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T.1 CINEMÁTICA
ÍNDICE
1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento ........... 2
Sistema de referencia ......................................................................... 2
Vector de posición .............................................................................. 3
Trayectoria ........................................................................................ 4
Vector desplazamiento ........................................................................ 4
Espacio recorrido ............................................................................... 5
2. Concepto de velocidad. Velocidad media e instantánea ....... 6
Velocidad media ................................................................................. 6
Velocidad instantánea ......................................................................... 7
3. Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU) .............................. 8
3.1 Ecuaciones de movimiento del MRU ........................................... 9
Ecuación de la posición ....................................................................... 9
Ecuación de la velocidad ..................................................................... 9
3.2 Gráficas del MRU ...................................................................... 10
Grafica velocidad-tiempo ............................................................... 10
Grafica posición-tiempo ................................................................. 10
3.3 Características de un MRU a partir de sus gráficas .................. 11
3.4 Movimiento de dos móviles ...................................................... 12
4. Aceleración .............................................................................. 13
4.1 Componentes de la aceleración ................................................ 14
5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) 15
5.1 Ecuaciones de movimiento del MRUA ....................................... 15
Ecuación de la posición ..................................................................... 16
Ecuación de la velocidad ................................................................... 16
Ecuación de la aceleración ................................................................. 16
5.2 Gráficas del MRUA.................................................................... 16
Grafica aceleración-tiempo ................................................................ 17
Grafica velocidad-tiempo................................................................... 17
Grafica posición-tiempo .................................................................... 18
5.3 Movimiento de caída libre ........................................................ 19
6. Movimiento circular uniforme (MCU) .................................... 21
Espacio recorrido .............................................................................
Velocidad ........................................................................................
Aceleración......................................................................................
Carácter periódico del MCU ................................................................
22
22
23
23
EJERCICIOS DE TEORÍA ................................................................. 25
PROBLEMAS ................................................................................... 28
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 1
TEMA 1: CINEMÁTICA
Cinemática: es la parte de la Física que estudia el movimiento de los
cuerpos sin ocuparse de las causas que lo producen.
Pero ¿qué es el movimiento? ¿Cuándo sabemos que un cuerpo se
mueve?
El movimiento es un concepto relativo, no absoluto. Un cuerpo estará en
movimiento cuando cambie su posición respecto a otro que se toma como
referencia.
Ejemplo:
-
¿Se mueven los postes de teléfono cuando los miras desde un coche
en movimiento?
-
¿los alumnos de la clase están quietos? ¿respecto a quién? Y respecto
al Sol? (Vtierra-sol=30 Km/s)
1. Magnitudes necesarias para describir el movimiento
Describir un movimiento es saber dónde se encuentra el móvil en cada
momento. Un cuerpo se mueve (como ya hemos dicho) siempre respecto a
otro que tomamos como referencia. Los movimientos que vamos a estudiar
se producen en un plano y para conocer la posición del móvil en cada
instante utilizaremos un sistema de referencia de ejes cartesianos.

Sistema de referencia
Un sistema de referencia en una dimensión (1D) está formado por un origen
y un eje en el que se especifica el sentido positivo con una flecha:
-2
-1
0
Eje X (m)
1
2
Un sistema de referencia en dos dimensiones (2D) está formado por un
origen y dos ejes perpendiculares:
Eje Y (m)
2
1
-2
-1
1
-1
2
Eje X (m)
(m)
()m
-2
Para poder calcular una magnitud física vectorial siempre necesitamos un
sistema de referencia.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 2

Vector de posición (𝑟⃗)
Para estudiar el movimiento de los cuerpos debemos conocer su posición,
que se determina siempre respecto a un sistema de referencia.
El vector de posición es un vector cuyo origen esta situado en el origen del
sistema de referencia elegido y cuyo extremo coincide con la posición del
⃗⃗ y su módulo ([𝒓
⃗⃗]) se mide en metros.
móvil. Se representa por 𝒓
-En una dimensión (1D) el vector de posición requiere un único número
al que representamos con la letra X.
Ejemplo 1  En la siguiente figura se representa un móvil que se encuentra
en X=2m. El vector de posición se indica con una flecha gris.
-2
-1
0
Eje X (m)
1
2
Ejemplo 2  Móvil que se encuentra en X=-1m.
-2
-1
0
Eje X (m)
1
2
-En dos dimensiones (2D) el vector de posición requiere dos números
que representamos con las letras X e Y.
Ejemplo 3  Móvil que se encuentra en X=2m e Y=1m
Eje Y (m)
2
1
-2
-1
1
-1
2
Eje X (m)
(m)
()m
-2

Trayectoria
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Página 3
Es la línea que sigue un móvil desde que comienza a moverse hasta que se
detiene. En la siguiente gráfica la trayectoria viene representada por la línea
curva de color negro mientras que los vectores de posición vienen
representados por las flechas que marcan la posición inicial y final.
Eje Y (m)
⃗⃗inicial
𝒓
2
1
-2
⃗⃗final
𝒓
-1
1
Eje X (m)
(m)
()m
2
-1
-2
Los movimientos según su trayectoria podrán clasificarse en rectilíneos o
curvilíneos. Si el movimiento es rectilíneo la trayectoria del móvil es una
línea recta. Si se trata de un movimiento curvilíneo el móvil puede describir
una trayectoria regular (circunferencia, elipse, parábola, etc.) o una
trayectoria irregular.

Vector desplazamiento (∆𝑟⃗)
Vector que une dos puntos de la trayectoria de un móvil. Su orientación
viene dada por la línea recta que une el punto inicial y el final de un
movimiento. El vector desplazamiento viene dado por:
∆𝑟⃗ = 𝑟⃗𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑟⃗𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
Gráficamente podríamos tener una situación como la que se representa a
continuación:
Eje Y (m)
⃗⃗inicial
𝒓
2
⃗⃗
∆𝒓
1
-2
-1
⃗⃗final
𝒓
1
2
-1
Eje X (m)
(m)
()m
-2
La trayectoria viene representada por la línea curva negra, los vectores de
posición inicial y final con vectores grises y el vector desplazamiento se
muestra con el vector de color negro.
-En una dimensión (1D) el vector desplazamiento viene dado por:
∆𝒙 = 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
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Página 4
Ejemplo 4  Representa gráficamente y calcula el vector desplazamiento de
un objeto que se mueve desde 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟐𝐦 a 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = −𝟏𝐦.
Si representamos gráficamente el vector desplazamiento (vector gris) tenemos:
𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
∆𝒙
-2
-1
0
Eje X (m)
1
2
Para calcular el vector desplazamiento utilizamos su definición:
∆𝑥 = 𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = (−1m) − (2m) = −3m
El resultado indica que el móvil se ha desplazado 3m en el sentido negativo del eje
(signo menos en el resultado).

Espacio recorrido (s)
Distancia medida sobre la trayectoria entre el punto de partida y el de
llegada. Se denomina con la letra s y es una magnitud escalar que se
mide en metros ([s]=m). Es importante darse cuenta que en general el
espacio recorrido por el móvil (s) y el módulo del vector desplazamiento
(|∆𝑟⃗|) no son iguales. Estas cantidades solo coinciden cuando el móvil
realiza un movimiento rectilíneo, en ese caso se cumple:
s = |∆𝑥|
Ejemplo 5  Calcula el espacio recorrido por un objeto que se mueve desde
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟐𝐦 a 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = −𝟏𝐦.
En este caso como el objeto realiza un movimiento rectilíneo podemos utilizar:
s = |∆𝑥| = |(−1m) − (2m)| = 3m
La distancia recorrida por el móvil es de 3m. El espacio recorrido siempre es una
cantidad positiva, no existen distancias negativas.
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Página 5
2. Concepto de velocidad. Velocidad media e instantánea
La velocidad es una magnitud física vectorial que mide no solo la rapidez
con la que cambia la posición de un móvil sino también la dirección y el
sentido en que lo hace. Relaciona dos magnitudes: desplazamiento y
tiempo. Su unidad en el SI es el m/s ([𝑣⃗]=m/s). Vamos a distinguir entre
velocidad media y velocidad instantánea.

