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NUMEROS COMPLEJOS
EJERCICIOS GRUPO 1
En cada uno de los ejercicio del 1 al 12 calcular los valores reales de x e y que
cumplen con la relación dada.
1. x + yi = 2 – 3i
5. ( x + yi )2 = 3 - 4i
2. 3x – 2yi = 6 + 4i.
6. (x - yi)2 = -8 - 6i
3. x + 3y + (2x – 3y - 9)i = 0
7. x2 - 4y + ( 2y - x)i = 2 - i
4. 2x – y + (3y-2x)i = 2 – 2i
8. x2 + y2 – 2 + ( x + 3y – 2 )i = 0
9. (2x + y) + (3x - 4y)i = (x - 2) + (2y - 5)i
10. (1 - i)x + (1 + i)y = 1-3i
11. (2+3i)x2-(3-2i)y=2x-3y+15i
12. (4x2 + 3xy) + (2xy - 3x2)i = 4y2 - 1/2 x2 + (3xy - 2y2)i
En cada uno de os ejercicios (del 13 al 49), efectuar las operaciones indicadas
y expresar el resultado en la forma canónica.
1
1
13. (1+i)+(3-2i)
20  a 2   4a 2   9a 2
2
3
14. (4-5i)+(2+7i)
1
1
2
15. (2+  4 )-(3-  9 )
 16a 
 4a 4  3  27
21.
2
a
16. (3+2i)-(6-4i)
22. (1  i)(1  2i)(1  3i)
17  4   9   16
23.          
18 2  36   49  7
24. (3  2i)(3 - 2i) )
19 (4 - 3i)(3  4i)
25. . (  3   2   1)(  3   2   1)
26. (  1   2   3 )(  1   2   3 )
1
27 (1  i)4
31
3
2
28. ( 
29. (
30.
3
3i )3
2
2
2 6

