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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Corriente y resistencia Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Circuitos de corriente continua Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6.1 Introducción 6.2 Objetivo general Unidad VI 6.3 Objetivos específicos 6.4 Fuerza electromotriz 6.5 Circuito eléctrico 6.6 Circuito serie 6.7 Circuito paralelo 6.8 Circuito mixto 6.9 Conversión triangulo delta 6.10 Reglas de Kirchhoff 6.11 Circuitos RC Auto-evaluación 6.13 Solucionarlo Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6.12 Podemos Hemos estudiado comprender comoel seflujo mueven de lalascorriente cargas bajo en los la 6.1 Introducción circuitos aplicando influencia de una diferencia tan solode dos potencial, principios y como físicos los sencillos, yel los resistores de capacitores la conservación pueden de influir la carga sobre y elel de flujo la conservación de la corriente yde el movimiento la energía. de la carga. En este capitulo aprenderemos a aplicar estos principios en forma Cuando se conectan entre si resistores, capacitores y sistemática al análisis de circuitos. acumuladores u otras fuentes de energía eléctrica, El flujo cables mediante de energía. conductores, hacia yforman desdecircuitos los elementos eléctricos. del circuito nos conducen al concepto de corrientes y voltajes variables a través del tiempo, circuitos RC. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Analizar circuitos 6.2 Objetivo generaleléctricos sencillos usando la ley de ohm y las leyes de Kirchhoff, para luego establecer la variación de la carga, la diferencia de potencial y la corriente en otro tipo de circuitos como el circuito RC. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Introducir al específicos estudiante en el cálculo de la resistencia 6.3 Objetivos equivalente en circuitos serie, paralelo, en enunciar las leyes de Kirchhoff y del uso de las mismas para analizar diferentes circuitos de corriente continua. Proporcionar al estudiante el soporte teórico y práctico que lo familiarice con el proceso de convertir la energía de una fuente eléctrica (fem) a un dispositivo donde se aproveche. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Las Hay fuentes una gran devariedad energía de eléctrica fuentesque de hacen energíaque eléctrica. las cargas Un 6.4 Fuerza electromotriz acumulador se muevan en o una los batería circuitos, convierte se han lallamado energía fuentes químicadea una fem; una celda solar convierte la energía de la luz fuerza electromotriz fem (e). En realidad son fuentes de solar en no energía, unade fem; fuerza. un termo Una batería polar produce es un dispositivo una fem como que resultado gasta energía de unapara diferencia bombear de temperaturas; o impulsar unacargas, gran planta eléctrica exactamente igualcomercial como unapuede bombaquemar de aguacarbón, gasta energía gas o combustible para bombearnuclear agua hacia para unimpulsar tanque elevado un generador con mayor que producepotencial energía una fem gravitacional. o puede emplear la energía cinética del agua corriente con el mismo objeto. Llamaremos batería para representar cualquier fuente de fem (e). Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA r e Luis F Millán B Supongamos que se necesita un trabajo dW para mover una carga dq de la terminal negativa hacia la terminal positiva. La fem de la batería se define como el elemento de trabajo dW en la unidad de carga dq; e = dW / dq, por tanto la unidad de la fem es, julio / coulomb = Voltio. La palabra voltaje se utiliza para dar la diferencia de potencial en los terminales de una batería es equivalente al voltaje del circuito abierto. U. AUTONOMA DE COLOMBIA De unos alambres idealizados resistencia Un eléctrico de unasin batería o fem (e)ydeuna cd 6.5circuito Circuito eléctricoconsta resistencia que tiene una de resistencia carga R interna r un borne positivo (+) y un borne negativo (-). b c Cuando Cuando portodas una batería las corrientes pasa una corriente eléctricas,(I), esta campos, depende potenciales, del valor etcétera, circuito Rson de la fem (e),dey deun la resistencias yr r R constantes a través del tiempo, hablamos del comportamiento de corriente directa cd e a Luis F Millán B d U. AUTONOMA DE COLOMBIA b r e a Luis F Millán B c Debido Hay paso de a que corriente, se define cuandoa los la corriente como portadores de teniendo carga dirección negativa opuesta a la de (electrones) salen