); d) (−14):(−1).
Resp.
a) 5; b) 6; c) 3; d) 14. 2
Ejemplo 3. Calcula las siguientes divisiones:
a) (−56):(+7); b) (−10):2; c) 99:(−9); d) (+48):(−8).
Resp.
a) −8; b) −5; c) −11; d) −6. 2
Ejemplo 4. Calcula las siguientes divisiones:
a) (+42):(+2); b) (−84) : 21; c) 0:(−9); d) (−140):(+5).
Resp.
a) 21; b) −4; c) 0; d) −28. 2
Ejemplo 5. Calcula las siguientes divisiones:
a) (−252):(−6); b) (+130):(−5); c) (−704):8; d) (−1):(−1).
Resp.
a) 42; b) −26; c) −88; d) 1. 2
4.
Potencias y raíces de números enteros
¿Cómo son las potencias de números enteros?
• Idea. En este tema veremos potencias de números cuya base es un número
entero y cuyo exponente es un número natural. Para abreviar, diremos que son
potencias de base entera y exponente natural.
• Regla. Las potencias de base entera significan lo mismo que las de base natural.
• Ejemplo. La forma abreviada de escribir (+3)·(+3)·(+3)·(+3) es (+3)4 y se
lee “tres elevado a la cuatro” o “tres elevado a la cuarta” o “más tres elevado a
cuatro” o “más tres elevado a la cuarta”.
• Ejemplo. La forma abreviada de escribir (−7)·(−7)·(−7) es (−7)3 y se lee
“menos siete elevado a la tres” o “menos siete elevado a la tercera” o “menos siete
elevado al cubo”.
• Recuerda. Las potencias NO tienen la propiedad conmutativa.
• Generalizando, si a es un número entero: a1 = a.
• Generalizando, si a es un número entero distinto de 0: a0 = 1.
• Recuerda. 00 no existe.
11
Ejemplo 1. ¿Es lo mismo (+2)3 que 23 ? Compruébalo.
Resp.
(+2)3 significa que el exponente 3 afecta a (+2), pero (+2) es 2. El caso de
2 como sabemos significa que el exponente 3 afecta a 2. Por tanto, en ambas
operaciones estamos haciendo dos elevado a tres, que es 8. 2
3
Ejemplo 2. ¿Es lo mismo (−2)4 que −24 ? Compruébalo.
Resp.
(−2)4 significa que el exponente afecta a -2, luego:
(−2)4 = (−2)·(−2)·(−2)·(−2) = 16.
−24 significa que el exponente afecta sólo a 2, luego:
−24 = −2·2·2·2 = −16. Por tanto, en este caso no es lo mismo. 2
Ejemplo 3. ¿Es lo mismo (−2)3 que −23 ? Compruébalo.
Resp.
(−2)3 significa que el exponente afecta a -2, luego:
(−2)3 = (−2)·(−2)·(−2) = −8.
−23 significa que el exponente afecta sólo a 2, luego:
−23 = −2·2·2 = −8. Por tanto, en este caso sí es lo mismo. 2
Ejemplo 4. ¿Se puede asegurar que (+3)5 sea lo mismo que (+5)3 ? Compruébalo.
Resp.
No se puede asegurar porque las potencias no tienen la propiedad conmutativa.
(+3)5 = 243; (+5)3 = 125. Por tanto, no es lo mismo. 2
Ejemplo 5. Halla: a) (+3)1 ; b) (−7)1 ; c) (−26)1 ; d) 01 .
Resp.
a) 3; b) -7; c) -26; d) 0. 2
Ejemplo 6. Halla: a) (−3)0 ; b) (+7)0 ; c) (+26)0 ; d) 00 .
Resp.
a) 1; b) 1; c) 1; d) No existe. 2
12
¿Cómo saber el signo de una potencia de números enteros?
• Regla de potencias de base cero. Si la base de la potencia es cero y el exponente
no es cero, la potencia valdrá cero. Recuerda que la base y el exponente no pueden
ser a la vez cero porque 00 no existe.
