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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS
TÓPICOS DE MATEMÁTICA (E.S.C.)
Ciclo 2007-1
Tema :
FUNCIONES
BÁSICAS
Logros de esta unidad:
•Explica el significado de función
•Identifica el dominio de una función
•Grafica funciones básicas (Lineal, Cuadrático,
Cúbico, Logaritmo, Exponencial)
•Define una función trigonométrica.
•Identifica el periodo, amplitud y desplazamiento
de la función seno y coseno
•Resuelve ecuaciones de 2do grado, ecuaciones
eponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
FUNCIÓN
Una función es una regla o correspondencia que
asigna a cada número de entrada un único
número de salida. Al conjunto de número de
entrada se llama dominio de f y se denota por
dom(f). Al conjunto de números de salida se
llama rango de f y se denota por ran(f)
X
Entrada
Ej. f(x)=x+3
f
Proceso
 f(x)
Salida
Si x=2 tenemos f(2)=5
x=4 tenemos f(4)=7
Una variable que representa los números de
entrada para una función se llama variable
independiente. La que representa los números
de salida es una variable dependiente.
Ejemplo
Variable
independiente
A(r) =  r2
Variable
dependiente
Dominio no especificado
Considere una función: y = f(x)
x: se denomina variable independiente
(toma cualquier valor del dominio)
y: se denomina variable dependiente
(porque su valor depende de x)
Si dom(f) no se especifica, entonces, el
dom(f) es el conjunto más grande de
valores de x para los que f(x) existe.
Ejemplo
Determine el dominio de:
a)
b)
c)
d)
f ( x)  x  1
f ( x)  x  1
1
f ( x)  2
x 4
f ( x) 
1
x5
Función Lineal
Afín
4
3
2
b
f(x) = ax + b
-3
-2
1
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
Función
Cuadrática
4
3
f(x) =
2
x2
1
-2
-1
0
1
2
La función exponecial y=ex y la función
logaritmo natural y= ln x
y
y = ex
e
y = ln x
1
1
e
x
Definición:
Si x es cualquier número real,entonces
ln y = x si y sólo si e x = y
Teorema
Si p y q son números reales y r es un
número racional,entonces
i)
epeq=e p+q
p
e
ii) q  e p  q iii) (ep)r=epr
e
ECUACIÓN CUADRÁTICA
2
ax +bx+c=0
 b  b  4ac
2a
2
X=
Resolver:
• 5x2-2x-7=0
3x  2
• x2 x 3
• (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2
Ecuación exponencial,
logarítmica
Resolver:
1. e
3 x 1
2. e
2 x 5
3. 3e
4. e
e
1
2 x 1
3 x 2 1
1. Log 2 (3x  1)  3
2
 2e
e
3
x 1
x


2. Log 
  2
 20 x  40 
3. Ln( x  3)  5
Tópicos de
Matemáticas
Función Seno
Ecuaciones
trigonométricas
Conceptos previos
Determina la altura de la
torre Eiffel, si los
elementos que se
conocen son el
ángulo de elevación 
y la longitud de la
sombra proyectada
sobre el piso.
60°
187 m
Conceptos previos
Razones trigonométricas
Cop
sen  
hip
Hipotenusa
Cad
cos  
hip
Cop
tan  
Cad
Cateto
opuesto

Cateto
adyacente
Conceptos previos
Triángulos
rectángulos
notables
L
45°
2L
30°
2L
L 3
45°
L
60°
L
Ejercicio1
Si  es un ángulo agudo y cos  =3/4 , calcular los
valores de las seis funciones trigonométricas de .
Ejercicio 2
Calcular los valores de las funciones trigonométricas de
30°, 45° y 60°.
Conceptos
Circunferencia trigonométrica
La circunferencia trigonométrica es la
circunferencia radio 1 centrado en el origen del
plano XY.
Su ecuación es: x2+y2=1
( x, y )
1

( x, y )

