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Quantum Mechanics, Concepts and Applications N. Zettili; Wiley 2001 Quantum mechanics. Second edition V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000 Quantum Physics F. Scheck. Springer, 2007 Essential Quantum Mechanics Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922 Introduction to Quantum Mechanics D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051 Principles of quantum mechanics. Second edition R. Shankar 0306447908 Quantum physics S. Gasiorowicz I. Introducción 1.1 La ecuación de Schrödinger 1.2 Problemas unidimensionales 1.2.1 La partícula libre 1.2.2 Pozos 1.2.3 Barreras y tuneleo 1.2.4 El oscilador armónico II. El formalismo de la Mecánica Cuántica III. Descripción cuántica del átomo. IV. Interacción semiclásica átomo-radiación. Hˆ n En n 0 0 0 ˆ H 0 n En n En E Hˆ Hˆ 0 V (0) n (1) n donde (1) n n (0) |V | n (0) 2 ˆ p Hˆ V rˆ ; Lˆ rˆ pˆ 2m H , L 0 H , Lz 0 2 L , Lz 0 2 nlm r , , Rnl r Yl m , n 1, 2,3...; l n 1; m l Lˆz nlm m nlm 2 2 ˆ L nlm l l 1 nlm Hˆ nlm Ennlm mR e4 Z 2 En 2 2 2 n n 1, 2,3... Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger: 1. Corrección del movimiento del núcleo Usando la masa reducida 2. Estructura fina a) Correcciones relativistas b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita 3. Estructura hiperfina Debida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón 4. Corrimiento Lamb Debido a la cuantización del campo coulombiano Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno Energía de Bohr mc Estructura fina 4 mc 2 Corrimiento Lamb 5mc 2 Estructura hiperfina m 4 2 mc mp 2 2 Constante de estructura fina: e2 / c 1 / 137 2 Energía cinética clásica: p T 2m Energía cinética relativista: T p c m c mc 2 2 2 4 2 Energía cinética clásica: p2 T 2m Energía cinética relativista: T T p 2c 2 m2c 4 mc 2 2 p 2 2 2 4 2 2 p c m c mc mc 1 1 mc 2 4 1 p 1 p 2 mc 1 ... 1 2 mc 8 mc p2 p4 ... 3 2 2 m 8m c Por tanto el hamiltoniano relativista será, en primera aproximación, 2 4 2 p p Ze ˆ H 3 2 2m 8m c r Escrito de otra manera Hˆ Hˆ V 0 donde 2 p Ze ˆ H0 2m r 2 4 p y V 3 2 8m c Usamos ahora teoría de perturbaciones independientes del tiempo para resolver el problema con el potencial de perturbación 1 pˆ V 3 2 8 mR c 2 2 pˆ p Ze 1 Hˆ 0 ; V 3 2 2mR r 8 mR c 2 2 2 2 Lo escribimos como 1 pˆ 1 V 3 2 2 8 mR c 2mR c 2 2 1 2mR c 2 pˆ 2 mR 2 2 Ze 2 Ze 2 H0 H0 r r 1 pˆ V 8 mR3 c 2 2 2 Ze 2 Ze 2 1 nlm H 0 nlm V nlm nlm H 0 2 r r 2mR c Ze 2 Ze 2 1 nlm En nlm En 2 r r 2mR c 2 4 2 e Z Ze 1 2 En 2 nlm nlm En 2 2 r r 2mR c 1 Ze 2 Z 2e4 2 nlm En 2 En 2 nlm 2 2mR c r r 1 2mR c 2 2 1 1 