⃗⃗𝒎 )
Velocidad media (𝒗
La velocidad media o velocidad promedio informa sobre la velocidad en un
intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (∆𝑟⃗) por
el tiempo (∆𝑡) empleado en efectuarlo:
⃗⃗𝒎 =
𝒗
⃗⃗
∆𝒓
∆𝑡
Esta magnitud física da cuenta de la rapidez con la que se desplaza un
móvil desde la posición inicial a la final en un intervalo de tiempo (∆𝑡) sin
tener en cuenta el espacio real recorrido. Se toma como referencia el vector
⃗⃗). Como se puede ver en la siguiente figura el vector
desplazamiento (∆𝒓
velocidad media (vector gris oscuro) es paralelo al vector desplazamiento
(vector negro).
Eje Y (m)
⃗⃗inicial
𝒓
2
⃗⃗𝒎
𝒗
1
-2
-1
⃗⃗final
𝒓
1
2
-1
Eje X (m)
(m)
()m
-2
-En una dimensión (1D) la velocidad media viene dada por la siguiente
ecuación:
𝒗𝒎 =
∆𝒙 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
=
∆𝑡
𝒕𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒕𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
Con el propósito de simplificar la notación vamos a considerar los siguientes
cambios en la ecuación anterior:
𝒙𝒇 → 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒙𝟎 → 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
𝒕𝒇 → 𝒕𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒕𝟎 → 𝒕𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
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Página 6
Sustituyendo en la ecuación de la velocidad media obtenemos la siguiente
expresión:
𝒗𝒎 =
𝒙𝒇 − 𝒙𝟎
∆𝒙
=
∆𝑡
𝒕𝒇 − 𝒕𝟎
Ejemplo 6  Calcula la velocidad media de un objeto que se mueve desde
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = −𝟏𝐦 a 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟐𝐦 en 3s.
Aplicando la fórmula:
𝒗𝒎 =
(𝟐𝐦) − (−𝟏𝐦)
∆𝒙
=
= +𝟏𝐦/𝐬
∆𝑡
𝟑𝐬
La velocidad es positiva porque el objeto se mueve en el sentido positivo del eje tal
y como se puede ver en la siguiente figura donde la velocidad se muestra con el
vector gris:
-2
𝒙𝟎
𝒗𝒎
-1
0
𝒙𝒇
Eje X (m)
1
2
Ejemplo 7  Calcula la velocidad media de un objeto que se mueve desde
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟐𝐦 a 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = −𝟏𝐦 en 3s.
Aplicando la fórmula:
𝒗𝒎 =
(−𝟏𝐦) − (𝟐𝐦)
∆𝒙
=
= −𝟏𝐦/𝐬
∆𝑡
𝟑𝐬
La velocidad es negativa porque el objeto se mueve en el sentido negativo del eje
tal y como se puede ver en la siguiente figura donde la velocidad se muestra con el
vector gris:
𝒙𝒇
-2
-1
𝒗𝒎
𝒙𝟎
1
2
0
Eje X (m)
Observamos que al calcular la velocidad se pueden obtener resultados
positivos o negativos. Ese signo tendrá un sentido físico que será el
siguiente: si la velocidad sale positiva será porque el cuerpo se mueve en el
sentido de nuestro eje de referencia, y si sale negativa será porque el
cuerpo se moverá en el sentido contrario.

Velocidad instantánea (𝑣⃗)
Es la velocidad que lleva el móvil en un instante determinado. Se puede
definir como la velocidad media entre dos puntos tan próximos que el
intervalo de tiempo que tarda el móvil en pasar de uno a otro es
prácticamente cero. Es una magnitud vectorial cuya dirección es
tangente a la trayectoria del movimiento. En las figuras (a), (b) y (c)
se representa la trayectoria del móvil (línea curva negra), vector
desplazamiento (vector negro) y velocidad (vector gris oscuro). Si los
puntos que utilizamos para calcular la velocidad están lo suficientemente
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Página 7
separados (ver Figuras (a) y (b)), el vector velocidad representa una
velocidad media. Si utilizamos dos puntos suficientemente próximos (ver
Figura (c)) obtenemos la velocidad instantánea. En ese caso, tal y como se
puede ver en la figura, la velocidad es tangente (ver línea discontinua en
Figura (c)) a la trayectoria.
Eje Y
(m)
2
⃗⃗𝒎
𝒗
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Eje X
X
(m) -2
(m)
()m
Eje Y
(m) ⃗𝒗⃗
𝒎
2
2
1
1
-1
1
Eje Y
(m)
Eje X
X
(m) -2
(m)
()m
2
-1
-2
Figura (a)
Figura (b)
𝑣⃗
-1
1
2
-1
-2
Figura (c)
Si tenemos un móvil que describe una trayectoria circular en sentido
horario, la velocidad instantánea para distintos puntos de la trayectoria es
siempre tangente a la misma tal y como se muestra en la figura:
Eje Y
(m)
2
𝑣⃗
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Eje X
X
(m)
(m)
()m
3. Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU)
Este tipo de movimiento tal y como su nombre indica se caracteriza por:
1. Es rectilíneo. Lo cual implica que la trayectoria que describe el móvil es
una línea recta.
2. Es uniforme, es decir, el módulo de la velocidad es constante.
Según lo anterior, este tipo de movimiento se caracteriza porque su
velocidad es constante (tanto su módulo como su dirección y su sentido).
⃗⃗𝒎 =
En estas condiciones la velocidad instantánea y la media coinciden (𝒗
⃗⃗). Por lo tanto, la velocidad en un MRU es:
𝒗
𝒗=
𝒙𝒇 − 𝒙𝟎
𝒕𝒇 − 𝒕𝟎
3.1 Ecuaciones de movimiento del MRU
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Página 8
Eje X
X
(m)
(m)
()m
Para describir el movimiento de un objeto que realiza un MRU necesitamos
conocer como varía su posición y su velocidad en función del tiempo.

Ecuación de la velocidad
Esta ecuación describe la variación de la velocidad respecto al tiempo. En el
caso de un MRU es una ecuación muy sencilla ya que la velocidad es
constante:
𝒗 = 𝒄𝒕𝒆

Ecuación de la posición
Esta ecuación describe la variación de la posición del objeto (𝒙) con
respecto al tiempo. Para obtenerla utilizamos la definición de velocidad:
𝒗=
𝒙𝒇 − 𝒙𝟎
𝒕𝒇 − 𝒕𝟎
y despejamos:
𝒗 × (𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 ) = 𝒙𝒇 − 𝒙𝟎
reordenando:
𝒙𝒇 = 𝒙𝟎 + 𝒗 × (𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 )
Si consideramos el instante inicial igual a cero (𝒕𝟎 = 𝟎), es decir el
observador pone a contar su reloj desde cero en el momento en el que
empezamos a estudiar el movimiento:
𝒙𝒇 = 𝒙𝟎 + 𝒗 × 𝒕𝒇
Si, finalmente, sustituimos 𝒕𝒇 por
posición:
𝒕 y 𝒙𝒇
por
𝒙, obtenemos la ecuación de la
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗 × 𝒕
Esta ecuación se utiliza para calcular la posición de un objeto en cualquier
instante de tiempo.
Ejemplo 8  Calcula la ecuación de la posición de un móvil que inicialmente
se encuentra a 2m del origen y se acerca al origen de coordenadas con una
velocidad de 1m/s.
La situación que tenemos es la que se muestra en la siguiente figura:
𝒗
-2
-1
0
𝒙𝟎
Eje X (m)
1
2
Como la orientación de la velocidad es contraria al sentido positivo del eje, la
velocidad es negativa y la ecuación de la posición quedaría así:
𝒙 = 𝟐𝐦 + (−𝟏𝐦/𝐬) × 𝒕
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Página 9
Ejemplo 9  Calcula la ecuación de la posición de un móvil que inicialmente
se encuentra a 2m del origen y se aleja del origen de coordenadas con una
velocidad de 1m/s.
La situación que tenemos es la que se muestra en la siguiente figura:
𝒙𝟎
-2
-1
0
𝒗
Eje X (m)
1
2
Como la orientación de la velocidad va en el mismo sentido que el eje, la velocidad
es positiva y la ecuación de la posición quedaría así:
𝒙 = 𝟐𝐦 + (𝟏𝐦/𝐬) × 𝒕
3.2 Gráficas del MRU
En este apartado vamos a representar gráficamente las ecuaciones de un
MRU. Para ello nos vamos a valer de un ejemplo concreto. Un móvil que
tiene las siguientes ecuaciones de movimiento:
𝒗 = 𝟓𝐦/𝐬
𝒙 = 𝟐𝐦 + (𝟓𝐦/𝐬) × 𝒕

Grafica velocidad-tiempo
Este tipo de gráfica nos sirve para conocer la velocidad (su módulo) de un
cuerpo en cualquier instante de su movimiento. En el caso de un cuerpo que
tenga un MRU su gráfica v-t será:
6
Velocidad (m/s)
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
Tiempo (s)
En un MRU la velocidad es constante y por lo tanto su gráfica es una línea
recta paralela al eje del tiempo (abcisas).