i)
2
2
5
3
1  2i
3
32.
2i
3i
33.
1 i
2i
34.
1  2i
1 i
1 i

1  2i 1  2i
1  2i 2  i
)(
)
41 (
3  4i 2i
2  36i 7  26i

42..
6  8i
3  4i
35.
i5  3
i3  1
2
36. (1  i)
37. (1  i)1  i 1
38. (1  i)2  i 2
40
43. (3  i 3 )3
44. (1  i)3  (1  i)3
45. (1  i)3  (1  i)3
-1-
NUMEROS COMPLEJOS
6
46. (1  i) /(1  i)
47. (1  i) /(1  i) 4n 1 n  Z 
48. (
49.
2
1 i 7
1 i 4
(
)
2
)
i
50. z  1 
i
1
1
4
i
1 i
51. Expresar las siguientes potencias en la forma canónica: a+bi
a) i 9
f) i 4 n 1n  Z 
1
3
j) (  i )3
15
b) i
g) i 4 n  3n  Z 
2
2
c) i 2 2
h) i1 9 0 1
k) (i  1)2  (i  1)2  i 4
48
2
3
7 3
d) i
i) (4i  3i  4i  i )
e) i1 5 7
52 Escriba en la forma canónica todos aquellos número complejos z tales que la
parte real de 1/z sea igual a 1/2 , y que:
a)
b)
c)
d)
e)
la parte imaginaria de z sea cero.
La parte imaginaria de 1/z sea ½
La parte imaginaria de z sea ½.
La parte imaginaria 1/z sea 1.
La parte imaginaria se z sea 1
53 Si z  2  3i, hallar im(
z-z
).
3z  z 2
54 . Hallar los valores reales de x e y para los cuales:
a) ( x  i) /(3  i)  ( y  1) /(3  i)  i
b) y2  iy 2  6  i  2x  ix
c) (x-i)2-( 2 y  i)2  4( 3-1 )i- 2 y 2-x
55. Probar que:
a) x3  y3  3xy  1, si x  (1  3i) / 2, y  (1  3i) / 2
b)
1  x 2  ix
x  i 1  x2
 i, x  R
56. Hallar el valor de la expresión indicada para el valor dado.
a) 2z 2  3z  2; z  (3 / 4)  ( 7 / 4)i
b)
2z 2  4z  3; z  (1   2 ) / 2
-2-
NUMEROS COMPLEJOS
c)
z 2  8 z  2, z  4  5i
57. Demostrar que el número complejo 1  3i es una raíz de la ecuación
2 x 4  7 x 3  12 x 2  8 x  8  0
58. Demostrar que el número complejo 1  3i también es una raíz de la ecuación
35.
1
2
59. Demostrar que cada uno de los números complejos  
3
1
3
i y  
i
2
2
2
son
una raíz cúbica de la unidad.
60. Demostrar que cualquiera de las dos raíces cúbicas complejas de la unidad,
mencionadas en el ejercicio 59, es igual al cuadrado de la otra.
61. Por factorización, obtener las cuatro raíces de la ecuación x 4  16  0
62. Demostrar que el número complejo a+bi es igual a cero si y sólo si a = 0 y
b = 0.
63. Demostrar que la suma de cualquier número complejo con un negativo es
igual a cero.
64. Demostrar que la operación de restar un número complejo z1de otro número z2
es equivalente a la operación de sumar z2 al negativo de z1.
65. Si n y k son enteros positivos tales que n = 4k + m, en donde m = 1, 2 ó 3,
demostrar que in=im.
66. Si tanto a como b son números positivos, demostrar que:
 a .  b   abi , ( a )( b )  abi,  a (  b )  ab.
67. Obtener definiciones para la suma, diferencia, producto y cociente de dos
números imaginarios puros bi, di, en forma análoga a las definiciones dadas
para números complejos a+bi y c+di.
68 Si el número complejo c +di  0, demostrar que c2+d2  y que, por tanto, el
resultado obtenido en la definición del cociente de dos números complejos es
válido.
69. Demostrar que le conjugado de la suma de dos números complejos es igual a
la suma de dos conjugados.
70. Demostrar que el conjugado del producto de dos números complejos es igual
a la suma de dos conjugados.
71. Demostrar que la suma y el producto de dos números complejos conjugados
producen números reales y que su diferencia es un número imaginario puro.
72. Demostrar que si la suma y el producto de dos números complejos son
números reales, entonces dichos complejos son conjugados.
73. Dados z, z1, z2, w  C, demostrar que
a) z es imaginario puro si y solo si z  z
b) Si z 2  (z ) 2 entonces z es ó un número real ó un número imaginario puro.
-3-
NUMEROS COMPLEJOS
c) El producto z1 z 2 es imaginario puro si y solo si
z1
z2
d) ( z1 )  ( z2 )
z
z2
e)
z1  z2  z1  z2
f)
1
1
( )
z1
( z1 )
es imaginario puro.
g) ( 1 ) 
z1
z2
h) Re( z w  z w)  z w  zw
i)
Im( z w  z w)  z w  zw
74. Hallar el conjunto de los números complejos z que satisfacen:
a)
b)
c)
d)
zz 8
1
z
z
zz
e)
z
100
 ik
k 40
1
z
f)
z
g)
z   (i k )
2
100
z  z  3  2i
k 1
75. Demostrar que:
a) z1 z2  z1z2  2 Re( z1 z 2 ) , sug: z  z  2 Re( z )
b) Re(
z1
z
)  Re( 2 )  1
z1  z2
z1  z2
c)
z1
z
)  Im( 2 )  0
z1  z2
z1  z2
Im(
2
1
2
2
d) Re( z )  Re( z 2 )  ( z 2  z )  x2  y 2
EJERCICIOS GRUPO 2
1. Calcular el módulo del número complejo dado:
a) 1  i
e) 3  5i
f) -6
b)  2  2 3i
g) 2 3  2 3i
c) 1 7i
d)  3  i
h)  4  4 3i
i) cos-isen
j) 4i
2. Expresar los siguientes números complejos en su forma polar:
a) 2  2i
d) 8
g) 12  5i
e)  5  5 3i
b)  5  5 3i
h) 2 3  2i
f) 4i
c) 4  4 3i
i) 5 - 3i
-4-
NUMEROS COMPLEJOS
3. Representar z1  1  i , z2  3  i , z3  1  3i , en su forma trigonométrica, y
luego hallar el número complejo z1 /( z2 z3 ) .
En cada uno de los ejercicios del 4 sl 12 calcular el módulo y el argumento
y hallar la forma polar del número complejo dado.
4. 1  i
5.  2  2 3i
6. 3  3 3i
7.  3  i
8. 2  2i
9. -7
10. 2 2  2 2i
11.  4  4 3i
12. 3i
13. Demostrar que un número complejo y su negativo tienen el mismo
módulo.
14. Demostrar que un número complejo y su conjugado tienen el mismo
múdulo.
15. Realizar las siguientes expresiones y expresar el resultado en su forma
cartesiana.
a) 2(cos 30º + i sen30º) (cos 60º + i sen60º)
b) 3(cos45º + i sen45º). 2 (cos 90º + i sen 90º)
c) 6(cos180º + i sen180º) . ½ (cos 30º + i sen 30º)
d) 2(cos 20º + i sen20º) .7(cos 100º + i sen100º)
e) 3 (cos 140º + i sen 140º) .6(cos 220º + i sen220º)
3(cos130º isen130º )
2(cos 70º isen70º )
h)
g)
6(cos 220º isen 220º )
3(cos 40º isen 40º )
i)
j)
(cos 77º isen 77º )(cos 23º isen 23º )
(cos 55º isen55º )
f)
4(cos 70º isen 70º )
2(cos 50º isen50º )
5(cos135º isen135º )
cos 45º isen 45º
16. Pasando a su forma polar, evaluar:
a)
(4  4i )( 3  3i )
( 3  i)
b)
(1  i )( 3  i )
(1  i )( 3  i )
17.¿Los siguientes números complejos están dados en su forma
trigonométrica?. Si no es así, representarlos en su forma trigonométrica.
a) 4[cos(-90º) + i sen(-90º) ]
d) 2 (sen 30º + i cos30º)
b) 2 cos 120º-2 i sen 120º
c) 5[cos 80º + i sen -80º]
e) -6[cos 40º + i sen40º]
-4-
NUMEROS COMPLEJOS
f) -7[cos 40º - i sen 40º]
g) -2(cos 15º + i sen 15º)
h) - 3 (sen 25º - i cos 25º
18. Calcular y expresar el resultado en forma trigonométrica:
a) (1  i)12
b) (1  i)8
f) ( 
1
2

