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CLASE 02: NÚMEROS RACIONALES
Números Racionales
Al dividir dos números enteros, no siempre resulta otro número entero. Esto llevó a la necesidad
de ampliar el conjunto Z y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los Números Racionales y
simbolizado por Q. Este conjunto incluye a Z y IN. Su definición es:
Q es el conjunto de los números de la forma a/b, siendo a y b números enteros, con b
distinto de 0.
Obvio que b debe ser distinto de cero, ya habíamos visto que la división por 0 no está definida.
Analicemos el elemento 3/8 perteneciente al conjunto Q
Esta fracción indica que un entero ha sido dividido en 8 partes equivalentes y que se han
considerado 3 partes de ella. (Ver figura)
En la fracción 3/8 el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador
Si efectuamos la división 3 : 8, obtenemos como resultado exactamente 0,375
3 : 8 = 0,375
0//
y los nombres al efectuar esta operación son: el 3 se llama dividendo, el 8 divisor, el 0,375
cuociente y el 0 resto.
Ahora la pregunta: ¿cómo representar 5/3? La respondemos un rato más, basados en los números
mixtos.
Número Mixto
La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera y
otra fraccionaria.
5/3 = 1 2/3, esto resulta de efectuar la división 5:3 = 1
2//
Aquí está la representación que da respuesta a la pregunta anterior, o sea un entero dos tercios
1
El procedimiento para transformar un número mixto en fracción es:
Fracción propia
Son aquellas cuyo numerador en menor que el denominador. En la recta numérica se ubican entre
el 0 y el 1
Por ejemplo, 2/3; 5/7; 12/37
Fracción impropia
Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1. Para
ubicarlas en la recta numérica se necesita transformarlas a número mixto.
Al convertirlas en número mixto, el entero que se obtiene nos indica entre qué números enteros
está la fracción impropia, y la fracción que nos resulta se ubica entre dichos números.
Por ejemplo, 7/3.
7/3 = 21/3
Amplificación
Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador por un mismo número natural.
La fracción obtenida es equivalente a la original.
Ejemplo 2/5
Amplifiquemos 2/5 por 7. Entonces debemos multiplicar el numerador y el denominador por 7
quedando la fracción como 14/35. Luego 2/5 y 14/35 son fracciones equivalentes.
Simplificación
Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser múltiplos de ese número.
De lo contrario, no se puede simplificar la fracción.
Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción irreductible. Como ser
3/7.
Ejemplo: 30/42 la podemos simplificar por 2, por 3, por 6. Lo más conveniente es por 6 así queda
de inmediato irreductible. Al simplificarla se obtiene 5/7
Orden en Q
Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elemento.
Aquí se nos presentan dos casos:
2
a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que tenga el numerador
mayor.
Por ejemplo:
8/25, 3/25, 16/25, 4/25, 26/25
Ordenadas de menor a mayor quedan así:
3/25<4/25<8/25<16/25<26/25
b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Esto se realiza obteniéndo el m.c.m.
entre los denominadores de las fracciones.
Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor 2/3, 1/6 y 5/8
Con los denominadores 3, 6 y 8 obtenemos como m.c.m. al 24.
A continuación, debemos obtener una fracción equivalente para cada una de las anteriores, pero
con denominador 24.
Amplificamos 2/3 por 8 obteniéndose 16/24.
Amplificamos 5/8 por 3, que queda equivalente con 15/24 ;
y 1/6 la amplificamos por 4, obteniéndose 4/24
Al ordenar de menor a mayor resulta 4/24, 15/24 y 16/24. O sea
1/6 < 5/8 < 2/3
Otro método es efectuando productos cruzados de la siguiente manera:
¿Cuál fracción es menor 7/9 ó 11/7?
Ya que 49 es menor que 99, entonces 7/9 < 11/7
OPERATORIA EN Q
Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si no lo son es
conveniente simplificar.
Suma y Resta:
a) Fracciones con el mismo denominador: se suman (cuando es suma) los numeradores y se
conserva el denominador.
