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MOVIMIENTO PARABÓLICO
Se denomina movimiento parabólico al realizado por un
objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se
corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que
se mueve en un medio que no ofrece resistencia al
avance
y
que
está
sujeto
a
un campo
gravitatorio uniforme.
Puede ser analizado como la composición de dos movimientos
rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y
unmovimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical
OBJETIVOS
1. Estudiar
los
conceptos
básicos
del
movimiento
parabólico
descrito
en
la
experiencia realizada en el laboratorio.
2. Describir las características del movimiento
parabólico que realiza el balín.
3. Desarrollar los conceptos de velocidad,
distancia y gravedad descritos por el
movimiento y la distancia del balín al ser
lanzados hacia distancias cada vez mayores.
4. Analizar
por
medio
de
los datos el
movimiento
y
determinar
su comportamiento con respecto al plano
coordenado (abscisa x, ordenada y)
Tipos de movimiento parabólico
Movimiento
de
media
parábola
El movimiento de media parábola o semiparabólico
(lanzamiento
horizontal)
se puede considerar como la composición de un avance
horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre
Movimiento de media parábola
El
movimiento
parabólico
completo
puede considerar como la composición de un avance
horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia
arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo
gravitatorio
uniforme,
lo
anterior
implica
que:
1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado
horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en
llegar
al
suelo.
2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento
vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro
parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo
mismo
en
caer.
Ecuaciones
del
movimiento
parabólico
Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:
1.
2.
donde:
es el módulo de la velocidad inicial.
es el ángulo de la velocidad inicial sobre la
horizontal.
es la aceleración de la gravedad.
La velocidad inicial se compone de dos partes:
que se denomina componente horizontal de la
velocidad inicial.
En lo sucesivo
que se denomina componente vertical de la
velocidad inicial.
En lo sucesiv
o
La velocidad inicial se compone de dos partes:
que se denomina componente horizontal de la
velocidad inicial.
En lo sucesivo
que se denomina componente vertical de la
velocidad inicial.
En lo sucesivo
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en
cuenta
el
áng
ulo
de
la
velocidad
inicial.
Ecuación de la aceleración
La única aceleración que interviene en este movimiento
es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
que es vertical y hacia abajo.
Ecuación de la velocidad
La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria
parabólica se puede obtener integrando la siguiente
ecuación:
La integración es muy sencilla por tratarse de
una ecuación diferencial de primer orden y el
resultado final es:
Cuando un objeto es lanzado con cierta
inclinación respecto a la horizontal y bajo la
acción solamente de la fuerza gravitatoria su
trayectoria se mantiene en el plano vertical y es
parabólica.
EJEMPLOS
Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37°
con una velocidad de 20 m/s. Calcule:
a) La altura máxima.
b) El tiempo que permanece en el aire.
c) La distancia a la que llega al suelo.
d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido
disparado
Datos
Ángulo = 37° a) Ymax = ? d) Vx =?
Vo = 20m/s b) t total = ? Vy = ?
g= -9.8 m/s^2 c) X = ?
Paso 1
Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s
Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s
Paso 2
Calcular el tiempo de altura máxima , donde Voy
=0
Por lo tanto : t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03
m/s) / 9.8 = 1.22.seg.
Paso 3
Calcular a) la altura máxima:
Ymax = Voy t + gt^2 / 2= 12.03 m/s ( 1.22s) +
(( -9.8m/s^2 )(1.22s)^2) / 2 = 7.38m
Paso 4
Calcular b) el tiempo total . En este caso solo se
multiplica el tiempo de altura máxima por 2,
porque sabemos que la trayectoria en este caso
es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el
proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura
máxima.
T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.
Paso 5
Calcular el alcance máximo, para lo cual
usaremos esta formula:
X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.