• Regla de potencias de base positiva. Si la potencia tiene base positiva, siempre
será positiva, ya que en realidad son potencias de base natural, como las que
hemos estudiado en los temas de números naturales.
• Regla de potencias de base negativa. Si la potencia tiene base negativa, nos
fijaremos si el exponente es un número par o impar. Si el exponente es par, entonces
la potencia será positiva. Si el exponente es impar, entonces la potencia será
negativa.
Ejemplo 1. Averigua el signo de cada potencia:
a) (+9)1 ; b) (+3)6 ; c) (+4)2 ; d) (+7)3 ; e) (+6)5 ; f) 04 ; g) 00 ; h) (+2)0 .
Resp.
a) + ; b) + ; c) + ; d) + ; e) + ; f) 0; g) No existe; h) + . 2
Ejemplo 2. Averigua el signo de cada potencia:
a) (−9)1 ; b) (−3)6 ; c) (−4)2 ; d) (−7)3 ; e) (−6)5 ; f) 04 ; g) 00 ; h) (−2)0 .
Resp.
a) - ; b) + ; c) + ; d) - ; e) - ; f) 0; g) No existe; h) + . 2
Ejemplo 3. Averigua el signo de cada potencia:
a) (−6)3 ; b) (+6)3 ; c) (+4)8 ; d) (−4)8 ; e) (+5)7 ; f) (−5)7 ; g) (−3)14 .
Resp.
a) - ; b) + ; c) + ; d) + ; e) + ; f) - ; g) + . 2
Ejemplo 4. Calcula las siguientes potencias:
a) (+4)0 ; b) (+4)1 ; c) (+4)2 ; d) (+4)3 ; e) (+4)4 .
Resp.
Todas las potencias tienen base positiva, por tanto, todas serán positivas.
a) 1; b) 4; c) 16; d) 64; e) 256. 2
Ejemplo 5. Calcula las siguientes potencias:
a) (−5)0 ; b) (−5)1 ; c) (−5)2 ; d) (−5)3 ; e) (−5)4 .
Resp.
13
Todas las potencias tienen base negativa, por tanto, las que tengan exponente
par serán positivas y las que tengan exponente impar serán negativas.
a) (−5)0 = 1.
b) (−5)1 = −5.
c) (−5)2 = 52 = 25.
d) (−5)3 = −53 = −125.
e) (−5)4 = 54 = 625. 2
Ejemplo 6. Calcula las siguientes potencias:
a) (−3)0 ; b) −30 ; c) (−3)1 ; d) −31 ; e) (−3)2 ; f) −32 ; g) (−3)3 ; h) −33 .
Resp.
a) 1; b) -1; c) -3; d) -3; e) 9; f) -9; g) -27; h) -27. 2
¿Cuáles son las propiedades de las potencias de números enteros?
• Las propiedades que vimos para productos y/o divisiones de potencias de números naturales sirven exactamente igual en el caso de potencias de números enteros.
Vamos a recordarlas pero ahora para números enteros.
• Si a y b son números enteros distintos de 0 y n y m son números naturales,
entonces se cumplen las siguientes cinco propiedades:
(an )m = a(n·m) ;
an ·am = a(n+m) ;
an ·bn = (a·b)n ;
an :am = a(n−m) ;
an :bn = (a:b)n ;
(misma base)
(mismo exponente)
Ejemplo 1. Calcula las siguientes potencias:
a) [(−2)3 ]2 ; b) (+7)5 : (+7)2 ; c) (+3)3 ·(+3); d) (−4)5 : (−4)2 ;
e) (+6)4 ·(−5)4 ; f) (−10)3 :(−2)3 ; g) (−33)5 :(+11)5 ; h) (+5)2 ·(+5).