3
Ejemplo: 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3
b) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en
el mcm de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior.
Ejemplo: 2/3 + 1/4 - 5/8 =
El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es 24, por la tanto las fracciones equivalentes son:
16/24 + 6/24 - 15/24 = 37/24
Otro método para resolver adiciones y sustracciones es el siguiente:
Multiplicación: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
Ejemplo:
División: Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso multiplicativo de la
segunda fracción.
Ejemplo:
Otro método es multiplicando en forma cruzada, de la siguiente manera:
4
Mitad de un racional
En múltiples ocasiones hemos tenido que utilizar el término mitad. Todos tenemos claro que su
significado es dividir algo en dos partes iguales, pero cuando trabajemos con fracciones,
especialmente en los problemas verbales, lo anotaremos de otro modo. Veamos:
La mitad de 3/7 es 3/7 : 2, que al resolver resulta 3/7 · 1/2 = 3/14.
La mitad de 11/5 es 11/5 : 2, o sea 11/5 · 1/2 que es igual a 11/10.
Vemos que al resolver, siempre terminamos multiplicando por 1/2, por esto definiremos:
MITAD: Multiplicar por 1/2
Luego, la mitad de la mitad de 7/13 es 1/2 · 1/2 · 7/13 = 7/52.
Doble de un racional
El doble de 5/7 es dos veces 5/7, o sea 5/7 + 5/7, pero es mucho mejor traducirlo a 5/7 · 2 = 10/7
O sea, el doble nos indica que debemos multiplicar por 2.
Doble: Multiplicar por 2
Luego el doble de 1/3 es 1/3 · 2 = 2/3
Fracción de Fracción
Ya estamos claros con la mitad y el doble, pero ¿qué debemos hacer si nos piden, por ejemplo, las
tres cuartas partes de 2/5?
Representemos 2/5:
Ahora representemos las tres cuartas partes de 2/5:
Viendo lo recién representado en el entero obtenemos:
5
El resultado obtenido corresponde al producto 3/4 · 2/5, por lo tanto:
La fracción de una fracción corresponde al producto entre ellas
Ejemplos:
1. Determinar los 6/5 de 3/7
Super fácil: 6/5 · 3/7 = 30/21, simplificando por 3 resulta 10/7
2. Determinar los 2/3 de los 5/9 de 4/7
Igual de fácil 2/3 · 5/9 · 4/7 = 40/189
Fracciones a decimales
Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador.
Así si queremos convertir a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8
1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto
Efectuemos ahora la transformación de a forma decimal.
_
2 : 3 = 0,66666...= 0,6 o sea un decimal periódico
Convirtamos a decimal la fracción
_
1 : 6 = 0,166666...= 0,16 o sea un decimal semi periódico
Decimales a fracción
Para transformar un decimal a fracción, sólo vamos a considerar los casos que corresponden a la
PAAM
Decimal exacto: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10; dependiendo la
cantidad de ceros, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.
Ejemplo: 0,4 = 4/10 = 2/5
6
0,36 = 36/100 = 9/25
3,2 = 32/10 = 16/5
Decimal Períodico: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9; dependiendo
la cantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.
_
Ejemplo: 0,4 = 4/9
__
0,17 = 17/99
Caso especial es cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el número
la parte entera como lo indican los siguientes ejemplos:
_
2,7 = (27 - 2) / 9 = 25/9
_
12,3 = (123 - 12) / 9 = 111/9
Adición
Comenzaremos indicando que los elementos de la adición son:
sumando + sumando = suma
Para sumar decimales los sumandos deben ubicarse, de tal forma, que coincidan las columnas de
posición de la parte entera y los de la parte decimal.
En la suma, la coma debe colocarse manteniendo el lugar correspondiente.
Si un sumando no tiene parte decimal, debe ubicarse de acuerdo a las columnas de la parte
entera.
