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Geometría
Es la parte de las Matemáticas que
estudia las propiedades de los
cuerpos en el plano y en el espacio.
Por Aida
ELEMENTOS
BÁSICOS DE
LA GEOMETRÍA
PUNTO
LÍNEA
PLANO
ELEMENTOS
BÁSICOS DE
LA GEOMETRÍA
PUNTO
LÍNEA
PLANO
Recta: línea
ilimitada e
infinita.
Semirrecta: Línea
recta limitada por un
extremo e infinita
por el otro
Segmento:
porción de recta,
limitado por los dos
extremos.
POSICIONES DE DOS
RECTAS EN EL PLANO
Paralelas: siempre conservan
entre ellas la misma distancia.
Secantes: se cortan en
un punto.
Perpendiculares: al cortarse
forman 4 ángulos rectos.
Oblícuas: al cortarse forman
2 ángulos agudos y 2 obtusos.
Recta: Línea ilimitada e infinita.
Segmento: porción de recta limitada por los dos extremos.
Segmentos importantes: lados, diagonales, alturas.
Recta importante: la mediatriz (recta que pasa por el punto medio de un segmento).
Pasos para dibujar la mediatriz:
Ángulos:
Región del plano comprendida por dos semirrectas del mismo origen.
Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman. El vértice del ángulo es
el punto común origen de los lados.
Medida de ángulos:
El Instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina
transportador, y es un círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y
la otra de 180º a 0º.
Para medir un ángulo, se coloca el punto central del transportador sobre el vértice
del ángulo y uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.
Agudo
< 90º
Cóncavo
< 180º
Recto
= 90º
Obtuso
90º < a < 180º
Clases de
Ángulos:
Llano
= 180º
Convexo
> 180º
Completo
= 360º
Ángulo completo: delimitado por dos
semirrectas que coinciden.
Consecutivos: 1
lado y 1 vértice
común
Por su
posición
Clases de
Adyacentes: 1
lado y un vértice
común y los otros
dos en una recta
Opuestos
Por el vértice
ángulos
(de dos en dos):
Complementarios:
Suman 90º
Por su valor
Suplementarios:
Suman 180º
Semirrecta: línea recta limitada por un extremo e infinita por el otro.
Semirrecta importante: la bisectriz.
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos
partes iguales.
Pasos para dibujar la bisectriz:
TRIÁNGULOS
Triángulo: polígono formado por 3 lados y 3 ángulos. (Superficie
plana limitada por tres rectas que se cortan 2 a 2).
Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del triángulo.
Los lados del triángulo forman tres ángulos.
Un lado de un triángulo es siempre menor que la suma de los otros dos lados y
mayor que su diferencia.
Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180º.
El perímetro de un triángulo es la suma de todos sus lados.
Altura de un triángulo: es el segmento perpendicular
a un lado que va al vértice opuesto.
La base de un triángulo es el lado sobre el que se apoya.
El área de un triángulo es la medida de su superficie. Se calcula multiplicando
la base por la altura y dividiendo entre dos:
Equilátero: 3
lados iguales.
Por sus
lados
Clases de
Isósceles: 2 lados
iguales y uno
desigual.
Escaleno: 3 lados
desiguales.
Triángulos
Rectángulo: 1
ángulo recto y
2 agudos.
Por sus
ángulos
Acutángulo: 3
ángulos agudos.
Obtusángulo: 1
ángulo obtuso y
2 agudos.
Rectas y puntos notables en un triángulo
Medianas: son las rectas que se obtienen al unir cada uno de
los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Baricentro: es el punto de intersección de las medianas
de un triángulo.
Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares
a sus lados que pasan por el punto medio.
Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices de
un triángulo.
Para inscribir (meter dentro) un triángulo en una circunferencia, se trazan las
mediatrices de los lados.
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares
trazadas desde cada vértice al lado opuesto.
Ortocentro: es el punto de corte de las tres alturas de un
triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen
cada uno de sus ángulos en dos partes iguales.
Incentro: es el punto de intersección de las bisectrices
de un triángulo.
Con centro en el incentro, y radio la distancia de ese punto a cualquiera de los lados
del triángulo, podemos trazar una circunferencia tangente a lod tres lados del
triángulo: la circunferencia inscrita.
En resumen:
CUADRILÁTEROS
Cuadriláteros
Cuadriláteros: polígonos formados por 4 lados y 4 ángulos.
Tienen dos diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos), que en
los paralelogramos se cortan en el punto medio.