Grafica posición-tiempo
La gráfica de la posición frente al tiempo en un MRU es una línea recta. Al
ser una recta solo necesitamos un par de puntos para representarla.
Teniendo en cuenta la ecuación de la posición:
𝒙 = 𝟐𝐦 + (𝟓𝐦/𝐬) × 𝒕
Obtenemos un par de puntos dando valores en dicha ecuación:
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Página 10
𝒕 = 𝟎𝐬 → 𝒙 = 𝒙𝟎 = 𝟐𝐦
𝒕 = 𝟒𝐬 → 𝒙 = 𝟐𝟐𝐦
Si representamos los valores de estos dos puntos podemos pintar la línea
recta que los une y, por lo tanto, representar la gráfica de posición:
25
Posición (m)
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
Tiempo (s)
Matemáticamente
se
observa
que
la
pendiente
de
esta
recta
es
precisamente la velocidad del móvil (𝒗), esto quiere decir que una mayor
inclinación de la recta indica una mayor velocidad del móvil. Por otra parte,
la posición inicial (𝒙𝟎 ) indica el punto de corte de la recta con el eje de
posición.
3.3 Características de un MRU a partir de sus gráficas
En este apartado vamos a aprender a obtener las ecuaciones de movimiento
a partir de las gráficas de un MRU. Para ello, vamos a hacer uso de la
siguiente gráfica posición-tiempo:
40
35
Posición (m)
30
∆𝒙
25
20
15
∆𝒕
𝒙𝟎
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tiempo (s)
En un MRU la ecuación de la posición viene dada por:
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗 × 𝒕
Tenemos que deducir dos parámetros de la gráfica:
1. La posición inicial (𝒙𝟎 ) viene dada por el punto de corte de la recta con el
eje de posición. En este caso 𝒙𝟎 = 15 m.
2. La velocidad (𝑣) que viene dada por la pendiente de la curva 𝑣 =
∆𝒙
.
∆𝑡
En
este nuestro caso:
𝑣=
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29m − 20m
′
2 8s − 1s
=
9m
= 5m/s
1′8s
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Por lo tanto la ecuación del MRU viene dada por:
𝒙 = 15m + (5m/s) × 𝒕
3.4 Movimiento de dos móviles
En este apartado nos vamos a dedicar a estudiar la resolución de problemas
en los que intervienen dos móviles que se desplazan con un MRU.
Ejemplo 10  Dos vehículos salen al mismo tiempo y en sentido contrario
de ciudades separadas por 250 km de carretera recta. Se desplazan a
velocidades constantes de 90 km/h y 100 km/h respectivamente. Calcula:
a) El punto en el que se encuentran.
b) El tiempo que tardan en encontrarse.
c) Representa en una gráfica posición-tiempo el comportamiento de ambos
vehículos.
Para resolver este tipo de problemas es conveniente que sigamos los siguientes
pasos:
1. Pasar todas las cantidades que nos dan al sistema internacional de unidades.
𝒗𝑨 = 90 km/h = 25 m/s
𝒗𝑩 = 100 km/h = 27′8 m/s
𝒅 = 250 km = 250000 m
2. Dibujar un esquema del problema indicando el sistema de referencia (origen y
sentido positivo del eje) que vamos a utilizar para resolverlo.
𝒗𝑨
0
𝒗𝑩
Eje X
𝒙𝒑
250000 m
3. Plantear las ecuaciones de movimiento para cada uno de los móviles
Vehículo A  MRU  𝑥𝐴 = 𝑥0𝐴 + 𝑣𝐴 × 𝑡 𝑥𝐴 = 0 m + (25 m/s) × 𝑡
El vehículo B tiene una velocidad negativa ya que esta orientada en sentido
contrario al eje:
Vehículo B  MRU  𝑥𝐵 = 𝑥0𝐵 − 𝑣𝐵 × 𝑡 𝑥𝐵 = 250000 m − (27′8 m/s) × 𝑡
4. Utilizar las ecuaciones de movimiento de los móviles para hallar lo que se nos
pregunta. Vamos a resolver apartado por apartado:
a) En este apartado nos piden el punto en el que se encuentran los dos vehículos
(𝒙𝒑 ). En ese punto se cumple que la posición de ambos móviles es exactamente la
misma. Por lo tanto, igualamos las ecuaciones de movimiento de los dos vehículos:
𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 = 𝑥𝑃
(25 m/s) × 𝑡 = 250000 m − (27′8 m/s) × 𝑡
(52′8 m/s) × 𝑡 = 250000 m
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Página 12
𝑡=
250000 m
= 4736′ 8 s
52′8 m/s
Este es el tiempo que tardan en encontrarse. Si queremos averiguar en que
posición se encuentran solo tenemos que sustituir este tiempo en cualquiera de las
dos ecuaciones de movimiento. Si sustituimos en la del vehículo A obtenemos:
𝑥𝑃 = (25 m/s) × 4736′ 8 s = 118421′ 1m
b) El tiempo que tardan en encontrarse lo hemos hallado en el apartado anterior:
𝑡 = 4736′ 8 s = 1′ 3h = 1h 19 min
c) Finalmente representamos las ecuaciones de la posición de los dos vehículos.
300000
𝑥𝐵
Posición (m)
250000
200000
𝑥𝑃
150000
100000
𝑥𝐴
50000
0
0
2000
4000
6000
8000 10000
Tiempo (s)
⃗⃗)
4. Aceleración (𝒂
Los móviles no siempre se mueven con una velocidad constante, por este
motivo necesitamos definir una nueva magnitud llamada aceleración.
La aceleración es una magnitud física vectorial que mide lo que varía la
velocidad de un móvil en el tiempo. Su unidad en el SI es el m/s2
([𝑎⃗]=m/s2). Al igual que en el caso de la velocidad podemos distinguir entre
aceleración media y aceleración instantánea. En este curso no hará falta
distinguir entre ambas magnitudes ya que todos los movimientos que se
estudiarán tendrán una aceleración constante por lo que la aceleración
⃗⃗ = 𝒂
⃗⃗𝒎 ). Según esto, podemos definir la
instantánea es igual a la media (𝒂
aceleración como:
⃗⃗ =
𝒂
⃗⃗𝑓 − 𝒗
⃗⃗0
⃗⃗ 𝒗
∆𝒗
=
∆𝑡 𝒗
⃗⃗𝒇 − 𝒗
⃗⃗𝟎
Cuando tenemos un movimiento rectilíneo (1D) desaparece el carácter
vectorial:
𝒂=
∆𝒗 𝒗𝒇 − 𝒗𝟎
=
∆𝒕
𝒕𝒇 − 𝒕𝟎
Ejemplo 11  Indicar como varía la velocidad de un móvil que tiene una
velocidad inicial de 0 m/s y una aceleración constante de 3 m/s2
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Página 13
El móvil posee una aceleración de 3 m/s2 lo que significa que su velocidad aumenta
3 m/s por cada segundo que transcurre, esto es:
t(s)
V(m/s)
0
0
1
3
2
6
3
9
4
12
Ejemplo 12  Indicar como varía la velocidad de un móvil que tiene una
velocidad inicial de 20 m/s y una aceleración constante de -3 m/s2
El móvil posee una aceleración de -3 m/s2 lo que significa que su velocidad
disminuye 3 m/s por cada segundo que transcurre, esto es:
t(s)
V(m/s)
0
20
1
17
2
14
3
11
4
8
Vemos que el valor de la aceleración puede ser positivo o negativo:
-
𝑎 > 0 → ∆𝑣 > 0 →
𝑎 < 0 → ∆𝑣 < 0 →
𝑎 = 0 → ∆𝑣 = 0 →
aumento de la velocidad.
disminución de la velocidad.
velocidad constante (movimiento uniforme).
4.1 Componentes de la aceleración
La aceleración mide lo que varía la velocidad en el tiempo. Como la
velocidad es un vector, puede variar en módulo, dirección y sentido. Por
este motivo se dice que hay dos componentes de la aceleración:

La aceleración tangencial (𝒂𝒕 ): mide lo que varía el módulo de la
velocidad por unidad de tiempo.
𝒂𝒕 =

∆𝒗 𝒗𝒇 − 𝒗𝟎
=
∆𝒕
𝒕𝒇 − 𝒕𝟎
La aceleración normal o centrípeta (𝒂𝒄 ): mide lo que varía la
orientación (dirección y sentido) de la velocidad por unidad de
tiempo.
donde
𝒓
𝒗𝟐
𝒂𝒄 =
𝒓
es el radio de curvatura de la trayectoria.
Si el cuerpo describe una trayectoria circular,
𝒓
es el radio de la
circunferencia.
Dependiendo del tipo de movimiento que lleve un móvil tendrá un tipo de
aceleración u otro. O tendrá ambos:

Movimiento rectilíneo: como la velocidad tiene siempre la misma
dirección, sólo tendrá aceleración tangencial en el caso de que el
módulo de la velocidad vaya variando.
𝑣⃗
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
𝑣⃗
𝑣⃗
𝑣⃗
Página 14

Movimiento curvilíneo: como la velocidad cambia de dirección (ver
figura de abajo a la izquierda) y de módulo tendrá en principio los
dos tipos de aceleración: tangencial y normal (ver figura de abajo a
la derecha).
Eje Y
(m)
Eje Y
(m)
2
2
𝑣⃗
1
-2
-1
1
1
-1
-2
2
Eje X
X
(m)
(m)
()m
-2
-1
-1
-2
𝑎𝑐
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑡
⃗⃗⃗⃗
1
2
Eje X
X
(m)
(m)
()m
Es importante resaltar que un movimiento circular siempre tendrá
aceleración ya que aunque no varíe el módulo de la velocidad la
dirección del vector velocidad cambia continuamente y por lo tanto,
el móvil siempre tendrá, al menos, aceleración normal.
5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Este tipo de movimiento tal y como su nombre indica se caracteriza por:
1. Ser rectilíneo. Lo cual implica que la trayectoria que describe el móvil es
una línea recta.
2. Ser uniforme y acelerado, es decir, tiene una aceleración que es
constante (tanto su módulo como su dirección y su sentido).
En estas condiciones la aceleración pierde su carácter vectorial y es igual a:
𝒂=
∆𝒗 𝒗𝒇 − 𝒗𝟎
=
∆𝒕
𝒕𝒇 − 𝒕𝟎
5.1 Ecuaciones de movimiento del MRUA
Para describir el movimiento de un objeto que realiza un MRUA necesitamos
conocer su aceleración y como varían en función del tiempo su posición y su
velocidad.

Ecuación de la aceleración
Esta ecuación describe la variación de la aceleración respecto al tiempo. En
el caso de un MRUA la aceleración es constante:
𝒂 = 𝒄𝒕𝒆

Ecuación de la velocidad
Esta ecuación determina la velocidad del móvil en cada instante. Para
obtenerla utilizamos la definición de la aceleración:
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 15
𝒂=
𝒗𝒇 − 𝒗𝟎
𝒕𝒇 − 𝒕𝟎
despejando obtenemos:
𝒂 × (𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 ) = 𝒗𝒇 − 𝒗𝟎
reordenando:
𝒗𝒇 = 𝒗𝟎 + 𝒂 × (𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 )
Si consideramos el instante inicial igual a cero (𝒕𝟎
= 𝟎):
𝒗𝒇 = 𝒗𝟎 + 𝒂 × 𝒕𝒇
Si, finalmente, sustituimos 𝒕𝒇 por
velocidad:
𝒕 y 𝒙𝒇
por
𝒙, obtenemos la ecuación de la
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 × 𝒕
La ecuación anterior se utiliza para calcular la velocidad en cualquier
instante de tiempo.
También podemos deducir una expresión que relaciona la velocidad con el
espacio recorrido:
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎 𝟐 + 𝟐𝒂 × (𝒙 − 𝒙𝟎 )
Esta ecuación se utiliza para calcular la velocidad en cualquier posición.

