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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 4
PRÁCTICA 4 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En ésta y la siguiente práctica, el estudiante tendrá la oportunidad de realizar cálculos,
resolver problemas, diseñar experimentos para establecer la validez o no de algunas
propiedades de las matrices. Hará uso de los comandos para matrices en la Aplicación
Principal de la Calculadora ClassPad 300 PLUS.
Como en las prácticas anteriores, se resolverán previamente algunas situaciones
problemáticas a fin de que el estudiante conozca la sintaxis de algunos comandos que se
utilizan para realizar operaciones matriciales.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber resuelto en su totalidad las tres
prácticas anteriores.
4.1 Operaciones con matrices en la Aplicación Principal.
Hemos podido ver que dentro de la Aplicación Principal de la ClassPad, los menús desplegables
[Acción] e [Interactivo] cuentan con los menús secundarios [Matriz – Crear ►] y [Matriz – Calcular ►],
que a su vez disponen de algunos comandos que hacen posibles, siempre que estas tengan sentido, todas
las operaciones matriciales.

Adición, sustracción y producto de matrices.

Cálculos con multiplicación de una matriz por un escalar.

Cálculos con determinantes de una matriz cuadrada.

Trasposición de matrices.

Inversión de matrices regulares cuadradas.

Potencias de una matriz cuadrada.

Modificación o transformación de matrices utilizando comandos de matrices.

Valor absoluto, argumento, cálculo del conjugado de un complejo para una matriz con elementos
complejos.
Para el desarrollo de esta práctica será necesario que tenga en cuenta las siguientes propiedades de
las matrices y los determinantes:
PROPIEDADES DE LAS MATRICES (Siempre que las operaciones que se efectúen tengan sentido)
Multiplicación de Matrices
Adición de Matrices

[AM – 0 ] (aij )  (bij )  (aij  bij )
[MM – 0] (aik )(bkj )  (cij )  ( aik bkj )
[MM – 1] (AB)C = A(BC)
[MM – 2] IA = A
[MM – 3] AI = A
[MM – 4] A(B + B’) = AB + AB’
[MM – 5] (A + A’)B = AB + A’B
[MM – 6] AO = O
[MM – 7] 0A = O
[MM – 8] (A)B = A(B) = (AB)
[AM
[AM
[AM
[AM
A+B=B+A
A + ( B + C) = (A + B) + C
A+O=O+A=A
A + A´= A´+ A = O (A´= – A)
Multiplicación por un Escalar
[ME – 0] (aij )  (aij ) ; R
[ME – 1] ( + )A = A + A; , R
[ME – 2] (A) = ()A; , R
[ME – 3] (A + B) = A + B; R
1
[ME – 4] (A) 1  A 1 ;   0;   R

[MM – 10] A 1A  AA 1  I
[MM – 11] ( A 1) 1  A
[MM – 12] ( AB) 1  B 1A 1
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– 1]
– 2]
– 3]
– 4]
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Potencia de una Matriz
Práctica 4
Matriz Traspuesta
[PM – 2] ( An )m  Anm ; n, m  N
[MT – 0] trn(aij )  (a ji )
[MT – 1] trn(A) = trn(A);R
[MT – 2] trn(A + B) = trn(A) + trn(B)
[MT – 3] trn(AB) = trn(B)trn(A)
[PM – 3] A n  ( An ) 1  ( A 1)n ; n  N
[MT – 4] trn( A n )  (trn( A)) n ; n  N
[PM – 0] A 1  A ; A n  1  AA n ; n  N
[PM – 1] An A m  An  m ; n, m  N
[MT – 5] trn( A 1)  (trn( A)) 1
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
jn
[D – 0]
[D – 1]
[D – 2]
[D – 3]
[D – 4]
[D – 5]
[D – 6]
[D – 7]
[D – 8]
a12 
a
aijFij donde Fij es el
det( A)  det( A.1, A.2)  det  11
  a11a 22  a12a 21 ; det( A ) 
a
a
22 
 21
j1
adjunto de aij (*).

El determinante de la matriz identidad es igual a 1.
El determinante de una matriz cuadrada es igual: al determinante de sus columnas; al de
su traspuesta; al de sus filas; a la suma de los productos de los elementos de una fila (o
columna) por sus adjuntos (*).
det(A) = 0  A es singular, o de manera equivalente: det( A)  0  A es regular.
det(AB) = det(A)det(B).
det(A)det(A–1) = det(I) = 1.
Un determinante es nulo cuando: una de sus columnas (o filas) es nula; dos de sus
columnas (o filas) son iguales; una de sus columnas (o filas) es combinación lineal de
sus columnas (o filas).
La primera transformación elemental sobre filas o columnas de A no altera el
determinante de A. La segunda transformación elemental (multiplicar una fila o columna
de A por un número k) multiplica al determinante de A por k. La tercera transformación
elemental sobre dos filas o dos columnas cambia el signo del determinante de A.
El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la
diagonal.
Operación con la ClassPad
1.
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre
la mesa. Presione [ON/OFF] para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la
aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el
área de trabajo.
(4) Toque
[Preferencias ►] [Adm. de variable] para acceder al
administrador de variables. Toque main dos veces. Si hay variables
asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.]
[Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de
trabajo de la aplicación Principal.

