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1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Sistema de ecuaciones lineales
a11 x1  a12 x2  a13 x3 ...  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3 ...  a2 n xn  b2
...
ai1 x1  ai 2 x2  ai 3 x3 ...  ain xn  bi
...
am1 x1  am 2 x2  am 3 x3 ...  amn xn  bm
n es el número de incognitas
m es el número de ecuaciones
En términos de matrices el sistema
de ecuaciones se puede escribir
 a11

a
 21
 .

 .
 .

 am1
a12
a22
am 2
... a1n  x1   b1 
   
... a2 n  x2   b2 
 .   . 
    
 .   . 
 .   . 

  

... amn  xm   bm 
Si
 a11

a
 21
 .
A
.

 .

 am1
a12
a22
am 2
a1n 

... a2 n 





... amn 
...
 x1 
 
x
 2
 . 
x  
 . 
 . 
 
 xm 
y
 b1 
 
b
 2
 . 
b  
 . 
 . 
 
 bm 
El sistema de ecuaciones se escribe
Ax  b
Ax  b
1
1
A Ax  A b
1
Ix  A b
1
xA b
1.Suma, multiplicación por
un escalar y transposición
2.Multiplicación de matrices
3.Matrices inversas
4.Matrices elementales
Si A es una matriz cuadrada,
una matriz B es llamada la
inversa de A si y sólo si
AB  I
y BA  I
Si A es una matriz cuadrada, una matriz B es llamada
la inversa de A si y sólo si AB  I
y BA  I
Una matriz que tiene matriz inversa
es llamada matriz invertible.
Si A es una matriz cuadrada, una matriz B es llamada
la inversa de A si y sólo si AB  I
y BA  I.
 Hay matrices que no tienen inversa
 Si la inversa existe, es única
Ax  b
1
1
A Ax  A b
1
Ix  A b
1
xA b
Si A es una matriz cuadrada invertible,
existe una secuencia de operaciones
elementales de los renglones que lleva
la matriz A a la matriz identidad I del
mismo tamaño, escribimos A  I.
Si A es una matriz cuadrada invertible, existe una
secuencia de operaciones elementales de los
renglones que lleva la matriz A a la matriz
identidad I del mismo tamaño, escribimos A  I.
Esta misma serie de operaciones en los
1
renglones lleva la matriz I a A .
 1 1 0 1 0 0 


3
0
2
0
1
0


 1 0 1 0 0 1 


 1 1 0 1 0 0 
 1 1 0 1 0 0 

 R2 3R1 

 3 0 2 0 1 0    0 3 2 3 1 0 
 1 0 1 0 0 1 
 1 0 1 0 0 1 




 1 1 0 1 0 0 
 1 1 0 1 0 0 
R3  R1 
 R3 /3 


  0 3 2 3 1 0    0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 
 0 1 1 1 0 1 
 0 1 1 1 0 1 




1 0 0
 1 1 0


 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 
 0 1 1 1 0 1 


1 0 0
 1 1 0


R3  R2
  0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 
 0 0 1 / 3 0 1 / 3 1 


1 0 0
 1 1 0


3 R3

  0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 
0 0

1
0

1

3


1 0 0
 1 1 0


 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 
0 0

1
0

1

3


1 0 0
 1 1 0
 1 1 0 1 0 0 
2

 R2  3 R3 


  0 1 2 / 3 1 1 / 3 0  
  0 1 0 1 1 2 
0 0

 0 0 1 0 1 3 
1
0

1

3




2
R2  R3
3
1 0 0 0 1 2 


R1  R2

  0 1 0 1 1 2 
 0 0 1 0 1 3 


Sea A una matriz n  n.
A es invertible o no singular si existe
una matriz B de rango n  n tal que
AB = BA = I n
Sea A una matriz n  n. A es invertible o no singular si existe una
matriz B de rango n  n tal que AB = BA = I n
 La matriz B se llama inversa de A y se denota A
 Cuando existe la matriz inversa es única
1
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Toda matriz cuadrada n  n tiene asociado
un determinante, que es un número complejo.
El determinante de la matriz A se escribe
det A  A 
a11
a12
...
a1n
a21
a22
... a2 n
an 2
... ann
.
.
.
an1
det  A  
n
sgn    a   


S n
i 1
i,
i
La suma se calcula sobre todas las
permutaciones  de los números
1, 2,3,..., n y sgn   es
 1 si la
permutación es par ó  1 si es impar.
det  A  
n
sgn    a   