Ecuación de la posición
Por último, se puede demostrar que la ecuación de la posición para un
MRUA es:
𝒂 × 𝒕𝟐
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 × 𝒕 +
𝟐
La ecuación anterior se utiliza para calcular la posición en cualquier instante
de tiempo.
5.2 Gráficas del MRUA
Vamos a representar gráficamente las ecuaciones de un móvil que se
desplaza en línea recta desde un punto situado a 2 metros del origen con
una velocidad inicial de 3 m/s y una aceleración constante de 2 m/s2. Según
esto:
𝒙𝟎 = 𝟐 𝐦
𝒗𝟎 = 𝟑 𝐦/𝒔
𝒂 = 𝟐 𝐦/𝐬 𝟐
Si sustituimos estos valores en las ecuaciones de movimiento obtenemos:
𝒂 = 𝟐 𝐦/𝐬 𝟐
𝒗 = 𝟑 𝐦/𝐬 + (𝟐 𝐦/𝐬 𝟐 ) × 𝒕
𝒙 = 𝟐 𝐦 + (𝟑 𝐦/𝐬) × 𝒕 + 𝒕𝟐

Grafica aceleración-tiempo
La aceleración de un MRUA es constante y por lo tanto no varía con el
tiempo.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 16
Aceleración (m/s2)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
Tiempo (s)

Grafica velocidad-tiempo
La gráfica velocidad-tiempo en un MRUA es una línea recta. Para
representarla solo necesitamos un par de puntos. El punto de corte con el
eje
de
velocidad
(𝒗𝟎 )
nos
da
el
primer
punto
que
necesitamos.
Identificando términos en la ecuación de la velocidad:
𝒗𝟎 = 𝟑 𝐦/𝐬
El otro punto lo hayamos dando valores en la ecuación:
𝒕 = 𝟓 𝐬 → 𝒙 = 𝟏𝟑 𝐦/𝐬
Si representamos los valores de estos dos puntos podemos pintar la línea
recta que los une y, por lo tanto, representar la gráfica de la velocidad:
14
Velocidad (m/s)
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
Tiempo (s)

Grafica posición-tiempo
La gráfica posición-tiempo es una parábola. Para poder representarla
tenemos que dar valores a la ecuación:
t(s)
x(m)
0
2
1
6
2
12
3
20
4
30
5
42
Si representamos estos puntos en una gráfica y los unimos con una línea
curva:
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 17
Posición (m)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
Tiempo (s)
Vemos que se trata de una parábola que corta al eje de posición en 𝒙𝟎 =
𝟐 𝐦. En este caso la aceleración es positiva y la parábola crece hacia arriba.
Si la aceleración fuera negativa la parábola crece hacia abajo. Para ilustrarlo
vamos a representar la gráfica posición tiempo de un móvil que se desplaza
con los siguientes parámetros:
𝒙𝟎 = 𝟎 𝐦
𝒗𝟎 = 𝟎 𝐦/𝒔
𝒂 = −𝟐 𝐦/𝐬 𝟐
En estas condiciones la ecuación posición-tiempo es:
𝒙 = −𝒕𝟐
Dando valores obtenemos la siguiente gráfica:
0
1
2
3
4
5
0
Posición (m)
-5
-10
-15
-20
-25
-30
Tiempo (s)
5.3 Movimiento de caída libre
Se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo que se encuentra
bajo la acción exclusiva de la gravedad. Este tipo de movimiento es el que
realiza un objeto cuando lo dejamos caer desde cierta altura respecto al
suelo. Para analizar el movimiento de caída libre de los objetos vamos a
despreciar el rozamiento del aire. En estas condiciones todos los objetos
que se encuentran cerca de la superficie de la Tierra caen con la misma
aceleración. A esta aceleración se la llama aceleración de la gravedad y se
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 18
la denomina con la letra 𝒈 y tiene un valor constante de 9’8 m/s2. Según lo
anterior, un movimiento de caída libre es un MRUA.
Para obtener las ecuaciones de movimiento solo tenemos que coger las de
un MRUA y sustituir 𝒙 por 𝒚, y 𝒂 por 𝒈:
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒈 × 𝒕
𝒈 × 𝒕𝟐
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎 × 𝒕 +
𝟐
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎 𝟐 + 𝟐𝒈 × (𝒚 − 𝒚𝟎 )
Ejemplo 13  Desde una torre de 60 m de altura se deja caer una piedra.
Calcula:
a) El tiempo que tarda en caer.
b) La velocidad con la que llega al suelo.
Para resolver el problema tenemos que seguir los siguientes pasos:
1. Dibujar un diagrama del problema y elegir un sistema de referencia que sea
ventajoso:
El sistema de referencia más ventajoso es siempre aquel que tiene el origen
donde comienza el movimiento del objeto y la dirección positiva del eje
apuntando hacia donde se produce el movimiento.
0rigen
⃗⃗⃗ = −9′ 8 m/𝑠 2
𝒈
𝐡 = 60 m
2. Plantear las ecuaciones de movimiento en el sistema de referencia que hemos
elegido. Como el objeto se deja caer su velocidad inicial es cero ( 𝒗𝟎 = 𝟎 𝐦/𝐬). En
el sistema de referencia que hemos cogido la posición inicial del objeto coincide con
el origen (𝒚𝟎
= 𝟎 𝐦) y la aceleración de la gravedad tiene el mismo sentido que el
eje siendo, por lo tanto, positiva (𝒈 = 𝟗′ 𝟖 𝐦/𝐬 𝟐 ). Las ecuaciones de movimiento
quedan:
𝒗= 𝒈× 𝒕
𝒈 × 𝒕𝟐
𝒚=
𝟐
3. Resolver el problema aplicando alguna condición matemática sobre las
ecuaciones de movimiento.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 19
En este problema se nos dice que el objeto se deja caer desde una altura (𝒉) de 60
m. Si introducimos este dato en la ecuación de la posición obtendremos el tiempo
que tarda el objeto en caer al suelo:
𝐡=
𝒈 × 𝒕𝟐
𝟐
Ahora operamos para despejar el tiempo:
𝟐 × 𝐡 = 𝒈 × 𝒕𝟐
𝟐×𝐡
= 𝒕𝟐
𝐠
𝟐×𝐡
√
= 𝒕
𝐠
Sustituimos los valores de h y g:
𝟐×𝐡
𝟐 × 𝟔𝟎 𝐦
𝐭=√
= √ ′
= 𝟑′ 𝟓 𝐬
𝐠
𝟗 𝟖 𝐦/𝐬𝟐
Para hallar la velocidad con la que el objeto llega al suelo lo único que tenemos que
hacer es sustituir ese tiempo en la ecuación de la velocidad:
𝒗 = 𝒈 × 𝒕 = 𝟗′ 𝟖 𝐦/𝐬𝟐 × 𝟑′ 𝟓 𝐬 = 𝟑𝟒′𝟑 𝐦/𝐬
Ejemplo 14  Resolver el problema del ejemplo 13 utilizando el sistema de
referencia que se muestra en la figura:
⃗⃗⃗ = −9′ 8 m/𝑠 2
𝒈
𝒚𝟎 = 60 m
0rigen
En este caso el origen del sistema de referencia se encuentra en el suelo y el
sentido positivo del eje apunta hacia arriba. En estas condiciones:
𝒚𝟎 = 𝟔𝟎 𝐦
𝒈 = −𝟗′ 𝟖 𝐦/𝐬𝟐
Con este sistema de referencia las ecuaciones de movimiento quedan de la
siguiente forma:
𝒗= 𝒈× 𝒕
𝒈 × 𝒕𝟐
𝒚 = 𝒚𝟎 +
𝟐
Cuando el objeto se encuentra en el suelo se cumple que
𝒚 = 0 m si sustituimos
este valor en la ecuación de la posición obtenemos el tiempo que tarda el objeto en
caer al suelo:
𝟎 𝐦 = 𝒚𝟎 +
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
𝒈 × 𝒕𝟐
𝟐
Página 20
Despejando el tiempo de la ecuación obtenemos:
𝒕=√
−(𝟐 × 𝒚𝟎 )
−(𝟐 × 𝟔𝟎 𝐦)
=√
= 𝟑′ 𝟓 𝐬
𝐠
−𝟗′ 𝟖 𝐦/𝐬𝟐
Sustituyendo el tiempo en la ecuación de la velocidad obtenemos la velocidad con
la que llega al suelo:
𝒗 = 𝒈 × 𝒕 = −𝟗′ 𝟖 𝐦/𝐬𝟐 × 𝟑′ 𝟓 𝐬 = −𝟑𝟒′𝟑 𝐦/𝐬
Obtenemos, como es lógico, los mismos resultados que en el ejemplo 13. La única
diferencia se da en el resultado de la velocidad. Con este nuevo sistema de
referencia la velocidad es negativa. Este resultado no nos debería sorprender ya
que en este caso la velocidad está dirigida en sentido contrario al eje del sistema de
referencia que hemos utilizado para resolver el problema.
6. Movimiento circular uniforme (MCU)
Se denomina movimiento circular uniforme a aquel que tiene las siguientes
características:
-Tiene una trayectoria que es una circunferencia.
-El módulo de la velocidad permanece constante mientras que su dirección
y sentido varían de forma constante a lo largo de la trayectoria circular.
Según lo anterior el MCU es un movimiento acelerado ya que la
orientación de la velocidad varía y siempre existe aceleración normal.
Por lo tanto, cualquier movimiento que sea circular es acelerado.
Para estudiar el MCU tenemos que definir nuevas magnitudes cinemáticas
que sean apropiadas para un movimiento circular.