los electrones, de la terminal ayuda a imaginar(-)quey hay negativa soncargas atraídos positivas a la R que se mueven terminal positiva (+). haciaEnlaelterminal interior negativa de una batería, (-), o un a proceso la terminal químico que tenga menor regresa las cargas potencial. negativas La batería a la tiene unapositiva. terminal diferencia de potencial V d entre sus terminales. U. AUTONOMA DE COLOMBIA b r e a Luis F Millán B Por Supongamos tanto, lael0, que batería trabajo eAl– Irpasar – IR = I la = ediferencia /del (rneto + terminal R) Wde potencial efectuado negativo por en al esa las terminal fuerza, terminales positivo, al mandar de la el como, V = IR \ e – Ir – V = 0, carga por un circuito cerrado es e. potencial aumenta un valor batería es e por tanto pasara un flujo c V =por e –unelIr viaje cero. Cuando Si hacemos cruzamos la resistencia redondo de corriente circuito. Para siohmica la resistencia rel es cero, que comience yinterna enR,elpodemos punto potencial ahacer y calcular esar corriente sigamos disminuye corriente una delLa entonces, I = ecantidad /que R, alrededor y, el eIr=potencial Ve IR. uso del lahecho R circuito. caída deestapotencial implica una eléctrico relacionado con una disminución de la energía de las fuerza conservativa. cargas. Esta energía se convierte en energía térmica en el resistor. El cambio neto del potencial, al pasar d por todo el circuito, es cero U. AUTONOMA DE COLOMBIA Un circuito de una espira consiste en un trayecto cerrado - Ir - IR = 0 e V de la corriente, y lo representaremos de manera lineal. La fem de la Definimos el batería potencial se definió cero arbitrariamente, como el elemento en de el punto no hay cambio potencial en un alambre energíaa, dW en la unidadde de carga dq, igual a e, ideal conductor no Al hay pasar nocambio hay la corriente corriente cambio de potencial depor ladel un resistencia alambre entonces, alComo atravesar la la femen terminal ideal interna conductor. r en se pierde un alambre un gana potencial eléctrico negativo alpotencial terminal positivo se un potencial ideal de -Ir conductor al llegar eléctrico de e. Alla corriente recorrer alla punto corriente a el la resistencia pierde potencial de carga es R se cero unnuevamente. potencial eléctrico de -IR b Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA c d a -3 A*1000 Cuando Tenemos cerramos un circuito el interruptor eléctrico el amperímetro que consta que demide un El voltaje en la resistencia R es: V = IR = 20 W Ejemplo 6.1 interruptor, la intensidaduna de la batería corriente V = de 20 voltios 30 eléctrica voltios marca con 20 resistencia mA (20 -3A). ¿Calcule mili-amperios = 20 la resistencia rde y interna El voltaje r, en unala resistencia rR es: de Vr =1000 Ir = 20 W,-3 Ainterna cables *500 W conexión, la diferencia undeamperímetro potencial Vr =10 en la Avoltios resistencia colocado en R yserie r? con la resistencia y un SV = 0R \ e –voltímetro Vr – V = V. 30 V – 20 V – 10 V = 0 V R e – Ir – IR = 0, entonces, r = (e – IR)/I r = 500 W e Luis F Millán B r r U. AUTONOMA DE COLOMBIA A Ejemplo 6.2 R e2 +e2 – e1 – Ir – IR = 0 e1 r Se tiene el circuito de la figura si e1 = 10 V, e2 = 20 V, r = 100 W, R = 500 W ¿cuál es la corriente que atraviesa el circuito?. e2 - e1 – I(r + R) = 0, entonces, I = e2 - e1 / (r + R) I = 16.67mA = 16.67-3 A . En el sentido antihorario. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Se La corriente tiene unexperimentalmente sistema que circula de cuatro por cada que resistencias resistencia a medida colocadas que es laaumenta misma en 6.6observa Circuito serie la independiente la de diferencia su valor. de potencial un aumenta voltímetro de para una en serieresistencia con una batería (e). SeColocamos coloca un amperímetro manera paralelo proporcional la resistencia parasuma medir dela circula diferencia los voltajes medir la con intensidad de yla la corriente que por de el potencial individuales circuito. (V). es igual al voltaje de entrada (e ). e = V1 + V2 + V3 + V4 V1 V2 V3 V4 R1 R2 R3 R4 I Luis F Millán B e U. AUTONOMA DE COLOMBIA A Conclusiones En En un un circuito cerrado en serielalasuma corriente de los es potenciales idéntica en es cero. cada resistencia, es decir, la corriente I es constante. SV = 0 \ Se – V1 – V2 – ...... – Vi – .... – Vn = 0 Se = V1 + V2 + ........ + Vi + ....... + Vn Como V = I * R, Entonces, IRe = IR1 + IR2 + IR3 +....+ IRi + ..... + IRn IRe = I(R1 + R2 + R3 +....+ Ri + ..... + Rn) Re = (R1 + R2 + R3 +....