Al culminar el último paso, su calculadora debe presentar la pantalla
mostrada en la Figura 1.
Figura 1
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2.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
A continuación estableceremos experimentalmente algunas propiedades y antipropiedades
con las siguientes matrices de trabajo:
0
2
0
0 
 1
2  1 0
 1  2 3  4
 0



0  1 2  3 
3
0
4
1 4 2 0 
; I
A
; B
; C
 4 0  3 0 
0 2
1 0 1  2
6  4






4
0 
 0  2 0  1
0 0
 2  1 0  1
3.
Práctica 4
1
0

0

0
0 0 0
1 0 0
.
0 1 0

0 0 1
Ejecute paso a paso cada una de las siguientes instrucciones previas:
(5) Presione
y active el teclado virtual 2D tocando
.
(6) Registre cada una de las matrices A, B, C e I y asígneles respectivamente las variables capitales A,
B, C e I. Para ello use el comando de asignación
Alterne entre los botones
y
entre la matriz y la variable que se le va asignar.
para acceder y salir del teclado de variables. Recuerde que
el botón
da acceso a las variables mayúsculas (capitales) y el botón
teclado de minúsculas.
(7) Asigne 2/3 a la variable t y – 2 a la variable s. Estas variables deben ser minúsculas.
4.
5.
permite salir al
Haga uso de la calculadora para establecer, en cada caso, si las parejas de matrices que se
dan a continuación son iguales o no. Indique además qué propiedad o antipropiedad se ilustra.
Reporte por escrito su respuesta.
Tenga presente para los experimentos, que dos matrices M y N del mismo orden son iguales si y
sólo si M – N = O, donde O es la matriz nula.
A(BC); (AB)C
OBS: Para realizar el producto de matrices, se utiliza la tecla
del teclado de la calculadora o
el botón
del teclado virtual. Al escribir un producto, es usual omitir el operador de la
multiplicación, si este es el caso, la calculadora lo interpretará correctamente. Para la suma de
matrices utilice la tecla
o
y para la diferencia de matrices utilice
o
.
Propiedad o antipropiedad:
A(BC) – (AB)C =
6.
A(B+C); AB+AC
Propiedad o antipropiedad:
A(B+C) – (AB+AC) =
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7.
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Práctica 4
AB; BA
Propiedad o antipropiedad:
AB – BA =
8.
(s+t)A; sA+tA
OBS: Para el producto entre variables de números reales o para la multiplicación de un escalar
por una matriz, utilice la tecla
del teclado de la calculadora o el botón
del teclado virtual.
Al realizar cualquiera de estos productos, estos operadores pueden omitirse.
Propiedad o antipropiedad:
(s+t)A – (sA+tA) =
9.
(st)A; s(tA)
Propiedad o antipropiedad:
(st)A – s(tA) =
10.
( A  B) 2 ; A 2  2 AB  B2
OBS: Para elevar una matriz a un entero positivo, escriba la variable de la matriz, luego toque
la tecla
o toque
y escriba seguidamente el entero positivo. Al ejecutar el comando se
obtiene la potencia deseada.
Propiedad o antipropiedad:
( A  B) 2  ( A 2  2 AB  B 2 ) 
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11.
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Práctica 4
( A  I) 2 ; A 2  2AI  I2
Propiedad o antipropiedad:
( A  I) 2  ( A 2  2 AI  I2 ) 
12.
(A  B)( A  B) ; A 2  B 2
Propiedad o antipropiedad:
( A  B)( A  B)  ( A 2  B 2 ) 
13.
Para realizar los cálculos que siguen, será necesario abordar los comandos de
transformación de matrices que están disponibles en los menús [Acción] o [Interactivo]. En el
menú secundario [Matriz – Crear ►] aparece el comando [trn] que devuelve la matriz
traspuesta de la matriz dada. En el menú [Matriz – Calcular ►] aparece el comando [det] que
calcula el determinante de una matriz cuadrada. Antes de continuar limpie únicamente la
pantalla.
14.
det(A) =
15.
trn(A) =
16.
Atrn(C) =
17.
det(Atrn(B)) =
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18.
det(AB) – det(A)det(B)=
19.
A 1 
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Práctica 4
Propiedad o antipropiedad:
OBS: Para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular, basta elevar la matriz al
exponente (– 1). Las potencias de exponente entero negativo son potencias de la matriz
inversa con exponente positivo.
20.
Encuentre A 1 haciendo uso previamente del comando [augment] que está disponible en
[Acción] o [Interactivo] [Matriz – Crear ►]. Escriba seguidamente del comando augment( la
matriz A, una coma y luego la matriz I, esto es, augment(A,I). Ejecute el comando. Esto
construye en la línea de entrada la matriz aumentada [A:I]. Luego, aplique sobre esta nueva
matriz, el comando [rref], disponible en [Acción] o [Interactivo] [Matriz – Calcular ►]. Compare
el resultado obtenido con el resultado en 19.
21.
Establezca si la igualdad ( AB) 1  B 1A 1 es verdadera o falsa e indique ¿por qué?
22.
Establezca si la igualdad trn( A 1)  (trn( A)) 1 es verdadera o falsa. Justifique.
23.
24.
Muestre que la igualdad det(sA )  s 2 det( A) es falsa. Indique cuál debe ser la corrección
que debe realizarse para tener una igualdad verdadera y verifique su hipótesis.
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones matriciales:
AX = B  X =
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XA = B  X =
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25.
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Práctica 4
Utilice la matriz C para verificar las siguientes propiedades:
i)
La suma de una matriz cuadrada con su traspuesta es una matriz simétrica y su diferencia es
una matriz antisimétrica.
ii)
Si se efectúa sobre las filas de una matriz cuadrada la primera transformación elemental su
determinante no se altera.
iii)
Si se multiplica una fila de una matriz cuadrada por un número real no nulo, el determinante de
la matriz queda multiplicado por ese número.
iv)
Si se intercambian las filas de una matriz cuadrada su determinante cambia de signo.
v)
El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta.
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26.
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Registre una matriz triangular superior o inferior de orden 5 y verifique que el determinante
de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal.
27.
Considere las siguientes matrices:
1 2 3
D 
; E
1  1 2
28.
Práctica 4
 4 10 
 2 7  ; F 


