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1 TALLER DE REFUERZO Y RECUPERACIÓN AREA: MATEMÁTICAS GRADO: 10° PERIODOS: I Y II DOCENTE: EBLIN MARTÍNEZ M. NOMBRES:___________________________________________CALIFICACIÓN: ______________ 1. Expresa en radianes la medida de los siguientes ángulos: a. 120º b. 270º c. 330º PROBLEMAS: 2. En un triángulo rectángulo los catetos miden 4,5 cm y 6 cm. Hallar la hipotenusa. 3. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 7.5 m y uno de sus catetos 7,2 m. hallar la medida del otro cateto. 4. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? Realizar un dibujo. 5. En el triángulo equilátero ABC de la figura, de lado 10 cm, vemos que la altura AH es un eje de simetría y, por tanto, el punto medio del lado BC es H, siendo la longitud HC igual a 5 cm. Encuentra la medida del lado AH. 6. La diagonal de un rectángulo de lados 5 cm y 12 cm es igual a la medida del lado de un cuadrado. ¿Cuánto mide la diagonal de ese cuadrado? Realizar dibujos. 7. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto: a. (1,1) b. (4,3) c. (8,6) d. (-4, 4) e. (√2, -√3) 2 8. Encuentra el valor de las razones trigonométricas para el ángulo indicado en cada triángulo: a. ½ b. 4 1 3 ¿Cuánto mide y cuánto mide 9. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo: C 7m A x 5m B 10. Un edificio proyecta una sombra de 56 metros cuando el ángulo de elevación del Sol es de 24º 11’ 23’’. Calcula la altura del edificio. 11. 12. 3 13. 14. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Encontrar las razones trigonométricas. 4 TALLER DE REFUERZO Y RECUPERACIÓN AREA: MATEMÁTICAS GRADO: 10° PERIODOS: I Y II DOCENTE: EBLIN MARTÍNEZ M. NOMBRES:___________________________________________CALIFICACIÓN: ______________ PERIODO II: SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO: SOLUCIÓN: La suma de los ángulos internos es 180º, el ángulo recto sabemos que mide 90º, por lo tanto el ángulo B será: 90º - 36º = 54º. B 12 cm c 36º A C b Para hallar el lado b, utilizamos la tangente de 36º: tan 36º = CO = 12 cm CA b De donde, b = 12 cm/ tan 36º = 16.52 cm. La hipotenusa, se puede hallar por teorema de Pitágoras ó por cualquier razón trigonométrica donde intervenga su valor: sen 36º = 12 cm/ c c = 12/sen 36º c = 20.42 cm. Perímetro: a + b + c = 12 cm + 16.52 cm + 20.42 cm = 48.94 cm Area: (base x altura)/ 2 = 99.12 cm2 Nota: Para hallar la medida de cualquier ángulo, teniendo su seno, coseno ó tangente, podemos proceder en la calculadora de la siguiente forma: Shift Tan (sen ó cos) =( ) Shift “º” = ____. Lo que equivale a encontrar el valor del ángulo mediante la función inversa sen -1, cos-1, tan-1 para ese valor. ACTIVIDAD 1. Soluciona los siguientes triángulos rectángulos: B A 25 7 c c A C 28º C b c a c ABC? c B C 5 12 a 48 A B A B C 52º A 6,5 3cm B 4 cm C C 6 85 A 80 100 D ¿Será rectángulo el triángulo 2. Calcula la medida de la diagonal de un cubo de 4 cm de arista. 3. Una escalera de 9 m de longitud se apoya sobre una pared. La escalera forma un ángulo de 54º con el suelo. Calcula la distancia entre el pie de la escalera y la pared. B 5 4. Las bases de un trapecio isósceles miden 6 cm y 4 cm. El ángulo de la base mide 60º. Calcula el área del trapecio. AT = (B1 + B2 /2) x h. 5. En una carretera para una distancia horizontal de 150 m, se ascienden 12 m. Calcula el desnivel en grados. Ángulo de elevación 6. Ángulo de depresión A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 55º. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10.89 m. Desde un punto situado 30 m arriba en un faro se observa una pequeña embarcación con un ángulo de depresión de 33º. Calcula la distancia, al pie del faro, a que se encuentra la embarcación. Desde la ventana de un edificio, a 46 m de altura, se observa un automóvil con un ángulo de depresión de 55º. Calcula la distancia que hay desde el automóvil hasta la base del edificio. A cincuenta metros de la base de un edificio se observa la base de la chimenea con un ángulo de elevación de 56º y el punto más alto de la chimenea se observa con un ángulo de elevación de 64º. Calcular la longitud de la chimenea. 7. 8. 9. 50 m 10. Desde un avión que vuela a 1860 m de altura se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 31º y desde el mismo plano, en sentido opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53º. Calcula la distancia que separa a la embarcación de la costa. TEOREMA DE SENO Y COSENO I. Resuelve cada triángulo aplicando ley del Seno de acuerdo a los valores indicados: 11. 12. 13. 14. 15. 16. b = 70 cm, < A = 30º, < C = 105º c = 60 cm, < A = 50º , < B = 75º a = 7cm, b = 6cm, A = 30º < A = 30º, B = 60º, a = 20 cm a = 10 cm, <B = 53º, c = 12 cm Dado el triángulo ABC, resuélvelo en cada caso si: a. b. c. d. e. a = 20 cm, b = 30 cm, < C = 45º b = 8cm, c = 5cm, <A = 60º a = 40 cm, c = 50 cm, <B = 120º a = 24, b = 16 cm, <C = 45º a = 21 cm, b = 24 cm, c = 27 cm 17. ¿Qué son funciones trigonométricas? ¿Cuáles son? ¿Para qué sirven? 18. Completa la siguiente tabla de las funciones Seno, Coseno y Tangente. (Grafícalas en hoja milimetrada) <º Sen Cos Tan - 360 - 330 - 300 - 270 - 240 - 210 - 180 - 150 - 120 - 90 - 60 - 45 - 30 - 15 0 6 <º Sen Cos Tan 15º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º 19. DETERMINA: i. ¿Cuál de las funciones anteriores no es continua? ¿En qué puntos esa función no está determinada y por qué? ii. ¿Para qué intervalos la función Seno crece y para qué intervalos decrece? iii. ¿Para qué intervalos la función Coseno crece y para qué intervalos decrece? iv. ¿Para qué intervalos la función Tangente crece y para qué intervalos decrece? 20. ¿Cuál es el período, amplitud y desfase de cada una de las funciones anteriores?