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TRIGONOMETRÍA U. D. 7 * @ Angel Prieto Benito 4º ESO E. AC. Matemáticas 4º ESO E. AC. 1 EJERCICIOS U.D. 7.5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2 Radianes • • 1. Pasar los siguientes ángulos de radianes a grados sexagesimales: a) 3π/5 rd , b) 2π/3 rd , c) 7π/6 rd • • • • • • Solución: Sabemos que π rd = 180º a) 3·180/5 = 108º , b) 2·180/3 = 120º , c) 7·180/6 = 210º • • • Solución: Sabemos que 30º = π / 6 rd y que 45º = π / 4 rd a) π/4 rd , b) π/4 + π/6 = 5.π/12 , c) π – π/6 = 5.π/6 rd 2. a) Pasar a radianes los siguientes ángulos: 45º , b) 75º , c) 150º , @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 3 Ángulos • • • • • • • • 3. Con la calculadora, hallar: a) sen 25º ,b) cos 135º , c) sen 200º , e) sen π/5 ,f) cos 3.π/5 , g) tag 2.π/7 , Solución: Con la calculadora en modo sexagesimal: a) 0,4226 , b) – 0,7071 , c) – 0,3420 , Con la calculadora en modo radian: e) 0,5878 , f) – 0,3090 , g) 1,2540 , • • • • • 4. Con la calculadora hallar el ángulo x tal que : a) sen x = 0'12 ; b) sen x = -0'45 ; c) cos x = 0'67 ; d) cos x = -0,95 ; e) tag x = 3'4 ; f) tag x = -0'01 ; Solución: a) x = 6,89º ; b) x = 333,25º ; c) x = 47,93º ; d) x = 161,81º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. d) h) tag 245º cos 7.π/6 d) 2,1445 h) – 0,8660 4 Paso a primer cuadrante • • • • • • • • • • • • • Sabiendo que sen x = 0,2 , siendo 0 < x < 90º , hallar sin calculadora: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) sen (π /2 +x) cos (π - x) sen (3 π /2 - x) cos (2 π +x) sen ( - x) cos (π + x) sen (3 π /2 + x) cos (2 π - x) cos (π /2 +x) sen (π - x) cos (3 π /2 - x) sen (2 π +x) @ Angel Prieto Benito π/2 + x π–x π/2 – x x 0º 180º π–x π+x 3.π/2 – x 90º 270º Matemáticas 4º ESO E. AC. 3.π/2 + x 5 Soluciones • • • • • • • • • • • • • • Sabemos que: sen2 x + cos2 x = 1 De donde cos x = √(1 – sen2 x) a) - cos x = - √(1 – 0,22) = - 0,9798 b) - cos x = - √(1 – 0,22) = - 0,9798 c) - cos x = - √(1 – 0,22) = - 0,9798 d) cos x = √(1 – 0,22) = 0,9798 e) - sen x = - 0,2 f) - cos x = - √(1 – 0,22) = - 0,9798 g) - cos x = - √(1 – 0,22) = - 0,9798 h) - cos x = - √(1 – 0,22) = - 0,9798 i) - sen x = - 0,2 j) sen x = 0,2 k) - sen x = - 0,2 l) sen x = 0,2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 6 Ecuaciones fundamentales • • • • • • • • • • Hallar las razones trigonométricas, utilizando las ecuaciones fundamentales, de: a) b) c) d) e) f) g) h) El ángulo del 2º Cuadrante cuyo seno vale 0,6 El ángulo del 3º Cuadrante cuya tangente vale 4 El ángulo del 1ª Cuadrante cuya cosecante vale 2 El ángulo del 4º Cuadrante cuya secante vale 1,5 El ángulo del 3º Cuadrante cuyo seno vale - 0,6 El ángulo del 2º Cuadrante cuya tangente vale - 4 El ángulo del 4ª Cuadrante cuya cosecante vale - 2 El ángulo del 1º Cuadrante cuya secante vale 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7 Soluciones • • • • Sabemos que: sen2 x + cos2 x = 1; tag x = sen x / cos x ; 1 + tag2 x = sec2 x ; y 1 + cotag2 x = cosec2 x • • • b) tag x = 4 sec x = - √(1 + 42) = - √17 = - 4,1231 cos x = 1 / sec x = - 1 / 4,1231 = - 0,2425 sen x = - √(1 – cos2 x) = - √(1 – (-0,2425)2 ) = - √0,9412 = - 0,9701 • • • • • c) sen x = 1 / cosec x = 1 / 2 = 0,5 cos x = √(1 – 0,52) = 0,8660 tag x = sen x / cos x = 0,5 / 0,8660 = 0,5774 a) sen x = 0,6 cos x = - √(1 – 0,62) = - 0,8 tag x = - 6/8 d) cos x = 1 / sec x = 1/1,5 = 0,6667 sen x = - √(1 – 0,66672) = -0,7454 tag x = sen x / cos x = - 0,7454 / 0,6667 = - 1,1180 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 8 Soluciones • • • • Sabemos que: sen2 x + cos2 x = 1; tag x = sen x / cos x ; 1 + tag2 x = sec2 x ; y 1 + cotag2 x = cosec2 x • • • f) tag x = - 4 sec x = - √(1 + (-4)2) = - √17 = - 4,1231 cos x = 1 / sec x = - 1 / 4,1231 = - 0,2425 sen x = √(1 – cos2 x) = √(1 – (-0,2425)2 ) = √0,9412 = 0,9701 • • • • • g) sen x = 1 / cosec x = 1 / (-2) = - 0,5 cos x = √(1 – (-0,5)2) = 0,8660 tag x = sen x / cos x = - 0,5 / 0,8660 = - 0,5774 e) sen x = -0,6 cos x = - √(1 – (-0,6)2) = - 0,8 tag x = 6/8 h) cos x = 1 / sec x = 1/1,5 = 0,6667 sen x = √(1 – 0,66672) = 0,7454 tag x = sen x / cos x = 0,7454 / 0,6667 = 1,1180 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 9 Identidades • • • Comprueba que se cumplen las siguientes identidades: a) (sec x 1).(sec x 1) tan 2 x Operamos: sec2 x – 1 = tag2 x sec2 x = tag2 x + 1 • • • • b) Operamos: 2.sen2 x + cos2 x = 1 + sen2 x sen2 x + (sen2 x + cos2 x ) = 1 + sen2 x sen2 x + 1 = 1 + sen2 x • c) • sen x / (1 / sen x) + cos x / (1 / cos x) = 1 sen2 x + cos2 x = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 10 Identidades • • Comprueba que se cumplen las siguientes identidades: d) • • • Operamos: sec x / [sen x / cos x) + cos x / sen x)] = sen x (1 / cos x) / [ (sen2 x + cos2 x) / sen x .cos x ] = sen x (1 / cos x) / [ 1 / sen x .cos x ] = sen x sen x.cos x / cos x = sen x • • • e) Operamos: (cos2 x – sen2 x) = (cos2 x + sen2 x) (cos2 x – sen2 x) 1 = (cos2 x + sen2 x) 1 = 1 • • • f) Operamos: sen4 x. 1 / sen2 x = 1 – cos2 x sen2 x = 1 – cos2 x sen2 x + cos2 x = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 11