Espacio recorrido (s)
Queremos determinar el espacio que recorre un móvil que se desplaza
realizando un MCU entre el punto P1 y el P2 tal como se muestra en la
figura:
P2
s
𝜑
𝑟
P1
Para ello tenemos que hacer uso de la siguiente relación:
longitud de un arco de circunferencia = radio× ángulo
Identificando estas magnitudes con las que se muestran en la figura
anterior:
Longitud del arco de circunferencia  s
Radio de la circunferencia  𝑟
Ángulo  φ
Obtenemos la ecuación del espacio recorrido entre los dos puntos:
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 21
s=𝑟×𝜑
En esta ecuación el ángulo φ esta medido en radianes ([𝜑]
= rad).
La
equivalencia entre radianes y grados sexagesimales es:
2π rad = 360º

Velocidad
En el MCU es útil definir la velocidad angular (𝜔) como la relación entre el
ángulo recorrido en el movimiento (𝜑 ) y el tiempo empleado (𝑡 ):
𝜔=
𝜑
𝑡
En el sistema internacional la velocidad angular se mide en rad/s ([𝜔] =
rad/s). En un MCU la velocidad angular no varía con el tiempo, es
constante.
La velocidad angular y la lineal están relacionadas de la siguiente forma:
s
𝜑 𝑟
s
𝑣
𝜔= = =
=
𝑡
𝑡 𝑟×𝑡 𝑟
despejando de la ecuación anterior:
𝑣 =𝜔×𝑟
Como vemos en la ecuación anterior en un MCU a mayor radio de giro,
mayor velocidad lineal.
Ejemplo 15  Un antiguo tocadiscos gira con una velocidad angular de 1
rad/s. Tenemos dos discos, uno de 5 cm de radio y otro de 10 cm. ¿Qué
disco adquiere una mayor velocidad lineal en su borde al ponerlo en el
tocadiscos?
Teniendo en cuenta que la velocidad lineal es proporcional al radio, el disco de
mayor radio tendrá una velocidad lineal que será el doble que la del disco pequeño.
Para el disco grande tenemos:
𝑣 = 1 rad/s × 0.05 m = 0.05 m/s
Para el disco pequeño tenemos:
𝑣 = 1 rad/s × 0.1 m = 0.1 m/s

Aceleración
En un MCU el módulo de la velocidad permanece constante, sin embargo, la
orientación de la velocidad varía en cada punto de la trayectoria tal y como
se muestra en la figura de abajo a la derecha.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 22
Eje Y
(m)
Eje Y
(m)
2
2
𝑣⃗
1
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Eje X
X
(m)
(m)
()m
-2
-1
𝑎𝑐
⃗⃗⃗⃗⃗
1
-1
-2
2
Eje X
X
(m)
(m)
()m
Por este motivo, un móvil con MCU no tiene aceleración tangencial
(que mide la variación del módulo de la velocidad), pero si tiene
aceleración normal o centrípeta (que mide lo que varía la dirección del
vector velocidad; ver figura de arriba a la derecha).
Utilizando la definición de aceleración normal:
Finalmente obtenemos:
𝑣 2 (𝜔 × 𝑟)2
𝑎𝑐 =
=
𝑟
𝑟
𝑎𝑐 = 𝜔2 × 𝑟

Carácter periódico del MCU
El MCU es un movimiento periódico, es decir, se repite en el tiempo. Cada
vez que un móvil con MCU da una vuelta a la circunferencia el movimiento
se repite.
Los movimientos periódicos se caracterizan por un par de magnitudes
propias de este tipo de movimientos:
- Periodo (T): Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. En el
caso del MCU, el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta a la
circunferencia. En el sistema internacional se mide en segundos ([T]=s).
Podemos hallar la relación entre la velocidad angular y el periodo:
Si sustituimos en la ecuación de la velocidad angular los datos para una
vuelta del móvil:
𝜔=
Despejando:
𝜑 2𝜋
=
𝑡
T
T=
2𝜋
𝜔
- Frecuencia (𝝊): Es el número de veces que se repite el movimiento en
un segundo. Es la inversa del periodo:
𝜐=
1
T
Se mide en ciclos por segundo o hercios ([𝝊]=Hz).
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 23
EJERCICIOS DE TEORÍA

Descripción del movimiento: Sistema de referencia,
vector de posición, vector desplazamiento, espacio
recorrido, velocidad. MRU
1. Un avión deja caer en un instante dado un objeto. Indica:
a) La trayectoria del objeto respecto al avión.
b) La trayectoria del objeto respecto a un observador situado en la Tierra.
2. Un pasajero va sentado en su asiento del interior de un tren que se
mueve con velocidad constante. Elige la respuesta correcta que exprese el
estado cinemático del pasajero:
a) Esta en reposo independientemente del sistema de referencia que se
elija.
b) Esta en reposo sólo si se considera un sistema de referencia dentro del
tren.
c) Esta en movimiento respecto a un sistema de referencia situado en el
interior del tren, que está en movimiento.
d) Esta en movimiento independientemente del sistema de referencia
elegido.
3. Un hombre camina desde A hasta B y después llega hasta C tal y como
se muestra en la figura. Calcula el espacio recorrido por dicho hombre y el
módulo del vector desplazamiento.
4m
A
B
3m
O
C
Sol: s= 7m; |∆𝑟⃗|=5m
4. Un móvil describe una trayectoria circular de radio 1m. Calcula el espacio
recorrido y el módulo del vector desplazamiento del móvil al dar una vuelta
completa.
Sol: s=2𝜋 m; |∆𝑟⃗|=0m
5. Un atleta esta corriendo en un estadio de 500m de perímetro.
a) Halla el espacio recorrido y el desplazamiento cuando ha dado una
vuelta.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 24
b) Si el atleta da tres vueltas al estadio, ¿qué espacio total ha recorrido?
¿cuál ha sido su desplazamiento?
Sol: a) s=500 m, |∆𝑟⃗|=0m; b) s=1500m, |∆𝑟⃗|=0m
6. ¿Cuánto vale el módulo del vector desplazamiento en un movimiento en
el que el punto inicial y final coinciden? ¿Ocurre lo mismo con el espacio
recorrido?
7. Un ciclista se mueve en una carretera recta, parte del kilómetro 20 y
avanza hasta el kilómetro 35; a continuación invierte el sentido del
movimiento y vuelve hasta llegar al kilómetro 5:
a) Haz un dibujo indicando la trayectoria.
b) Calcula la distancia recorrida y el vector desplazamiento
Sol: b) 35 km, -15 km.
8. ¿Crees que un cuerpo
desplazamiento es cero?
podría
haber
recorrido
un
espacio
si el
9. Un móvil se encuentra en distintos instantes en las posiciones que se
muestran en la tabla:
X (m)
Y(m)
t (s)
0
4
1
1
3.9
2
2
3.5
3
3
2.6
4
4
0
5
a) Representa gráficamente los vectores de
posición.
b) A la vista de las posiciones, dibuja la
trayectoria del móvil.
c) Dibujar el vector desplazamiento entre
t=1s
y
t=3s,
¿coincide
el
vector
desplazamiento con la trayectoria?
d) ¿Podría ser mayor el vector
desplazamiento que el espacio recorrido?
e) ¿Podrían ser equivalentes el espacio recorrido y el vector
desplazamiento? ¿en qué caso?
10. a) ¿Qué quiere decir que la posición inicial de un móvil es de -10
metros?
b) ¿Qué significa que la velocidad de un móvil sea negativa?
c) Explica qué es el vector desplazamiento. ¿Qué relación existe entre el
vector desplazamiento y el espacio recorrido por un móvil?
d) Explica qué es la trayectoria de un movimiento y qué tipos hay.
e) Defina velocidad instantánea citando todas sus características básicas
11. Define y explica cada una de las magnitudes cinemáticas que conozcas
especificando sus unidades.
12. Define la magnitud
características básicas
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
velocidad
instantánea
citando
todas
sus
Página 25

Aceleración. MRUA
13. a) En un movimiento rectilíneo uniforme ¿Existe aceleración normal o
centrípeta? ¿Existe aceleración tangencial? ¿Por qué?
b) En un movimiento circular en el que el módulo de la velocidad
permanece constante ¿Existe aceleración normal o centrípeta? ¿Existe
aceleración tangencial? ¿Por qué?
c) Si la velocidad de un cuerpo es cero, ¿Puede ser la aceleración distinta de
cero? Razona la respuesta.
14. Describe los tipos de movimientos que conozcas especificando sus
ecuaciones de movimiento. Explica cada uno de los términos que aparecen
en dichas ecuaciones de movimiento.
15. Dibuja los vectores que representan la aceleración tangencial y
centrípeta en los siguientes movimientos (las posiciones se suponen
fotografiadas a intervalos de tiempo iguales).
16. Representa de forma esquemática, utilizando vectores, la velocidad y la
aceleración de cada uno de los siguientes móviles:
a) Un coche acelerando en una carretera recta.
b) Un coche frenando en una carretera recta.
c) Una pelota que se lanza hacia arriba.
d) La pelota cuando cae.
17. Si el módulo de la velocidad es constante, ¿hay aceleración?
a) Solo si el movimiento es rectilíneo.
b) Sólo si el movimiento es circular.
c) Sólo si la velocidad es negativa.
d) En ningún caso.

