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Números reales
1.
El conjunto de los números reales
2.
Representación de los números reales en la
recta real
3.
Conjuntos en la recta real
4.
Conjuntos acotados en la recta real
5.
Aproximaciones decimales
6.
Redondeos y truncamientos
7.
Errores
8.
Notación científica y orden de magnitud
9.
Radicales
10. Operaciones con radicales
11. Racionalización de denominadores
Índice del libro
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Números Reales
1. El conjunto de los números reales
1.1. El conjunto de los números racionales
Existe una relación entre los números racionales y los números
decimales:
• Cualquier número racional se puede expresar como un número
entero, un decimal exacto o un decimal periódico.
• Cualquier número decimal exacto o periódico se puede expresar
como un número racional.
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Números Reales
1. El conjunto de los números reales
1.2. El conjunto de los números irracionales
Los números irracionales son aquellos números decimales que tienen
infinitas cifras decimales y no son periódicos.
Algunos de los números irracionales más importantes y utilizados son:
• El número de oro Φ (número áureo). Es la razón entre la diagonal
de un pentágono regular y su lado.
• El número π. Es la razón entre la longitud de la circunferencia y su
diámetro.
• El número e. Aparece en múltiples procesos biológicos, químicos,
físicos, etc. Es el número al que tiende la función (1 + 1/x)x cuando x
tiende a +∞ o -∞.
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Números Reales
1. El conjunto de los números reales
1.2. El conjunto de los números reales
El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma
el conjunto de los números reales.
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Números Reales
2. Representación de los números reales en la recta real
2.2. Números irracionales cualesquiera
Un número irracional cualquiera se puede representar de forma aproximada
en la recta real mediante aproximaciones decimales sucesivas. Por ejemplo,
vamos a representar el número π:
Para ello, utilizamos el siguiente procedimiento:
• Aproximación a décimas. Dividimos el segmento
entre 3 y 4 en diez partes iguales, y tomamos un
punto cualquiera entre 3,1 y 3,2 como muestra la
figura. Este punto es la representación de π con
error menor de 1 décima.
• Aproximación a centésimas. Dividimos el
segmento entre 3,1 y 3,2 en diez partes iguales, y
tomamos un punto cualquiera entre 3,14 y 3,15
como muestra la figura. Este punto es la
representación de π con error menor de 1
centésima.
• Continuando con este procedimiento obtenemos
la aproximación de π que deseemos.
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3. Conjuntos en la recta real
Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos,
entre los que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos
subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las funciones.
Su definición está basada en la relación de orden de los números
reales.
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3. Conjuntos en la recta real
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Números Reales
4. Conjuntos acotados en la recta real
4.1. Conjuntos acotados superiormente
Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera
de forma que todos los números del conjunto estén a la izquierda de
esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado
superiormente.
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Números Reales
4. Conjuntos acotados en la recta real
4.1. Conjuntos acotados inferiormente
Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera
de forma que todos los números del conjunto estén a la derecha de
esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado
inferiormente.
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4. Conjuntos acotados en la recta real
4.1. Conjuntos acotados inferiormente
Si todos los elementos de un conjunto de números reales se
encuentran entre dos barreras afirmamos que el conjunto está
acotado.
Cuando afirmamos que un conjunto no está acotado puede ocurrir:
• Que no esté acotado ni superior ni inferiormente.
• Que esté acotado superiormente, pero no inferiormente.
• Que esté acotado inferiormente, pero no superiormente.
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5. Aproximaciones decimales
Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen
infinitas cifras decimales, por lo cual, para trabajar con ellos,
necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos.
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6. Redondeos y truncamientos
• El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación
decimal de orden n que se puede dar de ese número.
• En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal.
Observamos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del
redondeo; si la cifra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la
aproximación decimal por defecto, y si es mayor o igual que 5, el
redondeo coincide con la aproximación decimal por exceso.
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6. Redondeos y truncamientos
• El truncamiento de orden n de un número es su aproximación
decimal por defecto de orden n.
• En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan
todas las cifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la
aproximación por defecto del número, coincide con el truncamiento
en forma decimal.
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7. Errores
• El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor
absoluto, entre el valor real y el aproximado.
|valor real – valor aproximado| = error absoluto
• La cota del error absoluto es un número que verifica:
|valor real – valor aproximado| < cota de error
• La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por
defecto o por exceso, es una unidad de ese orden. Cuando la
aproximación decimal sea un redondeo de orden n, la cota de error es
media unidad de ese orden.
• El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene
dado por:
error relativo = (error absoluto / valor real)
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8. Notación científica y orden de magnitud
Expresar un número en notación científica es ponerlo como un
producto cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una
parte decimal, por una potencia de base 10 y exponente entero.
Simbólicamente: a,bcd … · 10n
El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana
a dicho número.
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Números Reales
9. Radicales
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10. Operaciones con radicales
10.1. Radicales de igual índice
• El producto de dos radicales del mismo índice es
otro radical que tiene por índice el índice común, y
por radicando, el producto de los radicandos.
• El cociente de dos radicales del mismo índice es
otro radical que tiene por índice el índice común, y
por radicando, el cociente de los radicandos.
• La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por
índice el mismo, y por radicando, la potencia del
radicando.
• La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por
índice el producto de los índices, y por radicando,
el mismo.
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11. Racionalización de denominadores
Se llama racionalización de denominadores al procedimiento por el
cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una
fracción.
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