2 2 4 En 2 Ze nlm nlm En Z e nlm 2 nlm r r Por tanto, 1 Enlm 1 2mR c 2 2 1 1 2 2 4 En 2 Ze nlm nlm En Z e nlm 2 nlm r r Tenemos 1 1 1 nlm nlm 2 r an y 1 1 1 nlm 2 nlm 2 3 r a n l 1/ 2 donde a 2 mR Ze 2 1 Enlm 1 2mR c 2 2 1 1 2 2 4 En 2 Ze nlm nlm En Z e nlm 2 nlm r r 1 1 1 nlm nlm r a n2 1 Enlm 1 2mR c 2 y 1 1 1 nlm 2 nlm 2 3 r a n l 1/ 2 1 2 2 1 1 2 4 1 En Z e 2 3 En 2Ze 2 an a n l 1/ 2 1 Enlm 1 2mR c 2 1 2 2 1 1 2 4 1 En Z e 2 3 En 2Ze 2 an a n l 1/ 2 e2 Z Como En 2 2a n se tiene Enlm 1 1 2mR c 2 1 2 2 n En 2 a Ze 2 2 E 2 2 1 n 2 2 2 4 2 En 2 Z e n En 3 En 2 Ze n 2 2 Ze n Ze n l 1/ 2 En2 2mR c 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 2 Z e n 1 2 Ze n 2 2 2 3 Ze n Ze n l 1/ 2 En2 2mR c 2 En2 4n 1 4 2 l 1/ 2 2 m c R 4n 3 l 1/ 2 1 Enlm En 1 4n En 3 2 mR c 2 l 1/ 2 Tenemos que En 13.6 eV ; mR 5.11 10 eV / c así que En 13.6 eV 5 10 2 6 mR c 5.1110 eV 6 2 Erel 2 n E 2mR c 2 4n 3 l 1 / 2 Destruye la degeneración accidental del caso coulombiano. Erel 0 para todo n y l Dado n, cuanto menor es el valor de l mayor es la corrección relativista La corrección es más importante para los niveles 1s y 2s 1 v2 5 Erel E 10 E 2 4c 0.001%, pero detectable Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger: 1. Corrección del movimiento del núcleo Usando la masa reducida 2. Estructura fina a) Correcciones relativistas b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita 3. Corrimiento Lamb Debido a la cuantización del campo coulombiano 4. Estructura hiperfina Debida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón Cuando se aplica un campo magnético externo al átomo de hidrógeno (y a todos los átomos), líneas espectrales bien definidas se desdoblan en múltiples líneas cercanamente espaciadas. Se debe a la interacción del campo magnético externo con el momento dipolar magnético asociado con el momento angular orbital. Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual Si tenemos una distribución de corrientes J , se define el momento magnético 1 r JdV 2c Jackson. Classical electrodynamics. Primera edicion Wiley 1962, capítulo 5 1 r JdV 2c J v qi r ri vi i 1 1 r q r r v dV qi r r ri vi dV i i i 2c 2c i i qi qi 1 1 1 qi ri vi ri pi Li 2c i 2c i mi 2c i mi qi 1 Li 2c i mi En el caso del electrón e L L gl B 2mc donde hemos introducido el magnetón de Bohr e B 2mc y gl 1 e B 2m e L L gl B 2mc e B 2mc e B 2m Dado que la energía de interacción está dada como (Jackson) U B tenemos U gl B LB y si B Bz kˆ entonces U gl B BLz Hˆ n En n 0 0 0 ˆ H 0 n En n En E Hˆ Hˆ 0 V (0) n (1) n donde (1) n n (0) |V | n (0) V En nlm gl B gl B gl B BLz gl B BLz nlm B nlm Lz nlm Bm g l B