Ejemplos:
1. 0,037 + 0,94
0, 0 3 7
+ 0, 9 4
0, 9 7 7
2. 21,7 + 0,071
2 1, 7
+ 0, 0 7 1
2 1, 7 7 1
3. 23 + 1,096
23
+ 1, 0 9 6
2 4, 0 9 6
7
Sustracción
Es la operación inversa de la adición y sus elementos son:
minuendo - sustraendo = resta o diferencia
Es importante recordar que siempre el minuendo debe ser mayor que el sustraendo.
Para resolver operaciones de sustracción de decimales, además de colocar ordenadamente los
números de acuerdo a su columna de posición, es conveniente igualar el número de cifras
decimales del minuendo y el sustraendo, mediante ceros.
Lo mismo se realiza cuando uno de ellos es entero.
Ejemplos:
1. 0,42 - 0,003
0, 4 2 0
- 0, 0 0 3
0, 4 1 7
2. 15 - 0,271
1 5, 0 0 0
- 0, 2 7 1
1 4, 7 2 9
3. 0,253 - 0,86 ¡Cuidado!
0, 8 6 0
- 0, 2 5 3
- 0, 6 0 7
Multiplicación de decimales
Sus elementos son
factor · factor = producto
Al multiplicar dos números decimales, lo más conveniente es efectuarla como si fueran números
enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras decimales había en total en los
factores.
Ejemplo:
0,07365 · 0,053 lo vamos a multiplicar como si fuera 7.365 · 53 lo cual da 390.345.
Ahora contamos la cantidad de cifras decimales de los factores 0,07365 y 0,053, siendo de 5 y 3,
respectivamente, o sea en total 8 cifras decimales.
Al aplicar la cantidad de cifras obtenidas al resultado 390.345, obtenemos como resultado final
0,00390345.
8
Se debe tener especial cuidado al multiplicar cantidades que terminan en cero ya que no nos
debemos olvidar de agregar, al resultado final, los ceros que contiene la cifra.
Ejemplo 0,0582 · 7300
582 · 73 = 42.486
Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando 4.248.600.
Ahora contamos la cantidad de cifra decimales contenidas en el ejercicio, siendo 4 cifras.
Luego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86.
División de decimales
La división tiene como elementos:
dividendo : divisor = cuociente
Cuando el divisor no cabe exactamente en el dividendo, queda un resto o residuo.
Para dividir números decimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación
Efectuemos la división 36 : 0,5
Esto es lo mismo que decir , fracción que podemos amplificar por 10 (basados en que 0,5 tiene un
solo decimal).
Resulta, entonces,
Efectuamos esta sencilla división 360 : 5 . Luego el resultado final de 36 : 0,5 es 72.
Si queremos comprobar que nuestro resultado está bién, debemos multiplicar 72 · 0,5 y obtener
36.
Otro ejemplo:
3764 : 0,04
En este caso debemos amplificar por 100, ya que 0,04 tiene dos decimales.
Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta de que la división a
efectuar es 376.400 : 4, dando como resultado 94.100.
Pero, ¿cómo debemos operar cuando ambos son decimales?
Dividamos 0,512 : 1,6.
Para amplificar debemos observar cuál de las dos cantidades tiene mayor cantidad de decimales.
En este caso es el 0,512 y él es el que determina que se debe amplificar por 1.000. (3 decimales, 3
ceros)
Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32.
Las divisiones con decimales tiene mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo siguiente:
9
Se tiene una barra de fierro de 1,5 metros de largo y de ella se quieren obtener pernos de 0,075
metros de largo. ¿Cuántos pernos salen? (Resp. 20)
Cuando tenemos multiplicaciones o divisiones de decimales por 10, 100, 1.000..., es decir, por
potencias de 10, sólo necesitamos correr la coma de acuerdo a los ceros de esa potencia.
Debemos hacerlo hacia la derecha ----->, si multiplicamos.
Debemos hacerlo hacia la izquierda <------, si dividimos.
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