+ Ri + ..... + Rn) Re = SRi Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 6.3 V1 = I R 1= 2.86 V2 =VI R2=V4.29 3 = IV R3= 5.71 V4V= I R4= 7.14 V V1 V2 V3 V4 R1 I I=e R2 R3 R4 Re = SRi = 700 W; / Re = 28.57 mA = 28.57-3 A e A En la figura e = 20 V, R1= 100 W , R2 = 150 W , R3 = 200 W , R4 = 250 W.¿cuál la intensidad de corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia? SV = 0 \ e – V1 – V2 – V3 – Vn = 0, entonces, 20 V – 2.86 V – 4.29 V –5.71-7.14 V = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Se un sistema Cuando El resistencias Colocamos extremo se cierra unizquierdo en amperímetro paralelo el interruptor de ycada (A) una 6.7 tiene Circuito paralelode tres comienza resistencia en serie, en a esta cada fluir sección al corriente mismo del fem e (batería), un interruptor y cables de conexión. eléctrica potencialy(I)eléctrico circuito a través así medimos ydel el circuito. extremo la R3 derecho esintensidad respectiva también(I) una de superficieeléctrica. corriente equipotencial, por tanto cada resistencia tiene R2 idéntica diferencia de potencial. V1 = V2 = V3 = e R1 e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA R3 A3 It = I 1 + I 2 + I 3 A2 A4 A1 A R2 I4 = I 2 + I 3 R1 It = I 1 + I 4 Como: e = V1 = V2 = V3, e I=V/R e/Re = V1/R1 + V2/R2 + V3/R3 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Conclusiones Para un sistema de resistencias en paralelo el voltaje en V1 = V2 = ................. = independientemente VI = .............. = Vn del cada resistencia es el mismo valor de esta. Para 1/R un circuito resistencias en paralelo el reciproco e = 1/R1 de + 1/R 2 + 1/R3 +.....+1/R i +...... + 1/Rn de la resistencia equivalente es igual a la suma de los 1/R S 1/R i de ellas recíprocos dee = cada uno La corriente total es igual a la suma de las corrientes I = I1 + I2 + I3 + ...... + Ii + .... + In = SI individuales que circula por cada una de las resistencias. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 6.4 e = 10 V, R1= 200 W, En la figura R3 R2 = 300 W, R3 = 600 W, ¿cuál es la resistencia equivalente? ¿cuál la I3 = V3/R3 = 16.67 mA intensidad de corriente en cada R2 resistencia? I2 = V2/R2 = 33.33 mA La resistencia equivalente es: R1 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 I1 = V1/R1 = 50 mA 1/Re = 1/ (0.01 W), entonces, Re = 100 W e -3 A. estos La e yIt las = eresistencias /R = 10V/100 están W. Ien t = paralelo, 100 mA =por 100tanto, cuatro elementos se–encuentran al mismo S I = 0. 100 m A 50 m A – 33.33 mA potencial. – 16.67 mA = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Se el circuito 6.8 Circuito mixto En ira el reduciendo siguiente circuito si lahasta e =encontrar 30 V y laR resistencia = 100 W. equivalente, con esta laequivalente, corriente total. Luego ynos ¿Encuentre lay resistencia la corriente la devolvemos vamos hallando corrientes y los voltajes diferencia deypotencial en cada las resistencia?. 18R en cada resistencia. R/2 9R R/2 3R 4R 4R 4R e Luis F Millán B R U. AUTONOMA DE COLOMBIA 18R R/2 9R R/2 3R 4R 4R 4R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA R 1/R10 = 1/(18R) + 1/(9R) + /(3R) 1/R10 = 1/(2R) R/2 R/2 R102R = 2R 1/R11 = 1/(4R) + 1/(4R) 1/R11 = 2/(4R) 4R R112R = 2R R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA R12 = R/2 + 2R + R/2 R123R= 3R R13 = 2R + 4R R136R = 6R R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 1/R14 = 1/(3R) + 1/(6R) 1/R14 = 3/(6R) R142R = 2R R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA R = 2R + R 3R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ahora, nosSientonces regresamos encontrando el Wvoltaje y la Si e = 30V, It =entonces, V/R = 0.1RAmperio R = 100, W, e = 300 corriente en cada resistencia. 300 W It = 0.1 A 30 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 20 V 300W 0.066A En un nudo la S I = 0 V/300 0.066 A=A0 I0.1A = 20–V/600 W–=0.066A 0.0333 0.033A 0.0333 A It = 0.1 A Luis F Millán B 20 V 600W 10 V 30 V 100 W U. AUTONOMA DE COLOMBIA V = 0.0666 A * 50 W = 3.33 V V = 0.066613.32V A * 200 W =3.33V 13.32 V 3.33V 50 W 200 W 50 W La SV = 0. \6.66V V = 0.0333A*200W = 3.33 V + 13.32 V + 3.33 4000W V - 13.32 V - 6.66 V = 0 V= 0.0333A* = 13.32V 0.066A 0.0333 A 6.66 V 13.32 V 400 W 200 W La SV = 0. \ 30V - 6.66 V - 13.32 V – 10 V = 0 It = 0.1 A 10 V 30V 100 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 0.066A 3.33V 0.066A 50W 0.0333 A 13.32V 0.0074A 1800W 13.32V 0.0148A 900W 13.32V 0.0444A 300W 6.66V 0.0167A 400W 6.66V 0.0167A 400W It = 0.1 A 30V Luis F Millán B 