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Ó
p
t
i
c
a
ÓPTICA GEOMÉTRICA
SISTEMAS DE LENTES DELGADAS
1
FORMACIÓN DE IMAGEN. LENTE CONVERGENTE
s’
s
F’
y
y’
F
f’
f
ECUACIÓN DE GAUSS
1 1 1
 
s s' f '
Ó
p
t
i
c
a
Potencia lente
P
1
f'
(Si f ’ en
metros, P en
dioptrías)
Aumento lateral
m
y'
s'

y
s
2
TRAYECTORIA DE UN RAYO. LENTE CONVERGENTE
Rayo incidente
Plano focal imagen
Rayo auxiliar
Pasa por el centro
y no se desvía
Ó
p
t
i
c
a
F’
F
f
f’
Todos los rayos paralelos que inciden sobre una lente convergente con un mismo ángulo, se
refractan de manera que concurren en el mismo punto del plano focal imagen.
3
FORMACIÓN DE IMAGEN. LENTE DIVERGENTE
s
s’
y’
y
F
Ó
p
t
i
c
a
F’
f’
ECUACIÓN DE GAUSS
1 1 1
 
s s' f '
f
Potencia lente
P
1
f'
(Si f ’ en metros,
P en dioptrías)
Aumento lateral
m
y'
s'

y
s
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TRAYECTORIA DE UN RAYO. LENTE DIVERGENTE
Plano focal imagen
Rayo incidente
Rayo auxiliar
Pasa por el centro
y no se desvía
Ó
p
t
i
c
a
F
F’
f’
f
Todos los rayos paralelos que inciden sobre una lente divergente con un mismo ángulo, se
refractan de manera que sus prolongaciones concurren en el mismo punto del plano focal
imagen.
5
TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR
Aumento angular:
L  f1'  f 2'

M

f 1’

f 2’
F1 ’
F2 ’
F1
F2
h
’
f 2’

h’
F2 ’
’
x
h
Sistema telescópico: el foco imagen de la primera
lente coincide con el foco objeto de la segunda
6
Ó
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TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR (2)
'
'
h f1  f 2

h
f 2'
h
h
tg  '

f1  f 2'
f 2'
f 2’

h
h
tg   '

f2  x x
h’
F2 ’
’
x
h

h
f 2'
x
x
h
f1'  f 2'
f 2'

f 2'  x
x
7
Ó
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TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR (3)
f1'  f 2'
f 2'
f1'  f 2'
f 2'

f 2'  x
x

f 2'
x
1

Aumento angular: M 

f 2'
x


f1'

f 2'
f 2'  x
x
f 2'
1 
f1'

f 2'

f 2'
f 2'
tg   

f1'
f 2'
x

'2
f2
f1'
h
f 2'
Zona paraxial
tg    
h h  f1'
  
'2
x
f
2
h  f1'
'2
f2

f1'
M 
 '

h

f2
f 2'
  f1'
M  '

f2
8
Ó
p
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a
TELESCOPIO DE GALILEO. AUMENTO ANGULAR (4)
Ejemplo. Un telescopio de Galileo está formado por dos lentes delgadas, la primera
'
convergente de focal f1'  100 cm (objetivo), y la segunda divergente, de focal f1  15
cm (ocular). El conjunto se monta de forma que el foco imagen del objetivo coincida
con el foco objeto del ocular.
Este instrumento se usa para observar un edificio distante 5 km, que se ve con un
ángulo de 3.82º a traves del telescopio. ¿Cuál es su altura?

y

L = 5 km
  f1' 100
M  ' 
 6.667

15
f2


M

0.0667
 0.01 rad
6.667
   3.82º 
tg    
y
L
3.82  
 0.0667 rad
180
y    L  0.01 5000  50 m
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PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS.
1. Un sistema óptico consta de una lente convergente L1 y 41 cm a su derecha hay
una lente divergente L2.
Calcular la imagen de un objeto situado a 32 cm a la izquierda de la lente
convergente, así como el aumento lateral del sistema.
Distancias focales de las lentes: f1'  22 cm f 2'  57 cm
Lente L1
1 1 1
 
s1 s1 f1
1 1 1 1 1
   
s1 f1 s1 22 32
s1  70 cm
Imagen de L1: se encontrará a 70-49 = 29 cm a la derecha de L2, es decir s2  29 cm
Lente L2
1 1 1
 
s2 s2 f 2
1 1 1
1
1
  

s2 f 2 s2 (57) (29)
s2  59 cm
10
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PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación).
Aumento lateral
m1  
s1
70
   2.19
s1
32
m2  
s2
59

 2.03
s2
(29)
Ó
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m  m1  m2  2.19  2.03  4.46
Imagen real, invertida y de mayor tamaño que el objeto.
(Hágase la construcción gráfica correspondiente sobre papel milimetrado)
11
PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación).
2. Un astrónomo aficionado que acaba de adquirir un telescopio refractor cuyo objetivo es
'
una lente convergente de focal f 1  1000 mm y que utiliza un ocular también
'
convergente de focal f 2  80 mm se encuentra observando la Luna, y a través del
instrumento mide el ángulo subtendido por el satélite, que resulta ser de 6 27’ 30’’. Se
pide:
a) Determínese el aumento angular del telescopio, teniendo en cuenta que el foco objeto
del ocular coincide con el foco imagen del objetivo.
b) Si la Luna se encuentra a 385000 km de la Tierra, determínese el radio del satélite.
a) Seguimos el camino de un rayo que incide sobre el centro del objetivo L1 formando un
ángulo .
L2
L1
f1'
f2
f 2'

x
h’
h
’
12
Ó
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PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación).
h
h'
tg   '

f1  f 2' f 2'
h f1'  f 2' '

h'
f 2'
h
h'
tg 

x  f 2' x
h x  f 2'

h'
x
'
f 2'2
x '
f1
Teniendo en cuenta que para ángulos pequeños el seno tiene al ángulo, el aumento angular
(cociente de ángulo de salida ’ y ángulo de entrada  es:
h'
'
f 2'
x
M  

h
'

x
'
f2
 ' f1' 1000
M   ' 
 12.5
 f2
80
13
Ó
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a
PROBLEMAS ÓPTICA GEOMÉTRICA. EJEMPLOS (Continuación).
b) El esquema de la observación a través del telescopio puede resumirse como sigue:
R
2’
2
L
donde L = 385000 km es la distancia Tierra-Luna y R el radio (a determinar) de la Luna, y
2’ es el ángulo observado de 6 27’ 30’’. Conociendo el aumento angular del telescopio
puede determinarse :
2 ' 6 27'30' '


 15'30' '
2M 
2 12.5
Véase en la figura que tg  = R/L, de donde obtenemos para el radio de la Luna el valor:
R  L tg  385000  0.0045  1736 km
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Ó
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a
FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS
f ' R / 2
ESPEJO CÓNCAVO
Los rayos
que llegan
paralelos al
eje óptico se
reflejan
pasando por
el foco
ESPEJO CONVEXO
f ' R / 2
O
O
F'
F'
R
Los rayos que
llegan pasando
por el centro se
reflejan sin
desviación
R
f ' R / 2
O
F'
R
Los rayos que
llegan pasando
por el foco se
reflejan paralelos
al eje óptico
Los rayos que
llegan paralelos
al eje óptico se
reflejan de
modo que su
prolongación
pasa el foco
f ' R / 2
Los rayos que llegan
apuntando al centro se
reflejan sin desviación.
O
F'
R
Los rayos que llegan
apuntando al foco se reflejan
paralelos al eje óptico.
15
Ó
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c
a
FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS (II)
Trayectoria de un rayo cualquiera
Todos los rayos que inciden según una cierta dirección, se reflejan de modo que o bien los
rayos reflejados o bien sus prolongaciones, pasan por el mismo punto del plano focal.
La ubicación de ese punto común en el plano focal puede establecerse trazando un rayo
auxiliar que no se desvía (el que pasa por o apunta al centro del espejo).
Punto de
concurrencia de
los rayos
reflejados
f ' R / 2
Punto de
concurrencia de las
prolongaciones de
los rayos reflejados
f ' R / 2
O
F'
R
F'
O
R
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Ó
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c
a
FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS (III)
Observación. Como en todos los cálculos y diagramas se supone que nos encontramos en la
zona paraxial, representaremos los espejos, sean cóncavos o convexos, como planos verticales.
PLANO
FOCAL DEL
ESPEJO
Ejemplo. Determinar la imagen de un objeto de 20 mm
de altura, situado a 1.60 m de un espejo cóncavo de 80
cm de focal. ¿Cuál es el tamaño de la imagen?
E
Ó
p
t
i
c
a
1 1 1
 
s s' f '
s  160 cm
f '  80 cm
O
1 1 1
1
1
  

s' f ' s  80 160
1
3

s'
160
s '  53,33 cm
s'
10 mm
20 cm
s'
 53,33
m 
 0.33
s
160
Imagen virtual, derecha y de tamaño
igual a 1/3 del tamaño del objeto.
f '  80 cm
F
O
17
FORMACIÓN DE IMAGEN EN ESPEJOS ESFÉRICOS (IV)
Observación. Como en todos los cálculos y diagramas se supone que nos encontramos en la
zona paraxial, representaremos los espejos, sean cóncavos o convexos, como planos verticales.
Ejemplo 2. Determinar la imagen de un objeto de 20 mm de altura,
situado a 1.60 m de un espejo convexo de 1 m de distancia focal.
¿Cuál es el tamaño de la imagen?
s  160 cm
PLANO
FOCAL DEL
ESPEJO
1 1 1
 
s s' f '
E
10 mm
20 cm
Ó
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i
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a
f '  100 cm
O
1 1 1
1
1
  

s' f ' s 100 160
1
6

s ' 1600
s'
f '  100 cm
s' 267 cm
m
s'
1600

 5/3
s
6 160
Imagen real, invertida y de tamaño
igual a 5/3 del tamaño del objeto.
O
F
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EL OJO HUMANO
ACOMODACIÓN:
Variación de la potencia del cristalino
Ó
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t
i
c
a
Ojo emétrope (visión normal)
Fuente: http://retina.umh.es/Webvision/spanish/anatomia.html
19
Ojo emétrope (visión normal)
Ó
p
t
i
c
a
DEFECTOS VISUALES: MIOPÍA e HIPERMETROPÍA
Ojo miope (imagen formada delante de la
retina)
Ojo hipermétrope (imagen formada detrás de
la retina)
Corrección: lente divergente
Corrección: lente convergente
20
DEFECTOS VISUALES: ASTIGMATISMO
El astigmatismo aparece como consecuencia de una curvatura desigual de la córnea.
Si se pasan dos planos que contengan al eje óptico a través del ojo, la potencia es
diferente en uno y en otro. El resultado es que las imágenes verticales y horizontales
se enfocan en distintos puntos, y esto origina una distorsión de las mismas.
Por ejemplo, las columnas de un tablero de ajedrez se ven bien, y las filas se ven
borrosas o distorsionadas.
Corrección: lente cilíndrica
-Astigmatismo simple: es el que aparece en un solo eje.
-Astigmatismo compuesto: es aquel que además de afectar a un eje se asocia a miopía
o hipermetropía.
-Astigmatismo mixto: cuando un eje se enfoca delante de la retina (miópico) y otro
detrás de la retina (hipermetrópico).
Fuente: www.cristaloptica.com/astigmatismo.htm
21
Ó
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i
c
a
ABERRACIONES ÓPTICAS.
ABERRACIONES MONOCROMÁTICAS
Teoría paraxial
sen    
3 5 7
3!
Conservando los DOS primeros
términos del desarrollo en serie:

5!

7!
 ...
Ó
p
t
i
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a
Teoría de tercer orden
Aberración esférica
Coma
Cinco aberraciones primarias
(aberraciones de Seidel)
Astigmatismo
Curvatura de campo
Distorsión
22
ABERRACIÓN ESFÉRICA
Ó
p
t
i
c
a
Foco paraxial
23
COMA
Se originan por el hecho de que las superficies principales sólo son planos en la zona
paraxial, y esto deforma las imágenes de objetos apartados del eje óptico del sistema.
Ó
p
t
i
c
a
“Plano” principal
24
CURVATURA DE CAMPO
Aún en ausencia de otras aberraciones anteriores, la imagen de un objeto plano normal al
eje será un objeto plano sólo en la zona paraxial.
Ó
p
t
i
c
a
25
DISTORSIÓN
Aparece cuando el aumento lateral m es una función de la distancia al eje de los puntos
objeto
Ó
p
t
i
c
a
Distorsión en cojín:
Aumento en el eje
óptico menor que el
aumento fuera del eje
Distorsión en barril:
Aumento en el eje
óptico mayor que el
aumento fuera del eje
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