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Ó p t i c a ÓPTICA GEOMÉTRICA SISTEMAS DE LENTES DELGADAS 1 FORMACIÓN DE IMAGEN. LENTE CONVERGENTE s’ s F’ y y’ F f’ f ECUACIÓN DE GAUSS 1 1 1 s s' f ' Ó p t i c a Potencia lente P 1 f' (Si f ’ en metros, P en dioptrías) Aumento lateral m y' s' y s 2 TRAYECTORIA DE UN RAYO. LENTE CONVERGENTE Rayo incidente Plano focal imagen Rayo auxiliar Pasa por el centro y no se desvía Ó p t i c a F’ F f f’ Todos los rayos paralelos que inciden sobre una lente convergente con un mismo ángulo, se refractan de manera que concurren en el mismo punto del plano focal imagen. 3 FORMACIÓN DE IMAGEN. LENTE DIVERGENTE s s’ y’ y F Ó p t i c a F’ f’ ECUACIÓN DE GAUSS 1 1 1 s s' f ' f Potencia lente P 1 f' (Si f ’ en metros, P en dioptrías) Aumento lateral m y' s' y s 4 TRAYECTORIA DE UN RAYO. LENTE DIVERGENTE Plano focal imagen Rayo incidente Rayo auxiliar Pasa por el centro y no se desvía Ó p t i c a F F’ f’ f Todos los rayos paralelos que inciden sobre una lente divergente con un mismo ángulo, se refractan de manera que sus prolongaciones concurren en el mismo punto del plano focal imagen. 5 TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR Aumento angular: L f1' f 2' M f 1’ f 2’ F1 ’ F2 ’ F1 F2 h ’ f 2’ h’ F2 ’ ’ x h Sistema telescópico: el foco imagen de la primera lente coincide con el foco objeto de la segunda 6 Ó p t i c a TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR (2) ' ' h f1 f 2 h f 2' h h tg ' f1 f 2' f 2' f 2’ h h tg ' f2 x x h’ F2 ’ ’ x h h f 2' x x h f1' f 2' f 2' f 2' x x 7 Ó p t i c a TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR (3) f1' f 2' f 2' f1' f 2' f 2' f 2' x x f 2' x 1 Aumento angular: M f 2' x f1' f 2' f 2' x x f 2' 1 f1' f 2' f 2' f 2' tg f1' f 2' x '2 f2 f1' h f 2' Zona paraxial tg h h f1' '2 x f 2 h f1' '2 f2 f1' M ' h f2 f 2' f1' M ' f2 8 Ó p t i c a TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR (4) Ejemplo. Un telescopio de Galileo está formado por dos lentes delgadas, la primera ' convergente de focal f1' 100 cm (objetivo), y la segunda divergente, de focal f1 15 cm (ocular). El conjunto se monta de forma que el foco imagen del objetivo coincida con el foco objeto del ocular. Este instrumento se usa para observar un edificio distante 5 km, que se ve con un ángulo de 3.82º a traves del telescopio. ¿Cuál es su altura? y L = 5 km f1' 100 M ' 6.667 15 f2 M 0.0667 0.01 rad 6.667 3.82º tg y L 3.82 0.0667 rad 180 y L 0.01 5000 50 m 9 Ó p t i c a PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS. 1. Un sistema óptico consta de una lente convergente L1 y 41 cm a su derecha hay una lente divergente L2. Calcular la imagen de un objeto situado a 32 cm a la izquierda de la lente convergente, así como el aumento lateral del sistema. Distancias focales de las lentes: f1' 22 cm f 2' 57 cm Lente L1 1 1 1 s1 s1 f1 1 1 1 1 1 s1 f1 s1 22 32 s1 70 cm Imagen de L1: se encontrará a 70-49 = 29 cm a la derecha de L2, es decir s2 29 cm Lente L2 1 1 1 s2 s2 f 2 1 1 1 1 1 s2 f 2 s2 (57) (29) s2 59 cm 10 Ó p t i c a PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación). Aumento lateral m1 s1 70 2.19 s1 32 m2 s2 59 2.03 s2 (29) Ó p t i c a m m1 m2 2.19 2.03 4.46 Imagen real, invertida y de mayor tamaño que el objeto. (Hágase la construcción gráfica correspondiente sobre papel milimetrado) 11 PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación). 2. Un astrónomo aficionado que acaba de adquirir un telescopio refractor cuyo objetivo es ' una lente convergente de focal f 1 1000 mm y que utiliza un ocular también ' convergente de focal f 2 80 mm se encuentra observando la Luna, y a través del instrumento mide el ángulo subtendido por el satélite, que resulta ser de 6 27’ 30’’. Se pide: a) Determínese el aumento angular del telescopio, teniendo en cuenta que el foco objeto del ocular coincide con el foco imagen del objetivo. b) Si la Luna se encuentra a 385000 km de la Tierra, determínese el radio del satélite. a) Seguimos el camino de un rayo que incide sobre el centro del objetivo L1 formando un ángulo . L2 L1 f1' f2 f 2' x h’ h ’ 12 Ó p t i c a PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación). h h' tg ' f1 f 2' f 2' h f1' f 2' ' h' f 2' h h' tg x f 2' x h x f 2' h' x ' f 2'2 x ' f1 Teniendo en cuenta que para ángulos pequeños el seno tiene al ángulo, el aumento angular (cociente de ángulo de salida ’ y ángulo de entrada es: h' ' f 2' x M h ' x ' f2 ' f1' 1000 M ' 12.5 f2 80 13 Ó p t i c a PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación). b) El esquema de la observación a través del telescopio puede resumirse como sigue: R 2’ 2 L donde L = 385000 km es la distancia Tierra-Luna y R el radio (a determinar) de la Luna, y 2’ es el ángulo observado de 6 27’ 30’’. Conociendo el aumento angular del telescopio puede determinarse : 2 ' 6 27'30' ' 15'30' ' 2M 2 12.5 Véase en la figura que tg = R/L, de donde obtenemos para el radio de la Luna el valor: R L tg 385000 0.0045 1736 km 14 Ó p t i c a FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS f ' R / 2 ESPEJO CÓNCAVO Los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco ESPEJO CONVEXO f ' R / 2 O O F' F' R Los rayos que llegan pasando por el centro se reflejan sin desviación R f ' R / 2 O F' R Los rayos que llegan pasando por el foco se reflejan paralelos al eje óptico Los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan de modo que su prolongación pasa el foco f ' R / 2 Los rayos que llegan apuntando al centro se reflejan sin desviación. O F' R Los rayos que llegan apuntando al foco se reflejan paralelos al eje óptico. 