3.33V 0.066A 50W 13.32V 0.0333A 400W 10V 0.1A 100W U. AUTONOMA DE COLOMBIA Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA El valor Se tiene puedeun derealizar sistema una triangulo resistencia una de resistencias conversión adicional ende es forma triangulo igualdealtriangulo, producto a delta 6.9 Conversión delta colocando de estas lasnoresistencias se resistencias encuentran adyacentes ni adicionales. en seriedividido ni en paralelo. la suma de las resistencias que conforman el triangulo. Ra = R1 * R2 / (R1 + R2 + R3) Rb = R1 * R3 / (R1 + R2 + R3) Rc = R2 * R3 / (R1 + R2 + R3) Ra R2 R1 Rc Rb R3 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 6.5 de la figura, si R es 50W y la fem (e) es En el circuito 18.5 voltios ¿Encuentre la resistencia equivalente, el voltaje y la corriente en cada resistencia? 4R R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6R*4R / (6R+4R+2R) = R 4R*2R 6R*2R 2R 2R/3 4R Hacemos la conversión triangulo delta. R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 2R/3 + 2R = 8R/3 8R/3 2R + 4R = 6R 6R R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 1/R = 1/(8R/3) + 1/(6R) 1/R = 3/(8R) + 1/(6R) 1/R = 13/(24R) 24R/13 R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA R + 24R/13 = 37R/13 37R/13 R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 1/R = 1/(37R/13) + 1/R 1/R = 13/(37R) + 1/R 1/R = 50/37R 37R/50 e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Si R es 50W, entonces la resistencia equivalente del circuito es: Re = 37*50W/ 50 = 37W 37W 18.5V 0.500A SiItla= fem (e)/ 37W es de=18.5 voltios 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA I2 = V / R = 18.5V/ 142.31W = 0.130A 0.130A 18.5V 142.31W SI = 0 \ It – I1- I2 = 0 0.500A – 0.370A 0.130A = 0 I1 = V / R = 18.5V / 50W =–0.370A 0.370A 0.500A 18.5V 50 W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA SV==I *0 R \=6.5V +12.0V - 18.5V =0 V 0.130A*92.31W = 12.0V 12.0V 0.130A 92.31W V = I * R = 0.130*50W = 6.50V 0.370A 0.500A 18.5V 50 W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA SI = 0 \ I2 – I3 – I4 = 0 0.130A – 0.090A – 0.040A = 0 12.0V I4 = 0.090A 133.33W 0.130A I43 = V / R = 12V / 133.33W 300W I3 = 0.040A 0.370A 0.500A 18.5V 50W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 12.0V 300W V R =3V 0.040A*200W 0.090A*33.33W 0.090A*100W 0.040A*100W 8V 9V 4V 3V0 = 0 SV==I *0 \ 6.5V + 4V + 8V –= 18.5V + 9V – 8V – =4V = 0.090A 0.130A 0.040A 0.370A 0.500A 18.5V 50W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA SV SV===000\\ \ SV 6.5V3V 3V + 4V –V 6.5V == 0= + V–+ –V4V 00 V== =10.5V 9.5V V 1V V 1V 0.040A 0.370A 0.500A 18.5V 50W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 1V 0.040A 0.370A 0.500A 18.5V 50W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA I765 = V / R I765 = 1V 10.5V 9.5W / 200W / /100V 300W I765 = 0.005A 0.035A 0.095A 1V 200W 0.005A 0.040A 0.370A 0.500A 18.5V 50W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 1V 200W 0.005A 0.040A 0.370A 0.500A 18.5V 50W 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Gustav Kirchhoff 1824 - 1887. Físico Alemán realizo investigaciones importantes en los campos de la electricidad, de la galvanometria, de la elasticidad y de la dilatación de los cuerpos. Invento el espectroscopio y descubrió los elementos cesio y rubidio (1861). Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA I) sumadede las corrientes que entran a una unión 6.10La Reglas Kirchhoff debe ser es igual a la suma de las corrientes que salen de la misma unión. Esta regla es un enunciado de la conservación de la carga. Toda la corriente que entra a un punto dado en un circuito debe salir de ese punto 1 I4 acumularse en un debido a que Ila carga no debe I2 punto. I3 I5 SI = 0: I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Si seLa II) recorre sumaunalgebraica resistor endelalos dirección cambios dede la corriente, potencial el a cambio través del de potencial todos los a través elementos del resistor alrededor es -IR de cualquier lazo de un circuito cerrado debe ser cero. Esta regla surge de la conservación de la energía. Una carga que empieza a moverse por cerrado en un I cualquier lazo -I R circuito llegando al Ipunto de donde empezó debe R energía como la que pierde si se define un ganar-Itanta cada punto circuito.opuesta a la Si sepotencial recorre para un resistor en en la el dirección corriente, el cambio del potencial a través del resistor es +IR I +I R I +I R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Si una fem