Resp.
a) [(−2)3 ]2 = (−2)(3·2) = (−2)6 = 26 = 64.
b) (+7)5 : (+7)2 = 7(5−2) = 73 = 343.
c) (+3)3 ·(+3) = 3(3+1) = 34 = 81.
d) (−4)5 : (−4)2 = (−4)(5−2) = (−4)3 = −43 = −64.
e) (+6)4 ·(−5)4 = [6·(−5)]4 = (−30)4 = 304 = 810 000.
f) (−1000)3 :(−2)3 = [(−1000) : (−2)]3 = 5003 = 125 000 000.
14
g) (−33)5 :(+11)5 = [(−33) : 11]5 = (−3)5 = −35 = 243.
h) (+5)2 ·(+5) = 5(2+1) = 53 = 125. 2
Ejemplo 2. Calcula las siguientes potencias:
a) (+9)8 : [(+9)2 ]3 ; b) (−7)12 : (−7)4 ·[(−7)5 ]2 : [(−7)4 : (−7)]3 : [(−7)2 ·(−7)5 ];
c) (−24)5 : (+12)5 ; d) (+100)4 ·(-9)4 : [(−30)4 ·(+15)4 ].
Resp.
a) (+9)8 : [(+9)2 ]3 = 9[8−2·3] = 9[8−6] = 92 = 81.
b) (−7)12 : (−7)4 ·[(−7)5 ]2 : [(−7)4 : (−7)]3 : [(−7)2 ·(−7)5 ] =
= (−7)[12−4+5·2−(4−1)·3−(2+5)] = (−7)[12−4+10−9−7] = (−7)2 = 72 = 49.
c) (−24)5 : (+12)5 = [(−24) : 12]5 = (−2)5 = −25 = −32.
d) (+100)4 ·(-9)4 : [(−30)4 ·(+15)4 ] = {100·(−9) : [(−30)·15]}4 =
= {100·(−9) : (−450)}4 = 24 = 16. 2
¿Cómo son las raíces de números enteros?
• Regla de raíces de base cero. Si la base es cero la raíz vale cero.
• Regla de raíces de base positiva. Si la base es positiva la raíz es igual que en el
caso de raíz de base natural.
• Regla de raíces de base negativa. Las raíces de base negativa no existen, porque
ningún número multiplicado por sí mismo puede dar como resultado un número
negativo.
Ejemplo 1. Calcula las siguientes raíces:
q
q
q
q
√
a) (+81) ; b) (−4); c) 0; d) (+3600); e) (−640000).
Resp.
a) 9; b) No existe; c) 0; d) 60; e) No existe. 2
Ejemplo 2. Calcula:
√
√
√
√
√
a) −25; b) − 25; c) − 1210000; d) −4900; e) − −640000.
Resp.
a) No existe; b) -5; c) -1100; d) No existe; e) No existe. 2
¿Cómo adivinar números?
• Ejemplo. Intenta resolver este acertijo: “El número que estoy pensando elevado
al cuadrado es 25, ¿qué número estoy pensando?” Si lo piensas un poco te darás
15
cuenta que la solución puede ser el 5 porque 52 = 25, pero si lo piensas un poco
más te darás cuenta que la solución también puede ser el -5, porque (−5)2 = 25.
Luego ahora, con los números enteros este acertijo tiene dos soluciones.
• Ejemplo. Intenta resolver este acertijo: “El número que estoy pensando elevado
al cuadrado es -36, ¿qué número estoy pensando?” Ahora por mucho que busques
el número no lo vas a encontrar porque ningún número multiplicado por sí mismo
da -36, ya que -36 es negativo. En efecto, 62 = (−6)2 = 36 6= −36.
• Regla. Si b es un número positivo tenemos la siguiente equivalencia:
√
a2 = b ⇐⇒ ± b = a
• Pero si b es un número negativo la anterior equivalencia no tiene sentido.
Ejemplo 1. Adivina cuánto vale x cuando sea posible:
√
√
a) (−8)2 = x; b) −169 = x; c) − 121 = x; d) x2 = 144;
√
√
e) x2 = −900; f) x = 400; g) x = −250000; h) x2 = 250000.
