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2009
MATEMATICA 8°
BAEZ, HECTOR, OMAR
MATEMATICA 2009
15/07/2009
Números enteros
A menudo utilizamos números enteros, por ejemplo en meteorología,
para asignar valores de temperatura bajo cero; en historia, para fechar
sucesos ocurridos antes del comienzo de la era cristiana (lo indicamos con
las letras a.C., que significan antes de Cristo); en geografía, para medir
las profundidades de las fosas submarinas; y por supuesto, en
matemáticas.
I. Temperaturas
Este mapa muestra distintas temperaturas mínimas registradas en diferentes
puntos de Francia un día del mes de febrero. También se muestran junto al
termómetro de mercurio graduado en grados centígrados: hay temperaturas
sobre cero, que aparecen escritas sin el signo más “+”, y temperaturas bajo
cero que llevan delante el signo menos “-”. Decimos que las temperaturas
sobre cero son positivas, mientras que las temperaturas bajo cero son
negativas. La temperatura 0 no es ni positiva ni negativa.
II. Líneas del tiempo
Vercingetórix venció al ejército de Julio César en el año 52 a.C. en la batalla
de Gergovia. Si ubicamos este acontecimiento sobre una línea del tiempo,
2
estaría situado a la izquierda del 0, que se acordó tomar como el comienzo de
la era cristiana.
En 1492 Cristóbal Colón descubrió América.
En julio de 1969, el astronauta Neil Armstrong pisó la Luna.
Estos dos acontecimientos están situados a la derecha del 0 en la línea
temporal.
Podemos asociar los números -52, 1.492 y 1.969 a estos tres acontecimientos.
A las fechas ubicadas a la izquierda del 0 se les asocian números negativos; a
las ubicadas a la derecha del 0 se les asocian números positivos.
III. Montañas y fosas oceánicas
Para medir la altura de las montañas o la profundidad de las fosas oceánicas,
usamos como punto de referencia el nivel del mar, al que asignamos el
número 0; a las cimas de las montañas les asignamos números positivos y al
fondo de las fosas oceánicas números negativos.
Ejemplos:
—el punto más alto de África está situado en Tanzania, en la cumbre del
monte Kilimanjaro, a 5.895 metros de altura; le corresponde el número 5.895
o +5.895;
—próxima al archipiélago de las islas Marianas en el océano Pacífico, se
encuentra la fosa de las Marianas, con una profundidad de unos 11.000
metros; le asignamos el número –11.000.
IV. Resumen
—Hay números enteros positivos y números enteros negativos.
—Los números positivos son mayores que 0, y los números negativos son
menores que 0; el 0 es el único número entero que no es ni positivo ni
negativo, puesto que no tiene signo.
—Un número entero negativo debe ir precedido de un signo menos (-),
mientras que el signo más (+) de los enteros positivos es opcional, se puede
escribir o no.
3
—Al igual que ocurre con los números enteros, los números decimales
también tienen signo: -3,14; 8,01; etc.
.
Los números enteros son:
Son los naturales y los correspondientes negativos: Z = {…, -11, -10, -9,…, 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}
Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo
que esta estructura mejora a la de los naturales. Sin embargo,
Sumar y restar números enteros
Cuando sumamos o restamos números que llevan signo, ¿cómo tenemos
en cuenta estos signos?
I. Valor absoluto de un número
Ya sabemos que el signo que lleva delante un número lo caracteriza como
positivo o negativo. Pero hay ocasiones en las que nos va a interesar trabajar
solo con el valor numérico del número, sin tener en cuenta su signo. Cuando
hacemos esto se dice que estamos trabajando con el valor absoluto del
número, y para expresarlo se escribe el número entre dos barras verticales.
Ejemplo 1: el valor absoluto de + 5 será:
.
Ejemplo 2: el valor absoluto de -3 será:
.
II. Sumar números enteros
1. Cuando los dos números tienen el mismo signo
Reglas de cálculo:
—sumamos sus valores absolutos;
—al resultado le ponemos el signo de los números. Si los dos son positivos, el
resultado será positivo. Si los dos sumandos son negativos, el resultado llevará
signo negativo.
Ejemplos:
4
(+7) + (+2) = +9, porque
es +9.
(-4) + (- 6) = -10, porque
es -10.
y como ambos son positivos, el resultado
y como ambos son negativos, el resultado
2. Cuando los dos números tienen distinto signo
Reglas de cálculo:
—restamos sus valores absolutos, poniendo como minuendo al de mayor valor
absoluto y como sustraendo al de menor valor absoluto. El signo del resultado
será el signo del número de mayor valor absoluto. Por ejemplo: 5 + (-7) →
. En este caso, el signo del número de mayor valor absoluto (-7) es
negativo. Por lo tanto, 5 + (-7) = -2.
Caso particular: la suma de un número con su opuesto es igual a 0. Por
ejemplo, (-7) + (+7) = 0. Recuerda que el opuesto de un número es el mismo
número en valor absoluto pero cambiado de signo. Por ejemplo: el opuesto de
3 es -3 y el opuesto de -5 es +5.
Ejemplos:
(+9) + (-4) = +5. De los números +9 y -4, el +9 es el que tiene mayor valor
absoluto y por ello es el que aportará el signo “+” al resultado final. Si ahora
hacemos la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor) tenemos:
. Por lo tanto, el resultado es +5.
(+2) + (-8) = -6. En este segundo ejemplo es el -8 el número que tiene mayor
valor absoluto, por lo que aportará su signo “–” al resultado. Si ahora hacemos
la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor) tenemos:
.
Por lo tanto, el resultado es -6.
3. Recuerda
5
III. Restar números enteros
1. Regla de cálculo
Restar un número de otro es lo mismo que sumarle su opuesto. Recuerda que
el opuesto de un número es el mismo número en valor absoluto pero cambiado
de signo. Por ejemplo: el opuesto de 3 es -3 y el opuesto de -5 es +5.
2. Ejemplos
Para restar +5, lo que hacemos es sumar -5.
De este modo: (- 4) - (+5) = (- 4) + (- 5); entonces calculamos el resultado de
acuerdo con las reglas que ya hemos visto; por lo tanto: (- 4) - (+5) = (- 4) + (5) = - 9.
Para restar - 3, lo que hacemos es sumar +3, ya que el opuesto de -3 es +3.
De modo que: (- 8) - (- 3) = (-8) + (+3) = - 5.
Para multiplicar dos números enteros: se multiplican sus valores
absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del
mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos
distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del
signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del
siguiente modo:
+·+=+
+·-=-·+=-·-=+
6
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a·b=b·a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a·1=a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
DIVISIBILIDAD
ES UNA
NN
RELACION DE NUMEROS
SE
CLASIFICAN
APARESE
EN
MULTIPLO
DIVISOR
M.C.M
M.C.D
PRIMOS
7
COMPUESTOS
CALCULAR:
Calcular mentalmente e indicar cuales de las siguientes divisiones son exactas
o enteras:
a) 125:5=
b) 28:6=
c) 140:7=
Un numero a es múltiplo de un numero b, si al dividir a entre b, la división es
exacta.
Ejemplo: 6:3=2 como la división es exacta quiere decir que 6 es múltiplo de 3
Un numero b es divisor de otro a si al dividir a por b la división es exacta.
Decir que un numero a es múltiplo de otro b, es lo mismo que decir que b es
divisor de a.
a:b=c es lo mismo que decir a=b.c
a
b
Ejemplo:
6:2=3 es lo mismo que decir 6=2*3
Cuando queremos expresar que un número a es múltiplo de un número b, lo
podemos escribir así:
a = bº y se lee: «a es múltiplo de b»
12 = 3º y se lee: «12 es múltiplo de 3»
8
Múltiplos
a) Todo número es múltiplo de sí
mismo.
Ejemplo
5 es múltiplo de 5 porque 5 · 1 = 5
b) Todo número es múltiplo de 1
Ejemplo
7 es múltiplo de 1 porque 7 · 1 = 7
c) El cero es múltiplo de cualquier
número.
Ejemplo
El 0 es múltiplo de 2 porque 0 · 2 = 0
d) Todo número tiene infinitos
múltiplos.
Ejemplo
Escribimos el conjunto de múltiplos
de 3. Vamos multiplicando el 3 por
los números naturales 0, 1, 2, 3, 4,…
3·0=03·1=3
3·2=6…
Divisores
Divisores
a) Todo número es divisor de sí mismo.
Ejemplo
5 es divisor de 5 porque 5 : 5 = 1
b) El 1 es divisor de cualquier número.
Ejemplo
El 1 es divisor de 7 porque 7 : 1 = 7
c) El cero no es divisor de ningún
número.
Ejemplo
El cero no es divisor de 2 porque no
se puede dividir 2 entre 0
d) El conjunto de los divisores de un
número es finito.
Ejemplo
Calculamos los divisores de 6.
Hacemos todas las divisiones entre el
divisor más pequeño, que es 1, y el
divisor mayor, que es 6
Div (6) = {1, 2, 3, 6}
NUMEROS PRIMOS Y NUMEROS COMPUESTOS
Penza un instante:
Por cuantos números podes dividir a 3 y -3 pero que la división te de exacta.
Por cuantos números podes dividir a 6 y -6 pero que la división te de exacta.
……………….. Ya te diste cuenta que 3 y -3 tiene no mas que cuatro divisores (3, -3, 1
y -1)…………….. En cambio 6 tiene como divisores a (6,-6,3,-3, 2, -2, 1 y -1).
A los números enteros que tienen nada más que cuatro divisores se los llama
números primos y a los números enteros que tienen más de cuatro divisores se los
llama números compuestos.
9
Qué opinas de estos números serán primos o compuestos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1
2
-2
21
-37
122
A todo número compuesto positivo se lo puede factorizar o expresar como un producto
de primos también positivos.
