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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS TÓPICOS DE MATEMÁTICA (E.S.C.) Ciclo 2007-1 Tema : FUNCIONES BÁSICAS Logros de esta unidad: •Explica el significado de función •Identifica el dominio de una función •Grafica funciones básicas (Lineal, Cuadrático, Cúbico, Logaritmo, Exponencial) •Define una función trigonométrica. •Identifica el periodo, amplitud y desplazamiento de la función seno y coseno •Resuelve ecuaciones de 2do grado, ecuaciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas. FUNCIÓN Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada se llama dominio de f y se denota por dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f y se denota por ran(f) X Entrada Ej. f(x)=x+3 f Proceso f(x) Salida Si x=2 tenemos f(2)=5 x=4 tenemos f(4)=7 Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente. Ejemplo Variable independiente A(r) = r2 Variable dependiente Dominio no especificado Considere una función: y = f(x) x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio) y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x) Si dom(f) no se especifica, entonces, el dom(f) es el conjunto más grande de valores de x para los que f(x) existe. Ejemplo Determine el dominio de: a) b) c) d) f ( x) x 1 f ( x) x 1 1 f ( x) 2 x 4 f ( x) 1 x5 Función Lineal Afín 4 3 2 b f(x) = ax + b -3 -2 1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 Función Cuadrática 4 3 f(x) = 2 x2 1 -2 -1 0 1 2 La función exponecial y=ex y la función logaritmo natural y= ln x y y = ex e y = ln x 1 1 e x Definición: Si x es cualquier número real,entonces ln y = x si y sólo si e x = y Teorema Si p y q son números reales y r es un número racional,entonces i) epeq=e p+q p e ii) q e p q iii) (ep)r=epr e ECUACIÓN CUADRÁTICA 2 ax +bx+c=0 b b 4ac 2a 2 X= Resolver: • 5x2-2x-7=0 3x 2 • x2 x 3 • (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2 Ecuación exponencial, logarítmica Resolver: 1. e 3 x 1 2. e 2 x 5 3. 3e 4. e e 1 2 x 1 3 x 2 1 1. Log 2 (3x 1) 3 2 2e e 3 x 1 x 2. Log 2 20 x 40 3. Ln( x 3) 5 Tópicos de Matemáticas Función Seno Ecuaciones trigonométricas Conceptos previos Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se conocen son el ángulo de elevación y la longitud de la sombra proyectada sobre el piso. 60° 187 m Conceptos previos Razones trigonométricas Cop sen hip Hipotenusa Cad cos hip Cop tan Cad Cateto opuesto Cateto adyacente Conceptos previos Triángulos rectángulos notables L 45° 2L 30° 2L L 3 45° L 60° L Ejercicio1 Si es un ángulo agudo y cos =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de . Ejercicio 2 Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°. Conceptos Circunferencia trigonométrica La circunferencia trigonométrica es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del plano XY. Su ecuación es: x2+y2=1 ( x, y ) 1 ( x, y ) Observar que se tiene: sen ( ) y cos( ) x De manera general se tiene las funciones trigonométricas para cualquier segmento OP donde P(x,y) ( x, y ) r y x r x y 2 2 y sen ( ) r x cos( ) r y tan( ) x x0 Conceptos Definición de función Periódica. Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f. El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f. 2π es el periodo de las funciones seno y coseno La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2π Su periodo es 2 π Además sen(-x)=-sen(x) 1.5 1 0.5 sin( x) sin( t ) 3.14 1.75 0.35 0.5 1.05 2.44 3.84 1 1.5 x t 5.24 6.63 8.03 9.42 La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2π Su periodo es 2 π Además cos(-x)=cos(x) 1.5 1 0.5 cos( x) cos( t ) 3.14 1.75 0.35 0.5 1.05 2.44 3.84 1 1.5 x t 5.24 6.63 8.03 9.42 La función coseno puede interpretarse como un desplazamiento de la función seno: sen(x)=cos(x-π/2) 1.5 1 sin( x) cos( t ) 0.5 1.57 6.370614359 10 0.5 4 1.57 3.14 1 1.5 x t 4.71 6.28 ¿Cómo varía la gráfica de la función sen x, al cambiar los valores de los parámetros A , ω>0 , φ? y A sen ( ω x φ ) | A | Amplitud Donde: 2 T Periodo desfasamie nto 1 f Frecuencia T Gráfica de las funciones Sen(x) 3sen(x) -3sen(x) 4 3 2 sin( x) 1 3 sin( x) 0 3 sin( x) 1.57 3.14 4.71 1 2 3 4 x 6.28 7.85 9.42 Gráfica de las funciones sen(x) sen(3x) 1.5 1 0.5 sin( x) sin( 3x) 0 1.05 2.09 3.14 0.5 1 1.5 x 4.19 5.24 6.28 Gráfica de las funciones sen(x) sen(x-π/3) sen(x+ π/3) 1.5 1 sin( x) sin s 0.5 3 sin v 3 1.05 0 1.05 2.09 3.14 0.5 1 1.5 x s v 4.19 5.24 6.28 7.33 Gráfica de las funciones sen(x) 3sen(2x-2π/3) 4 3 2 1 sin( x) 3 sin 2s 2 3 0 1.05 2.09 3.14 4.19 1 2 3 4 x s 5.24 6.28 7.33 1. A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos. a) y=2sen(t+π/6) b) y=cos(t+ π/3) 2. Determine la amplitud y el período de la función f(x) = 2sen (x/2). 3. Determine la amplitud, el período y trazar la gráfica de f(x) = 2sen (-3x+π). Ecuaciones trigonométricas: Son aquellas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Solución: Son los valores que puede tomar x para la cual la ecuación se convierte en una identidad. Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes. Halle las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 π]. a)Cos(x)=1/2 b)sen(2x+π/3)=-1 c)Sen(t) tan(t)=sen(t) Combinación lineal de las funciones sen(x) y cos(x) Para a y b números reales, a>o la función f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx) Puede escribir en términos de la forma: f(x) = A.cos(Bx-C) Donde A a2 b 2 a π π tan C , para C b 2 2 Empleando la fórmula desarrollada anteriormente graficar las funciones: a) f ( x) sen( x) cos( x) b) f ( x ) 3 cos( 2 x) sen(2 x) c) f ( x) 3 cos(3x) 4sen(3x)