Resp.
a) x vale 64.
b) No existe ese x.
c) x vale -11.
d) x puede valer 12 ó -12.
e) No existe ese x.
f) x vale 160 000.
g) No existe ese x.
h) x puede valer 500 ó -500. 2
5.
Operaciones combinadas y paréntesis
¿Cómo se hacen las operaciones combinadas de números enteros?
• Las reglas de prioridad y la forma de hacer las operaciones combinadas es
exactamente la misma que en el caso de operaciones combinadas de números
naturales.
Ejemplo 1. Calcula: −5·5 + 13·(−3) + (−2)4 − 3·(9 − (−12) : 4)
Resp.
Forma 1: −25 + (−39) + 16 − 3·(9 − (−3)) = −25 − 39 + 16 − 3·12 =
16
= −25 − 39 + 16 − 36 = −84.
Forma 2: −25 − 39 + 16 − 3·(9 + 3) = −25 − 39 + 16 − 36 =
= 16 − (25 + 39 + 36) = 16 − 100 = −84. 2
Ejemplo 2. Calcula: (−7)·6 : (−2) − (−17)·3 + (−2)3 − 2·(−10 + 12 : 3)
Resp.
Forma 1: 21 − (−51) + (−8) − 2·(−6) = 21 − (−51) + (−8) − (−12) =
= 21 + 51 − 8 + 12 = 76.
Forma 2: 21 + 51 − 8 − 2·(−6) = 21 + 51 − 8 + 12 = 76. 2
¿Cómo quitamos paréntesis precedidos de + ?
• Regla. Cuando en una operación un término está formado por un paréntesis
precedido de un signo + , podemos quitar dicho signo + junto el paréntesis y nos
quedaremos con los términos de dentro del paréntesis tal cual estén.
+(a + b − c + d − e) = a + b − c + d − e
Ejemplo 1. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
+(5 − 3 − 6)
Resp.
a) +(5 − 3 − 6) = +(−4) = −4.
b) +(5 − 3 − 6) = 5 − 3 − 6 = −4. 2
Ejemplo 2. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
+(−9 + 8 + 4)
Resp.
a) +(−9 + 8 + 4) = +13 = 13.
b) +(−9 + 8 + 4) = −9 + 8 + 4 = 13. 2
¿Cómo quitamos paréntesis precedidos de - ?
• Regla. Cuando en una operación un término está formado por un paréntesis
precedido de un signo - , podemos quitar dicho signo - junto los paréntesis y nos
quedaremos con los términos de dentro del paréntesis cambiando el signo que
precede a todos los sumandos del paréntesis.
−(a + b − c + d − e) = −a − b + c − d + e
17
Ejemplo 1. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
−(7 − 4 + 5)
Resp.
a) −(7 − 4 + 5) = −8.
b) −(7 − 4 + 5) = −7 + 4 − 5 = −8. 2
Ejemplo 2. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
−(−3 + 8 − 11)
Resp.
a) −(−3 + 8 − 11) = −(−6) = 6.
b) −(−3 + 8 − 11) = 3 − 8 + 11 = 6. 2
Ejemplo 3. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
(16 − 9) − (10 − 7)
Resp.
a) (16 − 9) − (10 − 7) = 7 − 3 = 4.
b) (16 − 9) − (10 − 7) = 16 − 9 − 10 + 7 = 7 − 10 + 7 = −3 + 7 = 4. 2
Ejemplo 4. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
−(12 − 2) + (−8 + 15 + 2 − 6)
Resp.
a) −(12 − 2) + (−8 + 15 + 2 − 6) = −10 + 3 = −7.
b) −(12 − 2) + (−8 + 15 + 2 − 6) = −12 + 2 − 8 + 15 + 2 − 6 = −7. 2
Ejemplo 5. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
(6 − 12 + 2) − (−11 + 4 − 2 + 5)
Resp.