Caida libre
18. Si dejamos caer dos piedras desde distintas alturas. ¿Se mantendrá la
distancia entre ambas mientras se encuentran en caída libre? Razona y
explica tu respuesta valiéndote de tus conocimientos de cinemática.
19. Si lanzamos un objeto desde el suelo con una velocidad V0, calcula con
que velocidad llega al suelo después de volver a caer.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 26
20. Calcula la velocidad con la que un objeto llega al suelo si lo dejamos
caer desde un edificio de altura H.
a) Resuelve el problema desde un sistema de referencia ubicado en lo alto
del edificio y otro fijado en el suelo.
b) De que factores depende esa velocidad.
 MCU
21. En un tractor las ruedas traseras son mucho más grandes que las
delanteras. Al ponerse en movimiento, ¿qué ruedas adquieren mayor
velocidad?
22. El velocímetro de una moto marca 100 km/h. ¿Se puede asegurar que
la aceleración es nula tanto en tramos rectos como en curvos? ¿Por qué?
23. El movimiento circular uniforme, ¿tiene aceleración?
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 27
PROBLEMAS
PROBLEMAS MRU

MRU: un móvil
1. Un coche que se desplaza en línea recta a la velocidad constante de 90
km/h, se encuentra en el punto kilométrico 12 de la carretera. Calcula:
a) En que kilómetro se encontrará al cabo de dos horas.
b) La distancia recorrida en dos horas.
c) El tiempo que tardará en llegar al kilómetro 300.
Sol: a) x = 192 km; b) s=180 km; c) t=3.2 h = 3 h 12 min.
2. A las 8 h 30 min el AVE Madrid-Barcelona se encuentra a 216 km de
Zaragoza, moviéndose a una velocidad de 50 m/s. Determina:
a) La distancia que recorrerá en los siguientes 15 min.
b) La hora de llegada a Zaragoza.
Sol: a) 45 km; b) 9 h 42 min.
3. Juan se encuentra a 200 m de su casa, alejándose de ella a una
velocidad de 4 km/h. Tomando como origen del sistema de referencia,
determina:
a) Su posición inicial.
b) Su posición después de 2 min.
c) El tiempo que emplea en alcanzar la posición 500 m.
Sol: a) 200 m; b) 333.33 m; c) 270 s = 4.5 min.
4. Un coche esta a 100 m de un semáforo y circula por una calle recta a 36
km/h hacia él. Determina:
a) Su posición respecto al semáforo después de 0.5 min.
b) El tiempo que tarda en llegar al siguiente semáforo distante 500 m
respecto al primero.
Sol: a) estará 200 m pasado el semáforo; b) 60 s.
5. La posición de un móvil que lleva un movimiento rectilíneo viene dada
por la ecuación 𝑥 = 8 m + (12 m/s) × t . Determina:
a) La posición del móvil en el instante inicial.
b) La velocidad del móvil.
c) La posición que tiene en los instantes t=2 s y t=8 s.
d) El desplazamiento que experimenta entre el segundo 2 y el 5.
e) ¿Coincidirán el desplazamiento y el espacio recorrido en dicho intervalo
de tiempo?
Sol: a) 8m; b) 12 m/s; c) 32 m, 104 m; d) 36 m.
6. La posición de un objeto con movimiento rectilíneo viene dada por la
ecuación 𝑥 = −5 m + (15 m/s) × t. Determina:
a) La posición inicial.
b) El instante en el que está situado a 50 m a la derecha del origen de
coordenadas.
c) El tiempo que tarda en recorrer 100 m.
Sol: a) -5 m; b) 3’67 s; c) 6’67 s.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 28

Gráficas de un MRU
Dibujar gráficas
7. Representa la gráfica posición-tiempo para un móvil que tiene el
siguiente comportamiento:
-Recorre 5m en 2s desde el origen de distancias con MRU.
-Se detiene en la posición alcanzada durante 3s
-Vuelve a la posición inicial en 2s con velocidad constante.
8. Dibuja la gráfica posición-tiempo de un peatón que se mueve con
velocidad constante hacia la derecha, se detiene un cierto tiempo y vuelve
con la misma velocidad al punto de partida.
9. Una patinadora que se desliza en una pista de hielo con movimiento
rectilíneo y uniforme se mueve 16 m/s. Si empezamos a estudiar su
movimiento cuando pasa por la posición de salida:
a) Escribe la ecuación de su movimiento.
b) Haz la representación de sus gráficas x-t y v-t.
10. Antonio sale andando desde Coria a Gelves con una velocidad constante
de 10 km/h. Cuando llega a Gelves descansa durante 30 minutos y
emprende la marcha con hacia el punto de partida con la misma velocidad.
Dibuja las gráficas x-t y v-t del movimiento.
Dato: Considera la distancia entre Coria y Gelves de 6 km.
Hallar ecuaciones
11. La posición de un automóvil respecto a un sistema de referencia esta
representada por la gráfica de la figura. Determina:
a) La posición inicial y la velocidad del vehículo.
b) Si continúa con esa velocidad, ¿A qué hora estará en los puntos
kilométricos 325 km y 400 km?
c) ¿Dónde se encontrara cuando hayan transcurrido 5 h y media?
𝒙 (km)
𝒕 (h)
Sol: a) x0=50 km, v=50 km/h; b) t=5.5 h, t=7h; c) x= 325 km
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 29
12. Después de hallar la velocidad y la posición inicial escribe las ecuaciones
correspondientes a cada gráfica
𝒕 (s)
Sol: 1. x0=10 m, v=1.25 m/s; 2. x0=15 m, v=-1.25 m/s; 3. x0=0 m, v=0.625 m/s; 4. x0=-5 m, v=-1 m/s
13. La gráfica representa la posición respecto del tiempo de tres móviles
que recorren la misma trayectoria:
a) Indica la posición inicial de cada uno.
b) ¿Qué relación hay entre las velocidades de los móviles A y B? ¿Por qué?
c) ¿Qué distancia separará los móviles A y B después de 12 segundos?
d) Calcula la velocidad que lleva cada uno.
Sol: a) 0 m, 15 m, 0 m; c) 15 m; d) 5 m/s, 5 m/s, 15 m/s
𝒙 (km)
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 30
14. La gráfica de la figura representa la posición de un móvil.
a) Describe sus movimientos.
b) Calcula la velocidad en los diferentes tramos.
c) Si la trayectoria es una línea recta, calcula la distancia total y el
desplazamiento total que ha experimentado el móvil.
𝒙 (km)
𝒕 (h)
Sol: a) AMRU, B MRU, Creposo, DMRU; b) vA= 53.3 km/h, vB= 100
km/h, vC= 0 km/h, vD= 80 km/h; c) s= 420 km, |∆𝑥|=100 km.
15. El movimiento realizado por un ciclista es el indicado en la figura:
a) indica su posición inicial y final.
b) Calcula el desplazamiento y la distancia total recorrida.
c) ¿Cuánto tiempo ha estado parado?
d) Calcula la velocidad con la que vuelve al punto de partida.
Sol: a) -10 km, 0 km; b) 10 km, 54 km; c) 10 min; d) -33 km/h
𝒙 (km)
16. El movimiento de un coche está representado por la siguiente gráfica
posición-tiempo:
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 31
a) Calcula la velocidad en cada tramo.
b) ¿Informa esta gráfica sobre la trayectoria del móvil?
c) Si la trayectoria es una línea recta, calcula la distancia y el
desplazamiento total que ha experimentado el móvil.
Sol: a) 80 km/h, 100 km/h, 0 km/h, -80 km/h; c) 420 km, 100 km
𝒙 (km)