Ejemplo:
18=2*3*3
21=3*7
Criterios de divisibilidad
¿Cómo nos damos cuenta porque numero podemos dividir?
a) Un número es divisible por dos cuando termina en cero o cifra par.
Ejemplo:
a) 4:2=2 y su resto es cero.
b) 20:2=10 y su resto también es cero.
c) Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplo:
a) 33:3=11 la suma de sus cifras da 6 y seis es múltiplo de 3 porque 3*2=6.
b) 45:3=15 la suma de sus cifras es múltiplo de 3, pues 3*15=45.
c) Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 (cero) o en 5 (cinco).
10
Ejemplo:
a) 35:5=7 termina en 5.
b) 100:5= 20 termina en 5
d) Un número es divisible por 6 cuando lo es por 2 y por 3.
Ejemplo:
a) 12 es divisible por dos, pues termina en cifra par y es divisible por 3 porque
la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Unir con una flecha al número dado y su respectivo divisor
NUMEROS
DIV-POR
16
2
6
93
5
50
3
NING
17
Descomposición factorial de un numero en sus factores primos
11
Un número compuesto se puede expresar como un producto de números
primos.
Casos simples:
Hacemos la descomposición.
Ejemplo:
4 = 22 6 = 2 · 3 8 = 23 9 = 32 12 = 22 · 3
Procedimiento para números grandes
Ejemplo:
Haz la descomposición factorial de 84 y de 120:
842
42 2
21 3
7 7
1
120 2
60 2
30 2
84=2*2*7
120=2*2*2*3*5
15 3
5 5
1
=2^2*7
=2^3*3*5
La descomposición factorial de un número consiste en expresar dicho
número como producto de números primos.
Para hacer la descomposición factorial de un número dividimos ese
número entre los números primos comenzando por el más pequeño. Primero
el 2, tantas veces como se pueda, luego el 3, etc.
Factorea cada uno de los siguientes números:
12
a) 35 b) 72 c) 1120 d) 93
MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
El máximo común divisor de dos o más números a, b, c, d,… es el
mayor de los divisores comunes a dichos números. Lo representamos con
M.C.D. (a, b, c, d,…)
Según esta definición, para encontrar el máximo común divisor de varios
números se debe:
a) hallar los divisores de cada número;
b) seleccionar los divisores comunes de los números y tomar el divisor mayor.
Ejemplo
Calcula el máximo común divisor de 12 y 18
Los divisores de 12 son: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Los divisores comunes son {1, 2, 3, 6}
El mayor divisor es el 6. Lo escribimos: M.C.D. (12, 18) = 6
.
DIV. 12
4
12
DIV. 18
1,
2,
3, 6
9
18
El máximo común divisor de dos números esta dado por el número más alto
que pertenece a la intersección de los conjuntos de los divisores.
13
Dos números son primos entre sí, si el máximo
común divisor es 1 (uno).
Ejemplo:
a) Divisores de 7= (1, 7)
b) Divisores de 4= (1, 2, 4)
El D.C.M. (7 y 4)= 1
Procedimiento para números grandes
a) Se hace la descomposición en factores primos de los números.
b) Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente
con el que aparecen y se multiplican.
Ejemplo
Calcula el máximo común divisor de los números 40 y 70
a) Se hace la descomposición en factores primos:
40 2
70 2
20 2
35 5
10 2
7 7
55
1
1
b) Se eligen los factores comunes:
40 = 2^3 · 5
70 = 2 · 5 · 7
14
M.C.D. (40, 70) = 2 · 5 = 10
El M.C.D. es el número más grande que divide a 40 y a 70 a la
Vez.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números a, b, c, d,… es el
menor de los múltiplos comunes a dichos números distinto de cero. Lo
representamos por m.c.m. (a, b, c, d,…).
Según esta definición, para encontrar el mínimo común múltiplo de varios
números se debe:
a) hallar los múltiplos de cada número;
b) seleccionar los múltiplos comunes de los números y tomar el múltiplo
menor.
Ejemplo
Calcula el mínimo común múltiplo de 4 y 6
Los múltiplos de 4 son {0, 4, 8, 12, 16, 20,24…}
Los múltiplos de 6 son {0, 6, 12, 18, 24,…}
Los múltiplos comunes son {0, 12, 24,…}
De estos múltiplos comunes, el menor distinto de cero es el 12. Se escribe:
m.c.m. (4, 6) = 12
Mult de 4
Mult de 6
6
4, 8,
0
16,
12
20
24
18
18
M.C.M=12
Procedimiento para números grandes
15
a) Se hace la descomposición de los números en factores primos.
b) Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el
Mayor exponente con el que aparecen y se multiplican.
Ejemplo:
Calcula el máximo común divisor de los números 15 y 30
15 3
30 2
5 5
15 3
55
1
15=3*5
30=2*3*5
1
M.C.M=2*3*5=30
a) Se hace la descomposición en factores primos:
b) Se eligen los factores comunes y no comunes
OPERACIONES CONVINADAS Y SUPRESION DE PARENTESIS
1) Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2)Efectuar los productos y cocientes.
3)Realizar las sumas y restas.
Operaciones combinadas
Sin paréntesis
1) Sumas y diferencias.
9−7+5+2−6+8−4=
16
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
=9−7+5+2−6+8−4=7
2) Sumas, restas y productos.
3·2−5+4·3−8+5·2=
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
3) Sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las
dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
4) Sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
17
= 26
2. Con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
4) Con paréntesis y corchetes
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los corchetes.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
18
POTENCIACION y RADICACION
La potenciación es el producto de varios factores
iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el
factor que se repite y en la parte superior derecha del
mismo se coloca el número de veces que se
multiplica. La operación inversa de la potenciación
se denomina radicación.
1. Realice las operaciones indicadas.
a) 8   10  5  20
b) 15   9  8  2
c) 14  7   12  3
d)  10  2  6  8
e) 5  2  7
f) 6  9  7
g) 2  5  1  2
h) 9  7  6  5
i) 9  6  9  7  10
j) 6  9  2  6  6  7 k) 7  1  2  7  6
Sol: a) 3 b) 30
l) 2  61  9  74  6
c) 22 d) –22 e) 0 f) 4 g) 8 h) 3 i) 9 j) 18 k) –5 l) –116
19
2. Realice las siguientes operaciones.
b) 5   7
a) 2  5
c)  2   8
d) 24 : 3
e)  48 : 4
f) 72 :  9
g)  12 :  2
h) 2  5  7
i) 7  2  6
j) 2  5  1
k) 9  5  6
l) 6  2  5
Sol a) 10 b) –35 c) 16
d) 8 e) –12 f) –8 g) 6 h) 24 i) 8 j) 11 k) 39 l) –4
3. Determine el Mínimo Común Múltiplo (MCM) entre los números:
a) 5 y 5
b) 3 y 6
c) 3 y 2
d) 5 y 7
e) 2; 4 y 8
f) 5;10 y 20
g) 6; 8 y 12
h) 12;16 y 48
i) 36; 48 y 60
Sol: a) 5 b) 6 c) 6 d) 35 e) 8 f) 20 g) 24 h) 48 i) 720
20
Señala los números primos y compuestos de la siguiente lista: 7, 12, 13, 25, 31, 43
Entre los números 24, 30, 65, 72, 81, señala:
a) Los divisibles por 2
b) Los divisibles por 3
c) Los divisibles por 5
Calcula qué cifra debe valer la letra x en el número 35x para que dicho número sea
divisible:
a) por 2
b) por 2 y por 5
c) por 3
d) por 3 y por 2
209, 585, 770
a) ¿Cuáles son múltiplos de 9?
b) ¿Cuáles son múltiplos de 2?
c) ¿Cuáles son múltiplos de 5?
d) ¿Cuáles son múltiplos de 7?
De los siguientes números: 3, 7, 8 12, 15
a) ¿Cuáles son divisores de 21?
b) ¿Cuáles son divisores de 24?
c) ¿Cuáles son divisores de 32?
d) ¿Cuáles son divisores de 105?
Calcula todos los múltiplos de 12 comprendidos
entre 100 y 150
Encuentra un número que sea múltiplo de:
a) 3 y 4 b) 7 y 9
c) 2, 5 y 7 d) 5, 8 y 11
Encuentra un número que tenga como divisores a 2, 3, 6 y 12
Escribe todos los divisores de 15, 18, 25, 30
21
Números primos y compuestos
De los siguientes números, indica los primos y los compuestos:
34 161 13 60 48 73 202 33
De los siguientes números, señala los compuestos y exprésalos como producto de dos
factores distintos de 1 y de él mismo:
24 11 38 61 54 7 105 44
Escribe los números primos comprendidos entre 60 y 75
Indica si son primos entre sí los números:
a) 3 y 5 b) 6 y 15
c) 4 y 6 d) 7 y 20
Escribe dos números primos entre sí que sean compuestos.
Indica cuáles de los siguientes números son
divisibles por tres:
47 66 135 326 537
Señala cuáles de los siguientes números son
divisibles por cinco:
12 50 60 105 401
Escribe cuáles de los siguientes números son
divisibles por dos:
16 232 267 400 515
Descompón en factores primos mentalmente:
a) 8 b) 16
c) 32 d) 64
Halla mentalmente la descomposición factorial de:
a) 20 b) 30
c) 36 d) 60
Haz la descomposición factorial de:
a) 120
b) 350
22
c) 640
d) 900
Máximo común divisor
Calcula mentalmente el M.C.D. de:
a) 6 y 8 b) 6 y 15
c) 10 y 12 d) 7 y 21
Halla el M.C.D. de:
a) 54 y 120 b) 90 y 300
c) 320 y 540 d) 600 y 800
Calcula el M.C.D. de:
a) 96 y 270
b) 264 y 525
c) 420 y 720
d) 450 y 675065.
Si un número es múltiplo de 15, ¿también lo
es de 5? Intenta encontrar una regla general.
66. Si un número divide a 24, ¿también dividirá a
12? Intenta encontrar una regla general.