se atraviesa del borne negativo (-) al borne positivo (+) en las terminales el cambio de potencial es +e. a b +e Ya que pasamos de un potencial menor (-) a un potencial mayor (+). Vb > Va. e = Vb - Va Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Si una fem se atraviesa del borne positivo (+) al borne negativo (-) en las terminales el cambio de potencial es -e. a b -e Ya que pasamos de un potencial mayor (+) a un potencial menor (-). Vb > Va. -e = Va - Vb Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA R e2 +e2 – e1 – Ir – IR = 0 e1 r SV = 0 : +e2 – e1 – Ir – IR = 0 ,o, SV = 0 : – e2 + IR + Ir + e1 = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Método Ejemplo 6.6 I: vamos a considerar dos lazos y un nudo. R 2R R 3R 3R e1 e2 5R 4R Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V, e2 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada Luis F Millán B resistencia. U. AUTONOMA DE COLOMBIA Tomamos la corriente del lazo derecho en el sentido horario y la del lazo izquierdo en sentido antihorario. R 2R R 3R 3R e1 e2 I3 4R Luis F Millán B I1 I2 5R U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ecuación parapara la corriente, en una la unión la=0SI Ecuación el lazo izquierdo derecho laSV SV= 0 =0 -RI2 -2RI1 -3RI3 -RI1 +e 1 -3RI3 (1) I3 = I1 + I2 -3RI2 +e 2 +e 1 I3 -4RI1 I1 I2 -5RI2 (2) -I1(2R+R+4R) + e1-3RI3 = 0 (3) -I2(R+3R+5R) - 3RI3 + e2 + e1 = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Resolviendo I1 = 0.0135A -20I1 -30I3 -10I1 5V I2 = 0.1216A I3 = 0.1351A (1) I3 = I1 + I2 -10I2 -30I3 -30I2 5V 10V I3 -40I1 I1 I2 -50I2 (2) -(2) I1(20+10+40) - 70I1 + 5 -+30I 5 -3 = 30I 03 = 0 (3) -(3) I2(10+30+50) - 90I2 - 30I-3 30I + 103 + 510=+05 = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Método Ejemplo 6.7 II: vamos a considerar dos mallas. R 2R R 3R 3R e1 e2 5R 4R Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V, e1 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Se incluyepara el latermino –3RI ba, por que la antihorario corriente Ecuación Ecuación para la malla mallaizquierda derecha en ensentido sentido horario la Ilaba recorre la resistencia 3R en el==mismo sentido de Iba SV SV 00 -RIb -2RIa -3RIa -3RIb -3RIb +e 1 +e 1 +e2 -RIa -4RIa -5RIb (1)(1) –2RI – Iaa(2R+R+4R+3R) – RIa – 4RIa – 3RI + ae+1 –e13RI – Ib3R = 0= 0 (2)(2) – RI – bIb–(R+3R+5R+3R) 3RIb – 5RIb – 3RI + be+ 2 +ee 2 1+–e I1a3R= – 3R0= 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Resolviendo Ia = 0.0135A -20Ia -30Ia -10Ia +5V -10Ib Ib = 0.1216A -30Ib -30Ib Ic = Ia + Ib Ic = 0.1351A +5V +10V Ic -40Ia Ia Ib -50Ib (1) – I(1) a(20+10+40+30) 5Vb–=I0b30 = 0 – 100Ia + 5V –+30I – 120Ib + 10V++10V 5V –+30I (2) – I(2) b(10+30+50+30) 5Va=– 030Ia= 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 6.8 I1 I2 Rx ½A e1 C R El circuito de la figura se ha conectado durante largo tiempo, si R es 5 W, la e1 = 5 V, e2 = 10 V, Ix = 0.5 A y el capacitor C es de 2 mF ¿cuál es la diferencia de potencial en el capacitor y como es su polaridad? Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA I1 I2 Rx ½A e1 C R Como el circuito se ha conectado durante largo tiempo la rama del capacitor en abierto, Ecuación nudo S I = 0 por tanto, por I1esta = I2en + el Icircuito x= I2 + :0.5 la resistencia R no circula corriente. Tomaremos arbitrariamente el sentido de la corriente como aparece a continuación. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Rx Rx ½A ½A Ecuación para el lazo e1 izquierdo ene1sentido antihorario. I1 = I2 + 0.5 Ecuación para el lazo derecho en sentido antihorario. - 4RI2 - I22R + 0.5Rx - e1 = 0 +e1 – 0.5Rx + e2 – 2RI1 – 6RI1 = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 5V Rx Rx ½A ½A 5V I1 = I2 + 0.5 15x +– 10V 0.5R–x 10I – 40I = 01 = 0 5V – 0.5R 1 –1 30I La ecuación para el lazo izquierdo en sentido antihorario La ecuación– para el lazo derecho 20I20.5R – 10I x 2–+ 5es: 0.5R – 30Ix 2–en =5Vsentido 0 = 0 horario es: Resolviendo I1 = 0.357 A ; I2 = – 0.143 A ; Rx = 1.44 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA I1 I2 Rx ½A e1 C R La corriente I1 es de signo positivo circula en el sentido que asumimos antihorario, la corriente I2 (lazo derecho) tiene signo negativo significa que va en sentido contrario al que colocamos sentido horario. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA ½A 0.72V 1.44W 5V 2mF 0V 5W VV V V ===0, =\ 0.357A* V 0.143A* 0.143A*10W 0.357A*10W ½A* =\ *10.71V 30W 20W 5W ===–0V 0.72V 10.71V 1.43V 3.57V En EnEn un unun lazo lazo lazo SV= S SV= V= 0, 0, \ –0A 10V 1.43V –1.44W + 5V – =2.86V +2.86V 3.57V 2.86V + 5V –+10.71V –V0.72V c = 0, ==00 entonces, Vc = 7.85V ; Q = V*C = 7.85V * 2mF = 15.7mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6.11 Circuitos RC El circuito de la figura se compone de una resistencia R, un capacitor 00V C e Luis F Millán B R C, una fem e, un interruptor y cables de conexión. Para t < 0, el Vc = VR = 0, colocamos un voltímetro en el capacitor, otro en la resistencia y cerramos el interruptor. U. AUTONOMA DE COLOMBIA Se cierra el interruptor y el capacitor empieza a cargarse. Para t = 0, la corriente inicial, 00V C 50V R Io = e / R, la diferencia de potencial en la resistencia es igual al voltaje de la fem VR = e y el voltaje en el capacitor es cero VC = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 10V 20 30 40 C 50V R ALa medida queinicial el tiempo capacitor corriente en ella Para cualquier secarga cargaen el voltaje en elel momento que se cierra el capacitor capacitor aumentando interruptor es estava dada por: hasta llegar un valor (-t/(Rc)) e a/ eR. Q =Io C=e(1) máximo e, y ely Al transcurrir el = tiempo Al cerrardeelVc interruptor voltaje enque la resistencia va a el medida el capacitor capacitor inicialmente disminuyendo hasta llegar se carga la corriente en el descargado empieza aalmacenar cero. va El diminuyendo voltaje el circuito carga en hasta capacitor hasta hacerse cero llegar a una es: cargay dada por: ) de: Vviene C =máxima e (1 - e(-t/(Rc)) mientras el* voltaje en C. I =Qque I=o ee(-t/(Rc)) la resistencia es VR: VR = e e(-t/(Rc)) Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Cargado el capacitor en un tiempo t, la corriente es I = 0, la diferencia de potencial en el capacitor es igual al voltaje de la 50V C 50V Luis F Millán B R fem VC = e, el voltaje en la resistencia es, VR = 0 y la carga total es Q=e*C Desconectamos la fuente y descargamos el capacitor a través de la resistencia. U. AUTONOMA DE COLOMBIA 50V C R Luis F Millán B Para un tiempo t = 0, el voltaje en la resistencia es cero VR = 0 y el voltaje en el capacitor es igual a la fem Vc = e. U. AUTONOMA DE COLOMBIA A medida que el capacitor se esta descargando el voltaje viene dado por 40V 30 VC = ee(-t/(Rc)), mientras que el voltaje en la resistencia VR es: C R VR = e (1 - e(-t/(Rc))). La carga en el capacitor: Q = C e e(-t/(Rc)). Y la corriente es: I = - Io e(-t/(Rc)) Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 20V 10 00 C R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 6.9 C e Luis F Millán B En el circuito de la figura se tiene una resistencia R, un capacitor C de 10 mF , una batería e de 15 V, un interruptor y cables de conexión. Al cerrar el interruptor y transcurridos 5 R segundos se observa que la diferencia de potencial en el capacitor es 5 V. a)¿cuál es el valor de la resistencia? b)¿qué carga tiene el capacitor? c) ¿cuál es la corriente ? d)¿cuál es el voltaje en la resistencia?. U. AUTONOMA DE COLOMBIA a) El voltaje en el C es 5V Vc = e (1 – e(-t/(Rc))) Vc/e = 1 – e(-t/(Rc)) C e(-t/(Rc)) = 1 – Vc/e 15V R -t/(RC) = Ln(1 – Vc/e) R = -(t/C) / Ln(1 – Vc/e) R = 61657.9 W. b)Q = Ce (1 – e(-t/(Rc))) d) Como el voltaje en la R es Q = 1000 mC VR = e * e(-t/(Rc)) VR = 10 V c)I = (e/R)* e(-t/(Rc)) I(5 s) = 0.162 mA Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6.12 Auto-evaluación Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA a) ¿Cual 6.1 es la corriente en una resistencia de 10 W Ejercicio conectado a una batería que tiene una resistencia interna de 1 W si el voltaje de la batería (Va – Vb = V) es de 15 V?. b) ¿cual es la fem de la batería? R) a) I = 1.5 A Luis F Millán B b) Vab = 16.5 V U. AUTONOMA DE COLOMBIA Una batería Ejercicio 6.2tiene una fem de 10 V. El voltaje terminal de la batería es de 12 V cuando esta entrega 20 watios de potencia a una resistencia externa R.