Dos móviles en MRU
Distinto sentido
17. Carlos y Antonio están alejados 2 km y se dirigen en la línea recta al
encuentro. Carlos camina a 3 km/h y Antonio, a 4 km/h. Calcula la distancia
que ha recorrido cada uno cuando se encuentran.
18. Desde dos ciudades distantes la una de la otra 20 Km, sale al
encuentros dos ciclistas a la misma hora. Si el primero marcha a una
velocidad de 18 Km/h y el segundo a una velocidad de 27 Km/h ¿a qué
distancia de la primera ciudad se encontrarán? ¿Cuánto tiempo tardarán en
encontrarlo?
Sol: Se encuentran en x=8000 m a t=1600 s.
19. Dos ciclistas salen de dos localidades que están separadas 12.5 km. Los
dos ciclistas deciden encontrarse en el camino entre los dos pueblos. Según
lo acordado el ciclista A sale a las 11 en punto y pedalea con una velocidad
de 10 m/s. El ciclista B sale de la otra localidad diez minutos más tarde
pedaleando a una velocidad de 8 m/s. Calcula:
a) ¿A qué hora y en qué punto intermedio se encuentran?
b) ¿Qué espacio ha recorrido cada ciclista?
c) Dibuja las gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo de los ciclistas.
Sol: a) 11 h 23 min; b) 13’8 km y 11’2 km; c) gráficas
Mismo sentido
20. Dos coches se desplazan en el mismo sentido sobre la misma recta con
movimiento uniforme. El coche uno pasa por el origen de coordenadas
(punto A) a una velocidad de 108 Km/h, en el mismo momento en que el
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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segundo coche pasa por un punto B situado a 100 metros de A con una
velocidad de 90 Km/h
a) ¿En qué posición y en qué momento caza el coche A al coche B?
b) ¿Qué espacio recorre cada uno?
c) Dibuja la gráfica x-t de la persecución
21. Un automóvil pasa a las 9 h por el punto A de una carretera recta a la
velocidad de 90 km/h y un cuarto de hora más tarde pasa por el mismo
punto otro automóvil, en el mismo sentido que el primero, a 100 km/h. Si
mantienen constantes sus velocidades, calcula:
a) El tiempo que emplea el segundo en alcanzar al primero.
b) La distancia recorrida desde el punto A.
c) Representa la gráfica posición-tiempo del comportamiento de los dos
vehículos.
Sol: a) 2’5 h; b) 225 km; c) gráfica
22. Un automóvil pasa a las 9 h por el punto A de la carretera recta a la
velocidad de 90 km/h y un cuarto de hora más tarde pasa por el mismo
punto otro automóvil, en el mismo sentido que el primero, a 100 km/h. Si
mantienen constantes sus velocidades, calcula:
a) En qué kilómetro se encontrarán.
b) La distancia recorrida.
c) El tiempo que tardará en llegar al kilómetro 300.
Sol: a) 192 km; b) 180 km; c) 3h 12min
23. Un coche pasa por un punto A de la carretera con una velocidad
constante de 72 Km/h. En ese mismo instante, un segundo coche pasa por
otro punto B, separado del primero 1 Km, a una velocidad también
constante de 180 Km/h. Ambos coches llevan la misma dirección y sentidos
contrarios.
a) ¿En qué posición y en qué instante e encuentran?
b) ¿Qué espacio recorre cada uno de ellos hasta ese encuentro?
c) Representa el encuentro mediante una gráfica x-t.
d) Dibuja la gráfica v-t de cada movimiento durante el tiempo que se han
estudiado
24. Un perro de caza pasa a una velocidad constante de 12 m/s por un
punto distante de otro 40m, donde está situada en ese momento una liebre
que corre con una velocidad de 9 m/s en la misma dirección y sentido que
él. Si el perro está persiguiendo a la liebre, contesta:
a) ¿Alcanzará el perro a la liebre antes de que ésta llegue a unos matorrales
situados a 150 metros de donde estaba ella inicialmente? Si la alcanza
especifica en qué posición y en qué tiempo
b) ¿Qué espacio recorre cada uno de ellos hasta ese encuentro?
c) Representa la persecución mediante una gráfica x-t.
d) Dibuja la gráfica v-t de cada movimiento durante el tiempo que se han
estudiado
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 33
25. Un viajero ha llegado tarde al puerto. Su barco hace ya una hora que ha
salido y navega por el mar con una velocidad constante de 72 Km/h. A
pesar de ello el viajero no se rinde y contrata los servicios de una lancha
motora que navega con una velocidad constante de 108 Km/h, para intentar
alcanzar a su barco.
a) ¿A qué distancia y en qué tiempo alcanzará al barco?
b) Dibuja la gráfica v-t de ambas embarcaciones y la gráfica x-t de la
persecución (ayuda para el dibujo de las gráficas: toma como origen de
tiempos la salida del barco)
26. Un coche que circula a una velocidad constante de 70 km/h sale de un
punto en un instante determinado. Media hora más tarde, sale otro coche
del mismo punto y en su persecución con una velocidad de 100 km/h.
Calcula cuándo y dónde alcanzará el segundo coche al primero.
Sol: 116’ 9 km.
PROBLEMAS MRUA

MRUA: un móvil
27. Un móvil se mueve en línea recta con una aceleración constante de 3
m/s2. En el instante inicial se encuentra a 10 m del origen y posee una
velocidad de 5 m/s.
a) Escribe la ecuación de movimiento (posición-tiempo).
b) Calcula la posición y la velocidad del móvil en el instante t=8 s.
c) Calcula el espacio recorrido en los dos primeros segundos.
Sol: b) 146 m; c) 16 m.
28. Un motorista que se desplaza en línea recta a 60 km/h adquiere la
aceleración constante de 2’5 m/s2. Calcula:
a) La velocidad que llevará transcurridos 10 s.
b) La distancia que recorrerá en el mismo tiempo.
Sol: a) 41’7 m/s; b) 292 m.
29. Un esquiador se desliza pendiente abajo 16 m en 4 s con aceleración
constante y partiendo del reposo. Calcular:
a) La aceleración.
b) El tiempo que tardará en adquirir la velocidad de 28 m/s si continua con
la misma aceleración.
Sol: a) 2 m/s2; b) 14 s.
30. Un móvil reduce su velocidad de 20 m/s a 15 m/s, con aceleración
constante, recorriendo una distancia de 100 m. Calcula:
a) La aceleración.
b) La distancia que recorrerá hasta detenerse, si mantiene constante la
aceleración adquirida.
Sol: a) -0’875 m/s2; b) 228’6 m.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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31. Una motocicleta con una aceleración de 2 m/s2 arranca desde un
semáforo. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar 72 km/h. Si entonces
comienza a frenar con una aceleración de 1’5 m/s2 hasta pararse, calcula la
distancia que recorrió.
Sol: 10 s, 233’3 m.
32. El conductor de un automóvil que circula a 72 km/h ve, en un instante
dado, un obstáculo situado a 30 m de distancia y frena con una aceleración
de 8 m/s2.
a) ¿Se detendrá antes de alcanzar el obstáculo?
b) Si hubiera circulado con una velocidad de 90 km/h, ¿qué distancia habría
necesitado para detenerse?
Sol: a) se detiene en 25 m; b) 39 m.