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Una ecuación matemática es una igualdad donde combinamos números y letras,(llamadas
incógnitas), resolver la ecuación significa hallar el valor incógnita que satisface la igualdad.
En el caso de que la incógnita este elevada a la primera potencia se trata de una ecuación
lineal y si hay una sola indeterminada se dice que es una ecuación lineal con una sola
incógnita.
¿Cómo resolvemos una ecuación lineal con una incógnita?
Una ecuación es como una balanza donde debemos mantener el equilibrio de peso en
ambos lados.
Como mantenemos el ese equilibrio en matemática llamado equivalencia.
-Por medio de las operaciones aritméticas.
-Ejemplos:
23
Para ello debes recordar bien las operaciones aritmeticas y sus propiedades.
24
Pero tampoco olvidemos que el planteo de una escuacion es como la traduccion de un
lenguaje a otro.
Plantear una ecuacion significa expresar con simbolos matematicos una situacion formulada
en lenguaje coloquial, es nada mas que traducir un planteo del lenguaje corriente al lenguaje
simbolico.
Cuando alguien dice mi hermano tiene tres años mas que su novia y el tiene 23 años,
entonces ella tiene 20 lo que hiso fue resolver una ecuacion. Veamoslo:
X + 3= 23
X +3-3 = 23-3
X +0= 20
X= 20
25
En los ejemplos anteriores tenía una única solución, pero hay algunas que no tienen solución
y hay otras que tienen más de una.
Ejemplo:
2x + 3 = 2x – 5
6(X+4) +2 = 26 + 6X
2x -2x +3 -3 = 2x – 2x -5 -3
6X +24 + 2=26 + 6X
0x + 0 = 0 -8
6X+24-24+2-2=26-26+6X
0x = -8
NO TIENE SOLUCION
6X=6X
INFINITAS SOLUCIONES
ECUACIONES CON MODULO
El modulo de un numero representa la distancia entre ese numero y el cero en la recta
numérica.
Por lo tanto, para resolver IxI = 2 , busco los números que se encuentren a dos unidades de
distancia del cero en la recta de los números.
Esos números son 2 y -2.
NUMEROS RACIONALES
Los problemas que implican los resultados inexactos de la división y de la medida de
longitudes provocan la necesidad, y por tanto, la aparición de las fracciones ; estos
nuevos números son conocidos en matemáticas como números racionales, como el
número 2/5, por ejemplo.
26
Cuando el cociente no es exacto lo dejamos indicado 2:5 o 2/5..Llamaremos fracción a
todo par de números “a/b” donde:
Numerador
a/b
Denominador
b
Raya de
fracción
El conjuto de los números racionales esta formado por el conjunto de los números enteros y
los números fraccionarios, y se representan con una “Q”
Los números racionales poseen dos tipos expresiones diferentes.
1) La expresión fraccionaria: ½
2) La expresión decimal la obtengo dividiendo numerador por denominador.
Expresión decimal
1/2 = 1:2=0,5
El denominador indica la cantidad de partes iguales en que se divide el entero y el
numerador la cantidad de partes que debo tener en cuenta.
Ejemplo:
1/3=
Donde 3 es la cantidad de pares en que dividi al entero y 1 es la cantidad de partes
que tome o pinte.
Las fracciones se clasifican en:
Propias: el numerador es menor que el denominador
Ejemplo:
a) 2/3
b) 4/7
Representan un número menor que uno.
Impropias: el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo:
a) 7/2
b) 9/4
27
Representan un número mayor o igual que 1.
Aparentes: cuando el numerador es múltiplo del denominador y representan números
enteros.
Ejemplos:
a) 6/3 = 2
b) 2/2 =1
c) 9/3 = 3
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes cuando una es múltiplo de la otra, por lo que para hallar
fracciones equivalentes solo basta multiplicar o dividir a la fracción por un mismo número, en
el numerador y en el denominador.
Ejemplo:
3/6=6/4=18/12
x2
x3
20/10=10/5=2/1
:2
:5
En el primer ejemplo multiplicamos numerador y denominador por 2 primero y luego por 3.
En el segundo dividimos primero numerador y denominador por 2 y luego por 5.
Cuando dividimos numerador y denominador por un mismo número significa
que estamos simplificando la fracción.
Cuando esta no se puede simplificar es porque la transformamos en una fracción
irreducible. Numerador y denominador son coprimos entre sí.
NUMEROS MIXTOS
EXPRESION DECIMAL DE UNA FRACCION
Si efectuamos el cociente entre el denominador y el denominador de la fracción, ese cociente
es la expresión decimal de la fracción.
Ejemplos:
a) 1/5= 0,20
b) 1/3= 0,333….
c) 11/30= 0,366…
28
CLASIFICACION DE EXPRESIONES DECIMALES
En los ejemplos anteriores podemos observar casos de expresiones decimales.
El primer ejemplo es un decimal finito, llamado decimal exacto.
En el segundo ejemplo el decimal tres se repite de manera indefinida generando un número
llamado llamado decimal periódico puro.
Y en el tercer ejemplo podemos observar un numero decimal en el que hay una parte que se
repite y otra no. A este tipo de números se lo llama decimal periódico mixto.
DE EXPRESION DECIMAL A FRACCION
Para pasar de expresión decimal a fracción considero dos casos:
1) Cuando el numero es un decimal exacto, entonces tendré una fracción con denominador
10, 100, 1000,…, unidad seguida de ceros, según la cantidad de cifras decimales que
tenga.
Ejemplo:
Un decimal
a) 0,7 = 7/10
Un cero
Dos decimales
b) 0,31=31/100
Dos ceros
2) Cuando el numero es un decimal periódico puro lo transformo asi:
Ejemplo 1:
0,3 = 3/9
Ejemplo 2:
2 dec period = 2 nueves
4,23 = (423 – 4)/99 =419/99
Resolvemos de la siguiente manera:
Para el numerador, se toma todo el numero al cual se resta la parte no periódica decimal y
no decimal.
Para el denominador: van tantos nueves como cifras periodicas tenga y tantos ceros como
cifras decimales no periodicas tenga (en el caso de que el numero sea periódico mixto).
Ejemplo 3:
29
Dos cifras dec periódicas = dos ceros
3, 123= (3123 – 31)/990 = 3092/92
Una cifra decimal no periódica = un
cero.
Todo el número menos la parte
decimal no periódica y antera.
OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES
ADICION DE NUMEROS RACIONALES:
SUMA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADDOR:
Cuando las fracciones tienen igual denominador se suman los numeradores y de
denominador tenemos el común a todas las fracciones.
Ejemplo:
Se coloca el den.
Común
1/4 + 5/4 + 3/4 = (1 + 5 + 3)/4 = 9/4
Se suman los numeradores
ADICION DE FRACCIONES CON DISTINTOS DENOMINADORES:
En caso de que las fracciones tengan distintos denominadores primero se debe hallar un
denominador común para luego operar con las fracciones.
Ejemplo:
1/3 +3/4 – 5/6 = ¿????????.
Buscamos un denominador común hallando el minino común múltiplo de los denominadores.
3 3
4 2
6 2
1
2 2
3 3
3=3
1
1
4=2*2
6=2*3
El M.C.M de (3, 4, 6) = 3*2*2 = 12
30
Luego, dividimos al denominador común por el primer denominador de la fracción y al
resultado se lo multiplica por el numerador de la misma. Esta operación se realiza con cada
una de las que se me presente en el ejercicio.
Veamoslo:
1/3 + 3/4 – 5/6 = (4 + 9 – 10)/12 = 3/12 = ¼
PRODUCTO Y COCIENTE DE NUMEROS RACIONALES
Para multiplicar dos fracciones, hay que multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí, teniendo en cuenta el signo de cada fracción; (se
aplica la regla de los signos).
Ejemplo:
a) 3/5*4/3 = 12/15
b) -7/2*1/3 = -7/6
Aplicamos regla de los signos
c) -2/3*-9/5 = 18/15
Para dividir dos fracciones, hay que multiplicar el dividendo por la fracción inversa del
divisor.
Ejemplo:
1/7:3/4= 1/7*4/3
En caso de que las fracciones tengan signos positivos y negativos debemos aplicar regla
de signos al igual que en el producto.
OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver operaciones combinadas con números racionales se realiza de la misma
manera que con números enteros.
1)
 3 1  2 1 5  5 3
  : :    :  
 4 2  6 5  4 3 4
31
2  1 2 2  5
4
:



:







2) 9
15
 6 3 9  6
TRUNCAMIENTO Y REDONDEO
Puedo aproximar un numero ya sea por truncamiento o por redondeo.
-Por truncamiento: “suprimo las cifras ubicadas a la derecha de la posición
elegida para truncar. (unidades, decenas, centenas, etc).”
Ejemplo:
Trunco 3,4531 a los…
Milésimos….3,453
Centésimos...3,45
Decimos…...3,4
-Por redondeo: si quiero redondear un numero en una posición determinada,
tengo en cuenta la cifra posterior a la elegida, si esta es mayor o igual que (5)
sumo una unidad al valor elegido y si es menor que (5) este queda como esta.
Ejemplo:
1) 2, 1234…. Quiero truncar a los centésimos y como la cifra que sigue
es un 3, el 2 que corresponde a los centésimos queda como esta.
2) 7,3457……Quiero truncar a los milésimos y como la cifra que sigue al
5 es un 7 (mayor que 5), entonces, agregamos una unidad a la
anterior.
Por lo tanto quedara así: 7,346
32
Razón y proporción
Razón
Dados dos números a y b una razón es el cociente entre esos números
Proporción
Dadas dos razones y diremos que están en proporción si
Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d =
b·c
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al
aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción.
Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina
nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes
directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción.
Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio
Reconocer una relación de proporcionalidad
Reflexionemos sobre las siguientes expresiones:
—en el supermercado, el precio de un pollo es proporcional a su peso;
—viajando a una velocidad constante, el consumo de combustible de un automóvil
es proporcional a la distancia recorrida.
Cada una de ellas describe una relación de proporcionalidad. Pero, ¿qué significa
esto? ¿Bajo qué condiciones podemos decir que una situación nos está mostrando
una relación de proporcionalidad?
I. Reconocer la proporcionalidad
Ejemplo: observa esta tarifa de una compañía telefónica.
33
La tabla de arriba es un ejemplo de proporcionalidad. El valor de cada una de las
cantidades de la fila inferior es el quíntuplo (cinco veces mayor) de los números de la
primera fila.
2 × 5 = 10
7 × 5 = 35
0,8 × 5 = 4
Observa que si aumenta el valor de los minutos, también lo hace el precio a pagar
(céntimos de €), y que si disminuyen, ocurre lo propio en la fila de abajo. Cuando se
establece una relación de este tipo entre dos cantidades (al aumentar o disminuir una de
ellas, la otra lo hace en la misma medida) se dice que existe entre ellas una relación de
proporcionalidad directa. En este ejemplo podemos decir que 5 es la constante de
proporcionalidad directa. Es decir, el número “mágico” que consigue establecer una
relación entre el tiempo (minutos) y el dinero (euros).
Esta tabla de proporcionalidad también la podemos expresar como una igualdad de
razones o fracciones equivalentes:
Es decir, como una proporción.
Si calculamos el resultado de cada uno de estos cocientes encontraremos que siempre es
el mismo (0,2). Dicho de otra forma: el cociente entre dos números correspondientes
de cada razón es constante. A este valor constante le llamaremos razón de
proporcionalidad.
Definición: una tabla de proporcionalidad es una tabla formada por dos filas de números
de manera que siempre hay un valor k que hace que los números de la segunda fila sean,
cada uno de ellos, k veces los números de la primera fila.
El numero k es conocido como coeficiente o constante de proporcionalidad directa.
II. Aplicaciones
1. Ejemplo 1: el precio de un pollo
En la tabla de abajo aparecen el peso y el precio que hemos pagado por cada uno de los
cuatro pollos que hemos comprado en un supermercado.
34
Hagamos los siguientes cálculos:
6,25 : 1,250 = 5, así que 1,250 × 5 = 6,25
1,700 × 5 = 8,5
2,300 × 5 = 11,5
2,520 × 5 = 12,6
Estos cálculos demuestran que la tabla de arriba es una tabla de proporcionalidad
directa, que nos ayudará a entender frases como: “el precio del pollo es directamente
proporcional a su peso”.
Nota: la constante de proporcionalidad es 5. Por tanto, 5 € deberá ser el precio de 1 kg
de pollo. Esta constante de proporcionalidad directa aparece en la etiqueta de los pollos
de esta forma: “Precio por kilo: 5 €/kg.”
2. Ejemplo 2: el consumo de combustible de un automóvil
El gráfico representado en la figura 1 nos muestra el consumo de combustible de un
coche en función de la distancia recorrida, a velocidad constante. Por ejemplo, podemos
leer en ella que en los 100 primeros kilómetros recorridos, este coche ha consumido 5
litros de combustible.
Todos los puntos de la gráfica están alineados con el origen de coordenadas. Este
alineamiento es característico de una situación de proporcionalidad.
Podemos plasmar esta relación de proporcionalidad directa creando una tabla que
contenga los datos de distancia recorrida (km) en la primera fila y los de consumo de
35
combustible (l) en la segunda. Lógicamente los valores que incluyamos en ella serán
tomados directamente de la gráfica. De ese modo, obtendríamos una tabla de
proporcionalidad como la que sigue:
Nota: el coeficiente de proporcionalidad directa es igual a 0,05, que serían los litros de
combustible consumido por cada kilómetro recorrido.
3. Ejemplo 3: el gasto anual en un vídeo club
En un vídeo club, se pagan 18 € de cuota de suscripción al año y 2 € por el alquiler de
cada película.
¿Es el gasto anual proporcional al número de películas alquiladas?
Observa la tabla siguiente:
Te gastas 20 € si alquilas una película (18 € de cuota anual + 2 € por la película).
Te gastas 22 € si alquilas dos películas (18 € de cuota anual + 4 € por las dos películas).
Si observamos el contenido de las dos primeras columnas de la tabla, podemos
comprobar que no se trata de una tabla de proporcionalidad, puesto que: 20 = 1 × 20
pero 22 2 × 20.
Por lo tanto, podemos concluir que el gasto anual no es exactamente proporcional al
número de películas alquiladas.
FUNCIONES
36
Toda función lineal f(x) = ax es una relación de
proporcionalidad.
¿Cómo representar una función lineal gráficamente, es decir, cómo representar
una relación de proporcionalidad en una gráfica?
I. Representar gráficamente una función lineal
1. Un ejemplo
Representemos gráficamente la función lineal f(x) = 2x.
Para ello, sobre un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, tomamos un valor
cualquiera x sobre el eje de abscisas y hallamos el correspondiente valor de la ordenada
y para obtener las dos coordenadas del punto correspondiente.
Así, si x = 1, tenemos f(1)= 2, de donde obtenemos el punto de coordenadas (1, 2).
Tomamos algunos valores aleatorios de x y hallamos los correspondientes valores de y.
Para ello, resulta cómodo usar una tabla como la siguiente:
Representando estos puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.
37
Vemos que los puntos A, B, C y D pertenecen a la recta que pasa por el origen.
De hecho, todos los puntos que obtengamos para esta función están situados sobre esa
recta, que es la representación gráfica de la función lineal f(x) = 2x.
2. Propiedades
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es una recta que
pasa por el origen.
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es la recta de
ecuación y = ax.
Al coeficiente a de la función lineal se le llama pendiente de la recta.
Ejemplo: la representación gráfica de la función lineal f(x) = 3x es la recta de ecuación
y = 3x. Para dibujar esta recta, tomamos valores aleatorios de x, hallamos sus
correspondientes valores de y, y situamos los puntos (x, y) obtenidos.
Nota: la representación gráfica de una función lineal pasa siempre por el origen, ya que
la ordenada y correspondiente a x = 0 de cualquier función lineal es 0, resultando el
punto de coordenadas (0, 0), es decir, el origen.
3. Ejemplos de aplicación
38
Sabemos que la representación gráfica de cualquier función lineal f(x) = ax es una recta
que pasa por el origen. Esto significa que, para dibujar esa recta, solo tenemos que hallar
otro cualquiera de sus puntos diferente del origen.
Ejemplo 1: queremos representar gráficamente la función lineal f(x) = -3x.
Hallamos un punto dándole un valor cualquiera a la x. Por ejemplo, si x = 1 tenemos que f(1) = -3, lo
que nos da el punto A(1, –3).
La gráfica es la recta que pasa por A y por el origen.
Ejemplo 2: queremos representar gráficamente la función lineal
, y a continuación
hallar los valores de y correspondientes a x = –4 y a x = 6, valores de y que leeremos
sobre la gráfica.
Para dibujar esta recta tomemos x = 4. Obtenemos
; es decir, f(4) = 2, que nos da el
punto B(4, 2). Trazamos la recta que pasa por este punto y por el origen.
Para hallar sobre la gráfica el valor de y correspondiente a x = – 4, buscamos el punto en
el que la línea vertical discontinua trazada sobre el valor –4 del eje x corta a la recta, y
leemos el valor de y que resulta. Obtenemos f(–4) = –2.
De igual manera procedemos para obtener el valor de y que corresponde a x = 6,
obteniendo f(6) = 3.
39
II. Interpretar la pendiente en una gráfica
Representemos en una misma gráfica las cuatro funciones lineales siguientes:
f(x) = –4x;
; f(x) = 0,2x; f(x) = 3x.
Llamemos D1 a la recta que representa la función f(x) = –4x. Si x = 1, obtenemos f(1) = –
4, lo que nos da el punto A(1, –4) sobre D1.
Llamemos D2 a la recta que representa la función
. Si x = –4, obtenemos f(–4) = 2,
lo que nos da el punto B(–4, 2) sobre D2.
Llamemos D3 a la recta que representa la función f(x) = 0,2x. Si x = 5, obtenemos f(5) =
1, lo que nos da el punto C(5, 1) sobre D3.
Llamemos D4 a la recta que representa la función f(x) = 3x. Si x = 2, obtenemos f(2) = 6,
lo que nos da el punto D(2, 6) sobre D4.
Obtenemos esta representación:
40
Las pendientes de las cuatro rectas son: –4 para la recta D1,
la recta D3 y 3 para la recta D4.
para la recta D2, 0,2 para
Observando esta gráfica, podemos decir que:
—D1 y D2, que tienen pendiente negativa, son rectas que descienden según aumenta x,
mientras que D3 y D4, que tienen pendiente positiva, ascienden según aumenta x.
—D1 está más inclinada que D2 (la pendiente de D1 (-4) es menor que la de D2
); de
forma similar, D4 está más inclinada que D3 (la pendiente de D4 (3) es mayor que la de
D2 (0,2)).
Conclusión: la pendiente nos permite distinguir entre rectas “ascendentes” y
“descendentes” según aumenta x, y comparar los grados de inclinación de rectas
diferentes.
En el caso de que la función lineal sea del tipo f(x) = a x + b, donde "b" es un número
real al que se lo llama ordenada al origen y "a" (que ya lo conocemos) se denomina
pendiente.
En este la ordenada al origen me indica donde la recta corta el eje “y” y “a” ya conocido
nos da la inclinación de la recta, por lo tanto conociendo estos dos puntos puedo graficar
tranquilamente mi función lineal.