¿cuál es el valor de la resistencia interna r y de la resistencia externa R? R) Luis F Millán B r = 1.0 W y R=5W U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejercicio 6.3 a 2W 3W 1W 6W 4W 2W b 2W 4W En la figura encuentre a) La resistencia equivalente entre a y b. b) Si por la resistencia de 4 W circula 0.5 A. ¿cual es la diferencia de potencial entre a y b?. R) Luis F Millán B Re = 3.5 W Vab = 14 V U. AUTONOMA DE COLOMBIA Cuando dos Ejercicio 6.4 resistores se conectan en serie con una batería, se disipan 225 W con una corriente total de 5 A. Para la misma corriente total, se disipan 50 W cuando los resistores se conectan en paralelo. Determine los valores de los resistores. R) Luis F Millán B R1 = 6 W y R2 = 3 W U. AUTONOMA DE COLOMBIA La corriente Ejercicio 6.5 en un circuito se triplica conectando un resistor de 500 W en paralelo con la resistencia del circuito. Determine la resistencia del circuito en ausencia del resistor de 500 W? R) Luis F Millán B R = 1000 W U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejercicio 6.6 1W 2W 2W 4V 2W Calcule la potencia disipada en cada resistor en el circuito de la figura. R) P(e) = 4W ; P(2W) = 2W; P(2W) = 0.5W; P(2W) = 0.5W ; P(1W) = 1W P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 2W Ejercicio 6.7 a 7V 3W b 6W 3W 2W 1W En la figura encuentre la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejercicio 6.8 1W 3V 3W 2W 6W 2V En la figura encuentre la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6V Ejercicio 6.9 2W 1W 4W 4 mF Luis F Millán B 3V Para el circuito mostrado en la figura, calcule la corriente que circula en cada resistencia y la carga en el capacitor. 1W U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6V Ejercicio 6.10 2W 2.14A Rx 4W 4 mF Luis F Millán B 3V En la figura el circuito esta conectado durante un largo tiempo. Encuentre la resistencia Rx y la carga en el capacitor. 1W U. AUTONOMA DE COLOMBIA Un capacitor Ejercicio 6.11completamente cargado almacena 10 Julios de energía. Cuanta energía queda cuando su carga se ha reducido a la mitad de su valor original. R) U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA En el circuito Ejercicio 6.12 de la figura, a) Calcule la constante a)de tiempo. t = RC = 100 b) s Para 50 segundos b)después que mC se cierra el Q = 1180.41 100 mF 30 V interruptor cual la carga I =es 18.2 mA , la corriente, el voltaje en capacitor y en la Vc =el11.8 V 1 MW resistencia. V c)R Cual es V la carga cuando = 18.20 se carga completamente el capacitor. d) C) Q = 3000 mC Cual es laD)carga, la corriente, Q = 1819.6 mC el voltaje en el capacitor y enmA la resistencia 50 I = 18.2 segundo después que V el capacitor se Vc = 18.20 comienza a Vdescargar R = 11.8 Va través de la resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejercicio 6.13 a b R1 C V R2 Luis F Millán B R3 En el circuito de la figura, R1 = 10 W, R2 = 20 W, R) e = 20 V, R3 = 30 W, 9.73 V C a) = V5c(100 mF. ms) a) =Para 100 ms I(100 ms) A después que= 0.342 se lleva el Q (100ms) 48.65 el mCvoltaje interruptor a a= ¿cuál (100 ms) =la10.26 V y la enb)elVccapacitor, carga Q (100 ms) = 51.3 corriente? b) 100 msmCdespués ms) = 0.342 A a b. queI(100 se lleva el -interruptor ¿cuál el voltaje en el capacitor, la carga y la corriente? U. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejercicio 6.14de la figura se ha El circuito conectado durante largo tiempo. ¿cuál es la diferencia de potencial en el capacitor y que carga tiene? 1W 3W 1mF 5V 7W R) Luis F Millán B Vc = ½ V y Q = 0.5 1mC U. AUTONOMA DE COLOMBIA 4W 6.13 Solucionario Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.1 a) Va – Vb = Vab = I*R 15 V = I * 10 W \ I = 1.5 A b 1W e 10 W e – I*r – I*R = 0 e = I*r + I*R \ e = I*(r +R) e = 16.5 V e – I*r = Vab e = I*r + V = 16.5 V Vab e Vab = e – Ir = 16.5 V – 1.5 V = 15 V b) a Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.2 Vab = 10 V = VR b r 12 V a Luis F Millán B R P = I * Vab = Vab2 / R \ R = Vab2 / P R = 5 W I = Vab / R = 2.0 A ahora Vab = e - Vr I * r = e – Vab \ r = (e – Vab) / I r = 1.0 W e–I*r–I*R=0 Prueba 12 V – 2 A * (1 W + 5 W) = 0 U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.3 a 2W 3W 2W 6W 2W Luis F Millán B 3W 1.5W 3.5W 1W 4W 3W 2W 1W 4W U. AUTONOMA DE COLOMBIA b 3W 1W a 2W 6W 4W 2W b 2W 4W La resistencia equivalente la rama0.5 de arriba y abajo es Por la resistencia de 4 Wen circula A, entonces, la 3 W, la diferencia de potencial en tres cadaresistencias rama es 6 V,espor diferencia de potencial en estas la tanto, corriente es: I =por2 tanto, A+2A A mismalapor estar entotal paralelo, V == 4I*R V = 0.5A*4 W V = 2 V. La corriente que circula por la resistencia de 2 W es de 4 A, V =resistencias 4 A * 2 W =de8 abajo V La entonces, Re en las tres es 1 W; por tanto, la corriente y el voltaje en la rama de abajo es: I = V/R La diferencia de potencial Vab = 8 V + 6 V = 14 V. I = 2 V/1 W = 2 A, y, V = 2 A*(2 W + 1 W ) = 6 V. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.4 P = I * V = I * (I * R) = I2 * R Ps = I2 * (R1 + R2) 225 W = (5A)2 * (R1 + R2) \ 9 = R1 + R2 Pp = I2 (R1 * R2) / (R1 + R2) 50 W = (5A)2 * (R1 * R2) / (R1 + R2) \ 2 = (R1 * R2) / (R1 + R2), como, R1 = 9 - R2 2 = (9 - R2) * R2 / ((9 - R2) + R2) = (9 - R2) * R2 / 9 18 = 9R2 – R22 R22 – 9R2 + 18 = 0 \R1 = 6 W, y, R2 = 3 W Ps = (5 A)2 * 9 W = 225 W Pp = (5 A)2 * 2 W = 50 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.5Para el circuito sencillo la batería y la resistencia 1) e = I * R Para el circuito en paralelo de R y 500 W es 2) e = 3I * (R * 500 W / (R + 500 W)), dividiendo 1 en 2 1 = (R/3) * (R +500 W) / (R * 500 W), 1500 = 500 + R R = 1000 W prueba si I = 1A 1) e = 1 A * 1000 W = 1000 V 2) e = 3(1 A) * (1000 W * 500 W / (1000 W + 500 W)) e = 1000 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.6 1W 2W 2W 2W 1W 1W 2W 4W Luis F Millán B 4V ) e=4V/ I*=I= 4V * 1A = 4W I = V /P(ReP( = )e=*e4W =1A 4V * 1A = 4W P(e) 2 2 P(2W) = I = *I2 R*=R(1A) *2 2W = =2W2W P(2W) = (1A) * 2W = e * I==I4V = 4W2 * 2W =P(4W) 2 * *R1A P(2W) = (0.5A) 2 * R = (1A)2 * 1W =0.5W P(1W) = I 1W 2 2 2 2 =P(2W) I * R==I (1A) * 4W = 4W P(e) * R = (0.5A) * 2W = 0.5W 2 2 P(1W) 2= I * R = (1A) * 1W = 1W = 20 * 1W = 1W 4 V P(1W) = I *-RP(4W) = (1A) P(e) - P(2W) - P(1W) - P(1W) = 0 P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0 4V U. AUTONOMA DE COLOMBIA 2W S 6.7 a 7V 1.5 3 WW b I = 7V / (2 W6 + W 1.5 W) = 2A Vab =3VW(1.5 W) = 2 A * 1.5 W = 3V 2W V (2 W) = 2A * 2 W = 4 V 61 W Vab = VV(3 (1.5W)W)= =0.5A V (6*W) W) = 3 V 3 W= =V(3 1.5V I (3W)W)= =0.5A 3 V */ 31 W V(1 W= = 1A 0.5V I (6W) W)==0.5A 3 V /*62WW==0.5A V(2 1.0V I (6 W) = 3V / 6W = 0.5A SI(a) = 2A – 1A – 0.5A – 0.5A = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.8 1W I4 3V I1 + I2 = I3 2W I5 3W 2W 6W 3W I3 I2 I1 4V +3V – 1W*I1 – 2W *I3 = 0 3 – I1 – 2I3 = 0 +4 – 2W * I2 – 2W *I3 = 0 4 – 2 I2 – 2W *I3 = 0 2 – I2 – I3 = 0 V(3W) = V(6W) = V(2W) = 2.5V, Resolviendo entonces I1 = 0.5A, I2 = 0.75A, I3 = 1.25A I4 (3W) = 2.5V / 3W = 0.83 A La diferencia de potencial I5(6W) = 2.5V / 6W = 0.42 A \ V(2W) = 1.25A * 2W = 2.5 V I3 = 0.83A + 0.42A = 1.25A Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 6V S 2W 6.9 I3 1W 3V 4W 4 mF 1W 1) I3 = I1 + I2 -1W* I3 + 6V - 2W* I2 = 0 I2 2) - I3 + 6 - 2 I2 = 0 -1W* I3 + 3V - 4W* I1 = 0 I1 3) - I3 + 3 - 4 I1 = 0 Resolviendo I1 = 0.214 A, I2 = 1.93 A, I3 = 2.14 A V(4W) = 0.214A * 4W = 0.856 V 3V- 0.856 V – V(1W) = 0V(1W) = 2.14V 6V - 2W* 1.93A – V(1W) = 0 V(1W) = 2.14V 3V- 0.856 V – Vc = 0 Vc = 2.14 V La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.6 mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.10 2W 6V I3 I2 2.14A Rx 3V 4W 4 mF 1W I1 1) 2.14A = I1 + I2 - Rx*2.14A + 6V - 2W* I2 = 0 2) – 2.14 Rx + 6 - 2 I2 = 0 - Rx*2.14A + 3V - 4W* I1 = 0 3) – 2.14 Rx + 3 - 4 I1 = 0 Resolviendo I1= 0.213A, I2 = 1.93A, Rx = 1W V(4W) = 0.213A * 4W = 0.852 V 3V- 0.856 V – V(1W) = 0 V(1W) = 2.14V 3V- 0.852 V – Vc = 0 Vc = 2.148 V La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.59 mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.11 1) U1 = ½Q2 / C 2) U2 = ½(Q/2)2 / C Dividiendo 1 en 2 (U1/ U2) = 4 U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA S 6.12 a) t = RC = 1*106 W * 100 10-6 F t = 100 s b) Q = e C (1 - e(-t/t))= 1180.41 mC I = (e/R)e(-t/t) = 18.2 mA Vc = e (1 – e(-t/t)) = 11.8 V VR = e e(-t/t) = 18.20 V C) Q = e C = 3000 mC D) Q = e C e(-t/t) = 1819.6 mC I = -(e/R)e(-t/t) = 18.2 mA Vc = e e(-t/t) = 18.20 V VR = e (1 – e(-t/t)) = 11.8 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA 30 V 100 mF 1 MW S 6.13 a a b R = R1 + R2 = 30 W. t = 100 ms t = RC = 150 ms e = 20 V R1 C V R2 Luis F Millán B R3 Vc(100 ms) = e (1 – e(-t/(RC))) Vc(100 ms) = 9.73 V I(100 ms) = Io e(-t/(RC)) I(100 ms) = 0.342 A Q (100ms) = eC (1 – e(-t/(RC))) Q (100ms) = 48.65 mC U. AUTONOMA DE COLOMBIA b a El voltaje en el capacitor es: Vc(100 ms) = 9.73 V , R3 = 30 W e = 20 V b R1 C V R2 R3 Vc (100 ms) = e e(-t/(RC)) Vc (100 ms) = 10.26 V Q (100 ms) = e(-t/(RC)) Q (100 ms) = 51.3 mC I(100 ms) = Io e(-t/(RC)) = - 0.342 A Qt = C e = 100*10–6 C = 48.65 mC + 51.3 mC e = 9.73 V + 10.26 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA Como S 6.14 el circuito hace rato esta conectado en el capacitor se comporta como un circuito abierto, es decir por el capacitor no circula corriente y la carga en 2 =QI1=+Vc*C. I3 el capacitor Ies 5V +5 -10 I3 = 0 I3 = ½ A 5 I1 + 10 I3 = 0 I1= 1 A I2 3W I1 1W I3 1mF 7W 4W V(3W) = 1.5 V, V(1W) = 1V -1.5V + Vc + 1V = 0 Vc = ½ V \ Q = ½ V * 1mF = 0.5 1mC V(7W) = 3.5 V, V(4W) = 4V -3.5V + 4V - Vc = 0 Vc = ½ V \ Q = ½ V * 1mF = 0.5 1mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA