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Figuras planas y espaciales Los polígonos: Clasificación según sus lados Triángulos Tienen 3 lados. Pentágono Tiene 5 lados Cuadriláteros Tienen 4 lados. Hexágono Tienen 6 lados Heptágonos Tienen 7 lados. Eneágono Tiene los 9 lados Endecágono Tiene 11 lados Octágonos Tienen 8 lados. Decágono Tiene 10 lados. Dodecágono Tiene 12 lados. Tridecágono Tienen 13 lados Pentadecágono Tiene 15 lados. Clasif ic ac ión se gún sus áng ulos Convexos Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores. Tetradecágono Tiene 14 lados. Cóncavos Si un ángulo mide más de 180°. Si una de sus diagonales es exterior. Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina: Simple Si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan) Complejo Si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan Regular Si tiene sus ángulos y sus lados iguales Irregular Si tiene sus ángulos y lados desiguales Equilátero El que tiene todos sus lados iguales Equiángulo El que tiene todos sus ángulos iguales ELEMENTOS DE UN POLÍGONO El lado L: es cada uno de los segmentos que forman un polígono. Vértice, V: El punto de unión de dos lados consecutivos. Diagonal D: Segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: Es la suma de todos sus lados. Ángulo interior, AI: Es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ángulo central. Este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono. Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono, y el ángulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno. En un polígono regular podemos distinguir, además: Centro, C: El punto equidistante de todos los vértices y lados. Apotema, a: Segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado. Diagonales totales, , donde es el número de lados del polígono CENTROS DEL TRIÁNGULO Baricentro: es el punto que se encuentra en el corte de las medianas, y equivale al centro de gravedad Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita (punto de corte de las mediatrices), es aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección (corte de dos…) de las mediatrices de los lados. Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos. Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES Exíncentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que son tangentes a los lados del triángulo. Las rectas y puntos notables de un triángulo abc son: - Las mediatrices, que se cortan en un punto llamado circuncentro c, centro de la circunferencia circunscrita al triángulo; - Las medianas, se cortan en el baricentro, b, centro de gravedad del triángulo; - Las bisectrices, se cortan en el incentro i centro de la circunferencia inscrita del triángulo; - Las alturas, que se cortan en el ortocentro, . LAS MEDIATRICES Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo. En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa. En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo. LAS MEDIANAS Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo. El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo. Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo. En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo. En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. LAS BISECTRICES Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en Un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”. PROPIEDADES DE LAS BISECTICES Y MEDIATRICES Un triángulo . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos. La medida del radio es constante. Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de mayor medida. El diámetro se escribe con la letra “d”. El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2. Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella. Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. ELEMENTOS DEL CÍRCULO Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo. Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas. DEFINICIÓN DE PERÍMETRO El perímetro es una figura plana es igual a la suma de la longitudes de sus lados PE R I ME TR O DE UN TR IÁ NGULO Triángulo Triángulo Equilátero Isósceles PE R I ME TR O DE UN C UA DR A DO Triángulo Escaleno PE R I ME TR O DE UN R E C TÁ NGULO PE R I ME TR O DE UN R OMB O PE R I ME TR O DE UN R OMB OIDE PE R IME TR O DE UN PE NTÁ GONO R E GULA R PE R IME TR O DE UN H E X Á GONO R EGULA R PE R IME TR O DE UN POLÍGONO R E G ULA R LONGITUD DE U N A C IR C UNF ER E NCIA TIPOS DE POLÍGONOS Triángulo Cuadrado Rectángulo Rombo Trapecio Paralelogramo Polígono Regular Círculo ÁREA DEL TRIÁNGULO El área del triángulo es igual al semiproducto de la base por su altura POLIEDROS Un cuerpo geométrico que sus caras son planas y encierran un volumen finito Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Por ejemplo: tetraedro (4caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7)… icosaedro (20) - icosa es 20… Convexos: el cubo o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que ese segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos. Poliedro de caras regulares: cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares . Poliedro de caras uniformes: cuando todas las caras son iguales. Poliedro de aristas uniformes: cuando en todas sus aristas se reúnen el Mismo número de caras Poliedro de vértices uniformes: cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden. Poliedro regular y uniforme: como el tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes. Poliedros regulares Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y ángulos iguales, Poliedros irregulares Se dice que es un poliedro irregular aquel que tiene caras y ángulos desiguales, Web grafía: http://www.es.wikipedia.org http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo http://www.vitutor.net/2/1/1.html http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Puntos_y_rectas _ notables_de_los_tri%C3%A1ngulos Actividades: 1. 5 preguntas 1ª Los poliedros regulares tienen… a) Caras y ángulos desiguales b) Caras y ángulos iguales c) Caras y ángulos verticales d) Cara y ángulos horizontales 2ª Los poliedros irregulares tienen… a) Caras y ángulos iguales b) Caras y ángulos poligonales c) Caras y ángulos desiguales d) Caras y ángulos poliédricos 3ª El área del triangulo es igual… a) Al semiproducto b) Al producto c) Al lado d) Al ángulo 4ª Existen…. Tipos de triangulo a) 2 b) 5 c) 3 d) 8 5ª El equilátero tiene… a) Todos sus lados desiguales b) Todos sus lados iguales c) Todos sus lados verticales d) Todos sus lados horizontales 2. 10 palabras 1ª Poliedro: cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. 2ª Círculo: es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio 3ª Circunferencia: A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. 4ª Triangulo: es un polígono determinado por tres rectas 5ª Rectángulo: es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulo rectos entre sí. 6ª Perímetro: es la medida del contorno de una figura geométrica 7ª Equilátero: los p olí gon os eq u ilát e ro s t ien e n t o do s su s lad o s i gual es 8ª Equiángulo: tienen todos sus ángulos iguales 9ª Pentágonos: polígono de cinco ángulos y cinco lados 10ª Hexágono: polígono de seis ángulos y seis lados 3. 6 imágenes y palabras Convexo Rectángulo Polígono caras regulares Polígono aristas uniformes Poliedro irregular Poliedro de caras uniformes