41
La recta de color rojo pertenece a la función
Fx= x + 5 (tiene pendiente 1 y ord al origen 5)
La recta negra es Fx=1/2x (Tiene ordenada al
origen 0 y pendiente igual a 1/2
Cuando graficamos una función teniendo en cuenta su pendiente y ordenada al origen
hacemos lo siguiente:
La ordenada al origen es el punto donde la recta corta al eje y (eje de
ordenadas), a partir de allí el numerador de la pendiente me indica cuantas
unidades debo desplazarme por el eje “y”(en sentido ascendente si este es
positivo y descendente si es negativo) y el
denominador las unidades que me tengo que desplazar hacia la derecha.
Para entender mejor presten mucha atención al ejemplo siguiente.
42
y


Corta al eje y en el 1,
se desplaza dos
unidades hacia arriba
y a partir de allí tres a
la derecha.
Fx= 2/3x +1





x










MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONAL
PROPORCIONES INVERSAS
43
Una proporción es inversa cuando al aumentar el valor de una magnitud
disminuye el valor de la otra o viceversa.
Proporcionalidad inversa
Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente
proporcionales cuando a doble de una cantidad la corresponde la mitad de la otra; a
triple la tercera parte, etc.
Ejemplos:
Aplicaciones
Repartos inversamente proporcionales.
Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a tres números dados
equivale a repartirla en partes directamente proporcionales a los inversos de dichos
números.
44
Función de proporcionalidad inversa
En el mundo real se producen con frecuencia situaciones en las que se relacionan dos
variables de manera que su producto siempre permanece constante. Así sucede, por
ejemplo, cuando se pretende determinar el caudal de un grifo necesario para llenar
un depósito en un cierto tiempo: al aumentar el caudal, se reduce el tiempo, y a la
inversa. Estas relaciones se conocen genéricamente con el nombre de funciones de
proporcionalidad inversa.
Relación de proporcionalidad inversa
Se denomina relación de proporcionalidad inversa a la que se establece
entre una variable independiente x y una variable dependiente y, de tal forma
que el producto de ambas es siempre igual a una constante k. Es decir: x  y =
k.
Esta relación puede expresarse a modo de una función real de variable real,
llamada función de proporcionalidad inversa, que se escribiría
genéricamente del modo siguiente:
Esta función estaría definida en todo el conjunto de los números reales excepto
el punto para el cual se anula el denominador (esto es, para x = 0).
Además, el producto entre cada par de
valores correspondientes es siempre el
mismo, (llamado constante de
proporcionalidad.
Es decir
y*x=K de donde se deduce que y=k/x
La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es una curva, simétrica respecto
del origen de coordenadas, que se llama hipérbola.
45
La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa no pasa por el origen de
coordenadas (0, 0).
ANALISIS DE LA FUNCION k / x
Para valores positivos de k, la función de proporcionalidad inversa toma valores
sólo en los cuadrantes primero y tercero del plano. De esta forma, en el primer
cuadrante la función es continua y decrece monótonamente, conforme aumenta
el valor de x; en el tercer cuadrante también es continua y decrece, igualmente,
para aproximarse a cero cuando x tiende a menos infinito.
El signo de la constante
Ejemplo de representación de la función de proporcionalidad inversa para k < 0.
Cuando el valor de la constante de la función de proporcionalidad inversa es
negativo (k < 0), se mantienen las consideraciones del análisis de la función,
con la salvedad de que, en este caso, la función toma valores sólo para los
cuadrantes segundo y cuarto del plano y de que la función es creciente en todo
su dominio. Por tanto, la función de proporcionalidad inversa con
k < 0 es simétrica con respecto al origen y con respecto a la bisectriz de los
cuadrantes primero y tercero.
Hipérbola equilátera
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales
que su diferencia de distancias con respecto a dos puntos fijos, llamados focos,
es constante. Cuando los dos semiejes de la hipérbola son iguales, se dice que
es equilátera, y su ecuación general se transforma en x2 - y2 = a2, siendo a el
semieje real de la figura.
Asíntotas de la hipérbola
Las asíntotas de una hipérbola son las rectas a las que cada una de las dos
ramas de la hipérbola se acerca indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.
Cuando se trata de una hipérbola equilátera, se puede aplicar un giro de 45º a
46
los ejes, de manera que la ecuación de la hipérbola referida a los nuevos ejes
(asíntotas de la hipérbola) queda reducida a una expresión muy simple: x × y =
k (siendo k = a2 / 2), exactamente una función de proporcionalidad inversa.
Definición. Soluciones. Equivalencia de sistemas.
1. Definición
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones
algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:
ax + by = p
cx + dy = q
donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos
independientes.
Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:
x + y = 10
x - y = 2
Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas
soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado,
infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas
ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que
cumplan a la vez las dos.
Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas.
Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento
para resolver un problema de este tipo:
47
Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que
gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?
Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por
tanto, a plantear y resolver problemas
parecidos al redactado en el párrafo
anterior. Vamos pues, en esta Unidad, a
profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos
problemas utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones.
2. Soluciones
En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las
dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas
ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.
En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el
par de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema
planteado sería que tengo seis lápices y cuatro gomas. Debemos insistir en que 6 y 4 no
son dos soluciones del sistema, sino que es una solución y ésta está formada por dos
números.
¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por
solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante en la Unidad veremos que un
sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas
soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate.
3. Equivalencia de sistemas
Para poder hablar de sistemas equivalentes, vamos a hacerlo primero de ecuaciones
equivalentes.
Supongamos que tenemos en una balanza un bote azul y dos
verdes que pesan 7 kg. Esto lo podemos expresar como una
ecuación de la forma: a + 2v = 7. Si en ambos platos de la
balanza ponemos una pesa de 3 kg., la balanza seguirá
equilibrada. Esta última acción se escribiría en la ecuación
así: a + 2v + 3 = 7 + 3, es decir, a + 2v + 3 = 10. Estas dos
ecuaciones tienen la misma solución y se dice que son ecuaciones equivalentes.
48
De la misma forma, si, en vez de sumar la misma cantidad,
se multiplican los dos miembros de una ecuación por la
misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma
solución. Es decir:
Si se suma una misma cantidad a los dos miembros de una
ecuación o se multiplican ambos por un mismo número
distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la
dada.
Bien, pues una vez definido el concepto de ecuación equivalente, ya podemos definir el
de sistemas equivalentes:
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la(s) misma(s)
solución(es).
Aunque ya conozcamos la definición, debemos saber también qué operaciones nos
permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. Pues bien, son las
siguientes:
o
o
o
o
Sumar un mismo número (no una incógnita) a ambos miembros de una de las
ecuaciones del sistema.
Multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número
distinto de cero.
Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera.
Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra
ecuación.
Mediante cualquiera de los métodos relacionados antes se obtiene un sistema
equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el primitivo.
Métodos analíticos de resolución: Igualación
49
El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución.
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita,
la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se
obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:
i.
ii.
iii.
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una
incógnita que resulta.
Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las
ecuaciones despejadas de primer paso.
Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de
la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a
saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en
este método.
A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el
método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de
ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al
de Sergio. Vamos a expresar las condiciones
del problema mediante ecuaciones: Si los dos
tienen 600 euros, esto nos proporciona la
ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble
de euros que Ana, tendremos que y = 2x.
Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente
sistema:
x + y = 600
y = 2x
Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay
una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación,
con lo que tendremos:
50
y = 2x
⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x
Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con
lo que tendremos:
y = 2x ⇒ y = 400
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene
400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el
método de sustitución.
¿Dependerán las soluciones del sistema de que la incógnita que se despeja para
igualar sea la x o la y?
Métodos analíticos de resolución: Sustitución
Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas
generalidades sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones. En primer lugar, hay
que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta
de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema
según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no
solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una
vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en
esta Unidad se describen.
En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien,
estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de
los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del
ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la
resolución del sistema, se harán de manera simultánea.
51
En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos
como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y
método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión)
del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la
utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones
aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución,
igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su
propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación
gráfica de sus ecuaciones.
De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución
de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir
haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método
de sustitución:
De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:
i.
ii.
iii.
Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.
Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de
primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.
Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada
obtenida en el primer paso.
Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser
cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores,
hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más
fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que
"no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos
evitar el cálculo con fracciones.
Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir
haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la
incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos
quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por
ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas
soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra
y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de
números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.
52
Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado
fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el
sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la
imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación
degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas
ecuaciones del sistema.
Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes
descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a
un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que
nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un
sistema compatible determinado.
Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son
válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos
de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.
Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de
sustitución:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos
a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones:
Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x
+ y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos
que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente
sistema:
x + y = 600
y = 2x
Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay
una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación,
con lo que tendremos:
x + 2x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200
53
Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que
tendremos:
y = 2x ⇒ y = 400
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene
400 euros.
Métodos analíticos de resolución: Reducción
El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para
resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de
reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os)
número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los
coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se
suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con
una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una
consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la
otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la
otra. Veamos el proceso por fases.
i.
ii.
iii.
iv.
Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las
incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
Para este paso hay dos opciones:
a. Se repite el proceso con la otra incógnita.
b. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y
se despeja la otra.
De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de
sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y
cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.
54
Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de
reducción:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las
condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos
proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana,
tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600
2x - y = 0
Vamos a resolver el sistema por el método de
reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en
ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos,
podemos pasar a sumar directamente ambas y nos
quedará:
3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200
A partir de este momento es cuando se pueden
aplicar caulquiera de las dos posibilidades
descritas más arriba. Como en secciones anteriores
ya hemos resuelto esta parte del problema
sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a
utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a
terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de
reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que
recurrir a ninguna sustitución.
Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema,
equivalente al inicial:
-2x - 2y = -1200
2x - y = 0
55
Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:
-3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene
400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los
métodos de sustitución e igualación.
En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para
resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino
gráfico.
Método gráfico de resolución de sistemas
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico
para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes
cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así,
dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un
sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo
pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o
son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las
coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que
son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del
sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son
paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números
que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos
ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución.
Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a
ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de
las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resume en las siguientes fases:
i.
Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
56
ii.
iii.
iv.
Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la
tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
a. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que
son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que
coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
c. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema
incompatible.
Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo
gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución.
recordemos de nuevo el enunciado:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las
condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos
proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana,
tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600
2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas
ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:
y = -x + 600
x
y = 2x
y
x
57
y
200
400
100
200
600
0
200
400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los
ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:
<>
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto
(200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al
problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el
mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.
GEOMETRIA
La geometría es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades del
espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es
la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el
pantógrafo.
Punto, recta y plano
Para iniciar el estudio de la Geometría, estableceremos
58
los elementos básicos de trabajo: el punto, la recta y el
plano. Son conceptos primitivos, no definibles, que
permiten definir otros.
Punto:
A los puntos los nombramos con letras mayúsculas
Recta:
A las rectas las nombramos con letras mayúsculas o
minúsculas indistintamente.
Plano:
A los planos los nombramos con letras del alfabeto griego:
PUNTOS Y RECTAS
Para nombrar las rectas se suelen usar las letras r, s, t, u..., siempre minúsculas.
59
Si marcamos un punto P sobre una recta r, esta queda dividida en dos partes o
semirrectas, que llamamos, por ejemplo, s y t. Una semirrecta sí tiene principio, pero no
tiene fin. Al punto P se le llama origen de ambas semirrectas.
Si marcamos dos puntos, P y Q, sobre una recta, esta queda dividida en tres partes: las
semirrectas s y t, y el segmento PQ. Un segmento es un trozo de recta que queda
limitado por dos puntos, en este caso P y Q. Por tanto, un segmento sí tiene principio y
fin. A los puntos P y Q se les llama extremos del segmento.
Cuando pintamos un punto y nos ponemos a dibujar rectas que pasen por él, vemos que
podemos dibujar cuantas queramos: por un punto pasan infinitas rectas.
Cuando pintamos dos puntos y tratamos de dibujar rectas que pasen por ellos, vemos
que solo una pasa por los dos: por dos puntos solo pasa una línea recta.
60
Si pintamos tres puntos no alineados y tratamos de dibujar una recta que pase por los
tres, vemos que no es posible. En cambio, si los tres están alineados, solo pasa una recta
por ellos.
POSICIONES DE DOS RECTAS SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA
Si en un papel dibujamos dos rectas, estas pueden ser:
Paralelas, si no se cortan nunca, por mucho que las prolonguemos; no tienen ningún
punto en común. Dos rectas paralelas tienen la misma dirección.
Secantes, si se cortan en un punto. Dos rectas secantes tienen diferentes direcciones.
Perpendiculares, si además de ser secantes, se cortan formando cuatro ángulos rectos
(de 90°). Dos rectas perpendiculares tienen diferentes direcciones.
61
Coincidentes, si además de ser paralelas tienen todos sus puntos en común; se trata de la
misma recta.
ANGULOS
Definiciones
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano :
1) Forma geométrica: Se denomina ángulo a la abertura entre dos líneas de
cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.
Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El
ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman las rectas tangentes en el punto
de intersección.
2) Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un
segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde
una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro
(contrario a las manecillas del reloj), se considera el ángulo positivo. Si la
rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo
se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran
una a otra en un plano y no están en línea recta.
Se denomina ángulo plano a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas con
un origen en común denominado vértice. Otra concepción de ángulo dice que éste es la
figura formada por dos rayos con origen común. Para ambos casos el ángulo no se puede
medir (son subconjuntos de puntos del plano, por lo tanto infinitos), solo se puede medir
la abertura del ángulo. Las unidades de medida son grados o radianes. Se subentenderá
que cuando hablamos de "medida del ángulo" estamos hablando de medir su abertura
¿CÓMO SE NOMBRAN LOS ÁNGULOS?
Podemos nombrar un ángulo de dos maneras:
62
a) con la letra mayúscula que representa su vértice y el símbolo encima, o
b) con tres letras mayúsculas y el símbolo encima: las dos letras de los extremos
representan a los lados y la de en medio al vértice.
Se representa como
o
.
¿CÓMO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?
Para expresar lo que mide un ángulo, es decir, su amplitud, usamos las unidades: grado
(°), minuto (′) y segundo (′′), cuyas equivalencias son 1° = 60′ = 60 × 60′′ = 3.600′′
Para medir físicamente o dibujar un ángulo usamos el transportador, que es una plantilla
semicircular graduada de 0° a 180°, generalmente de material plástico.
Para medir un ángulo con el transportador, se siguen los pasos siguientes:
1. Se coloca el transportador de forma que coincida el punto de su base, su centro, con el
vértice del ángulo, y que uno de los lados del ángulo pase por 0°, es decir, por la base
del transportador.
2. Se lee sobre la semicircunferencia del transportador la medida por la que pasa el otro
lado del ángulo.
63
Si en vez de medir queremos dibujar un ángulo, se procede al revés. Por ejemplo, para
dibujar un ángulo de 70º se siguen estos pasos:
1. Con una regla se traza un lado del ángulo.
Clasificación de los ángulos
Los ángulos pueden clasificarse según su medida en 5 tipos:
Ángulo agudo: es aquel que mide más de 0º y menos de 90º
Ángulo recto: es aquel que mide 90º
Ángulo extendido: es aquel que mide 180º
Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90º y menos de 180º
Ángulo completo: es aquel que mide 360º
Los esquemas que representan dichos ángulos son los siguientes:
Ángulo recto
Ángulo completo
Ángulo agudo
Ángulo extendido
Ángulo obtuso
64
POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOS
Según las posiciones que presenten dos ángulos entre sí, estos pueden ser:
1. Ángulos externos: si no tienen nada en común.
y
son ángulos externos.
2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un lado y el vértice
y
son ángulos consecutivos.
3. Ángulos adyacentes: si además de ser consecutivos, tienen el lado no común sobre la
misma recta.
65
y
son ángulos adyacentes.
4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el vértice común, y los lados de uno son
prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma
amplitud, son iguales.
y
son ángulos opuestos por el vértice.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90°:
y
son complementarios: + = 90°.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°:
66
TRIANGULOS
Un triángulo es un polígono de 3 lados y 3 ángulos interiores.
Los elementos del triángulo:
Vértices: son los puntos de intersección entre las rectas borde, en nuestro ejemplo: A,
B y C.
Lados: son los segmentos determinados por los vértices, en nuestro ejemplo:
Ángulos interiores: son los ángulos convexos
Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores del triángulo,
en nuestro ejemplo:
Clasificación de los triángulos según sus lados:
67
Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres
lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los tres lados son
distintos.
En el triángulo MNO observa que tiene 2 lados iguales (MN y NO) y
otro que es mayor (MO). Los triángulos que tienen dos lados iguales se
llaman isósceles. Ejemplo, el MNO.
En el triángulo ABC vemos que los 3 lados son iguales: AB = BC = CA.
Los triángulos equiláteros tienen los 3 lados iguales, como el ABC.
E triángulo PQR tiene los 3 lados desiguales y se llama escaleno.
Clasificación de triángulos según sus ángulos
a) Rectángulos: Son los que tienen un
ángulo recto (90°).
b) Obtusángulos: Son los que tienen un
ángulo obtuso.
c) Acutángulos: Son los que tienen sus 3
ángulos agudos.
68
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
Suma de los ángulos de un triángulo
1. En el triángulo CAB señalamos el punto M, en medio de los vértices C y A.
También señalamos el punto N en medio de los vértices A y B.
2. Si doblamos el papel por la línea MN el ángulo A quedaría abajo. Podemos doblar
por la línea roja que parte del punto M y también por la que parte del punto N.
3. Observamos que el ángulo C, más el A, más el B es un ángulo llano. Por tanto A +
B + C = 180º.
La suma de los 3 ángulos de un triángulo es un ángulo llano o 180º.
69
Altura de un triángulo
respecto de un lado, es la distancia más corta entre la recta que contiene al lado y el
vértice opuesto. Equivale a un segmento perpendicular a dicho lado con un
extremo en el vértice opuesto y el otro en dicho lado, o en su prolongación.
En la figura, las alturas respecto de sus tres lados BC, CA y AB" son AA", BB" y CC".
La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo, siendo su valor: a =
b·h/2, donde a es el área, b la base –la longitud del lado "inferior"–, y h su altura
correspondiente.
En la figura, pueden ser BC·AA"/2, AB·CC"/2 o AC·BB"/2.
Ésta fórmula se puede demostrar, geométricamente, trazando un rectángulo cuya área es
el doble del área del triángulo, con la misma base y la misma altura.
Características y propiedades de las alturas del triángulo [editar]
En todo triángulo:

al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo;
70




la altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del
triángulo;
las tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo (H en el
gráfico);
las alturas contienen a las mediatrices del triángulo A'B'C' (que se construye
trazando paralelas a los lados por los vértices opuestos);
el ortocentro del triángulo ACB es el circuncentro del triángulo A'B'C'.
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
PERÍMETRO
Suma de sus lados, siendo sus lados b, c y d
P= b + c + d
ÁREA
El área de un triángulo es el producto de uno de sus lados por la
altura sobre él dividido entre dos. O lo que es lo mismo base por
altura sobre dos.
A
b·a
2
TRIANGULO RECTANGULO: PROPIEDADES
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si tomanos como referencia la figura
71
-Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo de 90°.
-El angulo opuesto al angulo recto es el mas largo y se llama IPOTENUSA.
-Los lados restantes son los CATETOS.
LOS POLIGONOS
Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos
rectilíneos. Los elementos de un polígono son los lados, los vértices,
los ángulos y las diagonales.
La palabra "Polígono" significa "varios lados"; es por esto que el nombre
particular de cada polígono está determinado por el número de lados
Los lados son los segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.
Los vértices son los puntos donde se cortan los lados dos a dos.
72
Los ángulos son las regiones comprendidas entre cada par de lados.
Las diagonales son los segmentos que unen cada pareja de vértices no consecutivos.
Según su número de lados, los polígonos se llaman
Cuadriláteros
Triangulo
Tienen 3 lados .
Tienen 4 lados.
Pentágonos
Hexágonos
73
Tienen 5 lados
tienen 6 lados
Heptágonos
Octogono
Tienen 7 lados
Tiene 8 lados
De esta manera hemos clasificado a los polígonos más sencillos según
sus lados.
A continuación vamos a clasificarlos según sus angulos.
Convexos: todo segmento que une dos puntos del polígono esta contenido
en el. Ver ejemplo debajo.
-Sus ángulos son menores que 180°.
-Todas sus diagonales son interiores.
74
Cóncavos: Cóncavo, si alguno de sus ángulos es mayor que 180° y una de sus
diagonales es exterior. Ver ejemplo debajo.
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO
El perímetro de cualquier polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
En cualquier polígono regular podemos dibujar tantos triángulos en su interior como
lados tenga el polígono. Todos los triángulos dibujados tienen un vértice común que es
el centro del polígono.
El área de cada uno de esos triángulos será:
Siendo la base el lado (l) y la altura la apotema (a) del polígono:
Así pues:
75
El área del polígono será la suma de las áreas de los n triángulos, seis en el caso del
hexágono anterior:
Y sustituyendo los valores del lado y de la apotema en nuestro caso, tendremos:
En general, para un polígono regular de n lados, su área se calcula así:
CUADRILATEROS
En especial vamos a estudiar a los cuadriláteros.
Los cuadriláteros son los polígonos que más abundan a nuestro alrededor, más
que los triángulos y, por supuesto, que los pentágonos y hexágonos…
Los cuadriláteros son polígonos, es decir, figuras geométricas planas
limitadas por líneas rectas, que tienen los siguientes elementos: cuatro
lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro ángulos
76
exteriores. Además, la suma de todos sus ángulos interiores es de 360º.
Los Cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos, dependiendo cuánto
midan sus ángulos interiores.
Cuadriláteros Cóncavos y Convexos
El cuadrilátero es convexo, si todos sus ángulos interiores son menores a
180°. También puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar una recta
sobre él, la recta lo cortó a lo más en dos lados.
El cuadrilátero es cóncavo, si uno de sus ángulos interiores mide más de
180°. También puedes darte cuenta si es cóncavo, cuando al trazar una recta
sobre él, la recta lo corta en más de dos lados.
Lados Consecutivos u Opuestos
Además, decimos que los lados de un cuadrilátero pueden ser:
consecutivos, cuando tienen un vértice en común, u opuestos, cuando no
tienen ningún vértice común.
77
CLASES
DE
CUADRI
LÁTERO
S
Los cuadril
áteros se cl
asifican en Recuerda que un vértice es el punto común entre los lados.
paralelogra
mos y no Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
paralelogra Un cuadrilátero tiene 2 diagonales.
mos.
Los parale
logramos s
on los
cuadriláter
os cuyos
lados
opuestos
Clasificación de los Cuadriláteros
son
paralelos.
Son cuatro: De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros
en:
1. Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos.
2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos.
3. Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
78




El cuadrado tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos (90°).
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos (90°).
El rombo tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángulos no miden 90°.
El romboide tiene los lados iguales dos a dos, pero sus ángulos no miden 90°.
Los cuadriláteros que no son paralelogramos son el trapecio y el trapezoide:


El trapecio tiene dos de sus lados opuestos paralelos. A esos lados se les llama
bases.
El trapezoide no tiene ningún lado paralelo a su lado opuesto.
Área del trapecio = [(base mayor +
base menor).altura] / 2
El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
ÁREA DEL CUADRADO Y DEL RECTÁNGULO
79
las áreas del cuadrado y del rectángulo son: Área del cuadrado = lado × lado Área del
rectángulo = base × altura
ÁREA DEL ROMBOIDE
Para calcular el área del romboide, nos fijamos en que si lo cortamos por la línea de
puntos y esa parte triangular la unimos al otro lado, la figura que resulta es un rectángulo
cuya base y cuya altura miden lo mismo que las del romboide:
Como las dos figuras ocupan la misma superficie: Área del romboide = Área del
rectángulo
Con lo que: Área del romboide = base × altura
ÁREA DEL ROMBO
Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la figura que resulta si trazamos paralelas
a sus diagonales por los cuatro vértices:
Resulta un rectángulo cuya base mide lo mismo que la diagonal mayor, y cuya altura
mide igual que la diagonal menor del rombo. Así pues:
Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo × diagonal menor del rombo
80
Como los ocho triángulos rectángulos que se forman dentro del rectángulo son iguales, y
dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos será el área del rombo. Es decir, el área
del rombo será la mitad del área del rectángulo.
Si quieres, puedes practicar con los ejemplos siguientes.
ÁREA DEL ROMBO
Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la figura que resulta si trazamos paralelas
a sus diagonales por los cuatro vértices:
Resulta un rectángulo cuya base mide lo mismo que la diagonal mayor, y cuya altura
mide igual que la diagonal menor del rombo. Así pues:
Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo × diagonal menor del rombo
81
Como los ocho triángulos rectángulos que se forman dentro del rectángulo son iguales, y
dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos será el área del rombo. Es decir, el área
del rombo será la mitad del área del rectángulo.
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos
aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos deterministicos, en los cuales el
resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un
resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel
del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de
realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como
resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de
una moneda.
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo
realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos aleación en sentido
estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo
determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante
distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen
a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la
estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la
teoría de la probabilidad en sí.
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones para creer que éste
se realizará.
82
Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas
condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el
número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Este
número será la probabilidad de que el suceso ocurra.

La frecuencia relativa del suceso A:
Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que
no ocurra, entonces p + q = 1
Los casos favorables pueden ir desde ninguno (suceso imposible) hasta todos los
posibles (suceso seguro); por eso la probabilidad de que ocurra un suceso es un numero
entre cero y uno.
ESPACIO MUESTRAL
Definición 1
Un espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un evento o
muestra.
Definición 2
Espacio muestral:
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico.
El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral y un
resultado o un grupo de ellos se llama suceso.
83
0≤P≤1
DIAGRAMA DE ARBOL
En algunos experimentos aleatorios no es fácil contar la cantidad de casos favorables o
posibles. Entonces puedo realizar un esquema en el que pueda visualizar las diferentes
posibilidades de tal manera que estas se vayan ramificando. A esto llamo diagrama de
árbol.
Ejemplo:
1.
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o
femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal,
Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
Soluusion:
84
A
A
B
M
AB
O
B
N
A
B
N
A
B
A
F
B
N
A
B
AB
O
B
A
B
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de
clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc.
Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional o probabilidad condicionada a la probabilidad de que
un suceso se cumpla habiéndose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo
que B se ha cumplido" de la siguiente manera:
85
Dicha probabilidad se calculará de la siguiente forma:
ESTADISTICA
Definiciones Básicas
Estadística
Es la disciplina que se preocupa de recopilar, organizar y analizar datos cuantitativos o
cualitativos para luego emitir una opinión y posteriormente tomar una decisión
La estadística se divide en dos partes
i)
ii)
Estadística Descriptiva
Estadística Inferencial
Estadística Descriptiva: La estadística Descriptiva es la que trabaja con todos los
elementos de una muestra y los cálculos realizados sólo son validos para dicha
muestra.
Estadística Inferencial: Es la que hace que todas las mediciones hechas a una muestra
sean validas para la Población de la que se sacó la muestra
Rol de la Estadística en la investigación Científica
86
Una de las características del hombre es que busca constantemente una explicación
racional de los fenómenos que lo rodean
Es tarea propia de la ciencia, observar adecuadamente los hechos, discernir que
elementos son constantes en ellos y determinar las leyes que lo rigen, es decir, sus
relaciones constantes y universales. Es el método propio a la ciencia, El Método
Científico, el que se aplica al ciclo completo de una investigación, desde el enunciado
del problema hasta la evaluación de los resultados obtenidos.
El Método Estadístico
Es un conjunto de procedimientos aplicados en secuencia lógica a la obtención y
análisis de datos. Es el método estadístico el que nos proporciona las técnicas
necesarias para recolectar y analizar la información requerida. Podríamos distinguir
en él una etapa de Planificación y otra de Ejecución
Etapa de Planificación
En esta etapa debemos considerar las siguientes fases
Definición de objetivos
Corresponde formalmente a la descripción del problema que da origen a la
investigación. Se debe señalar detalladamente lo que se pretende investigar, es decir,
el qué, cómo, donde, cuando y por qué
Definición del Universo
De debe definir el grupo del cual se extraerá la información y a la cuál se referirán los
resultados
Diseño de la muestra
87
La teoría de Muestreo o de Diseño y Análisis de Experimentos pueden garantizarnos
que la información que generaremos nos permitirá proyecciones válidas al universo
de interés
Definición de las unidades de observación, escalas de clasificación y unidades de
medidas
En una misma investigación puede haber varios objetivos parciales que requieran
estudiar unidades de observación diferentes
Preparación del plan de tabulación y análisis
El cuidado en este aspecto nunca podría considerarse excesivo, debería llegarse, tal
vez, hasta considerar alternativas de análisis adecuadas para compensar algunas
alteraciones accidentales del plan de trabajo.
Etapa de Ejecución
En esta etapa podemos reconocer las siguientes fases:
- Recolección de la información
- Elaboración de la información
- Análisis de los resultados
Es obvio que todo estudio ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o
cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos Población.
Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En
sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un
computador o una casa, o algo más abstracto como un voto o un intervalo de tiempo.