Sus ángulo miden juntos 360º.
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, y los contiguos son
suplementarios.
(tienen los ángulos
opuestos iguales y
Los contiguos
suplementarios).
Paralelogramos
A  b·h
Clases de
Trapecios
Tienen solo dos lados paralelos.
A
cuadriláteros
Trapezoides
Base.mayor  base.menor
·h
2
Ningún lado paralelo.
El área se calcula descomponiéndolo
en figuras conocidas.
4 lados iguales.
4 ángulos rectos.
Cuadrado
A  b2
Rectángulo
A  b·h
Paralelogramos
(tienen los ángulos
opuestos iguales y
los contiguos
suplementarios).
Lados iguales 2 a 2.
4 ángulos rectos.
Rombo
Lados iguales.
2 ángulos agudos y 2 obtusos.
A
Romboide
Diagonal .mayor·diagonal .menor
2
Lados iguales dos a dos.
2 ángulos agudos y 2 obtusos.
A  b·h
Trapecio rectángulo
Tiene dos ángulos rectos
Trapecios
A
Trapecio isósceles
Tiene dos lados iguales.
Base.mayor  base.menor
·h
2
Trapecio escaleno
No tiene lados iguales ni ángulos rectos.
Trapezoides
Ningún lado paralelo.
El área se calcula descomponiéndolo en figuras
conocidas.
Cuadrado
En resumen:
4 lados iguales.
4 ángulos rectos.
A  b2
Lados iguales 2 a 2.
4 ángulos rectos.
Rectángulo
A  b·h
Paralelogramos
(tienen los ángulos
opuestos iguales y
los contiguos
suplementarios).
Rombo
Lados iguales.
2 ángulos agudos y 2 obtusos.
A
Romboide
Diagonal .mayor·diagonal .menor
2
Lados iguales dos a dos.
2 ángulos agudos y 2 obtusos.
A  b·h
Clases de
Trapecio rectángulo
cuadriláteros
Trapecios
A
Trapecio isósceles
Base.mayor  base.menor
·h
2
Trapezoides
Trapecio escaleno
Ningún lado paralelo.
El área se calcula descomponiéndolo en figuras
conocidas.
POLÍGONOS
Polígonos
Por el nº de lados
-Triángulos (3)
- Cuadriláteros (4)
- Pentágonos (5)
- Hexágonos (6)
- Heptágonos (7)
- Octógonos (8).
- Eneágonos (9)
- Decágonos (10)
- Endecágonos (11)
- Dodecágonos (12)
Clases
Por sus ángulos
Por su forma
- Cóncavos: algún ángulo mayor de 180º.
- Convexos: todos sus ángulos menores de 180º.
- Regulares: lados, ángulos, diagonales, etc., iguales.
- Irregulares: todos desiguales.
Elementos de un polígono:
- Lados: Segmentos que lo forman.
- Ángulo: región del polígono comprendida entre dos lados.
- Altura: segmento perpendicular que une la base con el lado opuesto en los de
número par de lados, o con el ángulo opuesto en los de número impar de lados.
- Radio: segmento que une el centro del polígono con cualquier vértice.
- Apotema: segmento que une el centro del polígono regular con el punto medio de
cualquier lado.
- Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos.
Diagonales: Para calcular el número de diagonales utilizamos la fórmula:
nº de.lados ·nº de.lados  3
2
Ángulo central:
360º
L
Si en un polígono convexo trazamos todas las diagonales que parten de un mismo vértice,
el polígono queda descompuesto en tantos triángulos como el número de lados que tiene
menos 2. Así calculamos la suma de los ángulos interiores:
Suma de los ángulos:
Abertura de un ángulo interior:
Polígonos regulares:
Áreas
An  180·nº de.lados  2
An
L
Perímetro·apotema
2
Polígonos irregulares: se descomponen en figuras conocidas.
CIRCUNFERENCIA Y
CÍRCULO
Circunferencia y círculo
•
La longitud de una circunferencia viene dada por la fórmula:
•
La longitud de un arco de una circunferencia se calcula mediante la regla de
tres:
•
L  2r
2r

Larco

360º 
2··r·n
  Larco 
360
nº 
El área del círculo se calcula:
A  ·r
2
Longitudes
•
El perímetro es la suma de las longitudes de los lados.
Teorema de Pitágoras
•
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos.
a 2  b2  c2
Resumen de cálculo de áreas
FIN
Por Aida