1
2
c) (1- 3 i)5
3 1 50
 i)
2
2
i)25 g) (
d) (-1+i)9
e) (
2
2

2
2
i)15
h) ( 3 -i) 8
19. Verificar las siguientes igualdades:
a)
(
b) (
1 i 3 6
1 i 3 6
) (
) 2
2
2
1 i 3 5
1 i 3 5
) (
)  1
2
2
c) (
3 i 6 i 3
) (
)  2
2
2
20. Utilizando la fórmula de Moivre, calcular:
a) [3(cos 45º + i sen 45º)]6 d) (cos /4 + i sen/4 )10
b) [2(cos 15º + i sen 15º)]
c) (cos30º + i sen 30º )8
4
g) [2(cos 60º + i sen 60º) ]6
e) (cos 150º + i sen 150º)
f) (- cos /4 + i sen /4)8
21. Probar que:
a) (cos 60º - i sen 60º)6=1
b) [2(cos 45º + i sen 45º)]4 = -16
c) [ 3 (cos 45º + i sen 45º)]6= - 27i
d) [ 2 (cos 56º15’ + i sen 56º 15’)]8 = 16i.
22. Expresar en forma cartesiana.
a) (
b)
(1  i ) 2 ( 3  i )3
2  2i
)
c)
(3  3i) 4 ( 3  i)
(3  3i)6
(  2  6i ) 6
( 3  3i )8 ( 15  5i )7
d) ( 2  3  i 2  3 )6
23. Efectuar los siguientes cálculos, y expresar en forma cartesiana:
a) (
1 i 8
)
1 i
b) (
1 i 6
)
1 i
c)
(1  i ) n
n Z
(1  i ) n  2
24. Hallar los números complejos que sean conjugados:
a) con su cuadrado
b) con su cubo
-2-
NUMEROS COMPLEJOS
25. Hallar los números complejos conjugados tales que su diferencia sea 6i y
cociente un número imaginario puro.
su
26. Dos números complejos tienen igual módulo y uno de ellos es el conjugado del
cuadrado del otro. Si la suma de argumentos es 8 radianes, hallar dichos
números.
GRUPO DE EJERCICIOS 3
En los ejercicios de este grupo las amplitudes o argumentos son ángulos notables cuyas
funciones trigonométricas pueden calcularse sin el uso de tablas. Los resultados finales
pueden pasarse o dejarse en la forma polar.
En cada uno de los ejercicios 1 – 12, calcular la potencia indicada usando el teorema de
De Moivre.
1. [2( cos 15º + i sen 15º)]3
2. [ 2 ( cos 30º + i sen 30º)]4
3. [ 3 ( cos 15º + i sen 15º)]6
4. [2( cos 45º + i sen 45º)]4
5. [ 5 ( cos 20º + i sen 20º)]4
6. [2 ¼ ( cos 150º + i sen 150º)]8
7. (1+i)8
8. (-1+ 3 i)
9. (1-i)-3
10. (-
3 1

2
2
11. (-
3 1
 i
2
2
12. (
 2
2

2
2
i)7
)9
)12
En cada uno de los ejercicios 13 – 18, calcular la potencia indicada usando (a) el
teorema del binomio; (b) el teorema de De Moivre.
13. (1- 3 i)3
15. ( 3 -i)8
17. (-1+ 3 i)5
14. (-1+i)4
1
2
16. ( 
3
i
2
)7
18. (-1- 3 )6
En cada uno de los ejercicios 19 – 31, calcular las raíces que se indican y
representarlas gráficamente.
19. Las raíces cúbicas de -27.
20. Las tres raíces cúbicas de 8(cos 60º + i sen 60º).
21. Las raíces cúbicas de -2 +2i
22. Las cuatro raíces cuartas de -8 -8 3 i
23. Las cuatro raíces cuartas de -4
24. Las cuatro raíces cuartas de 4 - 4 3 i.
-6-
NUMEROS COMPLEJOS
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Las cinco raíces quintas de 32
Las cinco raíces quintas de -16 - 16 3 i.
Las seis raíces sextas de 27i
Las seis raíces sextas de 1 + 3 i.
Las ocho raíces octavas de -128 + 128 3 i
Las ocho raíces octavas de – ½ - 3 /2 i
Las nueve raíces novenas de –i
En cada uno de los ejercicios 32 – 41 calcular todas las raíces de la ecuación dada
usando el teorema de De Moivre y también algebraicamente.
32. x3+8=0
36. x4 – 16 = 0
40. ix 3 + 1 = 0
12
3
33. x – 1= 0
37. x – 27 = 0
41. x 4 + 16i = 0
6
4
34. x – 64 = 0
38. x = -1
4
35. x – 1 = 0
39. x6 + 1 = 0
42. Calcular:
a) [8(cos 60º + i sen 60º)]2/3
b) [4 (cos 300º + i sen 300º)]-1/ 2
-8-