S n
i 1
i,
i
La suma se calcula sobre todas las permutaciones 
de los números 1, 2,3,..., n y sgn   es  1 si la
permutación es par ó  1 si es impar.
*Permutaciones del 1 y el 2:
así que
det  A   a11a22  a12 a21
1,2  ,  2,1
En el caso de una matriz cuadrada 2  2
el determinante es el número complejo
det A  A 
a11
a12
a21
a22
 a11a21  a21a12
1 3
2
 1 3 
 det 
  1   4
4
2 4 
  3   2 10
det  A  
n
sgn    a   


S n
i 1
i,
i
La suma se calcula sobre todas las permutaciones 
de los números 1, 2,3,..., n y sgn   es  1 si la
permutación es par ó  1 si es impar.
Permutaciones del 1, 2 y 3
1, 2,3 , 1,3, 2  ,  2,1,3 ,  2,3,1 , 3, 2,1 , 3,1, 2 
así que
a11a22 a33  a11a23a32  a12 a21a33  a12 a23a31  a13a22 a31  a13a21a32
En el caso de una matriz cuadrada 3  3
el determinante es el número complejo
a11
a12
a13
det A  A  a21
a22
a23 
a31
a32
a33
 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32
 a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31
5
3
3
1
4
2
3
5

0  det  3
4
3

3
1
2
3 

0 

3 
Truco que solo sirve para matrices 3x3
1) Se duplican los renglones 1 y 2
5
3
3
3
1
0
4
2
3
5
3
3
3
1
0
2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo +
y diagonalmente hacía arriba con signo 3
3
3 1
0
5
4
2
5
3
3 1
 5 1 3   3 2  3   4  3 0  15  18  0

 12
3 
  3 3 3   5  2  0    4  1 3 27  0  12
3
0
1
0
2
0
2
4
1
5  det 4
1
5
2
3
2
3
2
1
0
2
4
1
5
2
3
2
1
0
2
4
1
5

2  24  0
0  15  4
1
2
11 2    4  3 2    2  0  5 

  4  0  2   1 3 5    2 1 2 
 33
1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz son cero, entonces su determinante es cero
2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz se multiplican por el mismo número k , entonces
su determinante se multiplica por k .
3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se
intercambian, el determinante cambia de signo
4.- Si una fila o una columna de una matriz es
proporcional a otra fila o a otra columna, el
determinante es cero.
5.- Si todos los elementos de una fila o de una
columna se pueden expresar como la suma de
dos términos, entonces el determinante puede
escribirse como la suma de dos determinantes,
cada uno de los cuales contiene uno de los
términos en la fila o columna correspondiente.
6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna
se le añade k veces el elemento correspondiente de otra
fila o columna, el valor del determinante no cambia.
Si la matriz A es triangular,
entonces
det  A   a11a22 a33 ...ann
es decir, el determinante es el
producto de los elementos
diagonales.
Usando las propiedades 1 a 6 expuestas
arriba, se lleva la matriz original a una
forma triangular cuyo determinante es
el producto de los elementos de la
diagonal
Sea una matriz A cuadrada n  n.
Eligimos una fila, la i,
entonces
n
det  A    aij  1
j 1
i j
M ij
donde M ij es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila i y la columna j
 a11

a
 21
 .
M ij  
 .
 .

 am1
a12
...
a22
...
aij
am 2
...
a1n 

a2 n 





amn 
Sea una matriz A cuadrada n  n.
Eligimos una columna, la j,
entonces
n
det  A    aij  1
i 1
i j
M ij
donde M ij es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila i y la columna j
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
1) Se escoge un renglón.
Elegimos el primero.
2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno.
Empecemos por el elemento 5.
3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón
y la colum na del elemento escogido, es decir
-1
0
2
3
A este determinante se le llama menor
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
4) El determinante obtenido (el menor) se
multiplica por el elemento y se pone como
signo  -1
Número de columna+Número de renglón
En este caso  -1
1 1
5
-1
0
2
3
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
5) Se hace lo mismo con todos los
elementos del renglón escogido.
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
  1
11
5
1
0
2
3
  1
1 2
 3
3
0
4 3
  1
 5  3  3  9   3 10   15  27  30  12
1 3
 3
3 1
4
2

0
3
4
2
1
0
2
2
1
3
2
1
3
2
3
1
  1
11
0
0
2
3
2
1   1
2
3
1
1
  1
1 3
 4  1
3
1
 3 1
3
2