Gráficas de un MRUA
Dibujar gráficas
33. Un coche eléctrico en reposo acelera durante 4 s a 3 m/s2. A
continuación mantiene la velocidad constante durante 10 s y finalmente se
detiene,
parándose en 5 s. Dibuja las gráficas velocidad-tiempo y
aceleración-tiempo.
34. Un estudiante se sube en un autobús que parte del reposo. El autobús
comienza a moverse y en 5 segundos alcanza una velocidad 60 km/h
acelerando uniformemente. En los siguientes 60 segundos permanece a
velocidad constante. Antes de llegar a la siguiente parada el conductor del
autobús frena suavemente con una aceleración constante hasta detener el
vehículo en 15 segundos. Dibuja las gráficas aceleración-tiempo y
velocidad-tiempo del movimiento descrito.
35. Representa la gráfica v-t de un móvil que partiendo de una velocidad de
5 m/s, acelera uniformemente con una aceleración de 5 m/s2 durante 8
segundos.
a) Indica la velocidad que alcanza a los 3 segundos de empezar a acelerar.
b) Calcula el desplazamiento que ha experimentado a los 8 segundos.
Sol: a) 20 m/s; b) 200 m.
36. Representa la gráfica v-t de un coche que parte del reposo, acelera
durante 3 s con aceleración de 3 m/s2, a continuación viaja a velocidad
constante durante 5 s y, por último frena con aceleración de -3 m/s2 hasta
que se para. ¿Cuál es la velocidad del coche a los 9 segundos de iniciarse el
movimiento?
Sol: 6 m/s
24. Dibuja las graficas x-t, v-t y a-t en los siguientes casos:
-Una piedra que se lanza desde el suelo con una velocidad inicial de 15 m/s.
-Una piedra que se deja caer desde una altura de 20 m.
-Una piedra que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s
desde una altura de 20 m.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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25. Una partícula inicialmente en reposo es sometida a estas aceleraciones:
Dibuja las gráficas x-t y v-t. Calcula el espacio recorrido en los 6s.
Sol: 80 m.
Hallar ecuaciones
37. La gráfica de la figura representa la velocidad de un móvil en función
del tiempo.
a) Respecto a la trayectoria, ¿proporciona alguna información?
b) Calcula la aceleración del móvil en cada tramo de la trayectoria
Sol: b) 8 m/s2; 2 m/s2; 0 m/s2; -3 m/s2
38. El movimiento rectilíneo de un cuerpo se representa en la gráfica v-t.
Calcula:
a) La aceleración que lleva el cuerpo en cada tramo.
b) El espacio recorrido en cada tramo y el espacio total recorrido.
Sol: a) 3 m/s2; 0 m/s2; 3 m/s2; -1’5 m/s2; b) 1’5 m, 6 m, 4’5 m, 12 m;
st=24 m
39. El movimiento de un cuerpo se representa en la siguiente gráfica
velocidad-tiempo:
a) Indica la velocidad inicial del cuerpo y la velocidad a los 20 s.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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b) Calcula la aceleración del cuerpo y la velocidad a los 10 s.
c) Calcula el espacio recorrido en los 20 s.
Sol: a) 0 m/s; b) -0’5 m/s2; c) 100 m.
40. La gráfica adjunta representa la variación de la velocidad de un peatón
con el tiempo:
a) Indica si ha estado parado en algún intervalo de tiempo.
b) Calcula la aceleración en cada tramo.
c) Calcula el espacio recorrido durante los 5 primeros segundos.
Sol: b) 3 m/s2, 0 m/s2, 3 m/s2; c) 24 m.
41. Di (sólo decirlo) qué tipo de movimiento tiene el móvil en cada tramo.
Después de obtener la velocidad inicial y aceleración de cada tramo, escribe
la ecuación de la velocidad de cada uno de esos tramos.
v (m/s)
II
20
14
I
III
t (s)
20
32
00
42. Di (sólo decirlo) qué 00
tipo de movimiento tiene el móvil en cada tramo.
0
8
Después de obtener la velocidad inicial y aceleración de cada tramo, escribe
la ecuación de la velocidad de cada uno de esos tramos.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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v (m/s)
20
A
B
C
8
-5
20
00
00
0
D
E
F
32
38
45
t (s)
 Dos móviles: MRUA
43. Una moto arranca al ponerse verde un semáforo con aceleración
constante de 2 m/s2. Justo al arrancar, un coche que se mueve con
velocidad constante de 54 km/h la adelanta:
a) ¿Cuánto tiempo tarda la moto en alcanzar al coche?
b) ¿A qué distancia del semáforo lo alcanza?
c) ¿Cuál es la velocidad de la moto en el momento del alcanza?
Sol: a) 15 s; b) 225 m; c) 30 m/s
44. Un deportista entrena por un parque corriendo con velocidad constante
de 6 m/s. Observa que, a veinte metros de distancia, un deportista
corriendo con su misma velocidad, dirección y sentido, pierde su mp3. ¿Qué
velocidad tendrá que alcanzar el corredor para devolver el mp3 antes de
que transcurran 10 s?
45. Un coche circula por una vía recta a 100 km/h en una zona limitada a
50 km/h. Un coche de la policía de tráfico, parado en esta zona, arranca y
lo persigue con una aceleración de 1’2 m/s2. Calcula el tiempo que tarda en
alcanzarlo y la distancia recorrida por la policía.
46. Un coche está parado en un semáforo. Cuando se pone la luz verde,
arranca con aceleración constante de 8 m/s2. En el momento de arrancar se
ve adelantado por un camión que marcha con velocidad constante de 10
m/s. Calcula:
a) El tiempo y la posición en la que el coche alcanzará al camión
b) Velocidad del coche en el momento el que lo alcanza
c) Si justo en el momento en el que lo alcanza el conductor del coche
observa que le faltan 100 metros para frenar antes de que llegue el
siguiente semáforo en rojo, calcula la aceleración de frenado que debe tener
para que no se salte dicho semáforo.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 38
PROBLEMAS CAIDA LIBRE
47. Desde lo alto de una torre, se deja caer un objeto y se observa que
tarda 5 s en llegar al suelo. Calcula:
a) La altura de la torre.
b) La velocidad con la que llega al suelo.
Dato: Utiliza g = 10 m/s2
Sol: a) 125 m; b) 50 m/s
48. Se lanza hacia el suelo una piedra con velocidad inicial 12 m/s. ¿Qué
velocidad tendrá cuando haya descendido 5 m?
Sol: 15’6 m/s
49. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25
m/s. Calcula:
a) La altura máxima alcanzada.
b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
c) La velocidad que tiene y la altura que alcanza en el primer segundo del
movimiento.
Sol: a) 31’25 m; b) t=2’5 s; c) 20 m.
50. Se lanza verticalmente desde el suelo una pelota hacia arriba con una
velocidad inicial de 20 m/s. Calcula:
a) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
b) La altura máxima que alcanza.
c) El tiempo que permanece la pelota en el aire.
d) La velocidad con la que llega al suelo.
e) Dibuja las gráficas a-t, v-t y x-t del movimiento de la pelota.
Sol: a) 2 s; b) 20 m; c) 4 s; d) 20 m/s.
51. Desde una ventana situada a 12 metros del suelo una niña lanza
verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. Calcula:
a) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima sobre el suelo
b) La altura máxima alcanzada sobre el suelo
c) El tiempo total transcurrido desde que el objeto sale de la mano de la
niña hasta que llega al suelo
d) La velocidad al llegar al suelo
e) Dibuja las gráficas a-t, v-t y x-t del movimiento de la pelota.
52. Un chico desde el suelo lanza hacia arriba una bola con una velocidad
de 12 m/s.
a) ¿Cuánto tiempo tarda la bola en alcanzar el punto más alto?
b) ¿Hasta qué altura sube la bola?
c) ¿Cuál es el tiempo que transcurre desde que la bola sale de la mano
hasta que vuelve a ella?
d) ¿Cuál es la velocidad con la que llega la bola a la mano?
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53. Un chico desde el suelo lanza hacia arriba una bola con una velocidad
de 12 m/s
a) ¿Cuánto tiempo tarda la bola en alcanzar el punto más alto?
b) ¿Hasta qué altura sube la bola?
c) ¿Cuál es el tiempo que transcurre desde que la bola sale de la mano
hasta que vuelve a ella?
d) ¿Cuál es la velocidad con la que la bola pasa, de vuelta al suelo, a una
altura de 4 m?
54. Una moneda es arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de
un edificio de 30 m de altura con una velocidad de 5 m/s. Calcula:
a) La altura máxima que alcanza la pelota sobre el suelo de la calle.
b) El tiempo que tarda en llegar a la altura máxima.
c) La velocidad con que llega al suelo.
nota: resolver el problema desde un sistema de referencia anclado en lo
alto del edificio y otro anclado en el suelo.
55. Un paracaidista salta de un helicóptero desde una altura de 3 km.
Después de descender 50 m, abre su paracaídas y cae con velocidad
constante de 5 m/s. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo.

Dos móviles: caída libre
56. Un niño tira desde lo alto de un edificio de 50 metros un globo de agua
con una velocidad de 5 m/s. Otro niño lanza desde el suelo un proyectil con
un tirachinas a una velocidad de 60 m/s.
a) Calcula la posición y la altura a la que el proyectil alcanza al globo. ¿Qué
velocidad llevan el proyectil y el globo cuando se encuentran?
b) Dibuja las gráficas a-t, v-t y x-t de los dos móviles.
57. Un niño deja caer un globo de agua desde la séptima planta de un
edificio. Desde la azotea otro niño lanza con un tirachinas un proyectil con
una velocidad inicial de 20 m/s. Calcula:
a) La altura y el instante en el que se encuentran.
b) Dibuja las gráficas a-t, v-t, y-t de los dos móviles.
Datos: La séptima planta se encuentra a 30 metros del suelo. La azotea se
encuentra 50 metros del suelo.
58. Un niño que juega en lo alto de un edificio de 15 metros de altura
tropieza y cae al vacío desde lo alto del edificio. A 20 metros de la base del
edificio se encuentra un bombero que ve al niño caer. En ese preciso
instante el bombero empieza a correr con el propósito de coger al niño
antes de que caiga al suelo. ¿Qué aceleración tendrá que tener el bombero
para que pueda recoger al niño antes de que impacte en el suelo?
59. Desde la azotea de un edificio de 30 m se deja caer un cuerpo. En el
mismo instante y desde el mismo sitio se lanza, en vertical y hacia arriba,
otro cuerpo con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuándo y dónde se cruzan
los cuerpos?
Sol: t=1’50 s, y=18’95 m.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
Página 40
26. Desde un precipicio se lanza verticalmente hacia abajo una piedra, con
una velocidad de 5 m/s. El sonido de la piedra al chocar con el suelo se oye
a los 6’5 s de soltarla. ¿Desde qué altura se lanzó?. Dato: velocidad del
sonido=340 m/s.
Sol: 200’4 m
PROBLEMAS MCU
60. Una noria de 4 metros de radio gira a razón de una vuelta cada 45
segundos. Calcula:
a) La velocidad angular en radianes por segundos.
b) La velocidad lineal de los puntos de la periferia en metros por segundo.
c) La velocidad lineal de los puntos situados a una distancia igual a la mitad
del radio.
d) La aceleración de los puntos de la periferia.
e) Si el viaje dura 4 minutos y 30 segundos ¿Cuántas vueltas da la noria?
f) ¿Qué espacio se recorre en cada viaje?
g) ¿Qué desplazamiento se realiza en una vuelta?
Sol: a) 0,14 rad/s; b) 0,56 m/s; c) ; d) a= 0.08 m/s2; e) 6 vueltas; f) s=
150.8 m
61. La velocidad angular del disco duro de un ordenador el de 1800 rpm.
Teniendo
en cuenta que su radio es de 5 cm, halla:
a) La velocidad angular en rad/s. Define la velocidad angular
b) La velocidad lineal en un punto del borde del disco. Define la velocidad
lineal en un MCU
c) La aceleración centrípeta a la que está sometida ese punto. ¿A qué es
debida la aceleración centrípeta?¿Cuál es su dirección y sentido?
d) Periodo y frecuencia del movimiento. Define el periodo y la frecuencia en
un MCU
e) ¿Es constante la velocidad lineal en el MCU?
62. Un móvil recorre una circunferencia de 50 cm de radio, con un MCU. Su
frecuencia es de 10 Hz. Calcula:
a) El periodo del movimiento. Define periodo y frecuencia de un MCU
b) Velocidad angular en rad/s y rpm. Define la velocidad angular en un MCU
c) Velocidad lineal del móvil. Define la velocidad lineal en un MCU
d) Aceleración centrípeta. Explica la causa de la existencia de esta
aceleración en un MCU. Especifica su dirección y sentido.
63. Una noria de 4 m de radio gira con una velocidad angular de 0,14 rad/s.
Calcula:
a) La velocidad angular en r.p.m. Define velocidad angular en un MCU.
b) Velocidad lineal de un punto de la periferia de la noria. Define la
velocidad lineal en un MCU.
c) Calcula el periodo y la frecuencia del movimiento. Define el periodo y la
frecuencia en un MCU.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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d) Aceleración centrípeta de un punto de la periferia de la noria. Explica la
causa de la existencia de esta aceleración en un MCU. Especifica su
dirección y sentido
e) Si un viaje en la noria dura 4 min y 30 segundos ¿cuántas vueltas dará la
noria en ese tiempo?
64. El disco duro de un ordenador gira con una velocidad angular de 4200
vueltas por cada minuto. Calcula:
a) La velocidad angular en unidades del sistema internacional.
b) El tiempo que tarda en dar una sola vuelta (periodo).
c) Las vueltas que da en 1 segundo.
d) La velocidad lineal con que se mueve el borde del disco.
Dato: diámetro del disco duro = 10 cm.
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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