Observar que se tiene:
sen ( )  y
cos( )  x
De manera general se tiene las funciones trigonométricas para
cualquier segmento OP donde P(x,y)
( x, y )
r
y

x
r x y
2
2
y
sen ( ) 
r
x
cos( ) 
r
y
tan( ) 
x
x0
Conceptos
Definición de función Periódica.
Una función f es periódica si existe un
número T real positivo, tal que
f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f.
El mínimo número real positivo T, si existe
se llama periodo de f.
2π es el periodo de las funciones seno y
coseno
La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener
dándole valores a x desde 0 hasta 2π
Su periodo es 2 π
Además sen(-x)=-sen(x)
1.5
1
0.5
sin( x)
sin( t )
3.14
1.75
0.35
0.5
1.05
2.44
3.84
1
1.5
x t
5.24
6.63
8.03
9.42
La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener
dándole valores a x desde 0 hasta 2π
Su periodo es 2 π
Además cos(-x)=cos(x)
1.5
1
0.5
cos( x)
cos( t )
3.14
1.75
0.35
0.5
1.05
2.44
3.84
1
1.5
x t
5.24
6.63
8.03
9.42
La función coseno puede interpretarse como un
desplazamiento de la función seno:
sen(x)=cos(x-π/2)
1.5
1
sin( x)
cos( t )
0.5
1.57 6.370614359 10
0.5
4
1.57
3.14
1
1.5
x t
4.71
6.28
¿Cómo varía la gráfica de la función sen x,
al cambiar los valores de los parámetros A
, ω>0 , φ?
y  A sen ( ω x  φ )
| A | Amplitud
Donde:
2
T  Periodo 


 desfasamie nto

1
f  Frecuencia 
T
Gráfica de las funciones
Sen(x)
3sen(x)
-3sen(x)
4
3
2
sin( x)
1
3 sin( x)
0
 3 sin( x)
1.57
3.14
4.71
1
2
3
4
x
6.28
7.85
9.42
Gráfica de las funciones
sen(x)
sen(3x)
1.5
1
0.5
sin( x)
sin( 3x)
0
1.05
2.09
3.14
0.5
1
1.5
x
4.19
5.24
6.28
Gráfica de las funciones
sen(x) sen(x-π/3) sen(x+ π/3)
1.5
1
sin( x)


sin s 
0.5


3
 
sin v 
 3
1.05
0
1.05
2.09
3.14
0.5
1
1.5
x s  v
4.19
5.24
6.28
7.33
Gráfica de las funciones
sen(x)
3sen(2x-2π/3)
4
3
2
1
sin( x)


3 sin 2s 
2 
3


0
1.05
2.09
3.14
4.19
1
2
3
4
x s
5.24
6.28
7.33
1. A partir de la grafica de la función
trigonométrica, trace la grafica de la función,
sin localizar puntos.
a) y=2sen(t+π/6)
b) y=cos(t+ π/3)
2. Determine la amplitud y el período de la
función f(x) = 2sen (x/2).
3. Determine la amplitud, el período y trazar la
gráfica de f(x) = 2sen (-3x+π).
Ecuaciones trigonométricas:
Son aquellas ecuaciones que contienen funciones
trigonométricas.
Solución:
Son los valores que puede tomar x para la cual la
ecuación se convierte en una identidad.
Nota: tener en cuenta el signo de las funciones
trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
Halle las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 π].
a)Cos(x)=1/2
b)sen(2x+π/3)=-1
c)Sen(t) tan(t)=sen(t)
Combinación lineal de las funciones sen(x) y
cos(x)
Para a y b números reales, a>o la función
f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx)
Puede escribir en términos de la forma:
f(x) = A.cos(Bx-C)
Donde
A  a2  b 2
a
π
π
tan C  , para   C 
b
2
2
Empleando la fórmula desarrollada
anteriormente graficar las funciones:
a) f ( x)  sen( x)  cos( x)
b) f ( x ) 
3 cos( 2 x)  sen(2 x)
c) f ( x)  3 cos(3x)  4sen(3x)