a) (6 − 12 + 2) − (−11 + 4 − 2 + 5) = −4 − (−4) = −4 + 4 = 0.
b) (6 − 12 + 2) − (−11 + 4 − 2 + 5) = 6 − 12 + 2 + 11 − 4 + 2 − 5 = 0. 2
Ejemplo 6. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
[(2 − 8) + (5 − 7)] − [(−9 + 6) − (−5 + 7)]
Resp.
a) [(2 − 8) + (5 − 7)] − [(−9 + 6) − (−5 + 7)] =
=[(−6) + (−2)] − [(−3) − (+2)] = (−8) − (−5) = −8 + 5 = −3.
b) [(2 − 8) + (5 − 7)] − [(−9 + 6) − (−5 + 7)] =
18
= [2 − 8 + 5 − 7] − [−9 + 6 + 5 − 7] = 2 − 8 + 5 − 7 + 9 − 6 − 5 + 7 = −3. 2
Ejemplo 7. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
(+9) − [(+3) − (3 − 12) − (+8)]
Resp.
a) (+9) − [(+3) − (3 − 12) − (+8)] = 9 − [3 − (−9) − 8] = 9 − [3 + 9 − 8] =
= 9 − 4 = 5.
b) (+9)−[(+3)−(3−12)−(+8)] = 9−[3−3+12−8] = 9−3+3−12+8 = 5. 2
¿Cómo quitamos paréntesis precedidos o sucedidos de · ?
• Regla (propiedad distributiva). Cuando un término de una operación está formado por el producto de un paréntesis por un número, podemos quitar dicho
signo · junto el paréntesis y nos quedaremos con el producto de cada término del
paréntesis por dicho número.
a·(−b + c − d) = −a·b + a·c − a·d = (−b + c − d)·a
• Regla (sacar factor común). Sacar factor común es hacer lo contrario a la propiedad distributiva.
−a·b + a·c − a·d + a·e = a·(−b + c − d + e)
Ejemplo 1. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
3·(8 + 5)
Resp.
a) 3·(8 + 5) = 3·13 = 39.
b) 3·(8 + 5) = 3·8 + 3·5 = 24 + 15 = 39. 2
Ejemplo 2. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
(6 − 14 + 2)·4
Resp.
a) (6 − 14 + 2)·4 = (−6)·4 = −24.
b) (6 − 14 + 2)·4 = 6·4 − 14·4 + 2·4 = 24 − 56 + 8 = −24. 2
Ejemplo 3. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
(−5)·(−7 + 16 − 3)
Resp.
19
a) (−5)·(−7 + 16 − 3) = (−5)·6 = −30.
b) (−5)·(−7 + 16 − 3) = 5·7 − 5·16 + 5·3 = 35 − 80 + 15 = −30. 2
Ejemplo 4. Calcula sin quitar el paréntesis y luego quitando el paréntesis:
(−4)·[5 + (−16) − (−3)]
Resp.
a) (−4)·[5 + (−16) − (−3)] = (−4)·[5 − 16 + 3] = (−4)·(−8) = 32.
b) (−4)·[5 + (−16) − (−3)] = −4·5 + 4·16 − 4·3 = −20 + 64 − 12 = 32. 2
Ejemplo 5. Resuelve de forma normal y luego sacando factor común:
4·3 + 4·5 − 4·6
Resp.
a) 4·3 + 4·5 − 4·6 = 12 + 20 − 24 = 8.
b) 4·3 + 4·5 − 4·6 = 4·(3 + 5 − 6) = 4·2 = 8. 2
Ejemplo 6. Resuelve de forma normal y luego sacando factor común:
(−7)·(−3) + (+2)·3 − 3·(+6) − (−5)·(−3)
Resp.
a) 7·3 + 2·3 − 3·6 − 5·3 = 21 + 6 − 18 − 15 = −6.
b) 7·3 + 2·3 − 3·6 − 5·3 = [7 + 2 − 6 − 5]·3 = (−2)·3 = −6. 2
20