mB En mB B V gl BmB ; En nlm gl B BLz nlm mB B Introduciendo la frecuencia de Larmor eB L 2mR c En L m E 4 1 B E c t 4 1 E B J c c t B 0 q F qE v B c E B A E 4 E 1 B c t B 4 1 E J c c t B 0 q F qE v B c E B A q U q r A r v c y 1 2 q L T U mv A v q 2 c q U q r A r v c Fj d U U dt q j q j q dAx q Fx q vA c dt x c x dAx Ax dx Ax dy Ax dz Ax A A vx x v y x vz dt x dt y dt z dt x y z Ax Ax q Ax q Fx vx vy vz q vA c x y z x c x q q F v A q v A c c v A v A v A F q q v A c q F qE v B c E 4 E 1 B c t B 4 1 E J c c t B 0 q F qE v B c E B A 1 2 q L T U mv A v q 2 c En el caso del campo electromagnético el hamiltoniano que se obtiene haciendo la transformación de Legendre 2 q p A c H q 2m d 2r v La fuerza de Lorentz: m 2 e E r , t B r , t dt c H Las ecuaciones de Hamilton: qk pk 2 H pk qk 1 ˆ e ˆ H p A r , t e r 2m c pˆ 2 H0 2m e ˆ pˆ pˆ A(r , t ) c 2 ˆp 2 1 ˆ e ˆ H0 H p A r , t e r 2m 2m c 1 H 2mR 1 2mR 2 ˆ e ˆ p c A r , t e r 2 e ˆ e ˆ ˆ e ˆ p A r , t i A i A c c c 2 2 ie ˆ ie e ˆ ˆ2 A A A 2 2mR mR c 2mR c 2 mR c 2 2 2 ie ˆ ie e ˆ ˆ2 A A A 2 2mR mR c 2mR c 2mR c 2 B A A´ A A´ A 2 A´ 0 A 2 2 2 ie ˆ ie e ˆ ˆ2 A A A 2 2mR mR c 2mR c 2mR c 2 A 0 2 2 ie ˆ e ˆ2 H A A 2 2mR mR c 2mR c 2 Si tenemos un campo magnético uniforme, entonces podemos poner 1 A Br 2 1 A Br 2 Como C D C D D C D C C D tenemos 1 A B r B r r B r B B r 2 1 A Br 2 A B r r B r B B r r 3 B 0 r B 0 B r B r , , x, y , z x y z x y z 3 x y z 1 A Br 2 A B r r B r B B r r 3 B 0 r B 0 B r B Ecuaciones de Maxwell. No hay monopolos magnéticos. 1 A Br 2 A B r r B r B B r r 3 B 0 r B 0 B r B El campo es uniforme 1 A Br 2 A B r r B r B B r r 3 B 0 r B 0 B r B B r Bx By Bz x, y , z x y z Bx x By y Bz z x Bx 1 A Br 2 A B r r B r B B r r 3 r B 0 B 0 B r B 1 A 3B B B 2 2 2 ie ˆ e ˆ2 H A A 2 2mR mR c 2mR c 2 1 A Br 2 ie ˆ ie ˆ A r B mR c 2mR c Así que el segundo término del Hamiltoniano es ie ˆ ie ˆ A r B mR c 2mR c A B C B C A C A B ˆ ˆ ˆ ˆ i r B r B p B r pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r pˆ B L B B L ie ˆ ie e ˆ ˆ ˆ A r B B L mR c 2mR c 2mR c 2 2 ie e ˆ ˆ2 2 H A A 2 2mR mR c 2mR c ie ˆ e ˆ ˆ A B L mR c 2mR c 2 2 e ˆ ˆ e ˆ2 H B L A 2 2mR 2mR c 2mR c 2 2 2 e e ˆ2 ˆ ˆ H 2 B L A 2 2mR 2mR c 2mR c El tercer término del hamiltoniano (B es a lo largo de Z ) se puede poner como: 2 2 2 e e ˆ2 ˆ A r B 2 2 2mR c 8mR c ˆ r B 2 ˆ r B r Bkˆ iˆ ˆj kˆ x y z yiˆ xjˆ y , x, 0 0 0 1 B x y ˆ r B 2 2 2 2 2 2 e e ˆ2 ˆ ˆ 2 H B L A 2 2mR 2mR c 2mR c El tercer término del hamiltoniano (B es a lo largo de Z ) se puede poner como: 2 2 2 e2 ˆ 2 e2 e B ˆ 2 2 A r B x y 2 2 2 2mR c 8mR c 8mR c 2 2 2 e e B ˆ ˆ 2 2 H 2 B L x y 2 2mR 2mR c 8mR c e ˆ ˆ e2 B 2 2 2 Comparemos los términos BL y x y : 2 2mR c 8mR c ˆ Tenemos que L e ˆ ˆ BL 2mR c y que x 2 y 2 e / 2mR c e2 B 2 2 2 x y 2 8mR c B y 2 2 2 2 e / 8 m c a 0B R a02 , así que 2 2 2 e e B ˆ ˆ 2 2 H 2 B L x y 2 2mR 2mR c 8mR c Así que T3 T2 e 2 / 8mr c 2 a02 B 2 e / 2mr c B 1 e2 B 1 B B 2 2 4 c e / a0 548 e / a0 9 109 Gauss Como normalmente B 104 Gauss, T3 5 10 T2 2 2 2 e e B ˆ ˆ 2 2 H 2 B L x y 2 2mR 2mR c 8mR c Así que T3 e / 8mr c a B 1 e2 B 1 B B 2 2 9 T2 e / 2 m c B 4 c e / a 548 e / a 9 10 Gauss r 0 0 2 2 2 0 2 En las estrellas de neutrones, donde B 10 Gauss 12 este término puede ser muy importante 2 e ˆ ˆ H B L 2mR 2mR c 2 Habiendo despreciado el tercer término, debemos ver si el segundo puede ser tratado como una perturbación. Tenemos e / 2mr c B T2 B 2 Energia del potencial de Coulomb e / a0 5 109 gauss que en las condiciones normales es muy pequeño. 2 1 ˆ e ˆ H p A r , t e r 2m c 2 e ˆ ˆ H e r BL 2mR 2mR c 2 e Potencial perturbativo: V BLz 2mR c eB Introduciendo la frecuencia de Larmor L 2mR c Escribimos el potencial perturbativo como V L Lˆz Potencial perturbativo: V L Lˆz Tenemos que Vˆ nlm r L m nlm r , por tanto, nlm Vˆ nlm L m y mR e Z m L 2 2 2 n 4 Enm 2 n2 2,1, 1 l 1 2,1, 0 m 1, 0,1 2,1, 1 Cuando se aplica un campo magnético externo al átomo de hidrógeno (y a todos los átomos), líneas espectrales bien definidas se desdoblan en múltiples líneas cercanamente espaciadas. Se debe a la interacción del campo magnético externo con el momento dipolar magnético asociado con el momento angular orbital. l2 l 1 E0 E0 E 2 m2 L 2 m1 L n2 n1 1 1 E0 E0 E 2 2 L m2 m1 E0 2 2 L m n1 n2 n1 n2 ¿Por qué hay solo 3 líneas y no 15? Por las reglas de selección: l 1 m 0, 1 l2 l 1 m 0, 1 l 1 1 1 E E0 2 2 L m n1 n2 6. (El principio de la medición) Si el estado de un sistema es x, t cn n x, t n entonces la probabilidad que una medición encuentre al sistema en el estado j es j j 2 c c cj . Por lo tanto, w j c j j , j 2 2 2 Atomo con momento dipolar eléctrico: d ei ri Regla de selección para el átomo hidrogenoide: nl m r nlm 0 si n entero arbitrario, l 1, m 0, 1 Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual 2 p 1s 1 5890 A 2 5896 A Nj L 0 bar L Nj B e e N e Ng Lg L jg 2mc 2mc Energía de interacción: U B Torca: B Fuerza: F U B U B F U B B ( A·B) ( A·)B (B·) A A ( B) B ( A) F B ( ·) B ( B·) ( B) B ( ) y por tanto F B ( ·) B ( B) Tenemos kˆ iˆ ˆj B x y z y Bz , x Bz , 0 0 0 0 Bz y ( ·) B x x y y z z 0, 0, Bz 0, 0, x x Bz y y Bz z z Bz z z Bz kˆ U B F U B B Si el campo es homogéneo y en la dirección Z , ˆ F Bk z z z l 1 m 1, 0, 1 Lˆz n,1,1 n,1,1 Lˆz n,1, 0 0 Lˆz n,1, 1 n,1, 1