A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de característica que pueden
ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a
una persona, podríamos distinguir en ella las siguientes características:
88
Sexo, edad, nivel educacional, profesión, peso, color de pelo, religión. Etc.
Según su tamaño la población se puede dividir en:
Población finita: Cuando el número de elementos que la forman la población es
finito, por ejemplo el número de estudiantes por clase
Población infinita: Cuando el número de elementos que forman la población
es infinito, por ejemplo el número de productos que hay en el mercado
Ahora bien, por general en un estudio estadístico no se puede trabajar con todos los
elementos de la población por un asunto de costo o de imposibilidad de tener toda la
información, sino que se realiza sobre un subconjunto de la población. Este
subconjunto se llama muestra o subpoblación, por ejemplo al hacer un estudio sobre
los estudiantes de la Universidad se podrá tomar a los estudiantes que cursan tercer
año y de este subconjunto sólo a los estudiantes varones. Existen dos grandes formas
para seleccionar una muestra:
Muestreo Aleatorio o Probabilístico
En este tipo de muestreo, todos los elementos de la población tienen la misma chance
de figurar en la muestra
Muestreo Aleatorio
Los elementos incluidos en esta muestra han sido seleccionados mediante algún
procedimiento de sorteo o azar que signa alguna chance no nula a cada elemento de la
población, hablamos de Muestreo Aleatorio Simple.
Variables Cuantitativas: son las que se describen por medio de números tales como el
peso, la estatura, número de hermanos, etc., las observaciones de este tipo se definen,
por lo general, sobre un intervalo o sobre una escala de proporciones. Las mediciones
que se definen en una escala de intervalo se pueden distinguir y ordenar en forma
numérica y sus diferencias son significativas por ejemplo la medición de la temperatura.
pude escogerse entre registrar la temperatura en grados Celsius o en grados Fahrenheit.
89
De esta forma el origen de las escalas es diferente, pero el significado de la diferencia
entre 10ºC y 15ºC es el mismo que tiene la diferencia entre 20ºFy 25ºF.
Si una medición reúne los requisitos de una escala de intervalo y además tiene punto de
origen, entonces la medición se define sobre una escala de proporciones. Por ejemplo,
las estaturas, los pesos y otros se encuentran definidos sobre una escala de proporciones
ya que tienen verdaderos puntos ceros
Además, es tipo de variables se puede dividir en:
Variables Discretas: Son aquellas que se describen solo por un número entero, es
decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad, por
ejemplo el número de hijos por pareja
Variables Contínuas: Son aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores
cualesquiera la variable pueda tomar cualquier valor intermedio, por ejemplo el peso, la
estatura, etc..
En muchos casos el tratamiento estadístico hace que la variable discreta se trabaje
como continua y viceversa
Variables Cualitativas o atributos: son aquellas que no se le puede asignar número,
por ejemplo sexo, religión, profesión, etc.
Estas variables se pueden clasificar en:
0rdenamiento de la información
El ordenamiento se hace en tablas de frecuencias también llamadas tablas
que podemos clasificar según el número de observaciones.
estadísticas, las
Tablas tipo Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable es pequeño, por
ejemplo si tomamos la edad de los 5 miembros de una familia
90
2, 5, 17, 38, 40
Tablas tipo II
Cuando el recorrido de la variable es pequeño y el tamaño de la muestra es grande
por lo que hay valores de la variable que se repiten, por ejemplo si preguntamos por el
número de personas que trabajan por familia
Personas trabajadoras
2 1 2 2 1 2 4 2 1 1
2 3 2 1 1 1 3 4 2 2
2 2 1 2 1 1 1 3 2 2
3 2 3 1 2 4 2 1 4 1
1 3 4 3 2 2 2 1 3 3
Se puede observar que el recorrido de la variable va de 1 a 4, por lo tanto al hacer un
conteo de la variable se tiene la siguiente tabla
Personas
trabajan
que Nº
de
familias
1
16
2
20
3
9
4
5
Total
50
91
Tablas tipo III
Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo que
será necesario agrupar en intervalos de clases. Por ejemplo si a un grupo de 50
familias se le consulta por sus ingresos semanales ( en miles de pesos)
93 74
86 107 77
80 94 105
92
88 66 107
77 87 100
77 91 90 73
95 69
80
83 87 89 94
105 78
79
98 86
97
112 97
79
96 92 86
103 82
86
89 87
93
104 77
87
114 87 96
Evidentemente, el recorrido de la variable es grande, por lo tanto necesitamos tabular con
intervalos de clases. Para decidir sobre la cantidad de intervalos se debe tener en cuenta las
siguientes consideraciones:
- Al tomar pocos intervalos “aumenta la perdida de información ”
- Los intervalos pueden ser Cerrados o Semi-cerrados
- Normalmente se suele trabajar con no más 10 o 12 intervalos
Tabulemos la muestra anterior en cinco intervalos de clases semi-cerrados y como tenemos
que el recorrido real va de 66 a 114 por lo que al modificar el recorrido de 65 a 115.
La amplitud del recorrido modificado es 50 y como la tabulación es de 5 intervalos luego
la amplitud de cada intervalo de clase es de 10, por lo tanto tenemos la siguiente tabla
92
Intervalos
Yi-1 - Yi
Conteo
65 - 75
4
75 - 85
11
85 - 95
20
95 - 105
9
105 - 115
6
50
Total
Tipos de frecuencias
Uno de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la
tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una
tabla en la que cada valor de la variable se le asocian determinados números que
representan el número de veces que ha aparecido. Estos números se denominan
frecuencias. Así se tienen las siguientes frecuencias:
Frecuencia Absoluta
Esta frecuencia la denotaremos por ni y la definiremos como el número de veces
que aparece en la muestra dicho valor de la variable. La suma de todas las frecuencias
absolutas es igual al tamaño de la muestra
93
Esta frecuencia en una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al
aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia
absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para por comparar. Por esto es necesario
introducir el concepto de frecuencia relativa
Frecuencia relativa
Esta frecuencia la denotaremos por hi y la definiremos como el cuociente entre la
frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra
Donde “n” es el tamaño de la muestra y el recorrido de esta frecuencia es
hi 
ni
n
0  hi  1
La frecuencia relativa es un tanto por uno , sin embargo se puede escribir en tanto
por ciento. La suma de todas las frecuencias relativas deber igual a uno (1.0)
Frecuencia Absoluta Acumulada ( Ni)
La frecuencia Absoluta acumulada es el número de observaciones que hay desde el
valor menor de la variable hasta un valor determinado de ella. Esta frecuencia tiene dos
propiedades.
a) La primera frecuencia absoluta acumulada es igual a la primera frecuencia absoluta
b) La última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra
Frecuencia Relativa Acumulada
94
Es el porcentaje de observaciones que hay desde el valor menor de la variable hasta un
valor determinado de ella. Esta frecuencia tiene dos propiedades
a) La primera frecuencia relativa acumulada es igual a la primera frecuencia relativa
b) La última frecuencia relativa acumulada el igual a uno (1.0)
Veamos un ejemplo, tomemos el ejemplo de las personas que trabajan por familia
Personas Nº
de
que
familias
trabajan
Xi
ni
hi
h i%
Ni
Hi
1
16
16/50
32
16
16/50 32
2
20
20/50
40
36
36/50 72
3
9
9/50
18
45
45/50 90
4
5
5/50
10
50
50/50 100
50
1.0
100
Total
Hi%
Gráficos Estadísticos
Un gráfico estadístico es la representación de datos en el plano con el propósito de
obtener una impresión visual del conjunto de datos, que facilite su rápida comprensión.
Todo gráfico debe ser sencillo y auto explicativo.
El tipo de gráfico para los propósitos anteriores dependerá del tamaño del recorrido de
las variables así como del nivel de medición de estas.
95
Tipos de gráficos
En estadística existen los siguientes tipos de gráficos
Gráficos de barras
Simples o separadas
Cada valor de la variables se representa por una barra cuyo largo corresponde a la
frecuencia con que se observa ese valor.
Histogramas y polígonos de frecuencias
Están constituidos por un conjunto de rectángulos contiguos, levantados en el eje
horizontal sobre cada uno de los intervalos de clase. Los polígonos de frecuencias son
adecuados para representar la distribución de frecuencias de una variable contínua
cuando todos los intervalos de clase tienen la misma amplitud
Gráficos lineales
Son gráficos adecuados para analizar la existencia de asociación entre dos
variables contínuas, con nivel de medición en escala de intervalos o razón
Gráfico de correlación o diagramas de dispersión
Son gráficos adecuados para analizar la existencia de asociación entre dos variables
contínuas (X,Y), con nivel de medición en escala de intervalos razón.
Gráficos circulares
Se utilizan para representar distribuciones de frecuencias para el caso de
variables discretas y cualquier nivel de medición, con pocos valores.
96
Pictogramas
Se utilizan para presentaciones en público o para fines publicitarios
Todos estos tipos de gráficos se pueden resumir en el siguiente cuadro
Elaboramos un histograma y su polígono de frecuencias para los datos que se
presentan en la siguiente tabla.
Ejemplo,
histograma y polígono de frecuencia
Intervalo
fi
Fi
[65, 75)
5
5
[75, 85)
4
9
[85, 95)
4
13
[95, 105)
6
19
[105, 115)
4
23
[115, 125]
2
25

En unos ejes coordenados, marcamos las frecuencias en el eje vertical, y los
intervalos, en el horizontal.
97



Sobre cada intervalo, dibujamos rectángulos de base la anchura del intervalo, y
altura, la frecuencia correspondiente al mismo. Así, hemos construido el
histograma.
Para realizar el polígono de frecuencias, si estamos trabajando con las frecuencias
absolutas, unimos con una poligonal los puntos medios de las bases superiores de
los rectángulos.
Si trabajamos con frecuencias acumuladas, los puntos que unimos con la
poligonal son los vértices superiores de la derecha de cada rectángulo.
98
99