15 Ó p t i c a FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS (II) Trayectoria de un rayo cualquiera Todos los rayos que inciden según una cierta dirección, se reflejan de modo que o bien los rayos reflejados o bien sus prolongaciones, pasan por el mismo punto del plano focal. La ubicación de ese punto común en el plano focal puede establecerse trazando un rayo auxiliar que no se desvía (el que pasa por o apunta al centro del espejo). Punto de concurrencia de los rayos reflejados f ' R / 2 Punto de concurrencia de las prolongaciones de los rayos reflejados f ' R / 2 O F' R F' O R 16 Ó p t i c a FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS (III) Observación. Como en todos los cálculos y diagramas se supone que nos encontramos en la zona paraxial, representaremos los espejos, sean cóncavos o convexos, como planos verticales. PLANO FOCAL DEL ESPEJO Ejemplo. Determinar la imagen de un objeto de 20 mm de altura, situado a 1.60 m de un espejo cóncavo de 80 cm de focal. ¿Cuál es el tamaño de la imagen? E Ó p t i c a 1 1 1 s s' f ' s 160 cm f ' 80 cm O 1 1 1 1 1 s' f ' s 80 160 1 3 s' 160 s ' 53,33 cm s' 10 mm 20 cm s' 53,33 m 0.33 s 160 Imagen virtual, derecha y de tamaño igual a 1/3 del tamaño del objeto. f ' 80 cm F O 17 FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS (IV) Observación. Como en todos los cálculos y diagramas se supone que nos encontramos en la zona paraxial, representaremos los espejos, sean cóncavos o convexos, como planos verticales. Ejemplo 2. Determinar la imagen de un objeto de 20 mm de altura, situado a 1.60 m de un espejo convexo de 1 m de distancia focal. ¿Cuál es el tamaño de la imagen? s 160 cm PLANO FOCAL DEL ESPEJO 1 1 1 s s' f ' E 10 mm 20 cm Ó p t i c a f ' 100 cm O 1 1 1 1 1 s' f ' s 100 160 1 6 s ' 1600 s' f ' 100 cm s' 267 cm m s' 1600 5/3 s 6 160 Imagen real, invertida y de tamaño igual a 5/3 del tamaño del objeto. O F 18 EL OJO HUMANO ACOMODACIÓN: Variación de la potencia del cristalino Ó p t i c a Ojo emétrope (visión normal) Fuente: http://retina.umh.es/Webvision/spanish/anatomia.html 19 Ojo emétrope (visión normal) Ó p t i c a DEFECTOS VISUALES: MIOPÍA e HIPERMETROPÍA Ojo miope (imagen formada delante de la retina) Ojo hipermétrope (imagen formada detrás de la retina) Corrección: lente divergente Corrección: lente convergente 20 DEFECTOS VISUALES: ASTIGMATISMO El astigmatismo aparece como consecuencia de una curvatura desigual de la córnea. Si se pasan dos planos que contengan al eje óptico a través del ojo, la potencia es diferente en uno y en otro. El resultado es que las imágenes verticales y horizontales se enfocan en distintos puntos, y esto origina una distorsión de las mismas. Por ejemplo, las columnas de un tablero de ajedrez se ven bien, y las filas se ven borrosas o distorsionadas. Corrección: lente cilíndrica -Astigmatismo simple: es el que aparece en un solo eje. -Astigmatismo compuesto: es aquel que además de afectar a un eje se asocia a miopía o hipermetropía. -Astigmatismo mixto: cuando un eje se enfoca delante de la retina (miópico) y otro detrás de la retina (hipermetrópico). Fuente: www.cristaloptica.com/astigmatismo.htm 21 Ó p t i c a ABERRACIONES ÓPTICAS. ABERRACIONES MONOCROMÁTICAS Teoría paraxial sen 3 5 7 3! Conservando los DOS primeros términos del desarrollo en serie: 5! 7! ... Ó p t i c a Teoría de tercer orden Aberración esférica Coma Cinco aberraciones primarias (aberraciones de Seidel) Astigmatismo Curvatura de campo Distorsión 22 ABERRACIÓN ESFÉRICA Ó p t i c a Foco paraxial 23 COMA Se originan por el hecho de que las superficies principales sólo son planos en la zona paraxial, y esto deforma las imágenes de objetos apartados del eje óptico del sistema. Ó p t i c a “Plano” principal 24 CURVATURA DE CAMPO Aún en ausencia de otras aberraciones anteriores, la imagen de un objeto plano normal al eje será un objeto plano sólo en la zona paraxial. Ó p t i c a 25 DISTORSIÓN Aparece cuando el aumento lateral m es una función de la distancia al eje de los puntos objeto Ó p t i c a Distorsión en cojín: Aumento en el eje óptico menor que el aumento fuera del eje Distorsión en barril: Aumento en el eje óptico mayor que el aumento fuera del eje 26