Paso 6
Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1seg.) + 12.03 m/s
= 2.23 m/s
Vfx = 15.97 m/s ,ya que esta es constante
durante todo el movimiento.
ejemplo 2- Sea un proyetil lanzado desde un
cañón. Si elegimos un sistema de referencia de
modo que la dirección Y sea vertical y positiva
hacia arriba, a y = - g y a x = 0. Además suponga
que el instante t = 0, el proyectil deja de origen
(X i = Y iVi. = 0) con una velocidad
Si Vi hace un ángulo qi con la horizontal, a partir
de las definiciones de las funciones sen y cos se
obtiene:
Vxi = Vi cos θ
Vyi = Vi sen θi
Como el movimiento de proyectiles es bidimencional, donde ax = 0 y ay = -g, o sea con
aceleración constante, obtenemos las
componentes de la velocidad y las coordenadas
del proyectil en cualquier instante t, con ayuda de
las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A.
Expresando estas en función de las proyecciones
tenemos:
X = Vxit = Vi cos θi t
y = Vyi t + ½ at2
Vyf = Vyi + at
2ay = Vyf2 - Vyi2
Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde
cierta altura inicial, el movimiento es semiparabólico.
Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0
serían:
X = Vxi t
y = yo - ½ gt2
Recomendamos la realización de la práctica
virtualMovimiento bajo la aceleración constante de la
gravedad, donde se puede estudiar tanto el movimiento
parabólico como el semi-parabólico.
Combinando las ecuaciones arriba explicadas para el
movimiento parabólico podemos algunas obtener
ecuaciones útiles:
- Altura máxima que alcanza un proyectil:
- Tiempo de vuelo del proyectil:
- Alcance del proyectil :
Atendiendo a esta última ecuación, invitamos al lector
a demostrar que para una velocidad dada el máximo
alcance se logra con una inclinacion de 45o respecto a
la horizontal.
EJEMPLO TIRO PARABÓLICO:
Calcular la distancia, la altura y el tiempo de caída de
un tiro parabólico que lleva una velocidad de 30m/s y
forma una ángulo de 60° con la horizontal.
Primero calculamos la distancia recorrida.
d= v12sen2a / g = (30m/s)2 sen 2(60°) / 9.8 m/s2 = 158.99
m
Ahora la altura alcanzada.
h= v21sen2a / 2g= (30 m/s)2 sen2 (60°) / 2(9.8 m/s2) =
36.29 m
Por último el tiempo realizado.
t= v1 sen a / g= 30 m/s (sen 60°) / 9.8 m/s2 = 2.85 s
TAREA:
INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes ejercicios con
ayuda de su maestro de ciencia fisica.
1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2
mIs, a un ángulo de 34.5° por encima de la horizontal a lo
largo de un campo de tiro plano. Calcule
a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.
b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire
c) La distancia horizontal total
d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de
haber sido disparado
2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto
a la horizontal y con una velocidad de 35 m/s.
a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4
segundos?
b) Determine las componentes de su velocidad después de 4
segundos.
c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?
3- Una piedra se arroja horizontalmente a 15 m/s desde la
parte más alta de un risco de 44 m de altura.
a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la base del risco?
b) ¿Qué tan lejos de la base del risco choca la piedra con el
piso?
c) ¿Cuál su velocidad horizontal después de 1.5 segundos?
4- Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la
horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es de 50 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?
b) ¿Cuál su altura máxima?
c) ¿Cuál su alcance horizontal?
5- Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de
200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°.
Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con
el aire, calcular:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?.
b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura
máxima?.
c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?.
Respuesta: a) 39,36 m
b) 1732,05 m
c) 3464,1 m
6-Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60°
con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de
una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón.
Determinar:
a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?.
b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra
posición se podría haber disparado?.
Respuesta: a) 49,46 m/s
b) 17 m
7- Un chico patea una pelota contra un arco con una
velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo de 45°
respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m.
Determinar:
a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que
la pelota llega al arco?.
b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?.
c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?.
Respuesta: a) 1,41 s
b) No
c) 17,18 m
8- Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo α =
30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial
de 50 m/s y formando un ángulo β = 60° con la
horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado
pegará.
Respuesta: 165,99 m
9- Un cañón que forma un ángulo de 45° con la
horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este
se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar:
a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?.
b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?.
c) ¿Qué alcance tendrá?.
d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el
impacto en el muro?.
Respuesta: a) 9,75 m
b) 10,2 m
c) 40,82 m
d) 1,41 s
10- Un mortero dispara sus proyectiles con una
velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe
tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado
a 4000 m de este?.
Respuesta: 26° 16´ 16"