2
0
2
1 2
2
 3 1
3
2
1 4
1 
3
1
2
2
1
1  4 1
2
1  2 1
3
1
3
1
3
2
0
2 
3
2
3
2
3
2
 2  1
1
1
2
1
1   1
3
2
1
0
3
2
3
2
2 
3
1
2 2
1 2
1 1
3
3
1
1
0
2
1 3
1 1
3
2 1
1
0
1 3
3
2
2
2 1
3
2
1
3 1
3
  2 
1 1
 0
1 1
1
2 1
3
2
2 3
 0
3
3
1
1
1 2
3
3
  2 
1 2
  2 
1 3
  2 
3
3
2
3
1 3
3
 1 5   2  2   2  9   9
2
 1 1   0  2   2  7   13
 113   0  9   2  7   27
0
3
4
2
1
0
2
2
1
3
2
1
3
2
3
1
2
2
3
2
1   1
2
3
1
0
  1
11
0
1
  1
1 3

 4  1
3
1
1 2
2
2
1 
3
1
 3 1
3
0
2
3
1   1
2
1
1
1 4
 3  9   4 13  2  27   25
2
 2  1
3
0
2
3
2 
2
3
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Un espacio vectorial es un conjunto V en el que hay definidas
dos operaciones:
suma + y multiplicación  por un escalar.
* Es cerrado respecto a las dos operaciones
* Existe el 0 respecto a la suma
* Existe el inverso respecto a la suma
* Las operaciones son asociativas y distributivas
Sea V un conjunto no vacio de objetos, llamados elementos.
El conjunto V es un espacio lineal, o espacio vectorial o
espacio vectorial lineal si:
Axioma de cerradura bajo la suma:
Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos x y y en V
corresponde un único elemento en V llamado la suma
y denotado como x  y
Sea V un conjunto no vacio de objetos, llamados elementos.
El conjunto V es un espacio lineal, o espacio vectorial o
espacio vectorial lineal si:
Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:
Axioma 2. Para cualquier elementos x en V y para
cualquier escalar a corresponde un único elemento
en V llamado el producto de a por x y denotado como ax
Axioma 3. Conmutatividad de la suma
Para todos x y y en V se tiene
x y yx
Axioma 4. Asociatividad de la suma
Para todos x, y y z en V se tiene
 x  y  z  x   y  z
Axioma 5. Existencia del elemento 0
Hay un elemento en V , denotado por 0, tal que
x  0  x para todo x en V
Axioma 6. Existencia del negativo
Para todo elemento x en V , el elemento  -1 x tiene la
propiedad
x   -1 x  0
Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por
un escalar
Para todo x en V y para todos los escalares
a y b, se tiene
a  bx    ab  x
Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un
escalar respecto a la suma en V
Para todo x y y en V y para todo escalar a, se tiene
a  x  y   ax  ay
Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares
Para todo x en V y para todos los escalares a y b,
se tiene
 a  b  x  ax  bx
Axioma 10. Existencia de la identidad
Para todo x en V , se tiene 1x  x
•Espacios vectoriales reales
•Espacio vectoriales complejos
A los números utilizados como multiplicadores se
les denomina escalares. A los escalares los
denotaremos por letras itálicas
A los elementos del espacio vectorial les
llamaremos genéricamente vectores. A los vectores
los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba
Sea R n el conjunto de todas las n-adas de números reales.
Para cualesquiera dos elementos
x   x1 , x2 ,..., xn  y y   y1 , y2 ,..., yn  de R n
definimos la suma x  y como la n-ada
x  y   x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  y3  .
Para cualquier número real r
y para cualquier n-ada x   x1 , x2 ,..., xn  de R n
definimos el producto por un número real rx
como la n-ada
rx   rx1 , rx2 ,..., rxn 
1) x  y  R n
2) rx  R n
3) x  y  y  x
4)  x  y   z  x   y  z 
5) x  0  x
6) x   1 x  0
7) r  sx    rs  x
8) rx  ry  r  x  y 
9) rx  sx   r  s  x
10) 1x  x
R
n
V   f :  a, b   R f continua
M  m  n   Matrices m  n
Sea V el conjunto de funciones continuas definidas en el
intervalo  a, b .
V   f :  a, b   R f es continua en el intervalo
La suma y la multiplicación por un escalar son las usuales,
y ante bajo esas operaciones las funciones siguen siendo
continuas, así que el conjunto es cerrado ante ambas
operaciones.
Las demás propiedades son triviales.
El conjunto de matrices de un tamaño dado,
con componentes en los complejos C ,
es un espacio vectorial
Mat m n  C 
 El cero 0 es único
 El negativo, denotado como  v , es único
 0v  0
 r0  0
   r  v    rv   r  v 
 Si rv  0 entonces r  0 ó v  0
 Si rv  ru y r  0, entonces v  u
 Si rv  sv y v  0, entonces r  s
   v  u    v    u   v  u
 v  v  2v , v  v  v  3v , y en general
n
 v  nv
i 1