3 0 7 
 7 2 17  .


11 4 27 
Resuelva por el método de Gauss – Jordan la ecuación matricial DX = E.
OBS: La ecuación tiene infinitas soluciones. Aplique el comando [ref] a la matriz ampliada
[D:E] para hallar la matriz escalonada reducida. Será necesario agregar un pivote en la
0 0 
0 0 


diagonal y yuxtaponer a esta matriz las matrices base 0 0 y 0 0 . Use el comando [rref]
 1 0
0 1
para encontrar la matriz solución biparamétrica. Verifique el resultado obtenido.
X=
29.
Resuelva por el método de Gauss – Jordan la ecuación matricial XD = F.
OBS: Recuerde que trn(XD) = trn(D)trn(X). Resuelva utilizando el comando [rref] la ecuación
equivalente trn(D)trn(X) = trn(F). Observe que el orden de la matriz trn(X) es 2x3. Una vez
hallada la matriz solución de esta ecuación, su traspuesta es la matriz solución de la ecuación
original.
X=
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4.2 Problemas de Aplicación.
30.
Para la fiesta criolla de Halloween, una tienda de juguetes importa globos de dos colores,
Anaranjado (A) y negro (N). Todos ellos se venden en paquetes de 2, 5 y 10 unidades a los
precios por paquetes (en Bs. F) indicados en la siguiente tabla:
Paq. de 2 unid.
Paq. de 5 unid.
Paq. de 10 unid.
Color A
0,40
0,80
1,20
Color N
0,30
0,50
0,80
En el último año la tienda vendió el siguiente número de paquetes:
31.
32.
33.
Color A
Color N
Paquetes de 2 unidades
700.000
50.000
Paquetes de 5 unidades
600.000
40.000
Paquetes de 10 unidades
500.000
500.000
Resuma la información contenida en las tablas en dos matrices fila VA y VN que recojan,
respectivamente, la información de las ventas en el año de los globos (A) y (N) y dos matrices
columna PA y PN que recojan, respectivamente, la información de los precios por paquetes de
los globos (A) y (N).
Calcule VA  PA y VN PN . ¿Qué representan estos números?
Una tienda vende dos tipos de bicicletas, Montañeras (M) y de Ciclismo (C). En las
siguientes matrices están representados las ventas de las bicicletas durante cuatro meses, así
como los precios de venta al público y los costos del distribuidor en Bs. F.
M
C
34.
Mar Abr
8
 7
 5
6

May Jun
0
4
5
7 
PVP
Costo
M
C
1.500 1.800 
 900 1.000 


Utilice la multiplicación de matrices para determinar el ingreso total y el costo total de las
referidas bicicletas para cada uno de los cuatro meses.
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